Model Wess-Zumino-Novikov-Witten

W fizyce teoretycznej i matematyce model Wessa - Zumino - Novikova - Wittena (WZNW) jest prostym modelem konformalnej teorii pola, której rozwiązania są realizowane przez afiniczne algebry Kaca-Moody'ego .

Model ten został nazwany na cześć Juliusza Wess , Bruno Zumino , Siergiej Nowikow i Edward Witten .

Akcja

Niech G będzie prostu podłączone zwarta grupa Lie i g jego prosty Lie algebra . Niech γ będzie ciałem wysyłającym punkty zagęszczenia płaszczyzny zespolonej S ² do G,

{\ Displaystyle {\ Displaystyle \ gamma: S ^ {2} \ do G}.}

Moderatorem WZNW jest zatem nieliniowy model sigma zdefiniowany przez γ z działaniem podanym przez

{\ Displaystyle S_ {k} (\ gamma) = - \, {\ Frac {k} {8 \ pi}} \ int _ {S ^ {2}} d ^ {2} x \, {\ mathcal {K }} (\ gamma ^ {- 1} \ części ^ {\ mu} \ gamma \ ,, \, \ gamma ^ {- 1} \ częściowe _ {\ mu} \ gamma) +2 \ pi k \, S ^ {\ mathrm {W} Z} (\ gamma).}

gdzie $\partial μ = \partial / \partial x μ$ jest pochodną cząstkową , metryka jest euklidesowa, a konwencja sumowania Einsteina ma zastosowanie do indeksów powtórzonych. oznacza formę zabijania na g; ten pierwszy termin jest standardowym terminem kinetycznym w kwantowej teorii pola . ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$

S WZ oznacza koniec Wess-Zumino i można je zapisać jako

{\ Displaystyle S ^ {\ mathrm {W} Z} (\ gamma) = - \, {\ Frac {1} {48 \ pi ^ {2}}} \ int _ {B ^ {3}} d ^ { 3} y \, \ epsilon ^ {ijk} {\ mathcal {K}} \ left (\ gamma ^ {- 1} \, {\ frac {\ części \ gamma} {\ częściowe y ^ {i}}} \ ,, \, \ left [\ gamma ^ {- 1} \, {\ frac {\ part \ gamma} {\ part y ^ {j}}} \ ,, \, \ gamma ^ {- 1} \, { \ frac {\ części \ gamma} {\ częściowe y ^ {k}}} \ right] \ right)}

gdzie [,] jest komutatorem , $ε ijk$ jest symbolem całkowicie antysymetrycznym , a całkowanie na współrzędnych y i dla i = 1,2,3 odbywa się na kuli o promieniu jednostkowym B ³. Rozszerzenie dziedziny γ umożliwia zdefiniowanie pola wewnątrz kuli jednostkowej. To rozszerzenie jest możliwe, ponieważ homotopią grupa π 2 ( G ), co daje klasy równoważności y, pierwotnie do S ² = ∂ B ł jest trywialne dla grupy Lie podłączanej zwartą G .

Rozszerzenie pola nie jest jedyne; potrzeba, aby fizyka była niezależna od rozszerzenia narzuca warunek kwantyzacji na parametr sprzężenia k, który jest definiowany jako poziom. Niech będą dwa wyraźne rozszerzenia γ wewnątrz kuli jednostkowej. Dwie realizacje kuli są przyklejone do ich obrzeża S ². W wyniku tej operacji powstaje topologiczna 3-sfera; każda kula B ³ tworzy półkulę S ³. Związek z dwoma rozszerzeniami y na każdej kuli, a następnie określa się mapę S ³ → G . Teraz, w tym przypadku, dla dowolnej po prostu połączonej zwartej grupy Liego G, grupa homotopii wynosi π 3 ( G ) = ℤ.

Operacja sklejenia dwóch kulek B ³ dających trójkulistą S ³ sprowadza się do odjęcia członów Wess-Zumino na tej samej kulce B ³. To na to wskazuje
${\ Displaystyle S ^ {\ mathrm {W} Z} (\ gamma) -S ^ {\ mathrm {W} Z} (\ gamma ') = n ~,}$
gdzie γ i γ ' oznaczają dwa różne przedłużenia kuli jednostkowej, a n , liczba całkowita, jest liczbą zwojów karty powstałej w wyniku sklejenia.

Jednak fizyka modelu pozostaje niezmieniona pod warunkiem, że
${\ Displaystyle \ exp \ lewo (i2 \ pi kS ^ {\ mathrm {W} Z} (\ gamma) \ prawej) = \ exp \ lewo (i2 \ pi kS ^ {\ mathrm {W} Z} (\ gamma ') \ right) ~.}$
Następnie rozważania topologiczne pozwalają nam stwierdzić, że poziom k musi być liczbą całkowitą, gdy G jest zwartą grupą Liego, która jest po prostu połączona. W przypadku półprostej lub niepołączonej grupy Lie, poziom stanowi liczbę całkowitą dla elementu prostego i połączonego.

Uogólnienia

Przykład pokazuje model WZNW zdefiniowany na sferze Riemanna S ². Możliwe jest uogólnienie, w którym pole γ żyje na zwartej powierzchni Riemanna .

Bieżąca algebra

Bieżącą algebrą modelu WZNW jest algebra Kaca-Moody'ego . Tensor naprężenia-energii jest podany przez konstrukcję Sugarawy .

Bibliografia

(en) J. Wess i B. Zumino , „ Konsekwencje anomalnych tożsamości oddziału ” , Physics Letters B , Vol. 37,1971, s. 95 ( DOI 10.1016 / 0370-2693 (71) 90582-X , Bibcode 1971PhLB ... 37 ... 95W )
(w) E. Witten , „ Globalne aspekty bieżącej algebry ” , Nuclear Physics B , tom. 223 n O 21983, s. 422–432 ( DOI 10.1016 / 0550-3213 (83) 90063-9 , Bibcode 1983NuPhB.223..422W )
(w) E. Witten , „ Nonabelian bozonization in two Dimensions ” , Communications in Mathematical Physics , tom. 92, n o 4,1984, s. 455–472 ( DOI 10.1007 / BF01215276 , Bibcode 1984CMaPh..92..455W )
(in) Novikov, SP, „ Wielowartościowe funkcje i funkcjonały. Analogia teorii Morse'a ” , Sov. Math., Dokl. , vol. 24,Dziewiętnaście osiemdziesiąt jeden, s. 222–226; (en) SP Nowikow , „ Formalizm Hamiltona i wielowartościowy odpowiednik teorii Morse'a ” , Russian Mathematical Surveys , vol. 37 N O 5,1982, s. 1–9 ( DOI 10.1070 / RM1982v037n05ABEH004020 , Bibcode 1982RuMaS..37 .... 1N )