Twierdzenie Hille-Yosidy
W półgrupa teorii The Hille-Yosida twierdzenie jest wydajne i podstawowe narzędzie dotyczące właściwości rozpraszania energii przez operatora nieograniczonej istnienia i wyjątkowość i prawidłowości rozwiązania równania różniczkowego (E)
W:re(W)⊂X⟶X{\ Displaystyle A: D (A) \ podzbiór X \ longrightarrow X}![Odp.: D (A) \ subset X \ longrightarrow X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aad44088716b553403ddab9e6ec4db9eb9b6f6c9)
{x′(t)=Wx(t)x(0)=x0{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadków} x '(t) = Ax (t) \\ x (0) = x_ {0} \ koniec {przypadków}}}![\ begin {sprawy} x '(t) = Ax (t) \\ x (0) = x_0 \ end {sprawy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb082f51daf434a980d05f9d688ca72a9fcf8b59)
.
Wynik ten pozwala w szczególności na bardziej efektywne przedstawienie istnienia, niepowtarzalności i regularności rozwiązań równania różniczkowego cząstkowego niż twierdzenie Cauchy'ego-Lipschitza-Picarda , bardziej dostosowane do równań różniczkowych zwyczajnych.
Półgrupy
Teoria półgrup zawdzięcza swój początek badaniu przepływu zwykłego autonomicznego równania różniczkowego w wymiarze skończonym oraz wykładniczej operatorów.
Definicje
Niech będzie przestrzenią Banacha; mówimy, że rodzina operatorów liniowych jest półgrupą (silnie ciągłą), jeśli:
X{\ displaystyle X}
(S(t))t≥0{\ Displaystyle \ lewo (S (t) \ prawej) _ {t \ geq 0}}![\ left (S (t) \ right) _ {t \ geq0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ede79805cf1a3b630b1f2c166a35fa1d38eb794)
- ∀t≥0, S(t)∈L(X){\ Displaystyle \ forall t \ geq 0, ~ S (t) \ w {\ mathcal {L}} (X)}
![\ forall t \ geq 0, ~ S (t) \ in \ mathcal {L} (X)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/863e22c5b4ab9de655d4bac7909de36fb190fb27)
- S(0)=jareL(X){\ Displaystyle S (0) = \ mathrm {Id} _ {{\ mathcal {L}} (X)}}
![S (0) = \ mathrm {Id} _ {\ mathcal {L} (X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/654288ef5b0f8cb0b8747d81ae1ea4b7f7202f51)
- ∀(s,t)≥0, S(s+t)=S(s)∘S(t){\ Displaystyle \ forall (s, t) \ geq 0, ~ S (s + t) = S (s) \ Circ S (t)}
![\ forall (s, t) \ geq 0, ~ S (s + t) = S (s) \ circ S (t)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/386da2876735e96b51bc4bb81133501bdd8fc955)
- ∀x∈X, limt→0+S(t)x=x{\ Displaystyle \ forall x \ w X, ~ \ lim _ {t \ rightarrow 0 ^ {+}} S (t) x = x}
![\ forall x \ in X, ~ \ lim_ {t \ rightarrow 0 ^ +} S (t) x = x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0be37dea26be8f3ca6e9b92c8fbce06adab7533)
Warunek 4 jest temu równoważny .
∀x∈X, t↦S(t)x ∈VS0(R+,X){\ Displaystyle \ forall x \ w X, ~ t \ mapsto S (t) x ~ \ w {\ mathcal {C}} ^ {0} (\ mathbb {R} ^ {+}, X)}![\ forall x \ in X, ~ t \ mapsto S (t) x ~ \ in \ mathcal {C} ^ 0 (\ R ^ +, X)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33fd574942bb38f8fe754e9b658d847694d90339)
Jeśli zastąpimy 4 przez: mówimy, że jest jednolicie ciągłe.
limt→0+‖S(t)-jare‖L(X)=0{\ Displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow 0 ^ {+}} \ | S (t) -Id \ | _ {{\ mathcal {L}} (X)} = 0}
(S(t))t≥0{\ Displaystyle \ lewo (S (t) \ prawej) _ {t \ geq 0}}![\ left (S (t) \ right) _ {t \ geq0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ede79805cf1a3b630b1f2c166a35fa1d38eb794)
W tej definicji znajdujemy (niejasno) pojęcie jednoparametrowej rodziny dyfeomorfizmów, dobrze znane w teorii równań różniczkowych zwyczajnych.
Definiujemy nieskończenie mały generator silnie ciągłej półgrupy jako operator nieograniczony, gdzie:
(W,re(W)){\ Displaystyle (A, D (A))}
(S(t))t≥0{\ Displaystyle \ lewo (S (t) \ prawej) _ {t \ geq 0}}
W:re(W)⊂X⟶X{\ Displaystyle A: D (A) \ podzbiór X \ longrightarrow X}![Odp.: D (A) \ subset X \ longrightarrow X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aad44088716b553403ddab9e6ec4db9eb9b6f6c9)
re(W)={x∈X, limt→0S(t)x-xt istnieć}{\ Displaystyle D (A) = \ lewo \ {x \ w X, ~ \ lim _ {t \ rightarrow 0} {\ Frac {S (t) xx} {t}} {\ tekst {istnieje}} \ prawo \}}
∀x∈re(W), Wx=limt→0S(t)x-xt{\ Displaystyle \ forall x \ w D (A), ~ Ax = \ lim _ {t \ rightarrow 0} {\ Frac {S (t) xx} {t}}}
W przypadku, gdy i rodziny operatorów (klasycznej definicji jego cyklu) jest silnie ciągły pół grupa o nieskończenie generatora : dlatego czasami oznaczają nadmiernie .re(W)=X{\ Displaystyle D (A) = X}
W∈L(X){\ Displaystyle A \ w {\ mathcal {L}} (X)}
(mitW)t≥0{\ Displaystyle \ lewo (e ^ {tA} \ prawej) _ {t \ geq 0}}
W{\ displaystyle A}
S(t)=mitW{\ Displaystyle S (t) = e ^ {tA}}![S (t) = e ^ {tA}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44dd7d8764fe9b6864c30a02dc3de75b33ccd85a)
Mówimy, że półgrupa to skurcz, jeśli .(S(t))t≥0{\ Displaystyle \ lewo (S (t) \ prawej) _ {t \ geq 0}}
∀t≥0, ‖S(t)‖L(X)≤1{\ Displaystyle \ forall t \ geq 0, ~ \ | S (t) \ | _ {{\ mathcal {L}} (X)} \ równoważnik 1}![\ forall t \ ge0, ~ \ | S (t) \ | _ {\ mathcal {L} (X)} \ le 1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1d428ae4e7954202311b04ef161fbe79ed617fb)
Własności półgrup skurczowych
Twierdzenie 1 - Niech przestrzeń Banacha, półgrupa skrócona i jej nieskończenie mały generator. Więc :
X{\ displaystyle X}
(S(t))t≥0{\ Displaystyle \ lewo (S (t) \ prawej) _ {t \ geq 0}}
X{\ displaystyle X}
(W,re(W)){\ Displaystyle (A, D (A))}![(A, D (A))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06e068ae86fb460a9cf7b137721fa475acf9fbc1)
-
∀x∈X{\ displaystyle \ forall x \ in X}
przepływ t↦S(t)x∈VS0(R+,X){\ displaystyle t \ mapsto S (t) x \ in {\ mathcal {C}} ^ {0} (\ mathbb {R} ^ {+}, X)}
-
∀x∈re(W){\ displaystyle \ forall x \ in D (A)}
i mamy przepływ i sprawdzamy∀t≥0{\ displaystyle \ forall t \ geq 0}
S(t)x∈re(W){\ Displaystyle S (t) x \ w D (A)}
t↦S(t)x∈VS1(R+,X){\ displaystyle t \ mapsto S (t) x \ in {\ mathcal {C}} ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {+}, X)}
x′(t)=Wx(t){\ Displaystyle x '(t) = Ax (t)}
-
(W,re(W)){\ Displaystyle (A, D (A))}
jest zamknięty z gęstej domeny.
Twierdzenie 2 (Charakterystyka generatorów nieskończenie małych) - Niech będzie operatorem nieograniczonym . Mamy równoważność:
W:re(W)⊂X⟶X{\ Displaystyle A: D (A) \ podzbiór X \ longrightarrow X}
X{\ displaystyle X}![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
-
(W,re(W)){\ Displaystyle (A, D (A))}
jest nieskończenie małym generatorem półgrupy kontrakcji
-
re(W){\ Displaystyle D (A)}
jest gęsty i dla każdego warunku początkowego istnieje unikalne rozwiązanie (E).x0∈re(W){\ displaystyle x_ {0} \ in D (A)}
t↦x(t)∈VS1(R+,X){\ displaystyle t \ mapsto x (t) \ in {\ mathcal {C}} ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {+}, X)}![t \ mapsto x (t) \ in \ mathcal {C} ^ 1 (\ R ^ +, X)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2002dac8078c627e4665885a1b07fed79571ca2d)
Ponadto przy tym założeniu rozwiązanie ma wartości wi spełnia również (nierówności energetyczne).
x(t){\ Displaystyle x (t)}
re(W){\ Displaystyle D (A)}
‖x(t)‖X≤‖x0‖X{\ Displaystyle \ | x (t) \ | _ {X} \ równoważnik \ | x_ {0} \ | _ {X}}
‖x′(t)‖X≤‖Wx(t)‖X≤‖Wx0‖X{\ Displaystyle \ | x '(t) \ | _ {X} \ równoważnik \ | Ax (t) \ | _ {X} \ równoważnik \ | Ax_ {0} \ | _ {X}}![\ | x '(t) \ | _X \ le \ | Ax (t) \ | _X \ le \ | Ax_0 \ | _X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d235dfaeb554c60fe385c56b549e3f378406ead1)
Zaczynamy dostrzegać związek między problemem (E) a pojęciem półgrupy. Aby wyjaśnić, konieczne jest teraz wprowadzenie pojęcia operatora rozpraszającego.
Operatory rozpraszające
Definicje
- Operator jest rozproszony, jeśli . W przypadku, gdy jest hilbertowskie, pokazujemy, że A jest rozpraszające wtedy i tylko wtedy, gdy .(W,re(W)){\ Displaystyle (A, D (A))}
∀x∈re(W),∀λ>0, ‖x-λWx‖≥‖x‖{\ displaystyle \ forall x \ in D (a), \ forall \ lambda> 0, ~ \ | x- \ lambda Ax \ | \ geq \ | x \ |}
X=H.{\ displaystyle X = H}
∀x∈re(W),Rmi(⟨Wx,x⟩H.)≤0{\ displaystyle \ forall x \ in D (A), \, {\ mathfrak {Re}} (\ langle Axe, x \ rangle _ {H}) \ równoważnik 0}![\ forall x \ in D (A), \, \ mathfrak {Re} (\ langle Axe, x \ rangle_H) \ leq 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee97e9406b96afa98928cb2f47079edf1cbbb29d)
Uwaga: Jeśli jest operatorem rozpraszającym, to operator jest iniekcyjny, ponieważ .
(W,re(W)){\ Displaystyle (A, D (A))}
∀λ>0{\ displaystyle \ forall \ lambda> 0}
(jare-λW){\ Displaystyle (\ mathrm {Id} - \ lambda A)}
(ja-λW)x=0⇒0≤‖x‖≤‖(ja-λW)x‖=0⇒x=0{\ Displaystyle (I- \ lambda A) x = 0 \ Rightarrow 0 \ równoważnik \ | x \ | \ równoważnik \ | (I- \ lambda A) x \ | = 0 \ Rightarrow x = 0}![(I- \ lambda A) x = 0 \ Rightarrow 0 \ le \ | x \ | \ le \ | (I- \ lambda A) x \ | = 0 \ Rightarrow x = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc2935d6c500eb0f803e4c1bc2e1b2f878c1c5de)
- Jeśli ponadto , jest suriekcją powiedzieć, że jest maksymalny, rozpraszająca (albo M-rozpraszający). Możemy to pokazać , jest to surjektywne wtedy i tylko wtedy, gdy∀λ>0{\ displaystyle \ forall \ lambda> 0}
jare-λW{\ displaystyle \ mathrm {Id} - \ lambda A}
(W,re(W)){\ Displaystyle (A, D (A))}
∀λ>0{\ displaystyle \ forall \ lambda> 0}
jare-λW{\ displaystyle \ mathrm {Id} - \ lambda A}![\ mathrm {Id} - \ lambda A](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfea538fd95374ab44e91fa4dc9f94caff752a9d)
∃λ0,jare-λ0W surjektywny{\ displaystyle \ exist \ lambda _ {0}, \ mathrm {Id} - \ lambda _ {0} A ~ {\ text {surjective}}}![\ istnieje \ lambda_0, \ mathrm {Id} - \ lambda_0 A ~ \ text {surjective}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24adbe86895b5683b325e265239db34078e9ed90)
.
W praktyce, aby pokazać, że operator jest m-rozpraszający, najpierw pokazujemy ręcznie, że jest on rozpraszający, a następnie rozwiązujemy problem wariacyjny dla dobrze dobranej wartości (na przykład z twierdzeniem Lax-Milgrama , patrz przykład ciepła równanie omówione poniżej).
λ0{\ displaystyle \ lambda _ {0}}![\ lambda _ {0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfa5ad1eb6cdaf3d8dfd77991ee9ce7bdf169184)
W tym przypadku, operator jest Izomorfizm (a priori nie ciągły) z i uwagi , zwany rezolwenta z A . Ponadto,
(jare-λW){\ Displaystyle (\ mathrm {Id} - \ lambda A)}
L(W,X){\ Displaystyle L (A, X)}
jotλ=(jare-λW)-1{\ Displaystyle J _ {\ lambda} = (\ mathrm {Id} - \ lambda A) ^ {- 1}}![J _ {\ lambda} = (\ mathrm {Id} - \ lambda A) ^ {- 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49fce54c3b43c330138b0152dadf48ff816af079)
‖jotλy‖X≤‖(jare-λW)[jotλy]‖X≤‖y‖X{\ Displaystyle \ | J _ {\ lambda} y \ | _ {X} \ równoważnik \ | (\ matematyka {Id} - \ lambda A) [J _ {\ lambda} y] \ | _ {X} \ równoważnik \ | y \ | _ {X}}![\ | J _ {\ lambda} y \ | _X \ le \ | (\ mathrm {Id} - \ lambda A) [J _ {\ lambda} y] \ | _X \ le \ | y \ | _X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d941bf7b3003ed11c8927a762a269e3d03ed760a)
, .
jotλ∈L((X,‖.‖X),(re(W),‖.‖X)){\ Displaystyle J _ {\ lambda} \ in {\ mathcal {L}} \ lewo ((X, \ |. \ | _ {X}), (D (A), \ |. \ | _ {X} ) \ right)}![J _ {\ lambda} \ in \ mathcal {L} \ left ((X, \ |. \ | _X), (D (A), \ |. \ | _X) \ right)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b6f1d508baf2b31abc7687d222bb90431b7e410)
Zobaczymy, że tę właściwość ciągłości można poprawić (poprawimy topologię , dostarczając standard ).
(re(W),‖.‖X){\ Displaystyle (D (A), \ |. \ | _ {X})}
re(W){\ Displaystyle D (A)}
‖.‖re(W){\ Displaystyle \ |. \ | _ {D (A)}}![\ |. \ | _ {D (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52be4e327277e4d3cc3de4a9310d0cb80a13480c)
Własności operatorów m-dyssypatywnych
Właściwość 1 : jeśli m-rozpraszająca, to jest operatorem zamkniętym.
(W,re(W)){\ Displaystyle (A, D (A))}![(A, D (A))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06e068ae86fb460a9cf7b137721fa475acf9fbc1)
Wniosek 1 : ponieważ pozujemy . Następnie jest normą, dla której jest przestrzeń Banacha i .
x∈re(W){\ Displaystyle x \ w D (A)}
‖x‖re(W)=‖x‖X+‖Wx‖X{\ Displaystyle \ | x \ | _ {D (A)} = \ | x \ | _ {X} + \ | Ax \ | _ {X}}
‖.‖re(W){\ Displaystyle \ |. \ | _ {D (A)}}
re(W){\ Displaystyle D (A)}
W∈L((re(W),‖.‖W),(X,‖.‖X)){\ Displaystyle A \ w {\ mathcal {L}} \ lewo ((D (A), \ |. \ | _ {A}), (X, \ |. \ | _ {X}) \ prawej)}![A \ in \ mathcal {L} \ left ((D (A), \ |. \ | _A), (X, \ |. \ | _X) \ right)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee2b8095e866d982d34f4b6bc073deb0bde58d5f)
Właściwość 2 : jeśli jest przestrzenią Hilberta i jest rozpraszająca m, to ma gęstą domenę.
H.{\ displaystyle H}
W:re(W)⊂H.⟶H.{\ Displaystyle A: D (A) \ podzbiór H \ longrightarrow H}![A: D (A) \ subset H \ longrightarrow H](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e3f9946a3cfdaff76bafd9cf7fbf42121d9cf50)
Właściwość 3 : odwrotnie, jeśli ma gęstą, rozpraszającą się domenę zamkniętą i taki, że jej dodatek jest rozpraszający, wówczas jest rozpraszający.
W:re(W)⊂H.⟶H.{\ Displaystyle A: D (A) \ podzbiór H \ longrightarrow H}
(W∗,re(W∗)){\ Displaystyle (A ^ {*}, D (A ^ {*}))}
(W,re(W)){\ Displaystyle (A, D (A))}![(A, D (A))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06e068ae86fb460a9cf7b137721fa475acf9fbc1)
Wniosek 3 : nadal w ramach Hilberta
- jeśli jest samo-przylegający dyssypatywny w gęstej domenie, to jest m-rozpraszający,(W,re(W)){\ Displaystyle (A, D (A))}
![(A, D (A))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06e068ae86fb460a9cf7b137721fa475acf9fbc1)
- jeśli jest anty-pomocnikiem domeny gęstej, to jest m-rozpraszający.(W,re(W)){\ Displaystyle (A, D (A))}
![(A, D (A))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06e068ae86fb460a9cf7b137721fa475acf9fbc1)
Uwaga: w tym ostatnim wyniku warunek dyssypatywności nie jest konieczny, ponieważ anty-pomoc wiąże się z tym dyssypatywnością, patrz przykład równania falowego poniżej.
(W,re(W)){\ Displaystyle (A, D (A))}
⟨Wx,x⟩H.=0{\ displaystyle \ langle Axe, x \ rangle _ {H} = 0}![\ langle Axe, x \ rangle_H = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31c86a5b9754c29b490a8259d8f65b9d363c825c)
Twierdzenie Hille-Yosidy
Stany
Twierdzenie 3 (Hille-Yosida) - Niech będzie przestrzenią Banacha i operatorem nieograniczonym. Mamy równoważność
X{\ displaystyle X}
W:re(W)⊂X⟶X{\ Displaystyle A: D (A) \ podzbiór X \ longrightarrow X}![Odp.: D (A) \ subset X \ longrightarrow X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aad44088716b553403ddab9e6ec4db9eb9b6f6c9)
-
(W,re(W)){\ Displaystyle (A, D (A))}
jest domeną m-rozpraszającą gęstą
-
(W,re(W)){\ Displaystyle (A, D (A))}
jest nieskończenie małym generatorem półgrupy kontrakcji
Punkt 1 poprzedniego twierdzenia można przepisać w kategoriach resolvent :
- ' , operator zamknięty z gęstą domeną, czekami i do wszystkiego .(W,re(W)){\ Displaystyle (A, D (A))}
(0,+∞)⊂ρ(W){\ Displaystyle (0, + \ infty) \ podzbiór \ rho (A)}
‖Rλ‖L(X)≤1λ{\ Displaystyle \ | R _ {\ lambda} \ | _ {{\ mathcal {L}} (X)} \ równoważnik {\ Frac {1} {\ lambda}}}
λ>0{\ displaystyle \ lambda> 0}![\ lambda> 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eea25afc0351140f919cf791c49c1964b8b081de)
Tak więc przy tych założeniach i zgodnie z Twierdzeniem 2 dla dowolnego warunku początkowego istnieje unikalne mocne rozwiązanie w . Kiedy warunek początkowy jest dowolny w X , mamy słabe rozwiązanie tylko klasy (i pokazujemy, że każde słabe rozwiązanie jest ograniczone w mocnych rozwiązaniach).
x0∈re(W){\ displaystyle x_ {0} \ in D (A)}
t↦x(t){\ displaystyle t \ mapsto x (t)}
VS0(R+,(re(W),‖.‖re(W)))∩VS1(R+∗,(X,‖.‖X)){\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {0} (\ mathbb {R} ^ {+}, (D (A), \ |. \ | _ {D (A)})) \ cap {\ mathcal {C}} ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {+ *}, (X, \ |. \ | _ {X}))}
t↦x(t)=S(t)x{\ Displaystyle t \ mapsto x (t) = S (t) x}
VS0(R+,(X,‖.‖X)){\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {0} (\ mathbb {R} ^ {+}, (X, \ |. \ | _ {X}))}
X{\ displaystyle X}![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
Regularność rozwiązań
Zauważa się, że regularność rozwiązania jest ściśle związana z wyborem warunku początkowego zgodnie z polem A: zatem naturalne jest myślenie, że narzucając więcej „regularności”, uzyskuje się większą regularność rozwiązań. W szczególności prosimy o , . Mamy więc następujące twierdzenie.
x0{\ displaystyle x_ {0}}
k≥2{\ displaystyle k \ geq 2}
re(Wk)={x∈re(Wk-1), Wx∈re(Wk-1)}{\ Displaystyle D (A ^ {k}) = \ {x \ in D (A ^ {k-1}), ~ Ax \ in D (A ^ {k-1}) \}}![D (A ^ k) = \ {x \ in D (A ^ {k-1}), ~ Ax \ in D (A ^ {k-1}) \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b0bd350afd076fe171843a5daeff8b750561597)
Twierdzenie 4 - Możemy podać normy, dla których są to przestrzenie Banacha. Ponadto, jeśli początkowe warunki Następnie roztwór klasy
i do oraz w ten sposób z poprzednich topologii.
re(Wk){\ Displaystyle D (A ^ {k})}
‖x‖re(Wk)=∑ja=0k‖Wjax‖{\ Displaystyle \ | x \ | _ {D (A ^ {k})} = \ suma _ {i = 0} ^ {k} \ | A ^ {i} x \ |}
x0∈re(Wk){\ Displaystyle x_ {0} \ in D (A ^ {k})}
VSk(R+∗,X){\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k} (\ mathbb {R} ^ {+ *}, X)}
VSk-ja(R+∗,re(Wja)){\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {ki} (\ mathbb {R} ^ {+ *}, D (A ^ {i}))}
ja=1 ...k{\ displaystyle i = 1 ... k}![i = 1 ... k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97782660df88e760cabce55ffb3cdd3aec378ab5)
Przykłady
Równanie ciepła
Dajemy sobie otwartą ograniczone klasy z i staramy się rozwiązać równanie ciepła
Ω{\ displaystyle \ Omega}
VS2{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {2}}
Rnie{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}![\ mathbb {R} ^ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d)
{∂tu(x,t)-Δu(x,t)=0u(x,0)=u0(x){\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadków} \ częściowe _ {t} u (x, t) - \ delta u (x, t) = 0 \ u (x, 0) = u_ {0} (x) \ koniec { przypadki}}}![\ begin {przypadki} \ częściowe_t u (x, t) - \ Delta u (x, t) = 0 \\ u (x, 0) = u_0 (x) \ end {przypadki}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15f39e84bd609086ca3f26a98a92161a3aa6b87)
włączony dla danego warunku początkowego.
(x,t)∈Ω×[0,+∞]{\ Displaystyle (x, t) \ in \ Omega \ razy [0, + \ infty]}![(x, t) \ in \ Omega \ times [0, + \ infty]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f05ff57cecd384c00776b610419f1cb914f7334a)
Możemy przepisać to równanie różniczkowe cząstkowe w postaci zwykłego równania różniczkowego o pozowanie , oraz definiowanie przez i za wszystko . Jesteśmy we właściwych ramach, aby zastosować teorię półgrup i twierdzenie Hille-Yosidy; pozostaje pokazać, że operator A jest m-rozpraszający.
y′(t)=Wy(t){\ Displaystyle y '(t) = Ay (t)}
X=H.=L2(Ω){\ Displaystyle X = H = L ^ {2} (\ Omega)}
y(t)=u(.,t)∈H.{\ Displaystyle y (t) = u (., t) \ w H}
(W,re(W)){\ Displaystyle (A, D (A))}
re(W)=H.2(Ω)∩H.01(Ω)⊂L2(Ω){\ Displaystyle D (A) = H ^ {2} (\ Omega) \ nasadka H_ {0} ^ {1} (\ Omega) \ podzbiór L ^ {2} (\ Omega)}
Wx=Δx{\ Displaystyle Ax = \ Delta x}
x∈re(W){\ Displaystyle x \ w D (A)}![x \ w D (A)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa1706c9c3ddb6b12027203c7e0dbfba16756a3b)
Powszechnie wiadomo, że Laplacianin jest operatorem samoobsługowym:
⟨Wu,v⟩H.=∫Ω(Δu)v=-∫Ω∇u⋅∇v=∫Ωu(Δv)=⟨u,Wv⟩H.{\ displaystyle \ langle Au, v \ rangle _ {H} = \ int _ {\ Omega} (\ Delta u) v = - \ int _ {\ Omega} \ nabla u \ cdot \ nabla v = \ int _ { \ Omega} u (\ Delta v) = \ langle u, Av \ rangle _ {H}}![\ langle Au, v \ rangle_H = \ int _ {\ Omega} (\ Delta u) v = - \ int _ {\ Omega} \ nabla u \ cdot \ nabla v = \ int _ {\ Omega} u (\ Delta v) = \ langle u, Av \ rangle_H](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5efb701406f0e4121879d8772adef7ecbf8a2dc4)
przez podwójne całkowanie przez części, a to jest gęste , dlatego wystarczy wykazać, że jest rozpraszające lub w równoważny sposób . Jednak wszystko ma zerowy ślad, dlatego całkowanie przez części .
re(W){\ Displaystyle D (A)}
L2(Ω){\ Displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}
ℜ(⟨Wx,x⟩H.)≤0{\ Displaystyle \ Re (\ langle Axe, x \ rangle _ {H}) \ równoważnik 0}
x∈re(W)=H.2(Ω)∩H.01(Ω){\ Displaystyle x \ w D (A) = H ^ {2} (\ Omega) \ nasadka H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}
ℜ(⟨Wx,x⟩H.)=-∫Ω‖∇x‖Rnie2≤0{\ Displaystyle \ Re (\ langle Axe, x \ rangle _ {H}) = - \ int _ {\ Omega} \ | \ nabla x \ | _ {\ mathbb {R} ^ {n}} ^ {2} \ leq 0}![\ Re (\ langle Ax, x \ rangle_H) = - \ int _ {\ Omega} \ | \ nabla x \ | ^ 2 _ {\ R ^ n} \ leq 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11026964f4e0306bd49a4cbd79a7c5a119b0825f)
WNIOSEK 3 i Twierdzenie Hille-Yosida ostatecznie prowadzić do wniosku co do istnienia, jednoznaczności i prawidłowości rozwiązań. Dalej to zauważamy
reret(‖y(t)‖H.2)=2⟨y′(t),y(t)⟩H.=2⟨Wy(t),y(t)⟩H.≤0{\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} \ lewo (\ | r (t) \ | _ {H} ^ {2} \ prawej) = 2 \ langle y '(t), y (t) \ rangle _ {H} = 2 \ langle Ay (t), y (t) \ rangle _ {H} \ leq 0}![\ frac {d} {dt} \ left (\ | y (t) \ | ^ 2_H \ right) = 2 \ langle y '(t), y (t) \ rangle_H = 2 \ langle Ay (t), y (t) \ rangle_H \ le0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeb5edce7387c02a79c94c9ad97c4e5c8fa70fbf)
Znajdujemy oczywiście rozpraszającą i nieodwracalną stronę równania ciepła.
Równanie falowe
Równanie jednorodnej fali jest formułowane w wystarczająco regularnej domenie (to znaczy w praktyce) i w przedziale czasu (z ) zgodnie z
Ω{\ displaystyle \ Omega}
VS2{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {2}}
[0,T){\ displaystyle [0, T)}
T>0{\ displaystyle T> 0}![T> 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e39e90b9e1e7d5be3b5eae57729dc63494bbe3fd)
{utt(t,x)-Δu(t,x)=0∀(t,x)∈(0,T)×Ωu(0,x)=fa(x)∀x∈Ωut(0,x)=sol(x)∀x∈Ω{\ Displaystyle \ lewo \ {{\ początek {tablica} {rcll} u_ {tt} (t, x) - \ Delta u (t, x) i = i 0 i \ forall (t, x) \ w (0 , T) \ times \ Omega \\ u (0, x) & = & f (x) & \ forall x \ in \ Omega \\ u_ {t} (0, x) & = & g (x) & \ forall x \ in \ Omega \ end {tablica}} \ right.}![\ left \ {\ begin {array} {rcll} u_ {tt} (t, x) - \ Delta u (t, x) & = & 0 & \ forall (t, x) \ in (0, T) \ razy \ Omega \\ u (0, x) & = & f (x) & \ forall x \ in \ Omega \\ u_ {t} (0, x) & = & g (x) & \ forall x \ in \ Omega \ end {tablica} \ right.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c91864a52651a0d8055037423db91d4a98b598a3)
Umieszczamy się w teorii półgrup, układając poprzednie równanie w pierwszej kolejności w czasie. Następnie pytamy
W=(0jaΔ0){\ displaystyle {\ mathcal {A}} = \ lewo ({\ początek {tablica} {cc} 0 i ja \\\ Delta i 0 \ koniec {tablica}} \ po prawej)}![\ mathcal {A} = \ left (\ begin {tablica} {cc} 0 & I \\ \ Delta & 0 \ end {tablica} \ right)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25822d2b63b0f1e1625a09febcea7067a597ef93)
,
Y=(uv){\ displaystyle {\ mathcal {y}} = \ lewo ({\ początek {tablica} {c} u \\ v \ koniec {tablica}} \ po prawej)}
(z ) i
v=u′{\ displaystyle v = u '}![v = u '](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a68f94d29eb12c9313fdc215cdbdc43c3f6d4c8e)
Y0=(fasol).{\ displaystyle {\ mathcal {y}} _ {0} = \ lewo ({\ początek {tablica} {c} f \\ g \ koniec {tablica}} \ po prawej).}![\ mathcal {Y} _0 = \ left (\ begin {array} {c} f \\ g \ end {array} \ right).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79a5559188beb359b09f6a804778c28891c5eb81)
Wtedy staje się równanie
{Y′(t)=WY(t)Y(0)=Y0{\ Displaystyle \ lewo \ {{\ początek {tablica} {rcll} {\ mathcal {Y}} '(t) & = i {\ mathcal {A}} {\ mathcal {Y}} (t) \\ { \ mathcal {Y}} (0) & = & {\ mathcal {Y}} _ {0} \ end {array}} \ right.}![\ left \ {\ begin {array} {rcll} \ mathcal {Y} '(t) & = & \ mathcal {A} \ mathcal {Y} (t) \\ \ mathcal {Y} (0) & = & \ mathcal {Y} _0 \ end {tablica} \ right.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a2444237486b11bca0497f8c2ffad2b80d357ff)
.
Domeną Laplacien jest , że z jest na . Warunki początkowe zostaną wówczas wzięte z . Iloczyn skalarny w jest definiowany dla dowolnej pary w ( i ) przezre(Δ)=H.2(Ω)∩H.01(Ω){\ Displaystyle D (\ Delta) = H ^ {2} (\ Omega) \ nasadka H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}
W{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}
re(W)=H.2(Ω)∩H.01(Ω)×H.01(Ω){\ Displaystyle D ({\ mathcal {A}}) = H ^ {2} (\ Omega) \ nasadka H_ {0} ^ {1} (\ Omega) \ razy H_ {0} ^ {1} (\ Omega )}
H.=H.01(Ω)×L2(Ω){\ Displaystyle H = H_ {0} ^ {1} (\ Omega) \ razy L ^ {2} (\ Omega)}
H.{\ displaystyle H}
H.{\ displaystyle H}
(u,v){\ displaystyle (u, v)}
H.{\ displaystyle H}
u=(u1,u2){\ Displaystyle u = (u_ {1}, u_ {2})}
v=(v1,v2){\ displaystyle v = (v_ {1}, v_ {2})}
(u,v)H.=(∇u1,∇v1)L2(Ω)+(u2,v2)L2(Ω).{\ Displaystyle (u, v) _ {H} = (\ nabla u_ {1}, \ nabla v_ {1}) _ {L ^ {2} (\ Omega)} + (u_ {2}, v_ {2 }) _ {L ^ {2} (\ Omega)}.}
Pozostaje sprawdzić, czy rzeczywiście znajdujemy się w warunkach stosowania twierdzenia Hille-Yosidy:
-
re(W){\ Displaystyle D ({\ mathcal {A}})}
jest gęsty .H.{\ displaystyle H}![H.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b)
-
W{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}
zamknięte.
-
W{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}
jest rozpraszająca. Ten punkt zasługuje na dowód.
Pierwszy dowód
Używamy charakterystyki twierdzenia. Niech i . Rozwiązanie równania jest zapisane w(ja′){\ displaystyle (i ')}
λ>0{\ displaystyle \ lambda> 0}
(fa,sol)∈H.{\ displaystyle (f, g) \ in H}
(u,v){\ displaystyle (u, v)}
(∗){λu-v=faλv-Δu=sol{\ Displaystyle (*) \ lewo \ {{\ początek {tablica} {rcl} \ lambda uv & = & f \\\ lambda v- \ Delta u & = & g \ koniec {tablica}} \ po prawej.}![(*) \ left \ {\ begin {array} {rcl} \ lambda u - v & = & f \\ \ lambda v - \ Delta u & = & g \ end {array} \ right.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fef3986d9c4ce62275adf8c5435040161e3a0b9)
stąd, który dopuszcza unikalne rozwiązanie w via Lax-Milgram (ponieważ z jednej strony iz drugiej strony wartości własne laplaciana są ściśle ujemne, zatem jest operatorem eliptycznym, którego powiązana dwuliniowa forma spełnia hipotezy twierdzenia Laxa Milgrama ). I tak jest .
(λ2ja-Δ)u=λfa+sol{\ Displaystyle (\ lambda ^ {2} I- \ Delta) u = \ lambda f + g}
u∈H.01(Ω){\ Displaystyle u \ in H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}
λ2>0{\ Displaystyle \ lambda ^ {2}> 0}
(λ2ja-Δ){\ Displaystyle (\ lambda ^ {2} I- \ Delta)}
v=λu-fa{\ displaystyle v = \ lambda uf}
H.01(Ω){\ Displaystyle H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}![H_0 ^ 1 (\ Omega)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/830c3c449349317a46b77590a546b7af4a62dc08)
Oszacowanie operatora rozdzielającego pochodzi z iloczynu skalarnego , zastępując go jego wartością w :
Rλ{\ displaystyle R _ {\ lambda}}
(∗)2{\ displaystyle (*) _ {2}}
v{\ displaystyle v}
u{\ displaystyle u}
(∗)1{\ displaystyle (*) _ {1}}![(*) _ 1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa7a59da882d531ae536f79a38ec61408ad4d413)
λ(‖v‖L2(Ω)2+‖∇u‖L2(Ω)2)=(∇fa,∇u)L2(Ω)+(sol,v)L2(Ω)≤(‖sol‖L2(Ω)2+‖∇fa‖L2(Ω)2)1/2(‖v‖L2(Ω)2+‖∇u‖L2(Ω)2)1/2.{\ Displaystyle {\ początek {tablica} {rcl} \ lambda (\ | v \ | _ {L ^ {2} (\ Omega)} ^ {2} + \ | \ nabla u \ | _ {L ^ {2 } (\ Omega)} ^ {2}) & = & (\ nabla f, \ nabla u) _ {L ^ {2} (\ Omega)} + (g, v) _ {L ^ {2} (\ Omega)} \\ & \ leq & (\ | g \ | _ {L ^ {2} (\ Omega)} ^ {2} + \ | \ nabla f \ | _ {L ^ {2} (\ Omega) } ^ {2}) ^ {1/2} (\ | v \ | _ {L ^ {2} (\ Omega)} ^ {2} + \ | \ nabla u \ | _ {L ^ {2} ( \ Omega)} ^ {2}) ^ {1/2}. \ End {tablica}}}![\ begin {tablica} {rcl} \ lambda (\ | v \ | _ {L ^ 2 (\ Omega)} ^ 2 + \ | \ nabla u \ | _ {L ^ 2 (\ Omega)} ^ 2) & = & (\ nabla f, \ nabla u) _ {L ^ 2 (\ Omega)} + (g, v) _ {L ^ 2 (\ Omega)} \\ & \ leq & (\ | g \ | _ {L ^ 2 (\ Omega)} ^ 2 + \ | \ nabla f \ | _ {L ^ 2 (\ Omega)} ^ 2) ^ {1/2} (\ | v \ | _ {L ^ 2 ( \ Omega)} ^ 2+ \ | \ nabla u \ | _ {L ^ 2 (\ Omega)} ^ 2) ^ {1/2}. \ end {tablica}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c0853361578411158011d6ed8ca68a12f38188b)
Stąd, ponieważ otrzymujemy oczekiwany szacunek . Półgrupa wygenerowana przez jest zatem półgrupą kontrakcji.
(u,v)=Rλ(fa,sol){\ Displaystyle (u, v) = R _ {\ lambda} (f, g)}
‖Rλ‖≤1λ{\ Displaystyle \ | R _ {\ lambda} \ | \ równoważnik {\ Frac {1} {\ lambda}}}
W{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}![{\ mathcal {A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/280ae03440942ab348c2ca9b8db6b56ffa9618f8)
Drugi dowód
Możemy wykorzystać Wniosek 3, aby pokazać, że jest rozpraszający, pokazując, że jest antysprzężony. Mamy wówczas do każdej pary wW{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}
W{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}
(u,v){\ displaystyle (u, v)}
re(W){\ Displaystyle D ({\ mathcal {A}})}
(Wu,v)H.=(∇u2,∇v1)L2(Ω)+(Δu1,v2)L2(Ω)=-(u2,Δv1)L2(Ω)-(∇u1,∇v2)L2(Ω)=-(u,Wv)H..{\ displaystyle {\ begin {tablica} {rcl} ({\ mathcal {A}} u, v) _ {H} & = & (\ nabla u_ {2}, \ nabla v_ {1}) _ {L ^ {2} (\ Omega)} + (\ Delta u_ {1}, v_ {2}) _ {L ^ {2} (\ Omega)} \\ & = & - (u_ {2}, \ Delta v_ { 1}) _ {L ^ {2} (\ Omega)} - (\ nabla u_ {1}, \ nabla v_ {2}) _ {L ^ {2} (\ Omega)} \\ & = & - ( u, {\ mathcal {A}} v) _ {H}. \ end {tablica}}}
W związku z tym jest anty-pomocniczy i ma gęstą domenę, a zatem m-rozpraszający.
W{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}![{\ mathcal {A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/280ae03440942ab348c2ca9b8db6b56ffa9618f8)
Powiązany artykuł
Twierdzenie Lumer-Phillips (w)
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">