W matematyce , podwójnego miejsca z przestrzeni wektorowej E jest przestrzenią form liniowych na E .
Struktura przestrzeni i jej dwoistości są ze sobą ściśle powiązane. Na końcu artykułu przedstawiono niektóre wyniki dotyczące powiązań między przestrzenią podwójną a hiperpłaszczyznami , co pozwala na „geometryczne” zrozumienie pewnych właściwości form liniowych.
Topologiczna podwójny to wariant bardzo często uważane w analizie funkcjonalnej , gdy przestrzeń wektor jest wyposażony w dodatkowy strukturze topologicznej przestrzeni wektorowej .
Niech ( K +, x) będzie pole przemienne i e K - miejsca wektora .
Formę liniową na E nazywamy dowolną mapą liniową od E do K , tj. Dowolną mapą ϕ : E → K taką, która
Zbiór L ( E , K ) form liniowych nad E jest przestrzenią wektorową K , zwaną przestrzenią podwójną E i oznaczoną przez E *.
Wspornik rozdwojenie jest nie zdegenerowany forma dwuliniowa
Osadzanie jednego miejsca do drugiego wektora jest injective liniowa mapa .
Jeśli przestrzeń wektorowa E jest rzeczywistą przestrzenią przedhilbertowską , to znaczy wyposażoną w iloczyn skalarny (∙ | ∙), te dodatkowe dane umożliwiają zdefiniowanie naturalnego osadzenia E w E * : mapa φ, która dla każdego wektora x z E wiąże postać liniową φ ( x ): E → R , y ↦ ( y | x ) . A zatem, E jest izomorficzny w podprzestrzeni cp ( E ) z e * .
Lub ( e I ) i ∈ I podstawa (ewentualnie nieskończoność) z E . Następnie rodzina formy liniowej ( e I *) i ∈ I określony przez:
Gdzie x i jest współrzędnych z x odpowiadających wektor e I ,lub
gdzie δ ij jest symbolem Kroneckera ,jest wolny rodzina z E * , tak unikalnej liniowej mapie od E do E * , który wysyła (dla wszystkich I ) e í do e I * jest osadzanie.
Nie jest kanoniczny , ponieważ zależy od wyboru bazy.
Z drugiej strony, gdy wymiar od E jest nieskończona, jest bezwzględnie mniejszy od E * (zgodnie z Erdősa-Kaplansky tw ), to nie jest liniowym z e w e * nie suriekcją .
Jeśli przestrzeń E ma skończony wymiar n , to przeciwnie, osadzenie poprzedniego akapitu staje się izomorfizmem z E do E *.
Twierdzenie o podwójnej podstawy - Let ( e 1 , ..., e n ) podstawa E . Zatem rodzina ( e 1 *, ..., e n *) jest podstawą E *, zwaną podstawą podwójną . W szczególności mamy:
Na przykład wielomiany Lagrange'a ℓ 0 , ℓ 1 ,…, ℓ n związane z n + 1 różnymi skalarami x 0 , x 1 ,…, x n tworzą podstawę przestrzeni wektorowej wielomianów o stopniu mniejszym lub równym n . Podwójną podstawę tworzą funkcje oceny n + 1: ℓ i * ( P ) = P ( x i ).
° naturalnie izomorficzne z podwójnego na iloraz wektora przestrzeni E / VECT ( A ) .
.Innymi słowy, B ° jest przecięcie jąder pierwiastków B .
Przy powyższych zapisach ( A °) ° jest równe Vect ( A ), podczas gdy ( B °) ° zawiera Vect ( B ); jest mu równe, gdy tylko B jest skończone .
W szczególnym przypadku przestrzeni euklidesowej o skończonym wymiarze mapa φ zdefiniowana w akapicie „Przykład: przypadek przestrzeni przedhilbertowskiej” powyżej jest izomorfizmem E na E *. Modulo ten izomorfizm, znajdujemy wtedy ortogonalność zdefiniowaną przez iloczyn skalarny.
Ważnym zastosowaniem w badaniu przestrzeni podwójnej jest reprezentacja podprzestrzeni wektorowej jako przecięcia hiperpłaszczyzn .
Niech E będzie przestrzenią wektorową, a F podprzestrzenią. Dla każdej podstawy B przestrzeni F ° form, które znikają na F , podprzestrzeń F = ( F °) ° = ( Vect ( B ) ) ° = B ° jest przecięciem jąder elementów B , tj. do dowolnego wektora x z E , F ma skończony kowymiar q wtedy i tylko wtedy, gdy B zawiera dokładnie q form ϕ 1 ,…, ϕ q , a następnie możemy przedstawić F za pomocą q niezależnych równań liniowych :
I odwrotnie, niech B będzie skończonym zbiorem niezależnych form liniowych. Następnie, oznaczając F = B ° przecięcie ich jąder, B jest podstawą ( B °) ° = F °.
To twierdzenie uogólnia elementarne wyniki znane w wymiarze 2 lub 3 w przedstawianiu prostych lub płaszczyzn za pomocą równań. W szczególności w trójwymiarowej przestrzeni wektorowej przecięcie dwóch niezależnych płaszczyzn jest linią.
Uwaga: pojęcia linii prostej lub płaszczyzny w przestrzeni afinicznej (co odpowiada intuicji geometrycznej) nie należy mylić z użytym tutaj pojęciem linii wektorowej lub płaszczyzny wektorowej . Nazywamy linię wektora 1-wymiarową podprzestrzenią, a płaszczyznę wektora 2-wymiarową podprzestrzenią.
Jeżeli E i F są dwa miejsca wektora na K i U ∈ l ( E , F ) liniowego odwzorowania, transponowana na mapie z U , oznaczona T U jest mapa F * w E * podaje
Mapa T U jest liniowy na całej U , i mapa U ↦ t U jest liniowa.
Jeśli E , F i G są trzema przestrzeniami wektorowymi, mamy
W języku kategorii oznacza to, że operacja, która wiąże jej dualność z przestrzenią wektorową, jest funktorem kontrawariantnym.
Jeśli E = K m i F = K n , to L ( E, F ) = M n , m ( K ) i znajdujemy transpozycję macierzy .
Definiujemy liniową mapę i dla E w ( E *) * za pomocą wzoru
Innymi słowy, i ( x ) jest formą liniową na E *, która z dowolną formą liniową ϕ na E łączy ϕ ( x ) .
W przeciwieństwie do dipów z E w E * , zastosowanie i jest naturalne , ponieważ zależy to od jedynych danych E .
Jest również za pomocą wstrzyknięć, to znaczy, że dla każdego niezerowy wektor x z E istnieje forma liniowa φ takie, że (ponieważ x jest zakończona w bazie ( e I ) i ∈ I i ⟨ e I * e I ⟩ = 1 ).
Jeśli E ma skończony wymiar, i jest zatem izomorfizmem (podczas gdy E ma nieskończony wymiar, nie ma liniowego wyrzucenia z E do E ** ).
W przypadku topologicznych przestrzeni wektorowych sytuacja jest znacząco odmienna (patrz artykuł Topological Dual ).
Na polu nieprzemiennym musimy rozróżnić przestrzenie wektorowe po lewej stronie, jeśli działanie grupy multiplikatywnej K * jest działaniem po lewej stronie , i spacje wektorowe po prawej stronie, jeśli to działanie jest akcją po prawej stronie.
Podwójna przestrzeń wektorowa po lewej stronie jest przestrzenią wektorową po prawej stronie i odwrotnie.
Rzeczywiście E przestrzeń wektorową w lewo na K , U ∈ l ( E, K ) i λ ∈ K . Definiujemy u .λ za pomocą wzoru
Jest to rzeczywiście mapa liniowa, ponieważ dla dowolnego wektora x w E i wszystkich skalarów λ i μ w K mamy
Powyższe jest nadal aktualne, jeśli zamienimy „ciało” na „ pierścień ” i „przestrzeń wektorową” na „ moduł ”.
Na marginesie należy zauważyć, że jeśli K jest ciałem nieprzemiennym, a E i F są K- przestrzeniami wektorowymi o wymiarze co najmniej 2, L ( E , F ) nie jest już przestrzenią wektorową, a jedynie grupą abelową. Podobnie, jeśli K jest pierścieniem nieprzemiennym i jeśli E i F są modułami K, które nie są izomorficzne z K , L ( E , F ) ma tylko abelową strukturę grupową.