Metoda momentów (analiza numeryczna)
W analizie numerycznej The metoda momentów jest sposób rozwiązania problemów numerycznych liniowych warunków brzegowych . Metoda polega na sprowadzeniu problemu do układu liniowego.
Opis metody
Dyskretyzacja
Metoda momentów umożliwia rozwiązywanie niejednorodnych równań typu:
L(fa)=sol{\ Displaystyle L (f) = g}gdzie L jest liniowy operatora , f i g dwie funkcje. Ogólnie rzecz biorąc, nazywa się funkcję g terminem wzbudzenie lub źródło , a f termin pola lub odpowiedzi - nieznaną, którą chce się określić.
Funkcję f można rozłożyć na podstawie funkcji :
(faja){\ displaystyle (f_ {i})}
fa=∑ja=1nieαjafaja{\ displaystyle f = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} f_ {i}}gdzie współczynniki są stałe. Operator L będąc liniowym, mamy:
αnie{\ displaystyle \ alpha _ {n}}
∑ja=1,nieαjaL(faja)=sol{\ Displaystyle \ sum _ {i = 1, n} \ alfa _ {i} L (f_ {i}) = g}Określa on również produkt wewnętrznego w przestrzeni elementu (zwykle przestrzeń Hilberta ), jak również funkcje testowe W J w obszarze operacyjnym L . Biorąc iloczyn skalarny poprzedniego równania z każdym w j , otrzymujemy:
∑ja=1,nieαja⟨wjot,L(faja)⟩=⟨wjot,sol⟩{\ displaystyle \ sum _ {i = 1, n} \ alfa _ {i} \ langle w_ {j}, L (f_ {i}) \ rangle = \ langle w_ {j}, g \ rangle}Tę serię równań można przepisać w postaci macierzowej:
L[α]=[sol]{\ displaystyle \ mathrm {l} [\ alpha] = [g]}lub
L=(⟨w1,L(fa1)⟩⟨w1,L(fa2)⟩⋯⟨w1,L(fanie)⟩⟨w2,L(fa1)⟩⟨w2,L(fa2)⋯⟨w2,L(fanie)⟩⋮⋮⋱⋮⟨wnie,L(fa1)⟩⟨wnie,L(fa2)⟩⋯⟨wnie,L(fanie)⟩){\ Displaystyle \ mathrm {L} = {\ rozpocząć {pmatrix} \ langle w_ {1}, L (f_ {1}) \ rangle & \ langle w_ {1}, L (f_ {2}) \ rangle & \ cdots & \ langle w_ {1}, L (f_ {n}) \ rangle \\\ langle w_ {2}, L (f_ {1}) \ rangle & \ langle w_ {2}, L (f_ {2} ) & \ cdots & \ langle w_ {2}, L (f_ {n}) \ rangle \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\\ langle w_ {n}, L (f_ {1}) \ rangle & \ langle w_ {n}, L (f_ {2}) \ rangle & \ cdots & \ langle w_ {n}, L (f_ {n}) \ rangle \ end {pmatrix}}}[α]=(α1α2⋮), [sol]=(⟨w1,sol⟩⟨w2,sol⟩⋮⟨wnie,sol⟩){\ Displaystyle [\ alpha] = \ lewo ({\ rozpocząć {macierz} \ alfa _ {1} \\\ alfa _ {2} \\\ vdots \ koniec {matryca}} \ po prawej), \ [g] = \ left ({\ begin {matrix} \ langle w_ {1}, g \ rangle \\\ langle w_ {2}, g \ rangle \\\ vdots \\\ langle w_ {n}, g \ rangle \ end { matrix}} \ right)}Jeśli macierz L jest odwracalna, współczynniki można obliczyć ze wzoru:
αja{\ displaystyle \ alpha _ {i}}
[α]=L-1[sol]{\ displaystyle [\ alpha] = \ mathrm {L} ^ {- 1} [g]}
Metoda momentów
Metoda momentów polega na wyborze zbioru funkcji testowych w i = x i -1
Przypadek specjalny: metoda Galerkine
Gdy funkcje testowe w i są wybrane tak, że w i = f i , metoda ta jest znana jako metoda Galerkine , nazwana na cześć rosyjskiego matematyka Borysa Galerkine'a .
Zobacz też
Bibliografia
-
(en) R. Harrington, „ Origin and Development of the Method of Moments for Fields Computation ” , IEEE Antennas and Propagation Magazine ,Czerwiec 1990.
-
(en) R. Harrington, „ Matrix Methods for Field Problems ” , Proc. Natl. IEEE , vol. 55 N O 2Luty 1967.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">