Metoda Wienera-Hopfa

Metoda Wienera-Hopfa jest techniką matematyczną pozwalającą na analityczne rozwiązywanie pewnych równań całkowych i cząstkowych równań różniczkowych z warunkami na granicy dziedziny. Została opracowana przez Norberta Wienera i Eberharda Hopfa w 1931 roku. Zazwyczaj metoda wykorzystuje transformację Fouriera , Mellina lub Laplace'a . Rozwiązania poszukuje się w postaci sumy dwóch funkcji analitycznych zdefiniowanych w podziale płaszczyzny zespolonej zawierającej oś rzeczywistą. Te dwie funkcje pokrywają się w regionie zawierającym oś rzeczywistych wartości. Przedłużenie analityczne gwarantuje, że te dwie funkcje stanowią funkcji analitycznych w płaszczyźnie zespolonej. Liouville twierdzenie stwierdza, że kontynuacja jest wielomianem nałożonego warunku brzegowym.

Rozkład Wienera i Hopfa funkcji osobliwej

Niech będzie zmienną rzeczywistą i zmienną złożoną. i są dwiema skończonymi stałymi rzeczywistymi. Zakłada się, że dla dowolnej wartości takiej, że funkcja ma analityczną całkę Fouriera na płaszczyźnie zespolonej. Dzieli się to na dwie części $x$ ${\ Displaystyle s = \ alfa + i \ sigma}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {+}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {-}}$ $\ sigma$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {-} <\ sigma <\ sigma _ {+}}$ $\ phi (x)$

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablicę} {ll} \ Phi _ {+} (s) = {\ Frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ phi (x) e ^ {isx} \ mathrm {d} x \ ,, & \ quad \ sigma> \ sigma _ {-} \\ [0.6em] \ Phi _ {-} (s) = {\ frac { 1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {0} \ phi (x) e ^ {isx} \ mathrm {d} x \ ,, & \ quad \ sigma <\ sigma _ {+} \ end {tablica}}}

Te funkcje sprawdzają

jeśli to kiedy ${\ Displaystyle \ lim \ limity _ {x \ do 0 ^ {+}} \ phi (x) = x ^ {\ beta}}$ ${\ Displaystyle \ lim \ limity _ {s \ do \ infty} \ Phi (s) = s ^ {- \ beta -1}}$ ${\ displaystyle \ sigma> \ sigma _ {-}}$
jeśli to kiedy ${\ Displaystyle \ lim \ limity _ {x \ do 0 ^ {-}} \ phi (x) = x ^ {\ beta}}$ ${\ Displaystyle \ lim \ limity _ {s \ do \ infty} \ Phi (s) = s ^ {- \ beta -1}}$ ${\ displaystyle \ sigma <\ sigma _ {+}}$

Dla i definiujemy odwrotną uogólnioną transformację Fouriera ${\ displaystyle a> \ sigma _ {-}}$ ${\ displaystyle b <\ sigma _ {+}}$

{\ Displaystyle \ phi (x) = \ underbrace {{\ Frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty + ia} ^ {\ infty + ia} \ Phi _ {+ } (s) e ^ {- isx} \ mathrm {d} \ alpha} _ {= ~ \ phi (x) ~ for ~ x> 0, ~ = ~ 0 ~ w przeciwnym razie} + \ underbrace {{\ frac {1 } {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty + ib} ^ {\ infty + ib} \ Phi _ {-} (s) e ^ {- isx} \ mathrm {d} s} _ {= ~ \ phi (x) ~ for ~ x <0, ~ = ~ 0 ~ w przeciwnym razie} = \ phi _ {+} (x) + \ phi _ {-} (x)}

Funkcje te mają następujące właściwości regularności

jeśli kiedy to jest regularne kiedy ${\ Displaystyle | \ phi (x) | \ równoważnik Ae ^ {\ tau _ {-} x}}$ ${\ Displaystyle x \ do \ infty}$ ${\ Displaystyle \ phi _ {+} (x)}$ ${\ displaystyle \ sigma> \ sigma _ {-}}$
jeśli kiedy to jest regularne kiedy ${\ Displaystyle | \ phi (x) | \ równoważnik Be ^ {\ tau _ {+} x}}$ ${\ Displaystyle x \ do - \ infty}$ ${\ Displaystyle \ phi _ {-} (x)}$ ${\ displaystyle \ sigma <\ sigma _ {+}}$

Przykład: problem Milne'a

Całkowe równanie Milne'a

Problemem Milne dotyczy uchwałą równania Boltzmanna do transferu promieniowania w pół-nieskończoną jednorodnej średniej wymiarowej izotropowego rozpraszania opisany przez równanie luminancji ${\ Displaystyle \ phi (\ tau, \ mu)}$

{\ Displaystyle \ mu {\ Frac {\ mathrm {d} \ phi (\ tau, \ mu)} {\ mathrm {d} \ tau}} + \ phi (\ tau, \ mu) = {\ Frac {1 } {2}} \ underbrace {\ int _ {- 1} ^ {1} \ phi (\ tau, \ mu) \ mathrm {d} \ mu} _ {S (\ tau)} \ ,, \ qquad 0 \ leq \ tau <\ infty \ ,, \ qquad -1 <\ mu \ leq 1}

z warunkiem w τ = 0 (zerowa przychodząca wartość)

{\ Displaystyle \ phi (0, \ mu) = 0 \ ,, \ quad \ mu> 0}

Formalne rozwiązanie tego równania to

{\ Displaystyle \ phi (\ tau, \ mu) = \ lewo \ {{\ początek {tablica} {lll} ~~ {\ Frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ tau} S (t) e ^ {- {\ frac {\ tau -t} {\ mu}}} {\ frac {{\ text {d}} t} {\ mu}} & ~~ 0 <\ mu \ leq 1 & \\ [0.6em] - {\ frac {1} {2}} \ int _ {\ tau} ^ {\ infty} S (t) e ^ {\ frac {t- \ tau} {\ mu}} {\ frac {{\ text {d}} t} {\ mu}} & - 1 <\ mu <0 & \ qquad [1] \\ [0.6em] ~~ S (\ tau) & \ quad \ mu = 0 & \ end {array}} \ right.}

Całkując na μ otrzymujemy całkowe równanie Milne'a

{\ Displaystyle S (\ tau) = \ int _ {0} ^ {\ infty} S (t) E (| \ tau -t |) \ mathrm {d} t}

E (.) Jest całką wykładniczą . Nie ma rozwiązania tego równania.

Mnożąc równanie Boltzmanna przez 1 i μ i całkując na μ otrzymujemy momenty luminancji: wyjście (strumień) M i ciśnienie promieniowania P

{\ Displaystyle M (\ tau) = \ int _ {- 1} ^ {1} \ mu \ phi (\ tau, \ mu) \ mathrm {d} \ mu = C ^ {ste} = - 1}

{\ Displaystyle P (\ tau) = \ int _ {- 1} ^ {1} \ mu ^ {2} \ phi (\ tau, \ mu) \ mathrm {d} \ mu = \ tau + P (0) \ ,, \ qquad P (0) = \ int _ {- 1} ^ {0} \ mu ^ {2} \ phi (0, \ mu) \ mathrm {d} \ mu}

Równanie całkowe według transformaty Laplace'a

Przedstawiamy transformacje Laplace'a

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablicę} {lclll} \ Phi (s, \ mu) & = i \ int _ {0} ^ {\ infty} \ phi (\ tau, \ mu) e ^ {- s \ tau } \ mathrm {d} \ tau \ quad & \ Re (s)> 0 & \\ [0.6em] {\ mathcal {S}} (s) & = & \ int _ {0} ^ {\ infty} S (\ tau) e ^ {- s \ tau} \ mathrm {d} \ tau && [2] \ end {tablica}}}

Otrzymujemy w ten sposób nowe równanie całkowe

{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} (s) \ lewo (1-s ^ {- 1} {\ rm {artanh ~}} s \ prawej) = \ int _ {- 1} ^ {0} {\ frac {S \ left (- \ mu ^ {- 1} \ right)} {1 + s \ mu}} \ mathrm {d} \ mu \ equiv g (s)}

Demonstracja

Otrzymujemy mnożenie równania Boltzmanna przez i całkowanie po τ ${\ displaystyle e ^ {- s \ tau}}$

{\ Displaystyle (1 + s \ mu) \ Phi (s, \ mu) = {\ Frac {1} {2}} {\ mathcal {S}} (s) + \ mu \ phi (0, \ mu) }

W tym celu przeprowadziliśmy integrację po części

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ Frac {\ części \ phi} {\ części \ tau}} \ mathrm {d} \ tau = \ lewo [\ phi (\ tau, \ mu) e ^ {- s \ tau} \ right] _ {0} ^ {\ infty} + s \ int _ {0} ^ {\ infty} \ phi (\ tau, \ mu) \ mathrm {d} \ tau = - \ phi (0, \ mu) + s \ Phi (s, \ mu)}

Całkowanie na μ

{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} (s) \ lewo [1 - {\ Frac {1} {2}} \ int _ {- 1} ^ {1} {\ Frac {\ mathrm {d} \ mu } {1 + s \ mu}} \ mathrm {d} \ mu \ right] = \ int _ {- 1} ^ {0} {\ frac {\ mu \ phi (0, \ mu)} {1 + s \ mu}} \ mathrm {d} \ mu}

złoto

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} \ int _ {- 1} ^ {1} {\ Frac {\ mathrm {d} \ mu} {1 + s \ mu}} \ mathrm {d} \ mu = {\ frac {1} {2s}} \ log \ left [{\ frac {1 + s} {1-s}} \ right] = {\ frac {{\ rm {artanh ~}} s} { s}}}

Skąd

{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} (s) = {\ Frac {\ int _ {- 1} ^ {0} (1 + s \ mu) ^ {- 1} \ mu \ phi (0, \ mu) ) \ mathrm {d} \ mu} {1-s ^ {- 1} {\ rm {artanh ~}} s}}}

Porównując równania [1] i [2] mamy

{\ Displaystyle \ phi (0, \ mu) = - {\ Frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {\ Frac {t} {\ mu}} {\ Frac {\ mathrm {d} t} {\ mu}} = - {\ frac {1} {2}} S \ left (- {\ frac {1} {\ mu}} \ right)}

Rozwijając to wyrażenie w szeregach Laurentian w sąsiedztwie s = 0 i używając wyrażeń dla momentów luminancji podanych powyżej, otrzymujemy

{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} (s) = 3s ^ {- 2} + 3P (0) s ^ {- 1} + ...}

Skąd

{\ Displaystyle S (\ tau) \ około 3 (\ tau + P (0)) \ ,, \ quad \ tau \ do \ infty}

Rozwiązywanie równania całkowego

Próbuje się przepisać powyższe równanie w taki sposób, aby wyrazy po prawej i lewej stronie były analityczne i zachodziły na prawdziwą oś. Złoto jest analityczne w zespole . ${\ displaystyle 1-s ^ {- 1} {\ rm {artanh ~}} s}$ ${\ Displaystyle -1 <\ Re (s) <1}$

Chcemy znaleźć funkcję f (s), która nie ma zera w poprzedniej dziedzinie i która na przykład spełnia ${\ Displaystyle \ lim \ limity _ {| s | \ do \ infty} f (s) = 1}$

{\ Displaystyle f (s) = s ^ {- 2} (s ^ {2} -1) (1-s ^ {- 1} {\ rm {artanh ~}} s)}

Przepisano całkowe równanie

{\ Displaystyle {\ Frac {s ^ {2}} {s ^ {2} -1}} f (s) {\ mathcal {S}} (s) = g (s)}

${\ Displaystyle \ log f (s)}$ można przedstawić za pomocą wzoru całkowego Cauchy'ego

{\ Displaystyle \ log f (s) = \ underbrace {{\ Frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {- ja \ infty + a} ^ {i \ infty + a} {\ Frac {\ log f (t)} {ts}} \ mathrm {d} t} _ {\ log f _ {+} (s)} - \ underbrace {{{\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {-i \ infty -a} ^ {i \ infty -a} {\ frac {\ log f (t)} {ts}} \ mathrm {d} t} _ {\ log f _ {-} (s )}}

f + jest niezerową funkcją regularną w półpłaszczyźnie , ${\ Displaystyle \ Re (s) <a}$
f - jest niezerową funkcją regularną w półpłaszczyźnie . ${\ Displaystyle \ Re (s)> - a}$

Następnie możemy zapisać równanie całkowe w postaci

{\ Displaystyle {\ Frac {s ^ {2} {\ mathcal {S}} (s)} {(s + 1) f _ {-} (s)}} = {\ Frac {(s-1) g (s)} {f _ {+} (s)}}

Pierwszy członek jest regularny dla, a drugi dla . Każde z wyrażeń stanowi kontynuację drugiego. ${\ displaystyle \ Re (s)> 0}$ ${\ Displaystyle \ Re (s) <a}$

Ponadto każdy członek jest związany od tego czasu i jest. Podążając za twierdzeniem Liouville'a, każdy z nich jest w szczególności równy stałej C. ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} (s)}$ ${\ Displaystyle g (s)}$

{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} (s) = do \, {\ frac {s + 1} {s ^ {2}}} f _ {-} (s) = CF _ {-} (0) s ^ {-2} + C [f _ {-} (0) + f _ {-} '(0)] s ^ {- 1} + ...}

Porównując do wyrażenia podanego powyżej, wyodrębniamy stałą

{\ Displaystyle C = {\ Frac {3} {F _ {-} (0)}}}

Wielkość ta jest całką w płaszczyźnie zespolonej, którą można obliczyć i której wartość można podać z zastosowanymi już rozwinięciami

{\ displaystyle C = 3 {\ sqrt {f (0)}} = {\ sqrt {3}}}

Obliczanie stałych całkowania

Z powyższych wyrażeń rysujemy

{\ Displaystyle P (0) = 1 + {\ Frac {F _ {-} '(0)} {F _ {-} (0)}} = 1 + {\ Frac {1} {2 \ pi i} } \ int _ {- i \ infty -a} ^ {i \ infty -a} {\ frac {f '(t)} {tf (t)}} \ mathrm {d} t}

Za pomocą pewnej liczby manipulacji otrzymujemy wielkość zwaną stałą Hopfa

{\ Displaystyle P (0) = {\ Frac {6} {\ pi ^ {2}}} + {\ Frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ Frac {\ pi} { 2}} \ left ({\ frac {3} {t ^ {2}}} - {\ frac {1} {1-t \ cot t}} \ right) \ mathrm {d} t = 0,71044608959876 ... }

W ten sam sposób obliczamy S (0)

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablicę} {lcl} S (0) & = & \ lim \ limity _ {s \ to \ infty} sS (s) \\ [0.6em] & = & \ lim \ limity _ { s \ to \ infty} \ int _ {0} ^ {\ infty} S \ left ({\ frac {t} {s}} \ right) e ^ {- t} \ mathrm {d} t \\ [0,6 em] & = & \ int _ {0} ^ {\ infty} S (0) e ^ {- t} \ mathrm {d} t \\ [0.6em] & = & {\ sqrt {3}} \ lim \ limits _ {s \ to \ infty} f _ {-} (s) \\ [0.6em] & = & {\ sqrt {3}} \ end {tablica}}}

Wreszcie

f - oblicza się przez rozkład w płaszczyźnie zespolonej

{\ Displaystyle \ log f _ {-} (s) = {\ Frac {s} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ Frac {\ pi} {2}} {\ Frac {\ log { \ left ({\ frac {\ sin ^ {2} t} {1-t \ cot t}} \ right)}} {\ sin ^ {2} {t} + s ^ {2} \ cos ^ {2 } {t}}} \ mathrm {d} t}

Luminancja wychodząca, która jest ostatecznie funkcją poszukiwaną, jest

{\ Displaystyle \ phi (0, \ mu) = {\ Frac {\ sqrt {3}} {2}} (1- \ mu) f _ {-} \ lewo (- \ mu ^ {- 1} \ prawo ) \ ,, \ qquad \ mu <0}

Bibliografia

(De) Norbert Wiener i Eberhard Hopf , „ Über eine klasse singulärer integralgleichungen ” , Sitzungsberichte Akademie der Wissenschaften Berlin , vol. 31,1931, s. 696-706
(w) B. Noble, Methods Based on the Wiener-Hopf Technique for the Solution of Partial Differential Equations , Pergamon Press ,1988, 246 s. ( ISBN 0-8284-0332-5 )
(w) George F. Carrier, Max Krook i Carl E. Pearson, Funkcje zmiennej złożonej: teoria i technika , SIAM ,2005( ISBN 0-07-010089-6 )
(w) Subrahmanyan Chandrasekhar , Radiative transfer , Dover Publications ,1960, 393, str. ( ISBN 0-486-60590-6 , czytaj online )
(i) G. Płaczek i W. Seidel , „ problem Milne'a w teorii transportowej ” , Physical Review , Vol. 72, n o 7,1947, s. 550-555
(w) Eberhard Hopf , Mathematical Problems of Radiative Equilibrium , Cambridge University Press ,1934
(w) Encyklopedia matematyki , t. 6, Kluwer ,1990( ISBN 978-94-009-5993-4 , czytaj online )

Zobacz też