W logice matematycznej The spełnialności lub spełnialności i ważność są elementarne pojęcia semantyczne. Wzór jest spe , jeśli jest to możliwe, aby znaleźć interpretacji ( modelu ), sposób interpretacji wszystkich elementów składowych o wzorze, co powoduje, że wzór prawdziwe. Formuła jest uniwersalna , lub skrótowo ważna, jeśli dla wszystkich interpretacji formuła jest prawdziwa. Przeciwnymi pojęciami są niespełnienie lub niespełnienie i nieważność: formuła jest niezadowalająca, jeśli żadna z jej interpretacji nie powoduje, że formuła jest prawdziwa i nieważna, jeśli istnieje interpretacja, która sprawia, że formuła jest fałszywa.
Wszystkie cztery koncepcje można zastosować do teorii . Zatem teoria jest zadowalająca, jeśli istnieje interpretacja, która sprawia, że każdy z jej aksjomatów jest prawdziwy, niezadowalający, jeśli jakakolwiek interpretacja czyni jeden z aksjomatów fałszywym.
W teorii modeli ( logiki pierwszego rzędu ) formuła zapisana w określonym języku, określona przez podpis , jest interpretowana w strukturze tego samego podpisu. Formuła może zawierać dowolne zmienne. Następnie mówimy, że formuła jest spełniona w strukturze, jeśli istnieją elementy podstawowego zbioru tej struktury, które zastępując jej zmienne swobodne, sprawiają, że formuła jest prawdziwa. Formuła jest zadowalająca, gdy jest zadowalająca w określonej strukturze.
Jeśli A jest strukturą, φ formułą i ma zbiór elementów podstawowego zbioru tej struktury, które spełniają φ, to oznaczymy
A ⊧ φ [a].Jeśli φ jest formułą zamkniętą spełnianą przez A , tj. Nie ma zmiennej wolnej , to po prostu piszemy:
A ⊧ φ.W tym przypadku możemy też powiedzieć, że jest modelem dla cp lub φ jest prawdziwa w A . Jeśli T jest zbiorem formuł (sumą teorii) spełnianych przez A , piszemy
A ⊧ T.Formalna definicja spełnienia wzoru w strukturze, dla pewnej interpretacji zmiennych wolnych w tym wzorze, wywodzi się rekurencyjnie z definicji spełnienia formuł atomowych.