Twierdzenie Poyntinga

Twierdzenie Poyntinga , przegubowe przez John Henry Poynting , dotyczy zachowania energii w polu elektromagnetycznym . Ustala związek między energią elektromagnetyczną, efektem Joule'a i strumieniem wektora Poyntinga .

Mówiąc nieformalnie, możemy powiedzieć, że strumień wektora Poyntinga przez zamkniętą powierzchnię jest równy sumie zmiany energii elektromagnetycznej i efektu Joule'a w objętości wewnętrznej na powierzchni.

Zmiany energii elektromagnetycznej

Twierdzenie stwierdza, że dla dowolnej objętości:

{\ Displaystyle - \ iiint {\ Frac {\ częściowe W_ {em}} {\ częściowe t}} \, \ mathrm {d} \ tau = \ iiint \ mathrm {div} {\ vec {\ Pi}} \ cdot {\, ​​\ Mathrm {d} \ tau} + \ iiint {\ vec {\ jmath}} \ cdot {\ vec {E}} {\, \ mathrm {d} \ tau}}

albo, w formie lokalnej, dla tomu $d \ tau$

{\ Displaystyle - {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe t}} \ lewo ({\ Frac {\ varepsilon _ {0} E ^ {2}} {2}} + {\ Frac {B ^ {2} } {2 \ mu _ {0}}} \ right) = \ mathrm {div} \ left ({\ frac {{\ vec {E}} \ wedge {\ vec {B}}} {\ mu _ {0 }}} \ right) + {\ vec {j}} \ cdot {\ vec {E}}}

albo w ogólnym przypadku

{\ Displaystyle - {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe t}} \ lewo ({\ Frac {{\ vec {E}} \ cdot {\ vec {D}}} {2}} + {\ Frac { {\ vec {B}} \ cdot {\ vec {H}}} {2}} \ right) = \ mathrm {div} \ left ({\ vec {E}} \ wedge {\ vec {H}} \ right) + {\ vec {j}} \ cdot {\ vec {E}}}

${\ vec \ Pi}$ , poynting wektor
${\ vec {E}}$ , pole elektryczne
${\ vec {D}}$ , indukcja elektryczna (lub przemieszczenie elektryczne)
${\ vec {B}}$ , pole magnetyczne
${\ vec {H}}$ , wzbudzenie magnetyczne
${\ vec {j}}$ , gęstość prądu
${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$ , przenikalność próżni
$\ mu _ {{0}}$ , przepuszczalność próżni

Dowód z równań Maxwella

Zaczynamy od postaci różniczkowej, w przypadku gdy relacje i są weryfikowane. Więc ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {D}} = \ varepsilon _ {0} {\ vec {E}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {B}} = \ mu _ {0} {\ vec {H}}}$

{\ Displaystyle \ mathrm {div} \; {\ vec {\ Pi}} = \ mathrm {div} \; {\ frac {{\ vec {E}} \ wedge {\ vec {B}}} {\ mu _ {0}}} = - {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} {\ vec {E}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \; {\ vec {B }} + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} {\ vec {B}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \; {\ vec {E}}}

za pomocą wzoru analizy wektorowej . Wiedząc ponadto, że mamy: (równanie Maxwella-Ampera) i (równanie Maxwella-Faradaya), wielkość tę można przepisać do postaci: ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mathrm {div} \ left ({\ vec {B}} \ wedge {\ vec {C}} \ right) = {\ vec {C}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {rot }}} ({\ vec {B}}) - {\ vec {B}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} ({\ vec {C}})}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {B}} = \ mu _ {0} {\ vec {\ jmath}} + \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ częściowe {\ vec {E}}} {\ częściowe t}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {E}} = - {\ frac {\ częściowe {\ vec {B}}} {\ częściowe t}}}$

{\ Displaystyle \ mathrm {div} \; {\ vec {\ Pi}} = - {\ Frac {1} {\ mu _ {0}}} {\ vec {E}} \ cdot \ left (\ mu _ {0} {\ vec {j}} + \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ części {\ vec {E}}} {\ częściowy t}} \ right) + {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} {\ vec {B}} \ cdot \ left (- {\ frac {\ części {\ vec {B}}} {\ częściowe t}} \ right)}

Lub po uproszczeniu:

{\ Displaystyle \ mathrm {div} \; {\ vec {\ Pi}} = - \; {\ vec {j}} \ cdot {\ vec {E}} - \ varepsilon _ {0} {\ vec {E }} \ cdot {\ frac {\ części {\ vec {E}}} {\ części t}} - {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} {\ vec {B}} \ cdot { \ frac {\ Partial {\ vec {B}}} {\ Part t}}}

Lub, zwracając uwagę na gęstość objętościową energii elektromagnetycznej: ${\ Displaystyle \ scriptstyle u = {\ Frac {\ varepsilon _ {0} {\ vec {E}} ^ {2}} {2}} + {\ Frac {{\ vec {B}} ^ {2}} {2 \ mu _ {0}}}}$

{\ Displaystyle \ mathrm {div} \; {\ vec {\ Pi}} = - \; {\ vec {j}} \ cdot {\ vec {E}} - {\ frac {\ częściowe u} {\ częściowe t}}}

Zobacz też