Sznurowadło (matematyka)

W matematyce , zwłaszcza w złożonych analizy i topologii , A koronka jest modelowanie „pętlę”. Jest to ścieżka ciągła i zamknięta, to znaczy, że jej końce są zdezorientowane. Na przykład każdy okrąg na płaszczyźnie euklidesowej jest koronką.

Definicje

Niech to przestrzeń topologiczna . $X$

Definicja 1:

Nazywamy koronki na każdej ciągłego stosowania takich jak . $X$ ${\ Displaystyle \ gamma \ ,: \, [0,1] \ rightarrow X}$ ${\ Displaystyle \ gamma (0) = \ gamma (1)}$
Innymi słowy, sznurowanie to ścieżka, na której dwa końce ( punkt początkowy i końcowy ) są takie same. $X$ $X$

Definicja 2:

Nazywamy koronki na każdej ciągłego stosowania robaków , gdzie oznacza okrąg jednostkowy . $X$ $S ^ {1}$ $X$ $S ^ {1}$ ${\ displaystyle \ {z \ in \ mathbb {C} \ mid | z | = 1 \}}$
S 1 może być traktowane jako iloraz z identyfikując 0 ~ 1. $[0,1]$

Zbiór wszystkich sznurowadeł w X nazywa się przestrzeń pętli z X .

W złożonej analizie interesują nas koronki, które są również „prostowalnymi krzywiznami”

Mówi się, że pętla f jest prosta, gdy z równości f ( a ) = f ( b ) wynika albo, że a = b , albo że . Intuicyjnie oznacza to, że koronka rysuje tylko jedną pętlę. Możesz także zdefiniować pętle wielokątne lub klasowe (zobacz Ścieżki ). Terminy proste odchylenie i krzywa Jordana są synonimami. ${\ displaystyle \ {a, b \} = \ {0,1 \}}$ $C ^ k$

Indeks odchylenia w płaszczyźnie zespolonej

W tym przypadku możemy zdefiniować indeks odchylenia względem punktu : odpowiada on liczbie ( względnej liczby całkowitej ) zwojów wykonanych przez odchylenie wokół tego punktu. ${\ displaystyle X = \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {ja} (\ gamma, z_ {0})}$ $\gamma$ ${\ Displaystyle Z_ {0} \ in \ mathbb {C} \ smallsetminus \ gamma ([0,1])}$

Możemy to uzyskać, obliczając:

{\ displaystyle \ operatorname {I} (\ gamma, z_ {0}) = {\ Frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ gamma} {\ Frac {\ mathrm {d} z} { z – z_ {0}}}}

Zobacz też

Homotopia
Łączność za pomocą łuków
Prosta łączność
Przestrzeń na sznurowadła
Grupa podstawowa
Wolne od odchylenia (w)
Kompleksowa analiza | Twierdzenie całkowe Cauchy'ego | Twierdzenie o resztach

Uwagi

krzywa jest naprawienia jeśli wielokąty wpisany w nią są równomiernie ograniczonej długości. „ Długość łuku ”.