W matematyce The Gaussa-Lucas twierdzenie lub twierdzenie Lucas' , wprowadza się właściwości złożonych wielomianów . Stwierdza, że korzenie z pochodna wielomianu znajdują się w wypukłej otoczki zbioru korzeni pierwotnego wielomianu.
Wynik ten został pośrednio użyty w 1836 r. Przez Carla Friedricha Gaussa i udowodniony w 1874 r. Przez Félix Lucas .
Łatwo jest zauważyć, że jeżeli jest to wielomian drugiego stopnia, zero P jest pół suma zer P .
Z drugiej strony, jeśli wielomian stopnia n ze współczynnikami rzeczywistymi dopuszcza n różnych zer rzeczywistych , to używając twierdzenia Rolle'a widzimy , że zera wyprowadzonego wielomianu znajdują się w przedziale .
Poniższy wynik można uznać za uogólnienie tej właściwości wielomianów.
Niech P będzie nie stałym wielomianem o zespolonych współczynnikach. Wtedy wszystko zerowy P „należy do kadłuba wypukłej zbioru zer P .
Niech P będzie rozkładem P na czynniki nieredukowalne: zespół c jest dominującym współczynnikiem wielomianu, zespoły a i są jego odrębnymi zerami, a liczby całkowite n i ich odpowiednimi wielokrotnościami.
Mamy wtedy:
.W szczególności,
,który również jest napisany
.Biorąc koniugaty, widzimy, że z jest centrum barycentrum z dodatnimi współczynnikami a i .
Przypadek, w którym z jest również zerem P, jest oczywisty.
(en) Paul Erdős i Ivan Niven , „ O pierwiastkach wielomianu i jego pochodnej ” , Bull. Gorzki. Matematyka. Soc. , vol. 54,1948, s. 184-190 ( czytaj online )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">