Upadek z oporem powietrza
W fizyce upadek z oporem powietrza oznacza modelowanie problemu upadku ciała , generalnie w ziemskiej atmosferze , w którym uwzględniamy wpływ tarcia płynu, powietrza na obiekt, na upadek . Model ten różni się zatem od modelu swobodnego spadku , w którym uwzględniany jest tylko wpływ ciężaru.
Opis ruchu
Kiedy ciało spada do atmosfery, pod wpływem grawitacji , poddawane jest również innym siłom , w tym oporowi powietrza i ciągowi Archimedesa . Model swobodnego spadania pomija te siły i bierze pod uwagę jedynie działanie grawitacji na spadające ciało; model upadku z oporem powietrza jest oparty na modelu swobodnego spadku, ale wyjaśnia go, biorąc pod uwagę opór powietrza.
Główna różnica w stosunku do modelu swobodnego spadania polega na tym, że prędkość nie rośnie liniowo, ale zmierza w kierunku granicznej prędkości opadania .
Modelowanie
W tym podejściu do upadku przedmiotu brane są pod uwagę tylko dwie siły:
- masy , ;P.=msol{\ displaystyle {P = mg}}
- opór powietrza ( opór ) ;R=12VSxρSv2{\ Displaystyle R = {\ Frac {1} {2}} \, C_ {x} \, \ rho \, S \, v ^ {2}}
z:
Rozdzielczość przy zerowej prędkości początkowej
Na początku prędkość wynosi zero. Dlatego opór powietrza jest równy zeru. Obiekt zachowuje się zatem tak, jakby spadał swobodnie. W miarę przyspieszania obiektu opór powietrza rośnie, co zmniejsza jego przyspieszenie. Na dłuższą metę tarcie powietrza ma tendencję do kompensowania ciężaru. Następnie przyspieszenie zmierza w kierunku 0, a prędkość zbliża się do wartości granicznej, prędkości granicznej spadku . Ten limit prędkości upadku nigdy nie został osiągnięty.
Ograniczenie prędkości opadania to prędkość, przy której ciężarek dokładnie kompensowałby opór powietrza. Ona chce :
V0{\ displaystyle {V_ {0}}}
V0=2msolVSxρS{\ Displaystyle V_ {0} = {\ sqrt {\ Frac {2mg} {C_ {x} \ rho S}}}}.
Pozując i położenie obiektu w funkcji czasu można zapisać w następujący sposób:
T=Vo/sol{\ displaystyle {T = V_ {o} / g}}H.=VoT{\ displaystyle {H = V_ {o} T}}
z(t)=H.ln(pałka(t/T)){\ Displaystyle {Z (t) = H \ ln (\ cosh (t / T))}}
lub
z(t)=V0t+H.⋅ln[1+exp(-2t/T)2]{\ Displaystyle z (t) = V_ {0} \, t + H \ cdot \ ln \ lewo [{\ Frac {1+ \ exp (-2t / T)} {2}} \ prawej]}
Szybkość jako funkcję czasu można zapisać w następujący sposób:
v(t)=V0tanhtT{\ Displaystyle v (t) = V_ {0} \, \ tanh {\ frac {t} {T}}}
Demonstracja
Równanie ruchu
Równanie ruchu to:
revret=sol-(VSxρS2m)v2=sol(1-v2Vo2){\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} = g- \ lewo ({\ Frac {C_ {x} \ rho S} {2m}} \ prawej) v ^ {2} = g \ left (1 - {\ frac {v ^ {2}} {V_ {o} ^ {2}}} \ right)}.
Diagram godzinowy, diagram przestrzenny
Wykres godzinowy : wiedząc, że pochodną jest , wykres godzinowy to:
y=tanht{\ displaystyle y = \ tanh t}rey/ret=1-y2{\ Displaystyle \ mathrm {d} r / \ mathrm {d} t = 1-r ^ {2}}
v(t)=V0tanhtT{\ Displaystyle v (t) = V_ {0} \ tanh {\ Frac {t} {T}}}.
Prędkość zaczyna , a potem , . To jest więcej niż wystarczające, aby wyznaczyć górną granicę (por. Wykres godzinowy ):
solt{\ displaystyle gt}3T{\ displaystyle 3T}v≈V0{\ displaystyle v \ ok V_ {0}}x(t){\ Displaystyle x (t)}
t<T,x<12solt2{\ Displaystyle t <T, x <{\ Frac {1} {2}} gt ^ {2}} ;
t>T,x<-H.2+V0t{\ displaystyle t> T, x <- {\ frac {H} {2}} + V_ {0} t}.
Dokładna odpowiedź brzmi:
z(t)=H.ln(pałka(t/T)){\ Displaystyle z (t) = H \ ln (\ cosh (t / T))},
albo znowu,
z(t)=V0t+H.ln[(1+exp(-2tT))12]{\ Displaystyle z (t) = V_ {0} t + H \ ln \ lewo [\ lewo (1+ \ exp \ lewo (- {\ Frac {2t} {T}} \ prawo) \ prawo) {\ Frac {1} {2}} \ right]},
jest :
z(t)=V0t+H.ln2{\ Displaystyle z (t) = V_ {0} t + H \ ln 2}.
Diagram przestrzenny : wolimy mieć prędkość w punkcie, co prowadzi do:
v2(z)=V02[1-exp(-2zH.)]{\ Displaystyle v ^ {2} (z) = V_ {0} ^ {2} \ lewo [1- \ exp \ lewo (- {\ Frac {2z} {H}} \ prawo) \ prawej]},
co daje to samo wyrażenie dla .
z(t){\ displaystyle z (t)}
Twierdzenie o energii kinetycznej potwierdza, prowadzi do:
rerez(v22)-sol=Rm{\ Displaystyle {\ Frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} Z}} \ lewo ({\ Frac {v ^ {2}} {2}} \ prawej) -g = {\ Frac {R } {m.}},
jest
12mv2-msolz=W.=-mH.∫0zv2(x)rex{\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} mv ^ {2} -mgz = W = - {\ Frac {m.} {H}} \ int _ {0} ^ {z} v ^ {2} ( x) \ mathrm {d} x},
można łatwo zweryfikować za pomocą poprzedniego wyrażenia dotyczącego szybkości .
v(z){\ displaystyle v (z)}
Aplikacja cyfrowa
Niech g = 9,81 m / s 2 będzie przyspieszeniem ziemskim. Gęstość powietrza wynosi ρ = 1,22 kg / m 3 .
Rozważmy piłkę tenisową o masie 57 gi promieniu 3,3 cm ; oraz piłka do bule o masie 700 gi
promieniu 3,7 cm,
która jest wyrzucana z drugiego piętra, tj. na przybliżoną wysokość h 7 m. Położenie obiektu określa następujący wzór:
z(t)=V0Tln[pałka(tT)]{\ Displaystyle z (t) = V_ {0} T \ ln \ lewo [\ cosh \ lewo ({t \ nad T} \ prawo) \ prawo]}Otrzymujemy zatem:
t=Tarcosh[exp(godzV0T)]{\ displaystyle t = T \ operatorname {arcosh} \ lewo [\ exp \ lewo ({h \ nad V_ {0} T} \ prawo) \ po prawej]}Jest :
t=Tarcosh[exp(godzsolV02)]{\ displaystyle t = T \ operatorname {arcosh} \ lewo [\ exp \ lewo ({hg \ nad V_ {0} ^ {2}} \ po prawej) \ prawej]}Zastępujemy V 0 i otrzymujemy:
t=V0solarcosh[exp(godzVSxρS2m)]{\ Displaystyle t = {V_ {0} \ ponad g} \ operatorname {arcosh} \ lewo [\ exp \ lewo ({hC_ {x} \ rho S \ ponad 2m} \ po prawej) \ prawej]}Współczynnik oporu dla piłki tenisowej wynosi .
VSx=0.57{\ displaystyle C_ {x} = 0,57}
Współczynnik oporu dla gładkiej kuli wynosi .
VSx=0,45{\ displaystyle C_ {x} = 0,45}
Dla piłki tenisowej otrzymujemy t t = 1,224 s, a dla piłki do gry w bule otrzymujemy t p = 1,197 s
Istnieje zatem mierzalna różnica czasu upadku wynosząca 2,5%. Jeśli oba obiekty są rzucane dokładnie w tym samym czasie, różnica czasu przy uderzeniu powinna być wyraźnie słyszalna.
Teraz rozważamy to samo doświadczenie, ale ze szczytu Wieży w Pizie, która ma wysokość 56 m .
W przypadku piłki tenisowej otrzymamy: t = 4,07 s .
W przypadku bule do gry w bule otrzymamy: t = 3,43 s .
Różnica między 2 szacowanymi czasami upadku jest daleka od pomijalnej i wynosi ponad ½ sekundy i powinna być łatwo zauważalna.
Dyskusja, kiedy jest małak=godzVSxρS2m{\ displaystyle k = {hC_ {x} \ rho S \ ponad 2m}}
Mamy wtedy:
x=exp(k)≈1+k{\ Displaystyle x = \ exp (k) \ około 1 + k}Pamiętaj o tym . Po podstawieniu otrzymujemy:
argch(x)=ln(x+x2-1){\ Displaystyle \ operatorname {argch} (x) = \ ln \ lewo (x + {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ prawej)}
t≈V0solln(1+k+(1+k)2-1)≈V0sol2k{\ Displaystyle t \ około {V_ {0} \ ponad g} \ ln \ lewo (1 + k + {\ sqrt {(1 + k) ^ {2} -1}} \ prawej) \ około {V_ {0 } \ over g} {\ sqrt {2k}}}Podstawimy V₀ i k , a więc:
t≈1sol2msolρVSxS×2godzVSxρS2m=2godzsol{\ Displaystyle t \ około {1 \ ponad g} {\ sqrt {2mg \ ponad \ rho C_ {x} S}} \ razy {\ sqrt {2hC_ {x} \ rho S \ ponad 2m}} = {\ sqrt {2h \ over g}}}co odpowiada zwykłej formule, gdy opór powietrza jest znikomy.
A Galileo?
Czy Galileo tego doświadczył? To z Wieży w Pizie ? Koyré temu zaprzecza. Bez wątpienia kłóci się z rozsądkiem. Bellone, nie zaprzeczając Koyré, wskazuje, że Galileusz już zrozumiał, że opór był proporcjonalny do gęstości powietrza (lub nawet wody) i do głównego momentu obrotowego obiektu i współczynnika . Jednak prawdopodobnie nie wie, że jest to proporcjonalne do . Wie, że prawo jest fałszywe w odniesieniu do wielkich wartości. Mersenne to potwierdził. Aby wyjść dalej, musiałby znaleźć . Torricelli jest już prawie na miejscu w 1644 roku: wie, że rośnie wolniej niż √ x .
VSx{\ displaystyle C_ {x}}v2{\ displaystyle v ^ {2}}v=solt{\ displaystyle v = gt}v(x){\ Displaystyle v (x)}v(x){\ Displaystyle v (x)}
W rzeczywistości stulecie nie jest na to dojrzałe: Galileo nie radzi sobie jeszcze z ilościami za pomocą jednostek: wszystko jest związane z odległościami, jak w czasach Greków. I dopiero około 1700 roku wszystkie te obliczenia zostaną wykonane (w szczególności przez Bernoulliego ).
Gwałtowny ruch
Ruch gwałtowny nazywamy ruchem piłki wyrzuconej z niezerową prędkością początkową, tutaj wzdłuż pionu.
Interesujące jest porównanie tych dwóch ruchów (na przykład biorąc pod uwagę, że uderzenie w ziemię jest elastyczne ).
Równanie różniczkowe pasuje: daje:
rev/ret=-sol(1+v2/V02){\ Displaystyle \ mathrm {d} v / \ mathrm {d} t = -g (1 + v ^ {2} / V_ {0} {} ^ {2})}
arctan(vV0)=-soltV0+arctan(v(0)V0){\ Displaystyle \ arctan \ lewo ({\ Frac {v} {V_ {0}}} \ prawej) = - {\ Frac {gt} {V_ {0}}} + \ arctan \ lewo ({\ Frac {v (0)} {V_ {0}}} \ right)},
i
v2(x)=-solH.+[v(0)2+solH.]exp(-2xH.){\ Displaystyle v ^ {2} (x) = - Gh + \ lewo [v (0) ^ {2} + GH \ prawo] \ exp \ lewo (- {\ Frac {2x} {H}} \ prawo) }.
Umożliwia to porównanie:
tzejście=Twrsoltwniegodz(v(0)V0){\ Displaystyle t _ {\ tekst {descent}} = T \ mathrm {argtanh} \ lewo ({\ Frac {v (0)} {V_ {0}}} \ prawej)},
Skąd
tmonietmi´mi=-jaTwrsoltwniegodz(jav(0)V0)=Tarctan(tanh(tremisvsminietmiT)){\ Displaystyle t _ {\ rm {mont {\ ostry {e}} e}} = - it \ mathrm {argtanh} \ lewo (ja {\ Frac {v (0)} {V_ {0}}} \ prawo ) = T \ arctan \ left (\ tanh \ left ({\ frac {t _ {\ rm {descent}}} {T}} \ right) \ right)},
albo stosunek 2,908 / 3,204,
i
godzremisvsminietmi=z0=H.lnγ{\ Displaystyle h _ {\ rm {descent}} = z_ {0} = H \ ln \ gamma \!}
godzmonietmi´mi=H.ln1+v(0)2V02{\ Displaystyle h _ {\ rm {mont {\ ostry {e}} e}} = H \ ln {\ sqrt {1 + {\ Frac {v (0) ^ {2}} {V_ {0} ^ { 2}}}}}}
jest
godzmonietmi´mi=H.2ln(2-exp(-2z0H.)){\ Displaystyle h _ {\ rm {mont {\ ostry {e}} e}} = {\ Frac {H} {2}} \ ln \ lewo (2- \ exp \ lewo (-2 {\ Frac {z_ {0}} {H}} \ right) \ right)}.
Uwagi i odniesienia
Uwagi
-
Czasami lekkomyślnie twierdzono, że opór powietrza dla piłki tenisowej i piłki do gry w bule jest znikomy i dlatego te 2 przedmioty powinny wylądować w praktyce w tym samym czasie. Symulacje numeryczne powyższe pokazują, że nie zawsze jest to prawda i że potrzebne jest pewne ostrożności. Twierdzenie Claude'a Allègre'a, że opór powietrza przy danej prędkości piłki tenisowej i pétanque jest w przybliżeniu taki sam (ten sam główny moment obrotowy i podobne współczynniki oporu) jest poprawne. Jednak jego rozumowanie jest błędne, ponieważ prędkości końcowe tych obiektów różnią się o współczynnik 3, co wyjaśnia, dlaczego piłka do gry w bule pojawi się jako pierwsza w sensie ścisłym .
Bibliografia
-
„ Charakterystyka oficjalnych piłek tenisowych ” (dostęp 10 listopada 2018 r. )
-
Obut, „ Les Weights ” (dostęp 10 listopada 2018 ).
-
Obut, " Les diamètres " (dostęp 10 listopada 2018 ).
-
(in) „ Freefall From Specified Height ” (dostęp 12 listopada 2018 )
-
(w) Chadwick SG i in., „ Współczynnik oporu piłek tenisowych ” , Inżynieria konferencji sportowej ,Czerwiec 2000, s. 174 ( czytaj online [PDF] , dostęp: 10 listopada 2018 )
-
(en) JM Cimbala, „ Drag it Spheres ” ,styczeń 2012(dostęp 10 listopada 2018 )
-
(w) John H. Lienhard, „ THE LEANING TOWER OF PISA ” (dostęp: 10 listopada 2018 )
-
„ Allègre ma piłki ”, Le Canard Enchaîné ,3 marca 1999( czytaj online , sprawdzono 10 listopada 2010 )
Zobacz też
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">