Podstawy arytmetyki ( Die Grundlagen der Arithmetik ) to praca Gottloba Frege . Pracaopublikowana w 1884 r. Jest studium pojęcia liczby , stąd jej podtytuł: Badania logiczno-matematyczne nad pojęciem liczby ( Eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl ). Profesor z Jeny stara się wykazać, że arytmetyka opiera się na logice , której jest właściwie tylko rozszerzeniem. To przedsięwzięcie skłania go do próby zdefiniowania pojęcia liczby kardynalnej , zadania, które będzie wówczas w centrum pracy. Położone na skrzyżowaniu matematyki , logiki i filozofii , Grundlagen jest wraz z Begriffsschrift jednym z najważniejszych dzieł niemieckiego matematyka.
Frege rozpoczyna Foundations serią obaleń: gdy tylko wstęp jest ukończony, autor ujawnia szereg opinii, aby je odrzucić. Ta krytyczna część rozciąga się na znaczną część tekstu, z którego tylko czwarta część będzie właściwie poświęcona teorii frégean. Z pięciu rozdziałów pracy trzy są w rzeczywistości poświęcone krytyce filozofów i matematyków, których Frege twierdzi, że przekracza, a piąty i ostatni moment stanowi zakończenie.
Pierwsza część dotyczy opinii kilku autorów na temat natury zdań arytmetycznych. Frege szczególnie atakuje pozycje Hankla , Leibniza , Milla i Kanta . Aby przekonać się, że zdania arytmetyczne są wiarygodne analitycznie, testuje on ideę, że są one syntetyczne a priori (Kant) lub a posteriori (Mill). Kant jest przedmiotem bardzo zniuansowanej krytyki: jeśli twierdzenia geometrii są rzeczywiście syntetyczne a priori, jak utrzymywał, to błędnie sądził, że zdania arytmetyczne też są takie. Kant nie docenił wartości sądów analitycznych.
Następnie Frege bada opinie na temat pojęcia liczby kardynalnej i stara się wykazać, że liczba nie jest ani własnością rzeczy, ani elementem subiektywnym. Następnie następuje przegląd idei odnoszących się do jedności i jedności. Krytyka wszystkich tych koncepcji pozwala następnie autorowi podać własną teorię: „podanie liczby oznacza określenie pojęcia” (§ 46). Stwierdzenie, że przed nami są cztery drzewa, nie mówi nic o tych drzewach: to stwierdzenie dotyczy pojęcia „drzewo przed nami” i stwierdza, że pojęcie to obejmuje cztery obiekty. W ten sam sposób wspomnienie, że „Wenus ma zerowy księżyc” sprowadza się do stwierdzenia, że pojęcie „księżyc Wenus” ma tę właściwość, że niczego nie obejmuje.
Gottlob Frege , Podstawy arytmetyki , trad. Claude Imbert , The Philosophical Order, Threshold, 1969