Równanie Orra-Sommerfelda
Równanie Orr-Sommerfeld w mechanice płynów jest wartością własną równanie opisujące rozwój zaburzeń nieskończenie w lepkiego przepływu równoległego. Umożliwia zatem sprawdzenie stabilności liniowej przepływu i dlatego jest elementem przewidywania przejścia laminarno-turbulentnego .
To równanie zostało nazwane na cześć pracy Williama McFaddena Orra i Arnolda Sommerfelda .
Sformułowanie
Zredukowane zmienne
Interesuje nas równoległy nieściśliwy przepływ opisany równaniami Naviera-Stokesa zapisanymi w zmiennych zredukowanych obejmujących liczbę Reynoldsa na podstawie charakterystycznej długości L 0 i charakterystycznej prędkości U 0 przepływu
∂V~∂t~+(V~⋅∇x~)V~=-∇x~p~+1Rmi∇x~2V~∇x~⋅V~=0V~(x,0)=V~0(x){\ displaystyle {\ zacząć {tablica} {rcl} {\ frac {\ częściowa {\ tylda {\ mathbf {V}}}} {\ częściowa {\ tylda {t}}}} + ({\ tylda {\ mathbf {V}}} \ cdot \ nabla _ {\ tylda {x}}) {\ tylda {\ mathbf {V}}} & = & - \ nabla _ {\ tylda {x}} \, {\ tylda {p }} + {\ frac {1} {Re}} \ nabla _ {\ tylda {x}} ^ {2} {\ tylda {\ mathbf {V}}} \\ [0,6em] \ nabla _ {\ tylda {x}} \ cdot {\ tylda {\ mathbf {V}}} & = & 0 \\ [0.6em] {\ tylda {\ mathbf {V}}} (\ mathbf {x}, 0) & = & { \ tylda {\ mathbf {V}}} _ {0} (\ mathbf {x}) \ end {tablica}}}
Demonstracja
Zaczynając od nieściśliwego systemu Navier-Stokes
∂V∂t+(V⋅∇x)V=-1ρ∇xp+ν∇x2V∇x⋅V=0{\ displaystyle {\ zacząć {tablica} {rcl} {\ frac {\ częściowy \ mathbf {V}} {\ częściowy t}} + (\ mathbf {V} \ cdot \ nabla _ {x}) \ mathbf {V } & = & - {\ frac {1} {\ rho}} \ nabla _ {x} \, p + \ nu \, \ nabla _ {x} ^ {2} \ mathbf {V} \\ [0.6em ] \ nabla _ {x} \ cdot \ mathbf {V} & = & 0 \ end {tablica}}}gdzie ν jest lepkością kinematyczną , dla tego zagadnienia definiuje się następujące wielkości odniesienia: długość L 0 i prędkość U 0, z którymi tworzy się liczbę Reynoldsa charakterystyczną dla rozpatrywanego problemu
Rmi=U0L0ν{\ displaystyle Re = {\ frac {U_ {0} L_ {0}} {\ nu}}}Zmienne bezwymiarowe są zatem
x~=xL0,V~=VU0,t~=U0tL0,p~=pρU02{\ displaystyle {\ tylda {x}} = {\ frac {x} {L_ {0}}} \ ,, \; \; \; {\ tylda {\ mathbf {V}}} = {\ frac {\ mathbf {V}} {U_ {0}}} \ ,, \; \; \; {\ tylda {t}} = {\ frac {U_ {0} t} {L_ {0}}} \ ,, \ ; \; \; {\ tylda {p}} = {\ frac {p} {\ rho U_ {0} ^ {2}}}}W tym nowym systemie napisany jest operator gradientu
∇x~=L0∇x{\ displaystyle \ nabla _ {\ tylda {x}} = L_ {0} \ nabla _ {x}}Pozostaje tylko wprowadzić te wielkości do powyższego układu i pomnożyć przez L 0 U 0 -2 .
Kontynuacja dotycząca tylko zwymiarowanych zmiennych zignoruje tyldy na zmiennych, a gradient będzie odnotowany bez indeksu.
Stabilność
Na stan początkowy nakłada się zakłócenie o słabej amplitudzie
V(x,0)=V0(x)+V'(x){\ displaystyle \ mathbf {V} (\ mathbf {x}, 0) = \ mathbf {V} _ {0} (\ mathbf {x}) + \ mathbf {V} '(\ mathbf {x})}Nowe rozwiązanie układu jest ( U , q) takie, że
U=V+V',q=p+p'{\ displaystyle \ mathbf {U} = \ mathbf {V} + \ mathbf {V} '\ ,, \; \; \; q = p + p'}Biorąc pod uwagę | V' | << | V | i dlatego napisano lekceważenie systemu związanego z zakłóceniami
(V'⋅∇)V'{\ displaystyle (\ mathbf {V} '\ cdot \ nabla) \ mathbf {V}'}
∂V'∂t+(V'⋅∇)V+(V⋅∇)V'≃-∇p'+1Rmi∇2V'∇⋅V'=0{\ displaystyle {\ begin {tablica} {rcl} {\ frac {\ częściowy \ mathbf {V} '} {\ częściowy t}} + (\ mathbf {V}' \ cdot \ nabla) \ mathbf {V} + (\ mathbf {V} \ cdot \ nabla) \ mathbf {V} '& \ simeq & - \ nabla \, p' + {\ frac {1} {Re}} \, \ nabla ^ {2} \ mathbf { V} '\\ [0.6em] \ nabla \ cdot \ mathbf {V}' & = & 0 \ end {array}}}System jest
- stabilny, jeśli | V' | jest ograniczona
łykx,t|V'|<ε{\ displaystyle \ sup _ {\ mathbf {x}, t} | \ mathbf {V} '| <\ epsilon} za wszystko takie jak
fa(ε){\ displaystyle f (\ epsilon)}łykx|V0'|<fa{\ displaystyle \ sup _ {\ mathbf {x}} | \ mathbf {V} _ {0} '| <f}
- asymptotycznie stabilny, jeśli jest stabilny, a ponadto
Limt→∞|V'|=0{\ displaystyle \ lim \ limity _ {t \ rightarrow \ infty} | \ mathbf {V} '| = 0}
Równania Rayleigha i Orra-Sommerfelda
Poniższy przykład sprowadza badanie stabilności do ośrodka w płaszczyźnie równoległej, takiego jak V=(ty,0,0),V'=(v1,v2,0){\ displaystyle \ mathbf {V} = (u, 0,0) \ ,, \; \; \; \ mathbf {V} '= (v_ {1}, v_ {2}, 0)}
Jak pokazuje twierdzenie Squire'a, branie pod uwagę składowej poprzecznej nie jest użyteczne.
Równanie na zakłócenia staje się
∂V'∂t+ty∇V'=-∇p'+1Rmi∇2V'{\ displaystyle {\ frac {\ częściowy \ mathbf {V} '} {\ częściowy t}} + u \ nabla \ mathbf {V}' = - \ nabla \, p '+ {\ frac {1} {re} } \, \ nabla ^ {2} \ mathbf {V} '}
Równanie Rayleigha
Najpierw ustawmy się w przypadku nielepkim i wprowadźmy bieżącą funkcję ψ taką, że
v1=∂Ψ∂tak,v2=-∂Ψ∂x{\ displaystyle v_ {1} = {\ frac {\ częściowy \ psi} {\ częściowy y}} \ ,, \; \; \; v_ {2} = - {\ frac {\ częściowy \ psi} {\ częściowy x}}}Poszukujemy rozwiązań w postaci fal pulsacyjnych ω i wektora falowego k
Ψ=Φ(k,tak,ω)mija(kx-ωt),p'=sol(k,tak,ω)mija(kx-ωt){\ displaystyle \ Psi = \ Phi (k, y, \ omega) e ^ {i (kx- \ omega t)} \ ,, \; \; \; p '= g (k, y, \ omega) e ^ {i (kx- \ omega t)}}Podwójna transformacja Fouriera w x i t pozwala na zapis
(ω-tyk)reΦretak+kΦretyretak=ksol(ω-tyk)Φ=resolretak{\ displaystyle {\ zacząć {tablica} {rcl} (\ omega -uk) {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ mathrm {d} r}} + k \ phi {\ frac {\ mathrm { d} u} {\ mathrm {d} y}} & = & kg \\ [0,6em] (\ omega -uk) \ Phi & = & {\ frac {\ mathrm {d} g} {\ mathrm {d } y}} \ end {tablica}}}Ten system jest uproszczony, aby dać równanie Rayleigha (przypuszczamy, że Ψ i u są co najmniej dwukrotnie różniczkowe)
(ty-ωk)(re2Φretak2-k2Φ)-Φre2tyretak2=0{\ displaystyle \ po lewej (u - {\ frac {\ omega} {k}} \ po prawej) \ po lewej ({\ frac {\ matematyka {d} ^ {2} \ Phi} {\ matematyka {d} r ^ { 2}}} - k ^ {2} \ Phi \ po prawej) - \ Phi {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} r ^ {2}}} = 0}Niestabilność wymaga, aby fala nie była tłumiona, a zatem urojona część prędkości fazowej c = ω / k jest dodatnia.
To równanie musi być rozwiązane z warunkami brzegowymi reprezentatywnymi dla problemu. Na przykład ze ścianami w y 1 i y 2 mamy
Φ(tak1)=Φ(tak2)=0{\ styl wyświetlania \ Phi (y_ {1}) = \ Phi (y_ {2}) = 0}Problemem jest problem wartości własnej dopuszczający rozwiązania dla par (k, ω), rozwiązania relacji dyspersji f (k, ω) = 0.
Równanie Orra-Sommerfelda
Ta sama analiza jak powyżej z terminem lepkości dla problemu Couette'a lub Poiseuille'a prowadzi do równania
(ty-vs)(re2Φretak2-k2Φ)-Φre2tyretak2=1jakRmi(re4Φretak4-2k2re2Φretak2+k4Φ){\ displaystyle (uc) \ lewo ({\ Frac {\ matematyka {d} ^ {2} \ Phi} {\ matematyka {d} r ^ {2}}} - k ^ {2} \ Phi \ po prawej) - \ Phi {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} r ^ {2}}} = {\ frac {1} {ikRe}} \ po lewej ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {4} \ Phi} {\ matematyka {d} r ^ {4}}} - 2k ^ {2} {\ frac {\ matematyka {d} ^ {2} \ Phi} {\ matematyka {d } y ^ {2}}} + k ^ {4} \ Phi \ po prawej)}Relacja dyspersji jest tutaj f (k, ω, Re) = 0.
Za pomocą rozdzielczości numerycznej pokazujemy, że przepływ Poiseuille'a jest niestabilny dla Re> 5772,22. Powyżej tej wartości i przy bardzo słabych zakłóceniach pojawiają się fale Tollmiena-Schlichtinga .
Dla przepływu Couette żadna wartość Re nie spełnia kryterium niestabilności liniowej.
Niestabilność nieliniowa
Jednak brak niestabilności liniowej nie gwarantuje stabilności dla zaburzenia o skończonej amplitudzie. Na przykład przepływ Poiseuille'a jest niestabilny od Re = 2900 dla danej amplitudy (patrz krzywa).
Bibliografia
-
(w) Eckert, „ Kłopotliwe narodziny teorii stabilności hydrodynamicznej: Sommerfeld i problem turbulencji ” , European Physical Journal H , tom. 35,2010, s. 29-51 ( czytaj online )
-
(w) W. Mark F. Orr, " Stabilność złota Niestabilność stałych ruchów cieczy i doskonałe lepkiej cieczy. Część I: Idealny płyn ” , Materiały Królewskiej Akademii Irlandzkiej . Sekcja A: Nauki Matematyczne i Fizyczne , tom. 27,1907, s. 9-68 ( czytaj online )
-
(w) W. Mark F. Orr, " Stabilność złota Niestabilność stałych ruchów cieczy i doskonałe lepkiej cieczy. Część II: Lepki płyn ” , Materiały Królewskiej Akademii Irlandzkiej . Sekcja A: Nauki Matematyczne i Fizyczne , tom. 27,1907, s. 69-138 ( czytaj online )
-
(De) A. Sommerfeld, „ Ein Beitrag zur hydrodynamische Erklärung der turbulenten Flüssigkeitsbewegungen ” , Proceedings of 4th International Congress of Mathematics , Rzym, tom. III,1908, s. 116-124
-
(w) HB Squire, „ O stabilności trójwymiarowych zaburzeń przepływu lepkiego płynu w ścianach równoległych ” , Proceedings of the Royal Society Series A , tom. 142 N O 847,1933, s. 621-628 ( czytaj online )
-
(w) PJ Schmid i DS Henningson, Stability and Transition in Shear Flows , Springer ,1985, 558 s. ( ISBN 978-1-4612-6564-1 , czytaj online )
-
SA Orszag, „ Dokładne rozwiązanie równania stabilności Orra – Sommerfelda ”, Journal of Fluid Mechanics , tom. 50, n o 4,1996, s. 689-703 ( DOI 10.1063/1.868919 , kod bib 1996PhFl.... 8.1424 H )
-
(w) A. Georgescu Hydrodynamic Stability Theory , Dordrecht / Boston / Lancaster, Martinus Nijhoff Publishers ,2001, 306 s. ( ISBN 90-247-3120-8 , czytaj online )
-
(w) Paul Manneville, niestabilność, chaos i turbulencje. Wprowadzenie do dynamiki nieliniowej i systemów złożonych , Imperial College Press ,2004, 391 s. ( ISBN 1-86094-483-3 , przeczytaj online )
Powiązane artykuły
Linki zewnętrzne