Równania Eulera
W mechanice płynów , równania Eulera są nieliniowe różniczkowych cząstkowych równań opisujących przepływ cieczy (płyn lub gaz) w przybliżeniu z ciągłych . Przepływy te są adiabatyczne , bez wymiany pędu przez lepkość lub energię przez przewodnictwo cieplne .
Historia tych równań sięga Leonharda Eulera, który ustalił je dla przepływów nieściśliwych (1757). Związek z termodynamiką zawdzięczamy Pierre-Simon de Laplace (1816), a wyjaśnienie nieciągłości Bernhardowi Riemannowi (1860), którego prace poprzedziły prace Rankine'a i Hugoniot'a .
Tworzenie równań dla ośrodka ściśliwego
Z praw zachowania
Możemy zdefiniować prawo zachowania dla zmiennej intensywnej ϕ napędzanej z prędkością V i zawierającej termin produkcji S poprzez:
∂ϕ∂t+∇⋅(ϕV)=S{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ phi} {\ częściowe t}} + \ nabla \ cdot (\ phi \ mathbf {V}) = S}
Receptura Eulera
Najczęściej używane sformułowanie odwołuje się do naturalnego stałego układu odniesienia, gdy mamy do czynienia ze stacjonarnym lub niestałym problemem, w którym dziedzina obliczeń jest znana z góry. Następnie odwołujemy się do zmiennych Eulera .
Uzyskujemy układ Eulera, stosując powyższą relację zachowania do gęstości ρ , pędu ρ V i całkowitej energii ρE .
-
Równanie ciągłości (równanie bilansu masy)∂ρ∂t+∇⋅(ρV)=0{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ rho} {\ częściowe t}} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot (\ rho \ mathbf {V}) = 0}
-
Równanie równowagi pędu∂(ρV)∂t+∇⋅(ρVV)=-∇p+ρsol{\ Displaystyle {\ dfrac {\ częściowe (\ rho \ mathbf {V})} {\ częściowe t}} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ left (\ rho \ mathbf {V} \ mathbf {V} \ po prawej) = - \ nabla p + \ rho \ mathbf {g}}
- Równanie bilansu energetycznego∂(ρmi)∂t+∇⋅(ρmiV)=-∇⋅(pV)+ρsol⋅V{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe (\ rho E)} {\ częściowe t}} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot (\ rho E \ mathbf {V}) = - \ mathbf {\ nabla} \ cdot (p \, \ mathbf {V}) + \ rho \ mathbf {g} \ cdot \ mathbf {V}}
W tych równaniach:
-
t oznacza czas (jednostki SI: s);
-
ρ oznacza gęstość płynu (jednostka SI: kg · m −3 );
-
V oznacza prędkość Eulera cząstki płynu (jednostka SI: m s −1 );
-
p oznacza ciśnienie termodynamiczne (jednostka SI: Pa);
-
ja{\ displaystyle {\ mathsf {I}}}oznacza tensor jednostkowy;
-
g ( x , t ) oznacza grawitację lub jakąkolwiek inną zewnętrzną siłę masową (jednostka SI: m s −2 );
-
E oznacza całkowitą energię na jednostkę masy (jednostka SI: J kg- 1 ); wyraża się jako funkcję energii wewnętrznej na jednostkę masy e przez:mi=mi+|V|22{\ Displaystyle E = e + {\ Frac {| \ mathbf {V} | ^ {2}} {2}}}
Układ musi być zamknięty relacją termodynamiczną, na przykład łączącą energię wewnętrzną z innymi wartościami f ( e , ρ , p ) = 0 . Dla gazu doskonałego :mi=1γ-1pρ{\ displaystyle e = {\ Frac {1} {\ gamma -1}} {\ Frac {p} {\ rho}}}
gdzie jest odpowiednio stosunek poszczególnych ciepła przy stałym ciśnieniu i objętości.
γ=VSP.VSV{\ Displaystyle \ gamma = {\ Frac {C_ {P}} {C_ {V}}}}
Pewne wariacje dotyczące układu równań
- Możemy inaczej wyrazić równanie pędu, zauważając, że:∂(ρV)∂t+∇⋅(ρVV)=ρ[∂V∂t+(V⋅∇)V].{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ lewo (\ rho \ mathbf {V} \ prawej)} {\ częściowe t}} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ lewo (\ rho \ mathbf {V} \ mathbf {V} \ right) = \ rho \ left [{\ frac {\ części \ częściowe \ mathbf {V}} {\ częściowe t}} + (\ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {\ nabla}) \ mathbf {V } \ dobrze].}
Demonstracja
∂(ρV)∂t+∇⋅(ρVV)=V∂ρ∂t+ρ∂V∂t+V(V⋅∇ρ)+ρ(V⋅∇)V+ρV(∇⋅V)Rozwój=ρ[∂V∂t+(V⋅∇)V]+V[∂ρ∂t+V⋅∇ρ+ρ∇⋅V]Grupowanie terminów=ρ[∂V∂t+(V⋅∇)V]+V[∂ρ∂t+∇⋅(ρV)]0Uproszczenie{\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablicę} {rcll} {\ Frac {\ częściowe \ lewo (\ rho \ mathbf {V} \ prawej)} {\ częściowe t}} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ lewo ( \ rho \ mathbf {V} \ mathbf {V} \ right) & = & \ mathbf {V} \, {\ frac {\ części \ rho} {\ częściowe t}} + \ rho \, {\ frac {\ częściowe \ mathbf {V}} {\ częściowe t}} + \ mathbf {V} (\ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {\ nabla} \ rho) + \ rho (\ mathbf {V} \ cdot \ mathbf { \ nabla}) \ mathbf {V} + \ rho \ mathbf {V} \, (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {V}) & {\ text {Development}} \\ [0.5em] & = & \ rho \ left [{\ frac {\ części \ mathbf {V}} {\ częściowe t}} + (\ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {\ nabla}) \ mathbf {V} \ right] + \ mathbf {V} \ left [{\ frac {\ części \ rho} {\ częściowe t}} + \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {\ nabla} \ rho + \ rho \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {V} \ right] & {\ text {Grupowanie terminów}} \\ [0.5em] & = & \ rho \ left [{\ frac {\ Partial \ mathbf {V}} {\ Partial t}} + (\ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {\ nabla}) \ mathbf {V} \ right] + \ mathbf {V} {\ cancelto {0} {\ left [{\ frac {\ part \ rho} {\ częściowe t}} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot (\ rho \ mathbf {V} ) \ right]}} & {\ text {Simplification}} \ end {tablica}}}
Otrzymane równanie jest interpretowane jako drugie prawo Newtona , zauważając, że termin ten opisuje przyspieszenie cząstek płynu.
∂V∂t+(V⋅∇)V{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ mathbf {V}} {\ częściowe t}} + (\ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {\ nabla}) \ mathbf {V}}
- Zachowanie energii można wyrazić w postaci równoważnej, przekazując pierwszemu członowi określenie odpowiadające ciśnieniu:
∂(ρmi)∂t+∇⋅[(ρmi+p)V]=ρsol⋅V.{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe (\ rho E)} {\ częściowe t}} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot [(\ rho E + p) \ mathbf {V}] = \ rho \, \ mathbf {g} \ cdot \ mathbf {V}.}
Termin ρE + P można zastąpić gdzie jest entalpią masy, a H jest całkowitą entalpią.ρH.=ρ(godz+|V|22){\ Displaystyle \ rho H = \ rho \ lewo (h + {\ Frac {| \ mathbf {V} | ^ {2}} {2}} \ prawej)}godz=mi+pρ{\ displaystyle h = e + {\ frac {p} {\ rho}}}
- Skalując równanie pędu napisane jak powyżej przez prędkość, otrzymujemy prawo zachowania energii kinetycznej:
ρ[∂∂t(|V|22)+V⋅∇(|V|22)]=-V⋅∇p+ρsol⋅V.{\ Displaystyle \ rho \ lewo [{\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe t}} \ lewo ({\ Frac {| \ mathbf {V} | ^ {2}} {2}} \ prawo) + \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {\ nabla} \ left ({\ frac {| \ mathbf {V} | ^ {2}} {2}} \ right) \ right] = - \ mathbf {V} \ cdot \ nabla p + \ rho \ mathbf {g} \ cdot \ mathbf {V}.}
- Odejmując to równanie od równania zachowania energii i stosując równanie zachowania masy, otrzymujemy następujące równanie dotyczące energii wewnętrznej na jednostkę masy:ρ(∂mi∂t+V⋅∇mi)=-p∇⋅V.{\ Displaystyle \ rho \ lewo ({\ dfrac {\ częściowe e} {\ częściowe t}} + \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {\ nabla} e \ prawej) = - p \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {V}.}
Sformułowanie Lagrange'a
W przypadku niektórych problemów obszar zajmowany przez płyn może się znacznie zmieniać w czasie. Są to zatem niepewne problemy. Tak jest w przypadku problemów z eksplozjami lub astrofizyki . Następnie odwołuje się do zmiennych Lagrangianu zdefiniowanych w zapisanym odnośniku ξ . Przyspieszenie cząstki płynu określa pochodna cząstki :reϕret: =∂ϕ∂t|ξ=∂ϕ∂t|x+V⋅∇ϕ{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {D} \ mathbf {\ phi}} {\ mathrm {D} t}} \ ,: = \ lewo. {\ Frac {\ częściowe \ mathbf {\ phi}} {\ częściowe t}} \ right | _ {\ xi} = \ left. {\ frac {\ części \ mathbf {\ phi}} {\ częściowe t}} \ right | _ {x} + \ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {\ nabla} \ mathbf {\ phi}}
Ostatnim składnikiem tego równania jest składnik adwekcji wielkości ϕ . Może to być wartość skalarna, wektorowa lub tensoryczna.
Dla pędu pochodna cząstek jest warta:re(ρV)ret=∂(ρV)∂t|ξ=∂(ρV)∂t|x+(V⋅∇)(ρV)=∂(ρV)∂t|x+∇⋅(ρVV)-ρ(∇⋅V)V{\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablicę} {rcl} {\ Frac {\ mathrm {D} (\ rho \ mathbf {V})} {\ mathrm {D} t}} = \ lewo. {\ Frac {\ częściowe (\ rho \ mathbf {V})} {\ częściowe t}} \ right | _ {\ xi} & = & \ left. {\ frac {\ częściowe (\ rho \ mathbf {V})} {\ częściowe t }} \ right | _ {x} + \ left (\ mathbf {V} \ cdot \ mathbf {\ nabla} \ right) (\ rho \ mathbf {V}) \\ [0.8em] & = & \ left. {\ frac {\ częściowe (\ rho \ mathbf {V})} {\ częściowe t}} \ right | _ {x} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ left (\ rho \ mathbf {V} \ mathbf {V} \ right) - \ rho \ left (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {V} \ right) \ mathbf {V} \ end {tablica}}}
Równania zachowania w układzie współrzędnych zdefiniowanym przez są napisane:
∂x∂t=V{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ mathbf {x}} {\ częściowe t}} = \ mathbf {V}}
- Równanie ciągłości (lub równanie bilansu masy)reρret+ρ∇⋅V=0{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {D} \ rho} {\ mathrm {D} t}} + \ rho \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {V} = 0}
- Równanie równowagi pęduρreVret=-∇p+ρsol{\ Displaystyle \ rho {\ Frac {\ mathrm {D} \ mathbf {V}} {\ mathrm {D} t}} = - \ mathbf {\ nabla} p + \ rho \ mathbf {g}}
- Równanie bilansu energetycznegoρremiret=-∇⋅(pV)+ρsol⋅V{\ Displaystyle \ rho {\ Frac {\ mathrm {D} E} {\ mathrm {D} t}} = - \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ lewo (p \ mathbf {V} \ prawej) + \ rho \ mathbf {g} \ cdot \ mathbf {V}}
Z równania Boltzmanna dla gazu
Oznaczamy funkcję rozkładu statystycznego prędkości V w czasie t w punkcie x dla cząstki (atomu lub cząsteczki) o masie m . Prawdopodobna liczba cząstek w objętości , prędkości w tej chwili to . Dlatego rozkład statystyczny f jest mierzony w s 3 m -6 .
fa(x,v,t){\ displaystyle f (\ mathbf {x}, \ mathbf {v}, t)}[x,x+rex]{\ Displaystyle [\ mathbf {x}, \ mathbf {x} + \ mathrm {d} \ mathbf {x}]}[v,v+rev]{\ Displaystyle [\ mathbf {v}, \ mathbf {v} + \ mathrm {d} \ mathbf {v}]}farexrev{\ Displaystyle f \, \ mathrm {d} \ mathbf {x} \, \ mathrm {d} \ mathbf {v}}
Równanie Boltzmanna jest napisane∂fa∂t+v⋅∇fa=Q(fa,fa){\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe t}} + \ mathbf {v} \ cdot \ nabla f = Q (f, f)}
gdzie Q , operator (lub jądro) zderzenia, jest kwadratowym operatorem całkowym dającym efekt zderzeń, które można założyć jako elastyczne, aby uprościć problem: brak wymiany między wewnętrznymi stopniami swobody, rotacją i translacją.
Od mikroskopijnych do makroskopowych
Równanie Boltzmanna opisuje ewolucję cząstek na poziomie mikroskopowym. Aby opisać poziom makroskopowy, definiujemy
- gęstość cząstek |
nie=∫vfarevja{\ displaystyle n = \ int _ {\ mathbf {czas.}} f \ mathrm {d} \ mathbf {v} _ {i}}
|
- gęstość |
ρ = nm
|
- Średnia prędkość |
V=1nie∫vvfarev{\ Displaystyle \ mathbf {V} = {\ Frac {1} {n}} \ int _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {v} f \ mathrm {d} \ mathbf {v}}
|
- prędkość względna |
U=v-V{\ Displaystyle \ mathbf {U} = \ mathbf {v} - \ mathbf {V}}
|
- energia wewnętrzna |
mi=∫v12mv2farev{\ Displaystyle e = \ int _ {\ mathbf {v}} {\ Frac {1} {2}} mv ^ {2} f \ mathrm {d} \ mathbf {v}}
|
- nacisk |
p=13∫vmU2fareU{\ Displaystyle p = {\ Frac {1} {3}} \ int _ {\ mathbf {v}} mU ^ {2} f \ mathrm {d} \ mathbf {U}}
|
Następnie możemy zdefiniować temperaturę z równania stanup=niekT{\ Displaystyle p = n \, k \, T}
Równania ewolucji
Interakcje oszczędzają masę, pęd i energię. Mówimy, że są to niezmienniki kolizyjne. Mnożąc równanie Boltzmanna sukcesywnie przez każdą z tych wielkości i sumując prędkości, wszystkie drugie elementy znoszą się nawzajem:m,mv,12mv2{\ Displaystyle m, m \ mathbf {v}, {\ Frac {1} {2}} mv ^ {2}}∫vψQrev=0, ∀ψ∈[m,mv,12mv2]{\ Displaystyle \ int _ {\ mathbf {v}} \ psi \, Q \, \ mathrm {d} \ mathbf {v} = 0, ~~ \ forall \ psi \ in [m, m \ mathbf {v} , {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}]}
Rzeczywiście, to, co jest prawdą dla każdej indywidualnej interakcji, jest z konieczności prawdziwe dla każdego z nich.
W ten sposób łatwo uzyskuje się makroskopowe równania ewolucji zwane w ogólnym przypadku równaniami Enskoga, które tutaj prowadzą do podanych powyżej równań Eulera.
Odpowiedni mikroskopowy rozkład prędkości to rozkład Maxwella , co nie ma miejsca w przypadku równań Naviera-Stokesa .
Właściwości systemu Eulera
Analityczne rozwiązania równań Eulera są bardzo rzadkie, nawet w przypadku problemów jednowymiarowych. Możemy jednak zacytować:
Ochrona entropii
Pierwsza zasada termodynamiki dla gazu idealnego pozwala odsłonić entropii S w przypadku odwracalnego medium, w którym zaniedbujemy prace związane z g :remi=TreS-pre(1ρ){\ Displaystyle \ mathrm {d} e = T \ mathrm {d} Sp \ mathrm {d} \ lewo ({\ Frac {1} {\ rho}} \ prawej)}
Skąd :ρTreSret=ρremiret-pρreρret{\ displaystyle \ rho T {\ frac {\ mathrm {d} S} {\ mathrm {d} t}} = \ rho {\ frac {\ mathrm {d} e} {\ mathrm {d} t}} - {\ frac {p} {\ rho}} {\ frac {\ mathrm {D} \ rho} {\ mathrm {D} t}}}
Korzystając z równania ciągłości, wyrażenie to staje się:reSret=0{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {D} S} {\ mathrm {D} t}} = 0}
Przepływ jest izentropowy na linii strumienia, o ile jest ciągły. Widzimy poniżej, że nie wszędzie tak jest ze względu na możliwe istnienie nieciągłości odpowiadających nieodwracalnym przemianom termodynamicznym.
Charakterystyczne krzywe i niezmienniki Riemanna
Matematyczny charakter systemu obejmuje szereg właściwości charakteryzujących przepływ Eulera. Umieszczamy się w jednowymiarowym przypadku i gazu doskonałego, wystarczającym do analizy. Pomijamy g, które generalnie reprezentuje grawitację i którego skutki nie są odczuwalne w wysoce ściśliwych przepływach, z którymi mamy tutaj do czynienia.
Charakter równań
Układ można zapisać w konserwatywnej postaci wektorowej wprowadzając przepływ F zmiennej W :∂W.∂t+∂fa(W.)∂x=0{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ mathbf {W}} {\ częściowe t}} + {\ Frac {\ częściowe \ mathbf {F} (\ mathbf {W})} {\ częściowe x}} = 0}
W tym celu stosujemy relację stanu w postaci :p=(γ-1)ρ(mi-V22){\ Displaystyle \, p = (\ gamma -1) \ rho \ lewo (E - {\ Frac {V ^ {2}} {2}} \ prawej)}W.=(ρρVρmi)=(b1b2b3)fa=(ρVρV2+p(ρmi+p)V)=(b2b22b1+(γ-1)(b3-b222b1)b2b1[b3+(γ-1)(b3-b222b1)]){\ Displaystyle \ mathbf {W} = {\ rozpocząć {pmatrix} \ rho \\\ rho V \\\ rho E \ koniec {pmatrix}} = {\ rozpocząć {pmatrix} b_ {1} \\ b_ {2} \\ b_ {3} \ end {pmatrix}} \; \; \; \; \; \; F = {\ begin {pmatrix} \ rho V \\\ rho V ^ {2} + p \\ (\ rho E + p) V \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} b_ {2} \\ {\ frac {b_ {2} ^ {2}} {b_ {1}}} + (\ gamma - 1) \ left (b_ {3} - {\ frac {b_ {2} ^ {2}} {2b_ {1}}} \ right) \\ {\ frac {b_ {2}} {b_ {1}} } \ left [b_ {3} + (\ gamma -1) \ left (b_ {3} - {\ frac {b_ {2} ^ {2}} {2b_ {1}}} \ right) \ right] \ koniec {pmatrix}}}
Możemy ujawnić jakobian matrycy∂W.∂t+jot∂W.∂x=0{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ mathbf {W}} {\ częściowe t}} + \ mathbf {J} \, {\ Frac {\ częściowe \ mathbf {W}} {\ częściowe x}} = 0}
lub:jot=∂fa∂W.=(010γ-32V2(3-γ)Vγ-1-γmiV+γ-22V3γmi+(32-γ)V2γV){\ Displaystyle \ mathbf {J} = {\ Frac {\ częściowe \ mathbf {F}} {\ częściowe \ mathbf {W}}} = {\ rozpocząć {pmatrix} 0 i 1 i 0 \\ {\ Frac {\ gamma -3} {2}} V ^ {2} & (3- \ gamma) V & \ gamma -1 \\ - \ gamma eV + {\ frac {\ gamma -2} {2}} V ^ {3 } & \ gamma e + ({\ frac {3} {2}} - \ gamma) V ^ {2} & \ gamma V \ end {pmatrix}}}
Macierz jest diagonalizowalna i ma trzy rzeczywiste wartości własne, które dają prędkości propagacji zaburzeń w ośrodku:λ=(V-wVV+w){\ Displaystyle \ lambda = {\ rozpocząć {pmatrix} Va \\ V \\ V + a \ koniec {pmatrix}}}
gdzie jest prędkość dźwięku.
w=γ(γ-1)mi{\ Displaystyle a = {\ sqrt {\ gamma (\ gamma -1) e}} \;}
Linia wektorów własnych po lewej to:L1=(V22+Vwγ-1-V-wγ-11){\ Displaystyle \ mathbf {L} _ {1} = {\ rozpocząć {pmatrix} {\ Frac {V ^ {2}} {2}} + {\ Frac {Va} {\ gamma -1}} \; \ ; \; \; \; - V - {\ frac {a} {\ gamma -1}} \; \; \; \; \; 1 \ end {pmatrix}}}
L2=(V22-w2γ-1-V1){\ displaystyle \ mathbf {L} _ {2} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {V ^ {2}} {2}} - {\ frac {a ^ {2}} {\ gamma -1} } \; \; \; \; \; - V \; \; \; \; \; 1 \ end {pmatrix}}}
L3=(V22-Vwγ-1-V+wγ-11){\ Displaystyle \ mathbf {L} _ {3} = {\ rozpocząć {pmatrix} {\ Frac {V ^ {2}} {2}} - {\ Frac {Va} {\ gamma -1}} \; \ ; \; \; \; - V + {\ frac {a} {\ gamma -1}} \; \; \; \; \; 1 \ end {pmatrix}}}
Ponieważ wartości własne są rzeczywiste i odrębne, system jest ściśle hiperboliczny .
Zapisujemy równania zachowania masy i pędu:∂ρ∂t+∂∂x(ρV)=0{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ rho} {\ częściowe t}} + {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe x}} (\ rho V) = 0}
∂∂t(ρV)+∂∂x(ρV2)+∂p∂x=0{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe t}} (\ rho V) + {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe x}} (\ rho V ^ {2}) + {\ Frac {\ częściowe p} {\ częściowe x}} = 0}
Z następujących wyrażeń dla gazu idealnego i możemy napisać:pργ=VSstmi{\ Displaystyle {\ Frac {p} {\ rho ^ {\ gamma}}} = C ^ {ste}}w2=γpρ{\ Displaystyle a ^ {2} = \ gamma {\ Frac {p} {\ rho}}}reww=γ-12reρρ{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} a} {a}} = {\ Frac {\ gamma -1} {2}} {\ Frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ rho}}}
Niosąc równania zachowania, stają się one:2γ-1∂w∂t+2Vγ-1∂w∂x+w∂V∂x=0{\ Displaystyle {\ Frac {2} {\ gamma -1}} {\ Frac {\ częściowe a} {\ częściowe t}} + {\ Frac {2V} {\ gamma -1}} {\ Frac {\ częściowe a} {\ częściowe x}} + a {\ frac {\ częściowe V} {\ częściowe x}} = 0}
∂V∂t+V∂V∂x+1ρ∂p∂x=0{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe V} {\ częściowe t}} + V {\ Frac {\ częściowe V} {\ częściowe x}} + {\ Frac {1} {\ rho}} {\ Frac {\ częściowe p} {\ częściowe x}} = 0}
Dodając i odejmując te dwa równania, otrzymujemy:∂R±∂t+(V±w)∂R±∂x=0{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe R _ {\ pm}} {\ częściowe t}} + (V \ pm a) {\ Frac {\ częściowe R _ {\ pm}} {\ częściowe x}} = 0 }
lubR±=V±2wγ-1{\ displaystyle R _ {\ pm} = V \ pm {\ frac {2a} {\ gamma -1}}}
Te wielkości są niezmiennikami Riemanna . Ta nazwa pochodzi od następującej właściwości. Niech te charakterystyki określone przez:VS±{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {\ pm}}rexret=V±w{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = V \ pm a}
Odchylenie R ± na tej krzywoliniowej krzywej odciętej s zostanie zapisane:reR±res=∂R±∂tretres+∂R±∂xrexres=[∂R±∂t+(V±w)∂R±∂x]retres=0{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} R _ {\ pm}} {\ mathrm {d} s}} = {\ Frac {\ częściowe R _ {\ pm}} {\ częściowe t}} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} s}} + {\ frac {\ częściowy R _ {\ pm}} {\ częściowy x}} {\ frac {\ mathrm {d} x} { \ mathrm {d} s}} = \ left [{\ frac {\ częściowe R _ {\ pm}} {\ częściowe t}} + (V \ pm a) {\ frac {\ częściowe R _ {\ pm} } {\ częściowe x}} \ right] {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} s}} = 0}
Dlatego R ± jest wielkością zachowaną na krzywej charakterystycznej. Przecięcie krzywychi(które są niewiadomymi problemu) umożliwia obliczenie lokalnych wartości V i a . Ponadto znamy entropię, o której widzieliśmy, że była stała wzdłuż odpowiedniej linii prądu. Można z tego wywnioskować wszystkie lokalne wielkości termodynamiczne.
VS+{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {+}}VS-{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {-}}
Dwie podobne cechy mogą się przecinać. Na przecięciu, gdyby rozwiązania były regularne, wielkości fizyczne byłyby wielowartościowe. Ta niemożność jest przyczyną pojawienia się nieciągłości, które opisują relacje Rankine-Hugoniot .
Wyniki te można uzyskać za pomocą algebry liniowej . Ta metoda umożliwia uogólnienie na przypadek wielowymiarowy. Jest podstawą metod stosowanych do rozdzielczości cyfrowej.
Za pomocą algebry liniowej
Niech L i będzie jedną z wartości własnych po lewej (wektorze wierszowym) macierzy Jakobiana. Definiuje go:Ljajot=λjaLja{\ Displaystyle \ mathbf {L} _ {i} \ mathbf {J} = \ lambda _ {i} \ mathbf {L} _ {i}}
Mnożymy system przez ten wektor:
Lja(∂W.∂t+jot∂W.∂x)=Lja(∂W.∂t+λja∂W.∂x)=0{\ Displaystyle \ mathbf {L} _ {i} \ lewo ({\ Frac {\ częściowe \ mathbf {W}} {\ częściowe t}} + \ mathbf {J} {\ Frac {\ częściowe \ mathbf {W}) } {\ częściowe x}} \ right) = \ mathbf {L} _ {i} \ left ({\ frac {\ części \ mathbf {W}} {\ częściowe t}} + \ lambda _ {i} {\ frac {\ części \ mathbf {W}} {\ częściowy x}} \ right) = 0}
Charakterystykę definiujemy zależnością (wskaźnik oznaczający „wzdłuż ...”):VSja∈(VS0,VS+,VS-){\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {i} \ in ({\ mathcal {C}} _ {0}, {\ mathcal {C}} _ {+}, {\ mathcal {C}} _ {-})}rexret|VSja=λja(W.){\ Displaystyle \ lewo. {\ Frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ prawo | _ {{\ mathcal {C}} _ {i}} = \ lambda _ { i} (\ mathbf {W})}
Jeśli wprowadzimy to równanie w poprzednim, otrzymamy:Lja(∂W.∂t+∂W.∂xrexret|VSja)=LjareW.ret|VSja=0{\ Displaystyle \ mathbf {L} _ {i} \ lewo ({\ Frac {\ częściowe \ mathbf {W}} {\ częściowe t}} + {\ Frac {\ częściowe \ mathbf {W}} {\ częściowe x }} \ left. {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ right | _ {{\ mathcal {C}} _ {i}} \ right) = \ mathbf {L} _ {i} \ left. {\ Frac {\ mathrm {d} \ mathbf {W}} {\ mathrm {d} t}} \ right | _ {{\ mathcal {C}} _ { i}} = 0}
Więc W jest stałe . Jego wartość określają warunki brzegowe w :VSja{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {i}}(x0,t0){\ displaystyle (x_ {0}, t_ {0})}W.ja(x,t)=W.ja(x-λjat)=W.ja(x0-λjat0){\ Displaystyle W_ {i} (x, t) = W_ {i} (x- \ lambda _ {i} t) = W_ {i} (x_ {0} - \ lambda _ {i} t_ {0}) }
Regiony zależności, wpływów i warunków brzegowych
Dwie cechy i punkt M przechodzący przez A i B (patrz krzywa) niosą informacje zawarte w niezmienniku Riemanna, odpowiadającym fali propagowanej z tego punktu, w rosnącym kierunku t. Wartości w M zależą zatem od tej informacji i od entropii niesionej przez bieżącą linię przechodzącą przez ten punkt. Z dowolnego miejsca w domenie ABM zaczynają się niezmienniki, które przecinają się i . Wartości w dowolnym punkcie wewnętrznym są zatem powiązane z wartościami w M. Ta właściwość definiuje dziedzinę ABM jako dziedzinę wpływu wartości w M lub, która sprowadza się do tego samego, definiuje Dziedzina zależności M. W ten sam sposób definiujemy dziedzinę wpływu M przez cechy zaczynające się od tego punktu.
VS+{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {+}}VS-{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {-}}VS+{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {+}}VS-{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {-}}
Umożliwia to podanie warunków brzegowych w dziedzinie obliczeń:
- dla nadchodzących warunków wymagane są na ogół dwa warunki, odpowiadające niezmiennikowi przenoszonemu przez i entropii (lub dowolnemu zestawowi wartości równoważnych),VS-{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {-}}
- dla warunków wychodzących na ogół wymagany jest warunek, który odpowiada niezmiennikowi przewożonemu przez (lub dowolnej równoważnej ilości).VS+{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {+}}
W przypadku naddźwiękowym . Wartości w M zależą tylko od wartości w . W tym przypadku nie ma warunku brzegowego wychodzącego. Znaku tego można używać do obliczeń w celu wykonania przemiatania przestrzennego zamiast iteracji przestrzennej. Jest to metoda konwencjonalnie stosowana do obliczania dysz .
xb<xM{\ Displaystyle x_ {B} \, <\, x_ {M}}x<xM{\ Displaystyle x \, <\, x_ {M}}
Niezmienność według homothety
Najpierw interesuje nas system bez określenia zewnętrznego przyspieszenia. Jeśli mnożymy x i t równocześnie przez skalar (jednokładności w czasie i przestrzeni) równania Eulera pozostają niezmienione. Ich rozwiązanie jest więc identyczne. Skalowanie czasoprzestrzenne prowadzi do skalowania rozwiązania. Ta właściwość jest wykorzystywana w aerodynamice do uzasadnienia testów modelowych.
Właściwość niezmienności jest nadal prawdziwa w przypadku wyrażenia g, pod warunkiem że jest podzielone przez współczynnik skali. Eksperymentalnie wymaga to użycia wirówki . Ten rodzaj eksperymentu jest raczej stosowany w dziedzinie środowiska.
Analiza wymiarowa
Równania Eulera obejmują 6 wielkości ρ , V , p , e , T , g oraz 4 wymiary: czas, przestrzeń, masę, temperaturę. Twierdzenie Vaschy'ego-Buckinghama pokazuje zatem istnienie 2 bezwymiarowych zmiennych umożliwiających analizę układu. Te zmienne to na przykład liczba Macha i liczba Froude'a . Do zapisania tych liczb konieczne jest zdefiniowanie wielkości odniesienia, które są charakterystyczne dla badanego problemu. Zdefiniujmy następujące zmienne, które służą jako referencje:
- długość , na przykład promień krzywizny ściany w aerodynamice,L∗{\ Displaystyle L ^ {*}}
- prędkość , gęstość ρ * i temperaturę , na przykład wartości przed prądem (warunek brzegowy), z których wyprowadza się ciśnienie ,V∗{\ displaystyle V ^ {*}}T∗{\ Displaystyle T ^ {*}}p∗=ρ∗RMT∗{\ Displaystyle p ^ {*} = \ rho ^ {*} {\ Frac {R} {M}} T ^ {*}}
- druga prędkość rozchodzenia się fal dźwiękowych, na przykład dla gazu doskonałego,w∗{\ displaystyle a ^ {*}}w∗=γ∗RMT∗{\ Displaystyle a ^ {*} = {\ sqrt {\ gamma ^ {*} {\ Frac {R} {M}} T ^ {*}}}}
- energia wewnętrzna , na przykład dla gazu doskonałego,mi∗{\ displaystyle e ^ {*}}mi∗=p∗(γ∗-1)ρ∗=w∗2γ∗(γ∗-1){\ Displaystyle e ^ {*} = {\ Frac {p ^ {*}} {(\ gamma ^ {*} - 1) \ rho ^ {*}}} = {\ Frac {{a ^ {*}} ^ {2}} {\ gamma ^ {*} (\ gamma ^ {*} - 1)}}}
- przyspieszenie .sol∗{\ displaystyle g ^ {*}}
Następnie możemy zdefiniować dla tego problemu następujące zmienne zredukowane:
- przestrzeń |
x~=xL∗{\ Displaystyle {\ tilde {\ mathbf {x}}} = {\ Frac {\ mathbf {x}} {L ^ {*}}}}
|
- czas |
t~=V∗L∗t{\ Displaystyle {\ tilde {t}} = {\ Frac {V ^ {*}} {L ^ {*}}} \, t}
|
- Masa objętościowa |
ρ~=ρρ∗{\ displaystyle {\ tilde {\ rho}} = {\ frac {\ rho} {\ rho ^ {*}}}}
|
- energia wewnętrzna |
mi~=mimi∗{\ Displaystyle {\ tilde {e}} = {\ Frac {e} {e ^ {*}}}}
|
- nacisk |
p~=pρ∗w∗2{\ Displaystyle {\ tilde {p}} = {\ Frac {p} {\ rho ^ {*} {a ^ {*}} ^ {2}}}}
|
oraz zmienne bezwymiarowe:
- liczba Macha |
Mw=V∗w∗{\ Displaystyle {\ mathcal {M}} a = {\ Frac {V ^ {*}} {a ^ {*}}}}
|
- numer Froude'a |
far=V∗2sol∗L∗{\ Displaystyle {\ mathcal {F}} r = {\ Frac {{V ^ {*}} ^ {2}} {g ^ {*} L ^ {*}}}}
|
Układ równań o zredukowanej wartości jest napisany:
- zachowanie masy∂ρ~∂t~+∇x~⋅(ρ~V~)=0{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe {\ tilde {\ rho}}} {\ częściowe {\ tilde {t}}}} + \ mathbf {\ nabla} _ {\ tilde {x}} \ cdot ({\ tylda {\ rho}} \, {\ tilde {\ mathbf {V}}}) = 0}
gdzie jest międzywymiarowy operator nabla używany w przekształconym układzie współrzędnych.∇x~=L∗∇{\ Displaystyle \ mathbf {\ nabla} _ {\ tilde {x}} = L ^ {*} \ mathbf {\ nabla}}
∂∂t~(ρ~V~)+∇x~⋅(ρ~V~V~)=-1γ∗Mw2∇x~p~+1farρ~sol~{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe {\ tilde {t}}}} ({\ tilde {\ rho}} {\ tilde {\ mathbf {V}}}) + \ mathbf {\ nabla} _ {\ tilde {x}} \ cdot ({\ tilde {\ rho}} \, {\ tilde {\ mathbf {V}}} {\ tilde {\ mathbf {V}}}) = - {\ frac { 1} {\ gamma ^ {*} {\ mathcal {M}} a ^ {2}}} \ mathbf {\ nabla} _ {\ tilde {x}} \, {\ tilde {p}} + {\ frac {1} {{\ mathcal {F}} r}} \, {\ tilde {\ rho}} \, {\ tilde {\ mathbf {g}}}}
- oszczędzanie energii∂(ρ~mi~)∂t~+∇x~⋅[(ρ~mi~+p~)V~]=Mw2farρ~sol~⋅V~{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ({\ tilde {\ rho}} {\ tilde {E}})} {\ częściowe {\ tilde {t}}}} + \ nabla _ {\ tilde {x}} \ cdot \ left [\ left ({\ tilde {\ rho}} {\ tilde {E}} + {\ tilde {p}} \ right) {\ tilde {\ mathbf {V}}} \ right] = { \ frac {{\ mathcal {M}} a ^ {2}} {{\ mathcal {F}} r}} \, {\ tilde {\ rho}} \, {\ tilde {\ mathbf {g}}} \ cdot {\ tilde {\ mathbf {V}}}}
z
mi~=mi∗w∗2mi~+Mw2|V~|22{\ Displaystyle {\ tilde {E}} = {\ Frac {e ^ {*}} {{a ^ {*}} ^ {2}}} \, {\ tilde {e}} + {\ mathcal {M }} a ^ {2} {\ frac {| {\ tilde {\ mathbf {V}}} | ^ {2}} {2}}}
W przypadku gazu doskonałego
mi∗w∗2=1γ∗(γ∗-1){\ Displaystyle {\ Frac {e ^ {*}} {{a ^ {*}} ^ {2}}} = {\ Frac {1} {\ gamma ^ {*} (\ gamma ^ {*} - 1 )}}}
Podejście to można wykorzystać do analizy równań i przeprowadzania eksperymentów uważanych za realistyczne, ponieważ spełniają one kryterium analogii w zakresie liczb bezwymiarowych.
Nieściśliwe jednorodne przepływy
Mówi się, że przepływ płynu jest nieściśliwy i jednorodny, gdy można pominąć jego zmiany gęstości. W tym przypadku napisano system praw zachowania:
- Równanie nieściśliwości (zbieżne z równaniem bilansu masy dla płynu jednorodnego)∇⋅V=0{\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {V} = 0}
- zachowanie pędu∂V∂t+∇⋅(VV)=-1ρ∇p+sol{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ mathbf {V}} {\ częściowe t}} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ lewo (\ mathbf {V} \ mathbf {V} \ prawej) = - {\ frac {1} {\ rho}} \ nabla p + \ mathbf {g}}
- oszczędzanie energii:∂mi∂t+∇⋅(miV)=sol⋅V{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe E} {\ częściowe t}} + \ nabla \ cdot (E \ mathbf {V}) = \ mathbf {g} \ cdot \ mathbf {V}}
Zauważamy, że zasada zachowania energii jest oddzielona od innych równań zachowania, to znaczy, że możemy określić prędkość i ciśnienie niezależnie od równania energii.
Stały, nieściśliwy przepływ
Przeanalizujmy konkretny przypadek przepływu stacjonarnego i nieściśliwego zdefiniowanego przez:∇⋅(H.V)=sol⋅V{\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ lewo (H \ mathbf {V} \ prawej) = \ mathbf {g} \ cdot \ mathbf {V}}
Jeśli siła zewnętrzna jest zachowawcza , a mianowicie g = - ∇ φ , to otrzymujemy rozszerzając pierwszy człon i uwzględniając równanie nieściśliwości:V⋅∇(H.+φ)=0{\ Displaystyle \ mathbf {V} \ cdot \ nabla (H + \ varphi) = 0}
To wyrażenie wskazujące, że H + φ jest stała wzdłuż bieżącej linii, jest twierdzeniem Bernoulliego .
Równanie ewolucji wirowości, wektor wirowy
Wprowadzamy wirowość, ω=∇×V{\ displaystyle \ mathbf {\ omega} = \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {V}}
Wielkość ta jest bardzo przydatna do charakteryzowania rotacji elementów płynnych w przepływie, które niekoniecznie odpowiadają krzywizny linii prądu. Czasami wprowadzamy również wektor wirowy, zdefiniowany jako . Ta definicja jest taka, że dla stałego obrotu (rotacji płynu w bloku) norma wektora wiru odpowiada prędkości kątowej obrotu.
Ω=ω/2{\ Displaystyle \ mathbf {\ Omega} = \ mathbf {\ omega} / 2}
Otrzymujemy równanie ewolucji wirowości (lub wektora wirowości), biorąc rotację równania pędu z uwzględnieniem tożsamości :∇×∇p: =0{\ Displaystyle \ nabla \ razy \ nabla p: = 0}∇×∂V∂t+∇×(Ω×V)=∇×sol{\ Displaystyle \ nabla \ razy {\ Frac {\ częściowe \ mathbf {V}} {\ częściowe t}} + \ nabla \ times (\ mathbf {\ Omega} \ times \ mathbf {V}) = \ nabla \ times \ mathbf {g}}
Korzystanie z tożsamości∇×(Ω×V)=(∇⋅V)Ω-(∇⋅Ω)V+Ω⋅∇V-V⋅∇Ω{\ Displaystyle \ nabla \ times (\ mathbf {\ Omega} \ times \ mathbf {V}) = (\ nabla \ cdot \ mathbf {V}) \ mathbf {\ Omega} - (\ nabla \ cdot \ mathbf {\ Omega}) \ mathbf {V} + \ mathbf {\ Omega} \ cdot \ nabla \ mathbf {V} - \ mathbf {V} \ cdot \ nabla \ mathbf {\ Omega}}
i zauważając, że ostatnie dwa wyrazy są równe zero, pierwszy z równania ciągłości, drugi ze względu na tożsamość, możemy napisać równanie transportu wektora wiru:∇⋅(∇×V): =0{\ Displaystyle \ nabla \ cdot (\ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {V}): = 0}reΩret=Ω⋅∇V{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {D} \ mathbf {\ Omega}} {\ mathrm {D} t}} = \ mathbf {\ Omega} \ cdot \ nabla \ mathbf {V}}
Ta ilość zwykle nie jest przechowywana. Jednak zauważamy, że jeśli początkowo wynosi zero, tak pozostanie. Ponadto w przypadku wiru płaskiego Ω jest prostopadła do płaszczyzny zawierającej prędkość.
Utrzymanie prędkości ruchu
Przepływ prędkości definiujemy jako całkę na zamkniętym konturze :
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}Γ=∮VSV⋅rel=∮VSV⋅rex{\ displaystyle \ Gamma = \ oint _ {\ mathcal {C}} \ mathbf {V} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} = \ oint _ {\ mathcal {C}} \ mathbf {V} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {x}}
Interesuje nas czasowa zmienność tej wielkości, czyli losy elementów płynu należących do tego konturu:
reΓret=∮VSreVret⋅rex+∮VSV⋅reV{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} \ Gamma} {\ mathrm {d} t}} = \ anint _ {\ mathcal {C}} {\ Frac {\ mathrm {d} \ mathbf {V}} {\ mathrm {d} t}} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {x} + \ oint _ {\ mathcal {C}} \ mathbf {V} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {V}}
Złoto . Kontur jest zamknięty, więc druga całka wynosi zero.
V⋅reV=re(12V2){\ Displaystyle \ mathbf {V} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {V} = \ mathrm {d} \ lewo ({\ Frac {1} {2}} V ^ {2} \ prawej)}
Dla przepływu, który zakłada się bez nieciągłości, a zatem izentropowy, entalpię określa zależność termodynamiczna:regodz=repρ⇒∇godz=1ρ∇p{\ Displaystyle \ mathrm {d} h = {\ Frac {\ mathrm {d} p} {\ rho}} \ qquad \ Rightarrow \ qquad \ nabla h = {\ frac {1} {\ rho}} \ nabla p }
Możemy zatem zapisać zachowanie pędu w postaci:reVret=-∇godz{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} \ mathbf {V}} {\ mathrm {d} t}} = - \ nabla h}
To znaczy powierzchnia ograniczona przez normalną . W Stokes twierdzenie można napisać, ze względu na tożsamość :S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}nie{\ displaystyle \ mathbf {n}}∇×∇p: =0{\ Displaystyle \ nabla \ razy \ nabla p: = 0}reΓret=∫S(∇×reVret)⋅nieres=-1ρ∫S(∇×∇p)⋅nieres=0{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} \ Gamma} {\ mathrm {d} t}} = \ int _ {\ mathcal {S}} (\ nabla \ times {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {V}} {\ mathrm {d} t}}) \ cdot \ mathbf {n} \, \ mathrm {d} s = - {\ frac {1} {\ rho}} \ int _ {\ mathcal { S}} (\ nabla \ times \ nabla p) \ cdot \ mathbf {n} \, \ mathrm {d} s = 0}
Obieg prędkości jest utrzymywany w przepływie bez nieciągłości.
Bibliografia
-
(w) Demetrios Christodoulou , „ Równania Eulera przepływów ściśliwych ” , Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , tom. 44, n o 4,2007( czytaj online )
-
Leonhard Euler , „ General Principles of Fluid Movement ”, Wspomnienia Królewskiej Akademii Nauk i Belles Letters of Berlin , vol. 11,1757( czytaj online )
-
Pierre-Simon de Laplace , „ O prędkości dźwięku w powietrzu i wodzie ”, Annales de Chimie et de Physique III ,1816( czytaj online )
-
(De) Bernhard Riemann , „ Uber die Fortpfanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungswete” ” , Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalishe Klasse , vol. 8,1860( czytaj online )
-
(w) Alexandre J. Chorin i Jerrold E. Marsden , A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics , Springer ( DOI 10.1007 / 978-1-4612-0883-9 , czytaj online )
-
(in) S. Tsangaris and Th. Pappou , " Analytical Solutions for the Unsteady Compressible Flow Equations as Test Cases for the Verification of Numerical Schemes " , ADA390566 Report ,2000( czytaj online )
-
Eric Goncalvès da Silva , " Numeryczna rozdzielczość równań Eulera 1D ", HAL cel-00556980 ,2011( czytaj online )
-
(w) Thomas H. Pullian , „ Równania Eulera ” , uwaga NASA ,1994( czytaj online )
-
(in) Eleuterio F.Toro , Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics , Springer ,2009( ISBN 978-3-540-25202-3 )
-
(en) Lev Landau , Evgeny Lifshitz , Fluid Mechanics, Pergamon Press , 1987 ( ISBN 0-08-033933-6 ) [1]
Powiązane artykuły
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">