Twierdzenie Kelvina
Kelvin twierdzenie stwierdza, że ruch z pola prędkości wzdłuż zamkniętego konturu ma sprzęt do płynu barotrope . Stwierdził Kelvin w 1868 roku.
Ma to fundamentalne znaczenie dla badania mechanizmów turbulencji.
Definicje
Niech C (t) będzie zamkniętym konturem w przepływie. Cyrkulacja na C jest całką na C składowej prędkości stycznej do C. Niech l oznacza wektor jednostkowy stycznej
Γ=∮VSV⋅rel{\ displaystyle \ Gamma = \ anint _ {C} \ mathbf {V} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l}}Wirowość = (ω 1 , omów 2 , ω 3 ) określoną przez prędkość obrotowa odnosi się do obiegu przez twierdzenia obrotowejω{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}ω = ∇×V{\ Displaystyle \ scriptstyle {\ boldsymbol {\ omega}} ~ = ~ \ nabla \ times \ mathbf {V}}
Γ=∫Sω⋅reS{\ Displaystyle \ Gamma = \ int _ {S} {\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot \ mathrm {d} S}gdzie S jest powierzchnią opartą na C.
Linia wirowości zdefiniowana przez wektor k = (k 1 , k 2 , k 3 ) w dowolnym punkcie jest definiowana jako styczna do wirowości
rek1reω1=rek2reω2=rek3reω3{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} k_ {1}} {\ mathrm {d} \ omega _ {1}}} = {\ frac {\ mathrm {d} k_ {2}} {\ mathrm { d} \ omega _ {2}}} = {\ frac {\ mathrm {d} k_ {3}} {\ mathrm {d} \ omega _ {3}}}}.
Rurka wirowości jest definiowana przez zestaw linii wirowości wciśniętych na C. Z definicji rura ta uwzględnia zachowanie przepływu wirowości.
Twierdzenie Kelvina
W dalszej części zakłada się, że ośrodek opisany równaniami Eulera jest nieściśliwy z siłą zewnętrzną g . Gęstość ρ niekoniecznie jest stała.
Wyprowadzenie równania cyrkulacji daje, używając równania zachowania pędu
reΓret=∮VSreVret⋅rel+∮VSV⋅reret(rel)=∮VS(-1ρ∇p)⋅rel+∮VSsol⋅rel⏟= 0+∮VS∇(V22)⋅rel⏟= 0=-∮VSrepρ{\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} {\ frac {\ mathrm {d} \ Gamma} {\ mathrm {d} t}} & = & \ anint _ {C} {\ frac {\ mathrm {d } \ mathbf {V}} {\ mathrm {d} t}} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} + \ oint _ {C} \ mathbf {V} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d }} {\ mathrm {d} t}} (\ mathrm {d} \ mathbf {l}) \\ [0.6em] & = & \ anint _ {C} \ left (- {\ frac {1} {\ rho}} \ nabla p \ right) \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} + \ underbrace {\ anint _ {C} \ mathbf {g} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l}} _ {= ~ 0} + \ underbrace {\ anint _ {C} \ nabla \ left ({\ frac {V ^ {2}} {2}} \ right) \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l}} _ {= ~ 0} \\ [0.6em] & = & - \ anint _ {C} {\ frac {\ mathrm {d} p} {\ rho}} \ end {tablica}}}Dwa z pojawiających się terminów są zerowe, ponieważ jeden całkuje na zamkniętej krzywej. Pozostały termin, nazywany terminem baroklinicznym, wynosi zero, jeśli gęstość jest stała.
W ogólnym przypadku termin ten można zapisać inaczej, korzystając z twierdzenia o rotacji
-∮VSrepρ=∫SΠ⋅reS{\ Displaystyle - \ namaść _ {C} {\ Frac {\ mathrm {d} p} {\ rho}} = \ int _ {S} \ Pi \ cdot \ mathrm {d} S}gdzie Π jest wektorem baroklinicznym
Π=-∇(1ρ)×∇p{\ Displaystyle \ mathbf {\ Pi} = - \ nabla \ lewo ({\ Frac {1} {\ rho}} \ prawo) \ razy \ nabla p}Termin ten wynosi zero, gdy mylone są izobary powierzchniowe i izopikny.
Uwagi
-
Wektor wirowy jest czasami definiowany jako połowa wirowości.
-
powierzchni o stałej gęstości.
Bibliografia
-
(w :) William Thomson, „ We Vortex Motion ” , Transactions of the Royal Society of Edinburgh , vol. 25,1868, s. 217-260 ( DOI 10.1017 / S0080456800028179 )
-
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">