Twierdzenie niemożność strzałki , zwany także „Paradoks strzałki” (nazwany amerykański ekonomista Kenneth Arrow ) jest matematycznym potwierdzenie w warunkach szczególnych, podniesiony paradoksu i opisany w 1785 roku przez Nicolasa de Condorcet . Załóżmy, że każdy wyborca może wyrazić swoją opinię jedynie jakościowo, wskazując, w jaki sposób ocenia rozważane opcje względem siebie. Pomiędzy dwiema opcjami wyborca wskazuje, którą preferuje lub czy jest mu obojętny, z drugiej strony nie może wyrazić intensywności swoich preferencji. W tym kontekście nie ma niepodważalnego procesu wyboru społecznego, który pozwala na wyrażenie spójnej hierarchii preferencji dla społeczności z agregacji indywidualnych preferencji wyrażanych przez każdego członka tej samej społeczności. W przypadku Condorcet nie ma prostego systemu zapewniającego taką spójność. Arrow stara się wykazać, pod warunkiem akceptacji jego założeń, że nie ma w ogóle systemu zapewniającego spójność, z wyjątkiem takiego, w którym proces wyboru społecznego zbiega się z procesem wyboru jednej jednostki, czasami nazywanej dyktatorem , niezależnej od reszty społeczeństwa.
Nicolas de Condorcet ogłoszonych w 1785 roku w swojej książce Esej o stosowaniu analizy na prawdopodobieństwie orzeczeń wydanych do wielu głosów paradoks Condorcet , czyli pomysł, zgodnie z którym określenie wspólnego stanowiska do kilku wyborców podchodzi przeciwko trudnościom logicznym, w szczególności nieprzestrzeganiu zasady przechodniości .
Twierdzenie to zawdzięcza Kennethowi Arrowowi , zdobywcy w 1972 roku nagrody Banku Szwecji w dziedzinie Nauk Ekonomicznych im. Alfreda Nobla, powszechnie nazywanej Nagrodą Nobla w dziedzinie ekonomii , który wystawił w swojej pracy magisterskiej i opublikował ją w 1951 roku w swojej książce Social Choice oraz wartości indywidualne ( Wybór społeczny i wartości indywidualne ).
Jeśli osoba mająca preferencje stawia opcję A przed opcją B, obecność trzeciej opcji C, przy wszystkich innych czynnikach równych, nie powinna w zasadzie odwracać tej preferencji. Mówi się, że świadczy to o konsekwencji jego wyboru.
FormalizowanieDla matematyków to, co ekonomiści nazywają „preferencjami”, odpowiada całkowitemu przedrządowi . W szczególności może to być porządek całkowity (mówi się wtedy o „ścisłych preferencjach”).
Podobnie, „preferencje” jednostki odpowiadają kolejności, jaką jednostka ustala między dostępnymi jej opcjami. Mówi się, że preferencje te są surowe, gdy dana osoba nigdy nie ustawia dwóch równych opcji. Aby opis tego pojęcia był kompletny, zakłada się, że kolejność, jaką jednostka ustala pomiędzy różnymi istniejącymi opcjami, nie jest modyfikowana przez dodanie dodatkowych opcji.
Profil preferencji to nazwa nadana do „grupy” indywidualnych preferencji. Preferencje społeczne nazywamy preferencjami, które obowiązują na poziomie społecznym.
Chodzi o agregację zbioru indywidualnych preferencji w zbiorową preferencję, innymi słowy zbioru indywidualnych ładów w ład społeczny . Z definicji porządek zagregowany musi zatem zależeć tylko od indywidualnych preferencji, w znaczeniu nadanym temu słowu powyżej: intensywność indywidualnych preferencji nie może interweniować, ani charakter sklasyfikowanych obiektów, ani żadne zewnętrzne kryterium.
Kilka przykładów :
Funkcję wyboru społecznego nazywamy operacją przejścia od preferencji indywidualnych do preferencji zbiorowych.
Twierdzenie Arrowa znane jest w następującej postaci.
Dla co najmniej trzech opcji wyboru i dwóch jednostek nie istnieje funkcja wyboru społecznego spełniająca następujące właściwości:
W innej wersji twierdzenia jednomyślność można zastąpić następującymi dwiema hipotezami:
We wszystkich przypadkach istnieje ranking kandydatów, a nie ich punktacja , co będzie jedną z przyczyn niestabilności, powszechnie preferowanym kandydatem od tego, który podąża za nim przez wyborcę, który nie wyróżnia się w swoim rankingu kandydata, który nieco woli tego, który za nim podąża.
Dowód jest bardzo techniczny i opiera się na kilku lematach, które wyprowadza się z poszczególnych przypadków. Najczęściej zakładamy istnienie procedury wyboru społecznego weryfikującej warunki powszechności, jednomyślności i obojętności na nieistotne opcje i pokazujemy, że procedura ta pokrywa się z wyborami danej jednostki.
Dokładniej, niech X oznacza całą populację. Część F tej populacji uważa się za decydującą, jeśli funkcja wyboru społecznego daje w rezultacie listę preferencji jednostek z części F, gdy mają one te same preferencje indywidualne. Następnie pokazujemy, że zbiór tych decydujących części F tworzy ultrafiltr na X. Gdy X jest skończony, ultrafiltr jest trywialny, co oznacza, że wśród elementów ultrafiltru istnieje decydująca część utworzona przez tylko pojedynczą jednostkę x , i że każda część F jest decydująca wtedy i tylko wtedy, gdy ta część zawiera ten indywiduum x . Na koniec pokazujemy, że funkcja wyboru społecznego pokrywa się z wyborami x .
Twierdzenie to nie jest wynikiem pozytywnym: nie pozwala na systematyczną ilustrację, ale zauważa, że w przypadku wyborów niebinarnych zawsze będą sytuacje problematyczne. Tak więc funkcja wyboru społecznego, która wykazuje elementarne właściwości wymienione powyżej, będzie często wrażliwa na nieistotne opcje. Należy jednak pamiętać, że na nasze własne wybory czasami wpływają również nieistotne opcje i generalnie nie wpływa to na naszą efektywność.
Jeśli to twierdzenie nie przeszkadza zwolennikom reżimów dyktatorskich (którzy są gotowi zaufać „silnemu człowiekowi”, aby rozsądnie poprowadził lud) i mało niepokoi liberałów (którzy odrzucają ideę przekształcenia preferencji indywidualnych w preferencje zbiorowe) , to jednak , jest często używany przeciwko zwolennikom demokracji (niesłusznie ripostują, bo już wiele profili preferencji nie jest w rzeczywistości całkowitymi preorderami - więc twierdzenie Arrowa nie ma zastosowania, ale przede wszystkim dlatego, że można uzyskać funkcje wyboru społecznego spełniające podobne hipotezy, gdy tylko się na to pozwoli dokonywać porównań interpersonalnych. W tej części opisano, co można uzyskać, rozluźniając hipotezy twierdzenia, pozostając w ramach nieporównywalnych preferencji. W kolejnym rozdziale powracamy do zagadnienia porównywalności.
Czy założenia twierdzenia Arrowa są rozsądne? Tak, w tym sensie, że rozsądnie byłoby je zaakceptować. Nie, w tym sensie, że wymaganie ich byłoby nierozsądne: większość z tych właściwości nie jest ani podstawowa, ani elementarna.
Jak każda teoria naukowa, wynik Arrowa opiera się na założeniach, które są matematycznie wyrażone w określonych ramach formalnych. Jeśli założenia nie są spełnione, twierdzenie nie ma zastosowania.
Pisma (Arrow, 1950, 1951), w których Arrow demonstruje swoje twierdzenie, mają za przedmiot możliwe podstawy ekonomicznej teorii dobrostanu, która jest użyteczna w analizie ekonomicznej, ale obywa się bez międzyludzkich porównań użyteczności, bezpośrednio lub pośrednio stosowanych w utylitaryzmie. podejścia lub analiza kosztów i korzyści . Formalne ramy twierdzenia o niemożliwości to ramy czystych preferencji porządkowych: intensywność preferencji nie jest brana pod uwagę, ani możliwe porównanie między jednostkami. Nieuwzględnienie intensywności preferencji pozwala uznać je za (pośrednio) obserwowalne poprzez dokonywane wybory. To jest „teoria ujawnionych preferencji”: powiedzieć, że podmiot woli A od B, to po prostu powiedzieć, że pomiędzy A i B a wszystkimi innymi rzeczami równymi, wybiera on A. W ściśle arrowowskim ujęciu nie możemy wyrazić Przykład, że Jules woli A do B, Jim woli B do A, ale w przejściu z A do B, Jim przegrywa więcej niż Jules wygrywa .
Arrow pogłębia zatem te ramy myślowe, aby wykazać, że uniemożliwiają one „rozsądne” agregowanie takich preferencji. Na przykład w odniesieniu do głosowania procedury umożliwiające porównania interpersonalne nie mieszczą się w zakresie twierdzenia, a K. Arrow opowiedział się za głosowaniem trójwartościowym na czterech poziomach. Ten powrót do wariantów utylitaryzmu uzasadnia arrowowska niemożliwość. Ta idea dała początek rodzinie głosów według wartości , takich jak głosowanie przez aprobatę , głosowanie przez notatki lub ocena większości , które proponują zastąpienie klasyfikacji opcji zindywidualizowanym osądem według opcji.
Przy tych podejściach każda opcja otrzymuje wzmiankę albo binarną (zatwierdza, odrzuca), albo liczbową (w ustalonej skali, na przykład -1,0, 1) lub słowną (na przykład: bardzo dobry, dobry, wystarczający , niewystarczający, niedopuszczalny itp.). W ten sposób każdy wyborca przydziela wyrok dla każdej opcji. Na koniec agregacja odbywa się na poziomie globalnym, obliczając średnią ocenę (w przypadku głosowania punktowego) lub medianę (w przypadku oceny większości) dla każdej opcji. Ta średnia lub mediana jest następnie porównywana na poziomie globalnym, przesuwając w ten sposób ranking preferencji do ostatniego etapu obliczeń, unikając w ten sposób paradoksów sformalizowanych przez twierdzenie Arrowa o niemożliwości. Rzeczywiście, twierdzenie Arrowa formalizuje paradoks podczas agregacji decyzji, ale twierdzenie to nie ma wpływu na decyzję o agregacji zindywidualizowanych sądów. Metody te były przedmiotem eksperymentów in situ instytucji, takich jak podczas wyborów prezydenckich we Francji .
O ile twierdzenie Arrowa dotyczy kwestii określenia funkcji wyboru społecznego, której celem jest sporządzenie listy preferencji zbiorowych z list preferencji indywidualnych, o tyle częstszym pytaniem jest zbiorowy wybór jednego wybranego członka z list preferencji indywidualnych. preferencje kilku kandydatów. Taki jest cel twierdzenia Gibbarda-Satterthwaite'a . Zawiera on następujący wynik dotyczący procedury wyznaczania zwycięzcy w wyborach:
Tak więc procedura wyznaczania nie może być manipulowana wtedy i tylko wtedy, gdy jest dyktatorska.
W praktyce procedury wyznaczania można manipulować i często zdarza się, że wyborca z preferencjami A>B>C głosuje na B, aby mieć pewność, że C nie zostanie wybrany.
W przypadku wyścigów samochodowych każdy samochód zdobywa punkty w każdym wyścigu zgodnie z kolejnością przyjazdu. Największa suma wygrywa zawody. To urządzenie przechodzi od klasyfikacji do klasyfikacji ; jest uniwersalna, suwerenna, monotonna, ale nie jest obojętna na nieistotne alternatywy.
Dwie stajnie ( A i B ) po dwa samochody ( A1 , A2 i B1 , B2 ) kończą rywalizację, ostatni wyścig dobiega końca. Lider A1 prowadzi B1 o dwa punkty w klasyfikacji generalnej, ale jest za nim i nie ma już nadziei na dogonienie go. Daleko przed nimi A2 i B2 są sami. Punkty w dniu przyjazdu są przyznawane w następujący sposób:
1 st 10
2 e 9
3 i 6
4 i 5
...
A1 powinien wygrać zawody, ponieważ B1 będzie miał tylko jeden punkt lepszy. Ale w tym momencie kierownik stajni B może poprosić B2 o rezygnację z wyścigu: B1 będzie wtedy drugi w tym wyścigu, a trzy punkty lepszy od A wygra rywalizację! Jeśli to zrobi, możemy sobie nawet wyobrazić, że A2 ma ochotę poddać się, aby umożliwić A1 dotarcie tylko do jednego punktu na B1 , odpowiednio na drugiej i pierwszej pozycji.
Sytuacja ta wyraźnie pokazuje, że system punktów skumulowanych nie jest obojętny na nieistotne alternatywy, a nawet, że procedura wyznaczania zwycięzcy jest manipulowana, w sensie Gibbarda-Satterthwaite'a.
Podobnie możemy mieć nadzieję, że komisje eksperckie, które wybierają projekt według kilku kryteriów, są monotonne i suwerenne, obojętne na nieistotne opcje:
Ważenie nie zapewnia jednak niezależności zagranicznych alternatyw. Aby móc ważnie udzielić zamówienia, dla każdego kryterium konieczne są dwa poziomy atrakcyjności (lub ewentualnie wykonania). Bez wprowadzenia tych dwóch poziomów wydajności, zdaniem Jean-Claude'a Vansnicka, wprowadzone wagi nie umożliwiają zapewnienia istotności wykonywanych operacji matematycznych (w tym w szczególności braku zapewnienia poszanowania obojętności na nieistotne opcje).
„ Czy twierdzenie Arrowa… zaniedbuje stosowanie porównań interpersonalnych w ocenie dobrobytu społecznego?” ... TAk. Posiadanie w dodatku tego rodzaju informacji pozwala na wystarczającą finezję, aby uciec od tego typu niemożliwości. ... nawet słabe formy porównywalności pozwoliłyby na spójne osądy dobrobytu społecznego, spełniające wszystkie wymagania Arrowa. "