Obserwator statusu

W automatyzacji i informacji w teorii , A obserwator stan jest rozszerzeniem modelu reprezentowanego w postaci reprezentacji państwowej . Gdy stan układu nie jest mierzalny, projektuje się obserwatora, który umożliwia rekonstrukcję stanu z modelu układu dynamicznego i pomiarów innych wielkości.

Historyczny

Teoria obserwatora stanu została po raz pierwszy wprowadzona przez Kalmana i Bucy'ego dla systemu liniowego w środowisku stochastycznym ( filtr Kalmana- Bucy'ego). Następnie Luenberger (in) stworzył ogólną teorię obserwatorów dla deterministycznych systemów liniowych , wprowadzając w szczególności pojęcia zredukowanego obserwatora i minimalnego obserwatora. Obserwatorzy liniowi dali początek niedawnym pracom zmierzającym do coraz szerszego uogólnienia. W przypadku systemów nieliniowych rozszerzony filtr Kalmana jest nadal szeroko stosowany, pomimo ważnych wyników ostatnio uzyskanych na obserwatorach nieliniowych o dużym wzmocnieniu. Bardzo ważną kwestią jest odporność obserwatorów. Podstawowym wkładem są Doyle i Stein, z procesem LTR („Loop Transfer Recovery”), którego całkowicie algebraiczną interpretację można podać w przypadku monozmiennej.

Stanowisko problemu

Rozważ następujący system liniowy:

{\ displaystyle {\ begin {przypadków} {\ kropka {x}} = Ax + Bu \\ y = Cx \ koniec {przypadków}}}

Realizacja sterowania poprzez sprzężenie zwrotne stanu wymaga czujników umożliwiających w każdej chwili podanie przybliżonej wartości stanu . Stosowane są dwa rodzaje czujników o różnej naturze: pierwszy to czujniki fizyczne , pochodzące z oprzyrządowania. Czujniki te są czasami zbyt drogie lub trudne do wyprodukowania ze względów technicznych. Z tego powodu musimy zaprojektować drugi typ czujnika - czujniki programowe , zwane częściej obserwatorami . Są to algorytmy oparte na modelu systemu i wykorzystujące istotne informacje podawane przez czujniki fizyczne. Te czujniki programowe przez cały czas dostarczają online oszacowanie niezmierzonych zmiennych stanu systemu. $u (x)$ $t$ $x (t)$ $t$

Architektura z obserwatorem

Jeśli oznacza (niezmierzony) stan systemu, reprezentuje oszacowanie stanu dokonane przez obserwatora. $x$ ${\ hat x}$

Stan jest szacowany poprzez wirtualne kopiowanie dynamiki systemu z uwzględnieniem nie tylko polecenia , ale także danych wyjściowych systemu (pomiarów) w celu skorygowania ewentualnych odchyleń. $u$ $y$

Ukończ obserwator stanu

Rozważ następujący system liniowy:

{\ displaystyle {\ begin {przypadków} {\ kropka {x}} = Ax + Bu \\ y = Cx \ koniec {przypadków}}}

Dynamiczny obserwator wygląda następująco:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} {\ kropka {\ kapelusz {x}}} = A {\ kapelusz {x}} + Bu + L (y - {\ kapelusz {y}}) \\ {\ kapelusz { y}} = C {\ hat {x}} \ end {sprawy}}}

Koryguje ewolucję stanu z modelu na podstawie rozbieżności między obserwowanym wyjściem a wyjściem zrekonstruowanym przez obserwatora . ${\ displaystyle (y - {\ hat {y}})}$

Możemy przepisać obserwatora w następujący sposób:

{\ Displaystyle {\ kropka {\ kapelusz {x}}} = (A-LC) {\ kapelusz {x}} + Bu + Ly}

sprawdza się, czy obserwator rekonstruuje stan jako funkcję rozkazu i pomiarów jak na powyższym schemacie. $x$ $u$ $y$

Macierz nazywana jest macierzą wzmocnienia i musi być tak dobrana, aby błąd stanu był zbieżny wykładniczo w kierunku 0, tj . W tym celu jest to konieczne i wystarczy, aby została wybrana tak, aby macierz miała wszystkie swoje wartości własne w lewej półpłaszczyźnie (w dyskretnym przypadku macierz ta powinna mieć wszystkie swoje wartości własne wewnątrz dysku jednostkowego). Warunkiem koniecznym i wystarczającym dla istnienia takiej matrycy jest to, aby system był wykrywalny. Warunkiem koniecznym i wystarczającym do umieszczenia wartości własnych w dowolnym symetrycznym (w stosunku do osi rzeczywistej) zbiorze liczb zespolonych jest to, aby system był obserwowalny. $L$ ${\ Displaystyle {\ tilde {x}} = ({\ kapelusz {x}} - x) \ do 0}$ $L$ ${\ displaystyle A-LC}$ ${\ displaystyle A-LC}$ $nie$

Polecenie przez sprzężenie zwrotne stanu odtworzone przez kompletnego obserwatora stanu

Powyższy obserwator ma ciekawą cechę zwaną zasadą separacji : w przypadku sterowania liniowego można oddzielnie zaprojektować sterowanie ze sprzężeniem zwrotnym (zakładając stan znany) i obserwatora stanu całkowitego. Rzeczywiście, jeśli układ wyposażony w sprzężenie zwrotne stanu jest stabilny, a projektowany obserwator jest również stabilny (tj. Macierze i macierze w lewej półpłaszczyźnie), to układ sterowany przez powrót zrekonstruowanego stanu jest stabilny. ${\ displaystyle A-BK}$ ${\ displaystyle A-LC}$

Rzeczywiście, rozważmy następujący niezmienny układ liniowy, obserwowalny i kontrolowalny , a także kompletny obserwator stanu:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadków} {\ kropka {x}} = Ax + Bu \\ y = Cx \ koniec {przypadków}} \ qquad {\ rozpocząć {przypadki} {\ kropka {\ kapelusz {x}}} = A {\ hat {x}} + Bu + L (y - {\ hat {y}}) \\ {\ hat {y}} = C {\ hat {x}} \ end {cases}}}

Wykonując zapętlenie , dynamika zapętlonego systemu jest następnie zapisywana: ${\ displaystyle u = -K {\ kapelusz {x}}}$

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} {\ kropka {x}} = Ax-BK {\ kapelusz {x}} \\ {\ kropka {\ kapelusz {x}}} = (A-BK) {\ kapelusz { x}} + L (yC {\ hat {x}}) \ end {sprawy}}}

Możemy dokonać następującej zmiany zmiennej, aby zapisać błąd rekonstrukcji:

{\ displaystyle {\ tilde {x}} = x - {\ hat {x}}}

stąd, zastępując,

{\ Displaystyle {\ kropka {\ tilde {x}}} = (A-LC) {\ tylda {x}}}

Pisząc nowy system rozszerzony, składający się ze stanu i błędu rekonstrukcji, otrzymujemy:

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ dot {x}} \\ {\ dot {\ tilde {x}}} \ end {pmatrix}} = {\ początek {pmatrix} A-BK i BK \\ 0 & A-LC \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ {\ tilde {x}} \ end {pmatrix}}}

Ta macierz jest trójkątna blokami, a zatem widmo systemu zapętlonego składa się z rozłącznego połączenia widm bloków przekątnych, to znaczy z sumy widm uporządkowanego układu początkowego i zaobserwowano początkowy system. Zatem synteza systemu kontrolowanego przez sprzężenie zwrotne stanu odtworzonego przez obserwatora jest szczególnie prosta w przypadku niezmiennych układów liniowych, ponieważ te dwie funkcje można syntetyzować oddzielnie.

Uwagi końcowe

Kontrola przez sprzężenie zwrotne stan , kiedy nie dodajemy pełną pętlę, stanowi słabe serwo-kontroli. To samo jest oczywiście prawdą w przypadku polecenia przez odtworzone sprzężenie zwrotne stanu. Jeśli zatem wyznacza sygnał odniesienia i jest błędem odniesienia , zaimplementowane polecenie będzie ostatecznie miało postać (z wyjątkiem stałej addytywnej) $r$ ${\ displaystyle e = rok}$ ${\ Displaystyle u = -K_ {p} {\ kapelusz {x}} - K_ {i} \ int e \ lewo (t \ prawo) dt}$
Podczas gdy bieguny sterowania sprzężeniem zwrotnym w pełnej pętli powinny być dobierane na podstawie biegunów układu otwartej pętli, bieguny obserwatora powinny być dobierane na podstawie zer tego układu. To właśnie wynika z algebraizacji „metody LTR” wspomnianej w historii, która rozciąga się na przypadek, w którym stosuje się pełną pętlę. W układzie z otwartą pętlą zawsze mając pewne zera w nieskończoności, odpowiednie bieguny obserwatora zostaną wybrane „dostatecznie szybko”, w szczególności w odniesieniu do innych biegunów zamkniętej pętli. Prowadzi to do zakwalifikowania zasady separacji: ta ostatnia jest w pełni ważna dla stabilności idealnego systemu pętli modelu, ale gdy tylko kwestia odporności zostanie uwzględniona, kwestia staje się nieco bardziej złożona. Z drugiej strony, skończone zera systemu otwartej pętli idealnie powinny być biegunami obserwatora. Ta ostatnia musi być stabilna, jest to możliwe tylko wtedy, gdy te zera są „stabilne” (tj. W otwartej lewej półpłaszczyźnie w przypadku czasu ciągłego, wewnątrz koła jednostkowego w przypadku czasu dyskretnego). Sytuacja, w której warunek ten nie jest spełniony, jest niekorzystna, niezależnie od wybranej metody uzyskania kontroli.
Obserwator jest również używany w przetwarzaniu sygnałów do filtrowania pomiarów. W tym kontekście Kalman zaproponował filtr, który teraz nosi jego imię.

Uwagi i odniesienia

Bibliografia

(en) Ingrid Blumthaler i Ulrich Oberst , „ T-observers ” , Linear Algebra Appl. , vol. 430, n kość 8-9,2009, s. 2416-2447
(en) Henri Bourlès , Linear Systems , John Wiley & Sons ,2010, 544 str. ( ISBN 978-1-84821-162-9 i 1-84821-162-7 )
Henri Bourlès i Ernest Irving , „ Metoda LQG / LTR: interpretacja wielomianu w czasie ciągłym / dyskretnym ”, APII , vol. 25,1991, s. 545-592
(en) John C. Doyle i Gunther Stein , „ Solidność z obserwatorami ” , IEEE Transaction on Automatic Control , vol. 24,1979, s. 607-611
(en) John C. Doyle i Gunther Stein , „ Multivariable Feedback Design: Concepts for a Classical / Modern Synthesis ” , IEEE Transaction on Automatic Control , vol. 26,Dziewiętnaście osiemdziesiąt jeden, s. 4-16
(en) James S. Freudenberg i Douglas P. Looze , Frequency Domain Properties of Scalar and Multivariable Feedback Systems , Springer,1988, 281 str. ( ISBN 3-540-18869-X )
(en) Paul A. Fuhrmann , „ Teoria obserwatorów ” , Linear Algebra Appl. , vol. 428 n o 1,2008, s. 44–136
(en) Jean-Pierre Gauthier i Ivan Kupka , Deterministyczna teoria obserwacji i zastosowania , Cambridge University Press ,2011, 238 str. ( ISBN 978-0-521-18386-4 i 0-521-18386-3 )
(en) A. Gelb , Applied Optimal Estimation , MIT Press ,1974( przedruk 1996), 382 str. ( ISBN 0-262-57048-3 )
(en) Rudolf E. Kalman , „ A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems ” , Transactions of the ASME - Journal of Basic Engineering , vol. 82,1960, s. 35-45
(en) Rudolf E. Kalman i Richard S. Bucy , „ New Results in Linear Filtering and Prediction Theory ” , Transactions of the ASME - Journal of Basic Engineering , vol. 83,1961, s. 95-107
(en) David G. Luenberger , „ Obserwując stan systemu liniowego ” , IEEE Transaction on Military Electronics , vol. 8,1964, s. 74-80
(en) David G. Luenberger , „ An Introduction to Observers ” , IEEE Transaction on Automatic Control , vol. 16,1971, s. 596-602

Zobacz też