W matematyce wyrażenia „ na wszystko ” i „ istnieje ”, używane do formułowania twierdzeń matematycznych przy obliczaniu predykatów , nazywane są kwantyfikacjami . Symbole reprezentujące język formalny nazywane są kwantyfikatorami (lub dawniej kwantyfikatorami ).
Uniwersalna kwantyzacja ("dla wszystkich..." lub "cokolwiek...") jest oznaczona symbolem ∀ ( A od tyłu ).
Przykład:
∀ x P ( x )czyta
„Dla wszystkich x P ( x )”i oznacza
„Każdy obiekt rozważanej domeny ma właściwość P ”.Notacja „∀” została po raz pierwszy użyta przez Gerharda Gentzena w 1933 r. (opublikowana w 1934 r.). Niemieckie słowo alle oznaczające „wszystko” proponuje „symbol ( zeichen ) ważny dla wszystkich ( für alle )” . Gentzen wskazuje, że wybrał jako „symbol wszystkiego” ( All-Zeichen ) odwrócone A przez analogię z symbolem „∃” dla kwantyfikatora egzystencjalnego, który zaczerpnął od Russella .
Kwantyfikacja egzystencjalna („istnieje…” w sensie „jest co najmniej jeden…”) jest oznaczona znakiem ∃ (zwrócone E). Dokładniej,
∃ x P ( x )znaczy
istnieje co najmniej jeden x taki, że P ( x ) (co najmniej jeden przedmiot rozważanej dziedziny ma właściwość P )Aby wyrazić wyjątkowość oprócz istnienia, używanym znakiem jest ∃! (kwantyfikator egzystencjalny, po którym następuje wykrzyknik), a dokładniej:
! x P ( x )znaczy
istnieje unikalny x taki, że P ( x ), albo istnieje jeden i tylko jeden x taki, że P ( x ) (obiekt dokładnie rozpatrywanej dziedziny ma własność P ).Ten ostatni kwantyfikator jest zdefiniowany przez obliczenie egalitarnych predykatów z dwóch poprzednich kwantyfikatorów (i z równości), na przykład przez
! x P ( x ) ≡ x [ P ( x ) i ∀ y ( P ( y ) ⇒ y = x )].
Notacja ∃ została po raz pierwszy użyta przez Giuseppe Peano w 1897 roku w tomie II jego formy matematycznej z inną składnią, znak jest bezpośrednio związany z predykatem (∃ P dla naszego ∃ x P ( x )). Bertrand Russell jako pierwszy używa go w dotychczasowy sposób, jako operatora łącza.
Negacja to:
Lub: .Negacja to:
, lub: w logice klasycznej , ale nie w logice intuicjonistycznej .Dla formuły sformatowanej z góry kolejność kwantyfikatorów pomiędzy każdym blokiem identycznych kwantyfikatorów (a więc blokiem kwantyfikatorów egzystencjalnych lub blokiem kwantyfikatorów uniwersalnych) jest nieistotna, formuła pozostaje taka sama. Z drugiej strony naprzemienność bloków egzystencjalnych lub uniwersalnych kwantyfikatorów daje bardzo wyraźne formuły, których złożoność logiczna jest obserwowana zwłaszcza w hierarchii arytmetycznej .
W naturalnej dedukcji , Gerhard Gentzen prezentuje dwa kwantyfikatory, co następuje:
Zasady wstępne | Zasady utylizacji | |
---|---|---|
za wszystko | . | |
istnieje |
Jeśli weźmiemy grupę czarnych kotów, możemy powiedzieć, że jakikolwiek kot z tej grupy wybierzemy, będzie czarny. ( )
Jeśli w grupie czarnych kotów jest kilka białych kotów (lub tylko jeden), to możemy powiedzieć, że w tej grupie jest jeden (lub tylko jeden) biały kot.
( )
Symbol | Unicode | HTML | Lateks | |
---|---|---|---|---|
za wszystko | ∀ | U + 2200 | & dla wszystkich; | \ dla wszystkich |
istnieje | ∃ | U + 2203 | &istnieć; | \ istnieje |
Ekspozycja reguł rządzących zwykłymi kwantyfikatorami istnieje i wszystko, co można znaleźć we wszystkich podręcznikach rachunku predykatów , których bibliografię można znaleźć na temat logiki matematycznej .
Aby uogólnić te kwantyfikatory, możemy zwrócić się do: