System niezmienny
Proces przekształcania sygnału wejściowego do z wyjściowego sygnału ( sygnałów elektrycznych, na przykład) jest nazywana niezmienna (lub stacjonarny ) Układ gdy tłumaczenie czasu podawany na wejście znajduje się na wyjściu. W tym sensie wynik nie jest wyraźnie zależny od czasu.
Definicja
Jeśli System niezmienne kojarzy wyjście z sygnałem wejściowym , to bez względu na przesunięcie czasu do wejścia, stowarzyszonych systemowych przekonwertowany wyjścia z sygnałem .
x(t){\ Displaystyle \ Displaystyle x (t)}
y(t){\ Displaystyle \ Displaystyle Y (T)}
δ{\ Displaystyle \ Displaystyle \ delta}
x~(t)=x(t+δ){\ Displaystyle {\ tilde {x}} (t) = x (t + \ delta)}
y~(t)=y(t+δ){\ Displaystyle {\ tilde {r}} (t) = r (t + \ delta)}
Równoważna definicja :
System jest niezmienny, jeśli istnieje przemienność między blokiem systemowym a dowolnym blokiem opóźnienia .
Ta właściwość może być spełniona (ale niekoniecznie), jeśli funkcja transferu systemu nie jest funkcją czasu (z wyjątkiem wyrażeń wejściowych i wyjściowych).
Przykłady
Podstawowe przykłady
Aby wiedzieć, jak określić, czy system jest niezmienny, rozważ dwa systemy:
- System A: y(t)=tx(t){\ Displaystyle y (t) = t \, x (t)}
- System B: y(t)=10x(t){\ Displaystyle \, \! r (t) = 10 x (t)}
Ponieważ system A wyraźnie zależy od czasu t na zewnątrz i , to system nie jest niezmienny. System B nie zależy jawnie od czasu t i dlatego jest niezmienny.
x(t){\ Displaystyle x (t) \,}
y(t){\ Displaystyle y (t) \,}
Formalne przykłady
Bardziej formalny dowód niezmienności (lub nie) systemów A i B powyżej został przedstawiony tutaj. Aby wykonać ten dowód, zostanie użyta druga definicja.
System A :
Od wejścia z przesunięciem
xre(t)=x(t+δ){\ Displaystyle x_ {d} (t) = \, \! x (t + \ delta)}
y(t)=txre(t){\ Displaystyle y (t) = t \, x_ {d} (t)}
y1(t)=txre(t)=tx(t+δ){\ Displaystyle y_ {1} (t) = t \, x_ {d} (t) = t \, x (t + \ delta)}
Teraz opóźnijmy wyjście o
δ{\ displaystyle \ delta}
y(t)=txre(t){\ Displaystyle y (t) = t \, x_ {d} (t)}
y2(t)=y(t+δ)=(t+δ)x(t+δ){\ Displaystyle y_ {2} (t) = \, \! y (t + \ delta) = (t + \ delta) x (t + \ delta)}
Oczywiście dlatego system nie jest niezmienny.
y1(t)≠y2(t){\ Displaystyle y_ {1} (t) \ \! \ neq y_ {2} (t)}
System B :
Od wejścia z przesunięciem
xre(t)=x(t+δ){\ Displaystyle x_ {d} (t) = \, \! x (t + \ delta)}
y(t)=10xre(t){\ Displaystyle y (t) = 10 \, x_ {d} (t)}
y1(t)=10xre(t)=10x(t+δ){\ Displaystyle y_ {1} (t) = 10 \, x_ {d} (t) = 10 \, x (t + \ delta)}
Teraz opóźnijmy wyjście o
δ{\ Displaystyle \, \! \ delta}
y(t)=10xre(t){\ Displaystyle y (t) = 10 \, x_ {d} (t)}
y2(t)=y(t+δ)=10x(t+δ){\ Displaystyle y_ {2} (t) = r (t + \ delta) = 10 \, x (t + \ delta)}
Oczywiście dlatego system jest niezmienny
y1(t)=y2(t){\ Displaystyle y_ {1} (t) = \, \! y_ {2} (t)}
Abstrakcyjny przykład
Oznaczmy operator opóźnienia przez gdzie jest wielkością, o jaką parametr wektora musi zostać opóźniony. Na przykład system „awans o 1”:
Tr{\ displaystyle \ mathbb {T} _ {r}}
r{\ displaystyle r}
x(t+1)=δ(t+1)∗x(t){\ Displaystyle x (t + 1) = \, \! \ delta (t + 1) * x (t)}
można przedstawić za pomocą notacji abstrakcyjnej:
x~1=T1x~{\ displaystyle {\ tilde {x}} _ {1} = \ mathbb {T} _ {1} \, {\ tilde {x}}}
gdzie jest funkcja podana przez
x~{\ displaystyle {\ tilde {x}}}
x~=x(t)∀t∈R{\ displaystyle {\ tilde {x}} = x (t) \, \ forall \, t \ in \ mathbb {R}}
system wytwarzający rozłożone wyniki
x~1=x(t+1)∀t∈R{\ Displaystyle {\ tilde {x}} _ {1} = x (t + 1) \, \ forall \, t \ in \ mathbb {R}}
Więc jest operatorem, który zwiększa wejście wektora o 1.
T1{\ displaystyle \ mathbb {T} _ {1}}
Załóżmy, że reprezentujemy system przez operatora . Ten system jest niezmienny, jeśli dojeżdża z operatorem opóźnienia, to znaczy:
H.{\ displaystyle \ mathbb {H}}
TrH.=H.Tr∀r{\ Displaystyle \ mathbb {T} _ {r} \, \ mathbb {H} = \ mathbb {H} \, \ mathbb {T} _ {r} \ \ \ \ \ forall \, r}
Jeśli równanie układu jest podane wzorem:
y~=H.x~{\ displaystyle {\ tilde {y}} = \ mathbb {H} \, {\ tilde {x}}}
Wtedy jest to system niezmienny, jeśli możemy zastosować operator do kontynuacji operatora opóźnienia lub zastosować operator opóźnienia, po którym następuje operator systemu , przy czym 2 obliczenia dają równoważny wynik.
H.{\ displaystyle \ mathbb {H}}x~{\ displaystyle {\ tilde {x}}}Tr{\ displaystyle \ mathbb {T} _ {r}}Tr{\ displaystyle \ mathbb {T} _ {r}}H.{\ displaystyle \ mathbb {H}}
Najpierw zastosujmy operatora systemu:
TrH.x~=Try~=y~r{\ Displaystyle \ mathbb {T} _ {r} \, \ mathbb {H} \, {\ tilde {x}} = \ mathbb {T} _ {r} \, {\ tilde {y}} = {\ tylda {y}} _ {r}}
Zastosowanie operatora opóźnienia najpierw daje:
H.Trx~=H.x~r{\ Displaystyle \ mathbb {H} \, \ mathbb {T} _ {r} \, {\ tilde {x}} = \ mathbb {H} \, {\ tilde {x}} _ {r}}
Jeśli system jest niezmienny, to
H.x~r=y~r{\ displaystyle \ mathbb {H} \, {\ tilde {x}} _ {r} = {\ tilde {y}} _ {r}}
Powiązane artykuły
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">