Kręgi Apoloniusza
Jest kilku kandydatów odpowiadających na imię koła Apoloniusza .
Krąg Apoloniusza o dwóch punktach
Apollonius de Perga proponuje zdefiniowanie okręgu jako zbioru punktów M płaszczyzny, dla których stosunek odległości MA / MB pozostaje stały, podając punkty A i B.
Twierdzenie - Jeśli A i B są dwoma różnymi punktami, a k jest liczbą rzeczywistą inną niż 0 i 1, okrąg Apoloniusza z trypletu ( A , B , k ) jest zbiorem punktów M płaszczyzny takim, że
Demonstracja -
- Rozwiązanie na ( AB ): jeśli k = 1, MA = k MB ma unikalne rozwiązanie na ( AB ): punkt środkowy [ AB ]. W przeciwnym razie problem Apolloniusa MA = k MB ma dwa rozwiązania na ( AB ), powiedzmy C i jego koniugat harmoniczny D w odniesieniu do A i B ; D istnieje, gdy C nie jest środkiem [ AB ].
- Rozwiązanie poza ( AB ): Jeśli MA / MB = k, to MA / MB = CA / CB; (MC) jest wtedy dwusieczną kąta w M w trójkącie AMB. Ale mamy również MA / MB = DA / DB, a (MD) jest drugą dwusieczną kąta w M w AMB. W szczególności trójkąt CMD jest prostokątem w M, a M jest więc na okręgu o średnicy [CD].
- Podsumowanie: Dla każdego M płaszczyzny na zewnątrz (AB) linie (MA), (MB), (MC) i (MD) tworzą snop harmoniczny. Jeśli ponadto M znajduje się na okręgu o średnicy [CD], to wiemy, że (MC) i (MD) są dwusiecznymi ∠AMB. Kończymy charakteryzacją dwusiecznej pod względem stosunku
- Okrąg o średnicy [CD] to okrąg Apoloniusza dla trioli ( A , B , k ).
Kręgi apollińskie Wiązka trójkąta
Niech ABC będzie trójkątem. Okrąg c ze środkiem O jest ograniczony do trójkąta ABC.
Dwusieczne w punkcie A przecinają się [BC] w I 1 i J 1 , okrąg c 1 ze środkiem O 1 ma średnicę [I 1 J 1 ].
Dwusieczne w B przecinają się [AC] w I 2 i J 2 , okrąg c 2 ze środkiem O 2 ma średnicę [I 2 J 2 ].
Dwusieczne w C przecinają się [AB] w I 3 i J 3 , okrąg c 3 ze środkiem O 3 ma średnicę [I 3 J 3 ].
Promień koła Apoloniusza jest utworzona przez trzy koła c 1 , c 2 i c 3 Apoloniusza których wspólną dwa punkty P i Q. Te są punkty bazowe belki.
Ich centra O 1 , O 2 i O 3 są wyrównane na prostopadłej dwusiecznej [PQ].
Środek O okręgu opisanego c i punkt lemoinski trójkąta ABC znajdują się na prostej (PQ).
Q (X15) i P (X16) są izogonalnymi koniugatami punktów Fermata (X14 i X13)
Fraktal
Zobacz: Krąg Apoloniusza