Absolutna ciągłość

W matematyce , a dokładniej w analizie , definiujemy dla funkcji zdefiniowanych w ograniczonym przedziale pojęcie funkcji absolutnie ciągłej , nieco silniejszej niż pojęcie funkcji jednostajnie ciągłej i gwarantującej dobre właściwości całkowania; wiąże się to również z pojęciem absolutnie ciągłego pomiaru .

Absolutnie ciągła funkcja

Motywacja

Z pierwszego fundamentalnego twierdzenia analizy wynika, że ​​każda funkcja ciągła f w przedziale rzeczywistym jest równa pochodnej jej funkcji całkowej F (w sensie Riemanna ) określonej przez . W bardziej ogólnym ujęciu całki Lebesgue'a funkcja L 1 jest prawie wszędzie równa pochodnej jej całki. fa(x)=∫wxfa(t)ret{\ Displaystyle F (x) = \ int _ {a} ^ {x} f (t) \ \, \ mathrm {d} t}

Z drugiej strony ciągła i prawie wszędzie różniczkowalna funkcja F może nie być równa całce swojej pochodnej, nawet jeśli ta pochodna wynosi L 1 . Rozważmy na przykład klatkę schodową Cantora lub funkcję Minkowskiego  : te dwie funkcje są prawie wszędzie wyprowadzalne, a pochodna prawie wszędzie wynosi zero; dlatego całka ich pochodnej wynosi zero. Zjawisko to było dobrze znane w przypadku funkcji nieciągłych (np. Funkcji wskaźników), ale mniej intuicyjne w przypadku ciągłości, co doprowadziło do pojęcia ciągłości absolutnej: funkcja absolutnie ciągła jest ciągła, a ponadto równa całce swojej pochodnej.

Definicja

Pozwól mi być prawdziwym interwałem. Mówimy, że funkcja F  : I → ℝ jest absolutnie ciągła, jeśli dla dowolnego rzeczywistego ε> 0 istnieje δ> 0 taka, że ​​dla dowolnej skończonej sekwencji podprzedziałów I o rozłącznych wnętrzach, ([wnie,bnie])nie≤NIE{\ Displaystyle ([a_ {n}, b_ {n}]) _ {n \ równoważnik N}}

∑nie≥0(bnie-wnie)<δ⇒∑nie≥0|fa(wnie)-fa(bnie)|<ε.{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} {(b_ {n} -a_ {n})} <\ delta \ Rightarrow \ sum _ {n \ geq 0} {| F (a_ {n}) - F (b_ {n}) |} <\ varepsilon.}

W przypadku funkcji kilku zmiennych istnieją różne pojęcia absolutnej ciągłości.

Nieruchomości

• F jest absolutnie ciągłe na [ a , b ] wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcjacałkowalna f na [ a , b ] (w sensie Lebesgue'a) taka, że ​​dla wszystkich x ∈ [ a , b ] ,fa(x)-fa(w)=∫wxfa(t)ret.{\ Displaystyle F (x) -F (a) = \ int _ {a} ^ {x} {f (t) \, \ mathrm {d} t}.}
• Zgodnie z drugim fundamentalnym twierdzeniem analizy , jeśli (na [ a , b ] ) F jest wszędzie różniczkowalna i ma pochodną całkowitą, to F jest absolutnie ciągła.
• Jeśli F jest absolutnie ciągłe przez [ a , b ], to:
  • jest ciągły;
  • ma zmienność ograniczoną (dlatego można ją wyprowadzić prawie wszędzie);
  • ma własność Luzina N  : obraz dowolnego zbioru miary zerowej (dla miary Lebesgue'a ) za pomocą F jest miarą zero.
• I odwrotnie, jeśli F jest ciągłe, z ograniczoną zmiennością i ma własność Luzina N , to jest absolutnie ciągłe ( twierdzenie Banacha -Zareckiego).
• Iloczyn dwóch absolutnie ciągłych funkcji nad [ a , b ] jest funkcją absolutnie ciągłą.

Przykłady i kontrprzykłady

Każda funkcja Lipschitzowska na [ a , b ] jest absolutnie ciągła.

Funkcja ciągła, której wykresem są Schody Diabła, nie jest absolutnie ciągła: obraz zbioru Cantora , który ma miarę zero, wynosi w całości [0,1] .

Funkcja znaku zapytania również nie jest absolutnie ciągła, ponieważ prawie wszędzie ma zerową pochodną. Możemy również pokazać, że wysyła zestaw miar 0 do zestawu miar 1.

Absolutnie ciągły pomiar

Niech μ i ν będą dwiema złożonymi miarami na mierzalnej przestrzeni . (X,W){\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}

Mówimy, że ν jest absolutnie ciągłe względem μ, jeśli dla dowolnego mierzalnego zbioru A  :

μ(W)=0⇒ν(W)=0,{\ Displaystyle \ mu (A) = 0 \ Rightarrow \ nu (A) = 0,}

co zauważamy . ν≪μ{\ Displaystyle \ nu \ ll \ mu}

Twierdzenie Radona-Nikodyma daje inną charakterystykę w przypadku, gdy μ jest dodatnie i σ - skończone , a ν jest złożone i σ - skończone: wówczas istnieje f funkcja mierzalna taka, że dν = f dμ . Funkcja f nazywana jest gęstością miary ν w odniesieniu do miary μ .

Powiązanie między absolutnie ciągłą rzeczywistą funkcją a absolutnie ciągłym pomiarem

Funkcja F jest lokalnie absolutnie ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jej pochodna dystrybucja jest absolutnie ciągłą miarą względem miary Lebesgue'a. Na przykład miara μ ograniczona do zbioru borelian prostej rzeczywistej jest absolutnie ciągła w odniesieniu do miary Lebesgue'a wtedy i tylko wtedy, gdy powiązana funkcja rozkładu

fa:x↦μ(]-∞,x]){\ Displaystyle F: x \ mapsto \ mu (] - \ infty, x])}

jest lokalnie funkcją absolutnie ciągłą.

Uwagi i odniesienia

1. Zobacz wprowadzenie (w) Jiří Šremr, "  Absolutnie ciągłe funkcje dwóch zmiennych w sensie Caratheodory  " , Electron. J. Diff. Equ. , vol.  2010, n O  1542010, s.  1-11 ( czytaj online )
2. (w) Andrew M. Bruckner  (w) , Judith B. Bruckner i Brian S. Thomson, Real Analysis ,1997( ISBN  978-0-13458886-5 , czytaj online ) , str.  274.
3. (en) VI Smirnov , Kurs wyższej matematyki , t.  5: Integracja i analiza funkcjonalna , Pergamon ,1964( czytaj online ) , s.  218.

Zobacz też

Powiązany artykuł

Twierdzenie o różniczkowaniu Lebesgue'a

Bibliografia

Walter Rudin , Real and complex analysis [ szczegóły wydań ]