Modulacja częstotliwości
Modulację częstotliwości lub MF ( FM w języku angielskim) jest w trybie modulacji polegający na transmisję sygnału przez modulację częstotliwości sygnału nośnego (nośnika).
Mówimy o modulacji częstotliwości w przeciwieństwie do modulacji amplitudy . W modulacji częstotliwości informacja jest przenoszona przez modyfikację częstotliwości nośnej, a nie przez zmianę amplitudy. Modulacja częstotliwości jest bardziej wytrzymała niż modulacja amplitudy, aby przesyłać komunikat w trudnych warunkach (wysokie tłumienie i szum ).
W przypadku sygnałów cyfrowych za pomocą wariantu zwanego przesunięciem częstotliwości modulacji lub w języku angielskim kluczowanie z przesunięciem częstotliwości (FSK). FSK używa ograniczonej liczby dyskretnych częstotliwości.
Historyczny
Przykłady zastosowań
Modulacja częstotliwości jest szeroko stosowana, w szczególności w dziedzinie telekomunikacji. Wśród innych zastosowań możemy przytoczyć:
- Niektóre modemy ( MO dulateur- dem odulateur) z wykorzystaniem modulacji częstotliwości niskiej prędkości;
- radia z „ pasma FM ” emitują, jak sama nazwa wskazuje, w modulacji częstotliwości (w paśmie VHF II );
- synteza FM , metoda muzyczny tworzenia dźwięków według częstotliwości modulacji pomiędzy kilku oscylatorów elektronicznych, pierwotnie legendarny syntezator DX7 Yamaha a ostatnio różne syntezatory programowe jak FM7 i FM8 od Native Instruments lub operator „Ableton.
- telefony analogowe wykorzystują podobną technikę wybierania numerów : każda cyfra jest kodowana przez jednoczesną transmisję kombinacji dwóch częstotliwości (spośród 8) w celu utworzenia kodu DTMF . Jest to wariant modulacji FSK, który wykorzystuje więcej niż dwie częstotliwości.
Teoria
Sprawa ogólna
Zwróć uwagę na przesyłany sygnał o ograniczonej amplitudzie, taki jak:
xm(t),{\ styl wyświetlania x _ {\ matematyka {m}} (t),}
|xm(t)|≤1.{\ styl wyświetlania | x _ {\ matematyka {m}} (t) | \ leq 1.}Zwróć uwagę na sinusoidalny nośnik :
xp{\ styl wyświetlania x _ {\ matematyka {p}}}
xp(t)=Wpsałata(2πfapt),{\ displaystyle x _ {\ matematyka {p}} (t) = A_ {p} \ cos (2 \ pi f _ {\ matematyka {p}} t),}Z:
-
fap{\ displaystyle f_ {p}}, częstotliwość nośnika w hercach ;
-
Wp{\ styl wyświetlania A_ {p}}, amplituda nośnika.
Sygnał z modulacją częstotliwości jest wtedy następujący:
tak(t)=Wpsałata(2π∫0tfa(τ)reτ){\ displaystyle y (t) = A_ {p} \ cos \! \ lewy (2 \ pi \ int _ {0} ^ {t} f (\ tau) \, d \ tau \ prawy)}Z reprezentacją chwilowej częstotliwości oscylatora (która zmienia się wraz z wejściem modulatora). Można ją wyrazić jako funkcję odchyłki częstotliwości , czyli maksymalnego odchylenia od częstotliwości nośnej (dla ograniczonego do przedziału [−1, 1]):
fa{\ styl wyświetlania f} faΔ{\ displaystyle f _ {\ Delta}} fap{\ displaystyle f _ {\ matematyka {p}}}xm(t){\ styl wyświetlania x _ {\ matematyka {m}} (t)}
fa(t)=fap+faΔxm(t){\ displaystyle f (t) = f _ {\ matematyka {p}} + f _ {\ Delta} x _ {\ matematyka {m}} (t)}.
Sygnał
tak(t)=Wpsałata(2π∫0tfa(τ)reτ)=Wpsałata(2π∫0t[fap+faΔxm(τ)]reτ)=Wpsałata(2πfapt+2πfaΔ∫0txm(τ)reτ){\ displaystyle {\ początek {wyrównany} y (t) & = A_ {p} \ cos \! \ lewo (2 \ pi \ int _ {0} ^ {t} f (\ tau) \, d \ tau \ po prawej) \\ & = A_ {p} \ cos \! \ po lewej (2 \ pi \ int _ {0} ^ {t} \ po lewej [f _ {\ mathrm {p}} + f _ {\ Delta} x _ {\ mathrm {m}} (\ tau) \ prawy] \, d \ tau \ prawy) \\ & = A_ {p} \ cos \! \ lewy (2 \ pi f _ {\ mathrm {p}} t + 2 \ pi f _ {\ Delta} \ int _ {0} ^ {t} x _ {\ mathrm {m}} (\ tau) \, d \ tau \ prawy) \\\ end {wyrównany}} }Uwaga
Chociaż na pierwszy rzut oka można sobie wyobrazić, że częstotliwości są ograniczone do przedziału ± , to rozumowanie pomija rozróżnienie między częstotliwością chwilową a częstotliwością widmową . Harmoniczne widmo o rzeczywistej sygnału FM posiada składniki, które idą w górę do nieskończonych częstotliwościach, choć szybko stają się nieistotne.
fap{\ displaystyle f _ {\ matematyka {p}}}faΔ{\ displaystyle f _ {\ Delta}}
Przypadek modulacji sinusoidalnej
Rozwój i uproszczenia
Interesującym przypadkiem do omówienia jest przypadek modulacji monochromatycznej, czyli sinusoidalnego sygnału modulującego.
xm(t)=Wmsałata(2πfamt){\ displaystyle x_ {m} (t) = A_ {m} \ cos (2 \ pi f_ {m} t)}W takim przypadku całkę sygnału modulującego możemy opracować w wyrażeniu nadawanego sygnału wcześniej wyrażonego w ogólnym przypadku:
tak(t){\ styl wyświetlania y (t)}
∫0txm(τ)reτ=Wmgrzech(2πfamt)2πfam{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {t} x_ {m} (\ tau) d \ tau = {\ frac {A_ {m} \ sin (2 \ pi f_ {m} t)} {2 \ pi f_ {m}}}}Możemy wreszcie opracować wyrażenie wykorzystujące funkcję Bessela , która umożliwia formalne modelowanie obsadzenia spektralnego modulacji FM:
tak(t){\ styl wyświetlania y (t)} jotnie(β){\ displaystyle J_ {n} (\ beta)}
tak(t)=Wpsałata(2πfapt+WmfamfaΔgrzech(2πfamt)){\ displaystyle y (t) = A_ {p} \ cos (2 \ pi f _ {\ matematyka {p}} t + {\ frac {A_ {m}} {f_ {m}}} {f _ {\ Delta}} \ sin (2 \ pi f _ {\ mathrm {m}} t))}Możemy wtedy wprowadzić indeks modulacji , który umożliwia prostsze pisanie:
β=WmfamfaΔ{\ displaystyle \ beta = {\ frac {A_ {m}} {f_ {m}}} {f _ {\ Delta}}}
tak(t)=Wpsałata(2πfapt+βgrzech(2πfamt)){\ displaystyle y (t) = A_ {p} \ cos (2 \ pi f _ {\ matematyka {p}} t + \ beta \ sin (2 \ pi f _ {\ matematyka {m}} t))}
Modelowanie za pomocą funkcji Bessela
Aby uprościć obliczenia, łatwiej jest rozumować kompleksami , a mianowicie, zwracając uwagę na jednostkę urojoną:
jot{\ styl wyświetlania j}
tak_(t)=Wpmi2jotπfaptmijotβgrzech(2πfamt)=x~(t)⋅mi2jotπfapt{\ displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ podkreślenie {y}} (t) & = A_ {p} e ^ {2j \ pi f _ {\ matematyka {p}} t} e ^ {j \ beta \ grzech ( 2 \ pi f _ {\ mathrm {m}} t)} \\ & = {\ tylda {x}} (t) \ cdot e ^ {2j \ pi f _ {\ mathrm {p}} t} \ koniec {wyrównany}}}Tam, gdzie zauważyliśmy , złożona obwiednia sygnału modulowanego (nośna). Jest to częstotliwość okresowa i dlatego może być rozwinięta w szereg Fouriera :
x~=Wpmijotβgrzech(2πfamt){\ displaystyle {\ tylda {x}} = A_ {p} e ^ {j \ beta \ grzech (2 \ pi f _ {\ matematyka {m}} t)}}fam{\ displaystyle f_ {m}}
x~_(t)=WpΣnie=-∞+∞VSnie_mi2πjotniefamt{\ displaystyle {\ podkreślenie {\ tylda {x}}} (t) = A_ {p} \ suma _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} {\ podkreślenie {C_ {n}}} e ^ {2 \ pi jnf_ {m} t}}Ze współczynnikami:
VSnie_=fam∫-1/2fam1/2fammijotβgrzech(2πfamt)mi-2jotnieπfamtret=12π∫-ππmi-jot(niex-βgrzechx)rex{\ displaystyle {\ początek {wyrównany} {\ podkreślenie {C_ {n}}} & = f_ {m} \ int _ {- 1/2f_ {m}} ^ {1 / 2f_ {m}} e ^ {j \ beta \ sin (2 \ pi f_ {m} t)} e ^ {- 2jn \ pi f_ {m} t} dt \\ & = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} e ^ {- j (nx- \ beta \ sin x)} dx \ end {wyrównany}}}Ta ostatnia całka jest niczym innym jak funkcją Bessela pierwszego typu, kolejności i argumentu . Nasz szereg Fouriera wyraża się zatem w prosty sposób:
nie{\ styl wyświetlania n}β{\ styl wyświetlania \ beta}
x~_(t)=WpΣnie=-∞+∞jotnie(β)mi2jotπniefamt{\ displaystyle {\ podkreślenie {\ tylda {x}}} (t) = A_ {p} \ suma _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} J_ {n} (\ beta) e ^ {2j \ pi nf_ {m} t}}Pozostaje tylko zastąpić ten wynik w , a następnie wziąć rzeczywistą część, aby uzyskać ostateczny wynik:
tak_(t){\ styl wyświetlania {\ podkreślenie {y}} (t)}
tak(t)=WpΣnie=-∞+∞jotnie(β)sałata(2π(fap+niefam)t).{\ displaystyle y (t) = A_ {p} \ suma _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} J_ {n} (\ beta) \ cos (2 \ pi (f _ {\ mathm {p } } + nf _ {\ matematyka {m}}) t).}
Z następującymi zapisami:
W{\ styl wyświetlania A \, \!} : amplituda sygnału
|
jotnie(β){\ displaystyle J_ {n} (\ beta) \, \!} : Funkcja Bessela pierwszego rodzaju!
|
fap{\ displaystyle f _ {\ matematyka {p}} \, \!} : częstotliwość nośna
|
β=WmfamfaΔ{\ displaystyle \ beta = {\ frac {A_ {m}} {f_ {m}}} {f _ {\ Delta}} \, \!} : indeks modulacji
|
fam{\ displaystyle f _ {\ matematyka {m}} \, \!} : częstotliwość modulacji
|
nie{\ styl wyświetlania n \, \!} : Rząd harmonicznej z ,fam{\ displaystyle f _ {\ matematyka {m}}}nie∈NIE{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}
|
Zmieniając , zmieniamy intensywność modulacji, a więc różnicę między największą i najmniejszą częstotliwością, które zmieniają się z częstotliwością .
β{\ styl wyświetlania \ beta}fam{\ displaystyle f _ {\ matematyka {m}}}
Współczynniki można obliczyć za pomocą następujących szeregów:
jotnie(β){\ displaystyle J_ {n} (\ beta)}
jotnie(β)=Σk=0∞(-1)kk!(β2)nie+2k(nie+k)!{\ displaystyle J_ {n} (\ beta) = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k!}} {\ frac {\ lewo ( {\ Frac {\ beta} {2}} \ po prawej) ^ {n + 2k}} {(n + k)!}}}
Sprawa FSK
W FSK sygnał może przyjmować zbiór wartości dyskretnych (np. dwie w modulacjach binarnych), co daje podczas transmisji wartości :
xm{\ styl wyświetlania x _ {\ matematyka {m}}}xja{\ styl wyświetlania x_ {i}}xja{\ styl wyświetlania x_ {i}}
tak(t)=Wsałata[2π∫0t(fap+faΔxja)reτ]=Wsałata[2π(fap+faΔxja)t].{\ displaystyle y (t) = A \ cos \ lewo [2 \ pi \ int _ {0} ^ {t} (f_ {p} + f _ {\ Delta} x_ {i}) \, d \ tau \ prawo ] = A \ cos [2 \ pi (f_ {p} + f _ {\ Delta} x_ {i}) t].}Można zatem zauważyć, że częstotliwość chwilowa może przyjmować tylko dyskretny zestaw wartości, jedną wartość dla każdej wartości przesyłanego sygnału.
xja{\ styl wyświetlania x_ {i}}
W praktyce sterowanie częstotliwością może odbywać się za pomocą napięcia przyłożonego do OCT ( oscylatora sterowanego napięciem ) VCO ( oscylatora sterowanego napięciem ), elementu obecnych generatorów funkcji serca. Modulacja zdigitalizowanego sygnału informacyjnego, następstwo stanów wysokich i niskich o zmiennym czasie trwania, jest po modulacji przepisywane na sygnał analogowy. Zmodulowany sygnał wykazuje skoki częstotliwości na każdym zboczu sygnału informacyjnego.
Bardzo powszechna technika demodulacji wykorzystuje pętlę synchronizacji fazowej . Powiązana z systemem dekodowania przez układy logiczne, wykorzystywana była m.in. w telefonii do wykrywania tonu sygnałów emitowanych w systemach numeracji klawiatur telefonicznych.
Zasada Carsona
W przybliżeniu reguła Carsona wskazuje, że w przybliżeniu cała moc (~ 98%) sygnału o modulowanej częstotliwości mieści się w paśmie częstotliwości:
2(faΔ+famwx),{\ displaystyle 2 (f _ {\ Delta} + f _ {\ matematyka {max}}),}gdzie jest maksymalnym odchyleniem częstotliwości chwilowej od częstotliwości nośnej (przy założeniu, że znajduje się ona w przedziale [-1, 1]) i jest największą częstotliwością przesyłanego sygnału .
faΔ{\ displaystyle f _ {\ Delta}}fa(t){\ styl wyświetlania f (t)}fap{\ displaystyle f _ {\ matematyka {p}}}xm(t){\ styl wyświetlania x _ {\ matematyka {m}} (t)}famwx{\ displaystyle f _ {\ matematyka {max}}}xm(t){\ styl wyświetlania x _ {\ matematyka {m}} (t)}
Uwaga: modulacja częstotliwości może być postrzegana jako szczególny przypadek modulacji fazy, w której modulacja fazy nośnika jest całką czasową przesyłanego sygnału.
W obecnych zastosowaniach częstotliwość modulacji jest zawsze niższa od częstotliwości nośnej, ale nieprzestrzeganie tej zasady może dać ciekawe rezultaty, zwłaszcza w syntezie dźwięku .
Bibliografia
- A. Spataru, Podstawy teorii przekazu informacji , Prasy Polytechniques romandes.
- R. Manneville, J. Esquieu, Elektronika (systemy komunikacji) , Dunod.
- J. Hervé, Elektronika stosowana do przekazywania informacji , Masson.
- J. Auvray, Elektronika sygnałów próbkowanych i cyfrowych , Masson.
- M. Girard, Phase Locked Loops , McGraw-Hill.
- M. Schwartz, Transmisja informacji, modulacja i szum , McGraw-Hill.
Zobacz również
Powiązane artykuły
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">