Prawo χ 2 | |
Gęstości prawdopodobieństwa | |
Funkcja dystrybucyjna | |
Ustawienia | stopnie swobody |
---|---|
Wsparcie | |
Gęstości prawdopodobieństwa |
gdzie jest funkcja gamma |
Funkcja dystrybucyjna |
gdzie jest niepełna funkcja gamma |
Nadzieja | |
Mediana | |
Moda | gdyby |
Zmienność | |
Asymetria | |
Znormalizowana kurtoza | |
Entropia | |
Funkcja generowania momentów | dla |
Funkcja charakterystyczna | |
W statystyce i teorii prawdopodobieństwa , prawo × 2 wyśrodkowany (wymawiane jako „chi-kwadrat” lub „chi-kwadrat”) z k stopniami swobody jest prawo sumy kwadratów k niezależnie zmniejszona skupione normalne prawa .
Prawo χ 2 jest używane do wnioskowania statystycznego i testów statystycznych, w szczególności testu χ² .
Non-centered prawo χ² uogólnia prawo × 2 .
Niech X 1 , ..., X k , k niezależnych zmiennych losowych po normalnym rozkładzie średnich 0 i odchyleniu standardowym 1, to z definicji zmienna X , taka, że
podąża za prawem χ 2 z k stopni swobody. Oznaczamy przez χ 2 ( k ) lub χ2
tysprawo X .
Gęstości prawdopodobieństwa z X oznaczonej f X będą:
dla wszystkich dodatnich xgdzie Γ jest funkcją gamma .
Jego funkcją dystrybucyjną będzie:
gdzie jest niepełna funkcja gamma .Zgodnie z centralnym twierdzeniem granicznym , gdy k jest „duże” ( k > 100), prawo zmiennej χ 2 , sumy niezależnych zmiennych losowych, może być aproksymowane przez normalne prawo oczekiwania k i wariancji 2 k .
Inne funkcje w χ 2 mogą zbiegać się szybciej w kierunku rozkładu normalnego, w szczególności mając X ~ ( 2 ( k ) i k > 30 :
Rozkład ten jest używany głównie w teście χ 2 opartym na rozkładzie wielomianowym do weryfikacji adekwatności rozkładu empirycznego do danego rozkładu prawdopodobieństwa. Bardziej ogólnie, jest on stosowany w teście hipotez na pewnych progach (zwłaszcza niezależności).
Służy również do ustalania przedziałów ufności dla wariancji lub odchylenia standardowego zmiennych losowych Gaussa.
Niech X i będą niezależnymi zmiennymi losowymi zgodnymi z normalnymi prawami oczekiwania μ i oraz wariancji σ i 2 .
Prawa | jako funkcja zmiennych rozkładu normalnego |
---|---|
prawo χ 2 | |
Prawo χ 2 nie wyśrodkowane | |
Prawo odwrotne-χ 2 | |
prawo | |
prawo χ nie wyśrodkowane |
Jeżeli X jest zmienną losową o środku i zredukowanej rozkładu normalnego i Y następuje prawo × 2 o n- stopniach swobody, a X i Y są niezależne, to następuje prawo Studenta z n stopni swobody.
Jeśli X jest zgodne z prawem χ 2 z n stopniami swobody, a Y prawem χ 2 z m stopniami swobody, a X i Y są niezależne, to następuje zgodnie z prawem Fishera z n i m stopniami swobody.
Poniższa tabela zawiera wartości niektórych kwantylów prawa χ 2 dla różnych stopni swobody k . Dla każdej wartości α , dany kwantyl jest taki , że prawdopodobieństwo , że zmienna podlegająca prawu χ 2 z k stopni swobody jest mniejsze niż wynosi 1 - α . Tak więc, dla 1 - α = 0,95 i k = 7, jeśli X jest zgodne z prawem χ 2 z 7 stopniami swobody, czytamy w tabeli, że
Stopnie swobody | Wartość χ 2 | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 0,004 | 0,02 | 0,06 | 0,15 | 0,46 | 1.07 | 1.64 | 2,71 | 3,84 | 6,63 | 10.83 |
2 | 0,10 | 0,21 | 0,45 | 0,71 | 1,39 | 2,41 | 3,22 | 4,61 | 5,99 | 9.21 | 13.82 |
3 | 0,35 | 0,58 | 1,01 | 1,42 | 2,37 | 3,66 | 4,64 | 6.25 | 7,81 | 11.34 | 16.26 |
4 | 0,71 | 1,06 | 1,65 | 2.20 | 3.36 | 4,88 | 5,99 | 7,78 | 9.49 | 13.28 | 18.47 |
5 | 1.14 | 1,61 | 2,34 | 3.00 | 4,35 | 6.06 | 7.29 | 9.24 | 11.07 | 09.15 | 20,52 |
6 | 1,63 | 2.20 | 3,07 | 3.83 | 5.35 | 7.23 | 8.56 | 10,64 | 12.59 | 16.81 | 22.46 |
7 | 2.17 | 2.83 | 3.82 | 4,67 | 6,35 | 8.38 | 9.80 | 12.02 | 14.07 | 18.48 | 24,32 |
8 | 2.73 | 3,49 | 4,59 | 5,53 | 7.34 | 9.52 | 11.03 | 13.36 | 15,51 | 20.09 | 12/26 |
9 | 3,32 | 4.17 | 5.38 | 6,39 | 8.34 | 10,66 | 12.24 | 14.68 | 16.92 | 21,67 | 27.88 |
10 | 3,94 | 4,87 | 6.18 | 7.27 | 9.34 | 11,78 | 13.44 | 15,99 | 18.31 | 23.21 | 29.59 |
11 | 4,57 | 5.58 | 6,99 | 8.15 | 10.3 | 12,9 | 14,6 | 17,3 | 19,7 | 24,7 | 31,3 |
12 | 5.23 | 6.30 | 7,81 | 9.03 | 11,3 | 14,0 | 15,8 | 18,5 | 21,0 | 26,2 | 32,9 |
13 | 5,89 | 7.04 | 8.63 | 9.93 | 12,3 | 15,1 | 17,0 | 19,8 | 22,4 | 27,7 | 34,5 |
14 | 6.57 | 7,79 | 9.47 | 10,8 | 13,3 | 16,2 | 18,2 | 21,1 | 23,7 | 29,1 | 36,1 |
15 | 7.26 | 8.55 | 10.3 | 11,7 | 14,3 | 17,3 | 19,3 | 22,3 | 25,0 | 30,6 | 37,7 |
1 - α | 0,05 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,5 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 0,95 | 0,99 | 0,999 |
W książce racjonalne decyzje w niepewnych (1974), który stanowi sumę Bayesa technik , które pojawiły się znacznie w tym czasie profesor Myron Tribus pokazuje, że χ 2 stanowi przykład przejście do granicy psi. Bayesa testu (wiarygodność test) gdy liczba obecnych wartości staje się duża - co jest warunkiem działania statystyki klasycznej, ale niekoniecznie bayesowskiej. Związek między tymi dwiema dyscyplinami, które są asymptotycznie zbieżne, jest więc kompletny.
Książka referencyjna Jaynesa również pokazuje to na stronie 287.