Trójka pitagorejska

W arytmetyczna , A Pitagorasa tryplet lub Pitagorasa tryplet jest tryplet ( , b , c ) z liczb niezerowe sprawdzania związek Pitagorasa  : . Najbardziej znana trójka pitagorejska to (3, 4, 5). w2+b2=vs2{\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}

Każdej trójce pitagorejskiej jest związany trójkąt o całych bokach a , b , c , koniecznie prostokąt przeciwprostokątnej c , jak również prostokąt o całych bokach a , b , i cała przekątna c .

Historyczny

Najstarszy odkryty ślad znajomości takich trojaczków pochodzi z tabliczki Plimpton 322 , dokumentu pisanego wokół1800 pne J.-C.w starożytnym Iraku , który pokazuje 15 par liczb, które można uzupełnić, tworząc tak zwane trójki pitagorejskie.

Ale specjaliści nie wszyscy są zgodni i zaproponowano inne interpretacje tabletu.

Pitagoras The VI th  wpne, pozostawiła bez pisemnej i różnych źródeł dotyczące sprzeciwić. Jest jednak prawie pewne, że znał trójkę (3, 4, 5). Filozof Proklos z Licji The V th  wne, w swoim komentarzu do księgi I z elementami z Euklidesa (napisany około 300 pne), nadana Pitagoras odkrył formułę zauważamy dzisiaj , gdzie jest ściśle dodatnia. (2nie+1,2nie2+2nie,2nie2+2nie+1){\ styl wyświetlania (2n + 1,2n ^ {2} + 2n, 2n ^ {2} + 2n + 1)}nie{\ styl wyświetlania n}

Również według Proklosa Platon znał drugą rodzinę nieskończonych trójek pitagorejskich: . (nie2-1,2nie,nie2+1){\ styl wyświetlania (n ^ {2} -1,2n, n ^ {2} +1)}

Sprawa ogólna

Dwie znane Grekom formuły pokazują, że istnieje nieskończoność trójek pitagorejskich i że wszystko jest częścią takiej trójki (pierwsza formuła obejmuje i druga ). ⩾3{\ styl wyświetlania \ geqslant 3}2nie+1{\ styl wyświetlania 2n + 1}2nie{\ styl wyświetlania 2n}

Oto twierdzenie dające wzór generujący zbiór tych trojaczków.

Twierdzenie  -  Trójka ( a , b , c ) jest pitagorejska wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją dwie liczby całkowite takie, że 0<q<p{\ styl wyświetlania 0 <q <p}

wvs=p2-q2p2+q2{\ displaystyle {\ frac {a} {c}} = {\ frac {p ^ {2} -q ^ {2}} {p ^ {2} + q ^ {2}}}} i bvs=2pqp2+q2{\ displaystyle {\ frac {b} {c}} = {\ frac {2pq} {p ^ {2} + q ^ {2}}}}

Dowód klasyczny wykorzystuje racjonalną parametryzację okręgu jednostkowego:

Demonstracja

Istnieje możliwość parametryzacji okręgu jednostkowego równania x ² + y ² = 1 , pozbawionego punktu A (–1, 0), wykorzystując nachylenie t prostej przechodzącej przez A i spotykającej się z okręgiem w M ( u , v ) . Współrzędne M to wtedy: x=1-t21+t2{\ displaystyle x = {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}}} i tak=2t1+t2{\ displaystyle y = {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}}} Rzeczywiście, nachylenie (AM) wynosi t , mamy y = t ( x + 1) i równanie okręgu jest następnie zapisywane x2-1+t2(x+1)2=0{\ displaystyle x ^ {2} -1 + t ^ {2} (x + 1) ^ {2} = 0} następnie po uproszczeniu o x + 1 , a nie zero i przegrupowując wyrazy otrzymujemy: x=1-t21+t2{\ displaystyle x = {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}}} następnie tak=2t1+t2{\ displaystyle y = {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}}} Trójka ( a , b , c ) ściśle dodatnich liczb całkowitych jest pitagorejska wtedy i tylko punkt M współrzędnych ( a / c , b / c ) jest punktem okręgu jednostkowego. Skutkuje to warunkami: wvs=x=1-t21+t2{\ displaystyle {\ frac {a} {c}} = x = {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}}} i bvs=tak=2t1+t2{\ displaystyle {\ frac {b} {c}} = y = {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}}} gdzie t , nachylenie prostej (AM), jest wymiernym q / p ściśle między 0 a 1, co kończy się.

Przypadek prymitywnych trójek

Trójka pitagorejska ( a , b , c ) jest uważana za prymitywny, jeśli trzy liczby całkowite a , b i c są względnie pierwsze jako całość. Wystarczy, że dwie z nich są tym (ponieważ dzielnik pierwszy wspólny dla dwóch liczb podzieli trzecią).

Istnieje nieskończona liczba prymitywnych trójek ( patrz poniżej ). Pierwsze 16 w porządku rosnącym od c to te, których trzy wyrazy są mniejsze niż 100:

(3, 4, 5)	(20, 21, 29)	(11, 60, 61)	(13, 84, 85)
(5, 12, 13)	(12, 35, 37)	(16, 63, 65)	(36, 77, 85)
(8, 15, 17)	(9, 40, 41)	(33, 56, 65)	(39, 80, 89)
(7, 24, 25)	(28, 45, 53)	(48, 55, 73)	(65, 72, 97)

Każdy triol pitagorejski ( a , b , c ) jest unikalnym iloczynem pierwotnej trypletu pitagorejskiego przez ściśle dodatnią liczbę całkowitą: gcd z ( a , b , c ).

Jeśli podzielimy przez c 2 , otrzymamy:

w2vs2+b2vs2=1{\ displaystyle {\ frac {a ^ {2}} {c ^ {2}}} + {\ frac {b ^ {2}} {c ^ {2}}} = 1}.

Innymi słowy, prymitywne trójki pitagorejskie odpowiadają jeden do jednego punktom okręgu jednostkowego o współrzędnych wymiernych podanych w formie nieredukowalnej przez . (wvs,bvs){\ displaystyle \ lewo ({\ frac {a} {c}}, {\ frac {b} {c}} \ po prawej)}

Podstawowe twierdzenie opisujące wszystkie pierwotne trójki

Jeśli ( a , b , c ) jest prymitywną trójką pitagorejską, to ( b , a , c ) również, a a lub b są nieparzyste. Poniższe twierdzenie charakteryzuje zatem wszystkie te trójki.

Istnieje równoważność między

• (i) jest prymitywną trójką pitagorejską z nieparzystym.(w,b,vs){\ styl wyświetlania (a, b, c)}w{\ styl wyświetlania a}
• (ii) Istnieje para liczb z p > q , p i q między nimi oraz o różnych parzystościach, taka, że(p,q)∈NIE*2{\ styl wyświetlania (p, q) \ in \ mathbb {N} ^ {* 2}}w=p2-q2,b=2pqivs=p2+q2.{\ displaystyle a = p ^ {2} -q ^ {2}, \ quad b = 2pq \ quad {\ text {i}} \ quad c = p ^ {2} + q ^ {2}.}

Demonstracja

Zgodnie z ogólną formą trójek pitagorejskich ( patrz wyżej ), prymitywne są trójki postaciw=p2-q2re,b=2pqre,vs=p2+q2rezp,q∈NIE,0<q<p,re=pgcd⁡(p2-q2,p2+q2)|pgcd⁡(2p2,2q2){\ displaystyle a = {\ frac {p ^ {2} -q ^ {2}} {d}}, \ quad b = {\ frac {2pq} {d}}, \ quad c = {\ frac {p ^ {2} + q ^ {2}} {d}} \ quad {\ text {z}} \ quad p, q \ in \ mathbb {N}, \ quad 0 <q <p, \ quad d = \ operatorname {pgcd} (p ^ {2} -q ^ {2}, p ^ {2} + q ^ {2}) \ mid \ operatorname {pgcd} (2p ^ {2}, 2q ^ {2})}i bez utraty ogólności , p i q są pierwsze między nimi, tak że d jest równe 1 lub 2 , w zależności od tego, czy p i q mają różne parytety, czy takie same.

• (i) ⇒ (ii)  : Jeśli ponadto a jest nieparzyste, to p i q mają różne parytety (ponieważ gdyby oba były nieparzyste, a byłoby parzyste, jako iloraz przez d = 2 liczby całkowitej podzielnej przez 4 ). Wynika z tego, że d = 1 , stąd (ii) .
• (ii) ⇒ (i)  : Odwrotnie, załóżmy (ii) . Wtedy ( a , b , c ) ma powyższą postać z d = 1 i nieparzystym, stąd (i) .w=p2-q21{\ displaystyle a = {\ frac {p ^ {2} -q ^ {2}} {1}}}

Uwagi:

• Rodzina była znana Euklidesowi.(p2-q2,2pq,p2+q2){\ styl wyświetlania (p ^ {2} -q ^ {2}, 2pq, p ^ {2} + q ^ {2})}
• Pierwotna tryplet ( , b , c ) z dziwne, para ( p, q ) jest unikalny .p=w+vs2,q=vs-w2{\ displaystyle p = {\ sqrt {\ frac {a + c} {2}}}, q = {\ sqrt {\ frac {ca} {2}}}}
• Przypadek i p implikują nawet, że dowolna wielokrotność liczby 4: jest częścią przynajmniej jednej pierwotnej trójki: (rodzina „Platon” podana powyżej).q=1{\ styl wyświetlania q = 1}2p⩾4{\ displaystyle 2p \ geqslant 4}(p2-1,2p,p2+1){\ styl wyświetlania (p ^ {2} -1,2 p, p ^ {2} +1)}
• Pozując i , przeformułowanie tego twierdzenia to:m=p+q{\ styl wyświetlania m = p + q}nie=p-q{\ styl wyświetlania n = pq}

Twierdzenie  -  jest prymitywną trójką pitagorejską z nieparzystymi wtedy i tylko wtedy, gdy są między nimi dwie nieparzyste liczby całkowite pierwsze takie, że(w,b,vs){\ styl wyświetlania (a, b, c)}w{\ styl wyświetlania a}m>nie⩾1{\ displaystyle m> n \ geqslant 1}w=mnie,b=m2-nie22ivs=m2+nie22.{\ displaystyle a = mn, \ quad b = {\ frac {m ^ {2} -n ^ {2}} {2}} \ quad {\ tekst {i}} \ quad c = {\ frac {m ^ {2} + n ^ {2}} {2}}.}

• Przypadek sugeruje, że każda liczba nieparzysta jest częścią co najmniej jednej pierwotnej trójki: (odpowiednik rodziny Pitagorasa podanej powyżej).nie=1{\ styl wyświetlania n = 1}m⩾3{\ displaystyle m \ geqslant 3}(m,(m2-1)/2,(m2+1)/2){\ styl wyświetlania (m, (m ^ {2} -1) / 2, (m ^ {2} +1) / 2)}

Właściwości prymitywnej trójki pitagorejskiej

Pierwotna trójka z nieparzystym, podana przez poprzednie twierdzenie, ma następujące własności: (w,b,vs){\ styl wyświetlania (a, b, c)}w{\ styl wyświetlania a}w=p2-q2,b=2pq,vs=p2+q2{\ displaystyle a = p ^ {2} -q ^ {2}, b = 2pq, c = p ^ {2} + q ^ {2}}

• b jest wielokrotnością 4 (dlatego żadna liczba całkowita w postaci 4 k + 2 nie należy do pierwotnej trójki pitagorejskiej);
• dokładnie całkowitą i b jest wielokrotnością 3;
• dokładnie jedna liczba całkowita a , b i c jest wielokrotnością 5;
• wysokość wynikająca z kąta prostego w skojarzonym trójkącie nie jest pełna;h=wb/vs{\ styl wyświetlania h = ab / c}
• pole skojarzonego trójkąta (który z definicji jest liczbą przystającą ) nie jest kwadratem: jest to twierdzenie Fermata o trójkątach prostokątnych  ;S=wb/2{\ styl wyświetlania S = ab / 2}
• istnieją trójki, w których a i c są liczbami pierwszymi, jak (5, 12, 13), ale nie wiemy, czy istnieje ich nieskończoność (por. sekwencja A067756 z OEIS );
• czynniki pierwsze c mają postać 4 k + 1 , więc także c , jak dla każdej nieparzystej sumy dwóch kwadratów pierwszych między nimi  ;
• Z drugiej strony, każdy produkt liczb w postaci 4 k + 1 jest trzeci człon prymitywnego Pitagorasa triplet (por sekwencji A008846 w OEIS );
• vs-w2=q2{\ displaystyle {\ tfrac {ca} {2}} = q ^ {2}}i są kwadratami;vs-b=(p-q)2{\ displaystyle cb = (pq) ^ {2}}
• odwrotność poprzedniej własności jest fałszywa, jak pokazuje trójka (1, 8, 9);
• najwyżej jedna z trzech liczb a , b , c jest kwadratem;
• liczby całkowite a , b i c nie mogą być jednocześnie n -tymi potęgami (konsekwencja wielkiego twierdzenia Fermata  !)nie⩾2{\ displaystyle n \ geqslant 2}
• liczby całkowite p i q są interpretowane w skojarzonym trójkącie według wzoru , ponieważ (patrz rysunek obok);  ;dębnik⁡b2=qp{\ displaystyle \ tan {\ frac {B} {2}} = {\ frac {q} {p}}}dębnik⁡b=2pqp2-q2{\ displaystyle \ tan B = {\ frac {2pq} {p ^ {2} -q ^ {2}}}}dębnik⁡W2=p+qq-p=mnie{\ displaystyle \ tan {\ frac {A} {2}} = {\ frac {p + q} {qp}} = {\ frac {m} {n}}}
• promień okręgu wpisanego jest całością  ; promienie trzech wypisanych okręgów są liczbami całkowitymi , i  ; na przykład dla trójki (3, 4, 5), p = 2 i q = 1; kolejne promienie to 1, 2, 3 i 6;r=wbw+b+vs=q(p-q){\ displaystyle r = {\ frac {ab} {a + b + c}} = q (pq)}rW=wb-w+b+vs=p(p-q){\ displaystyle r_ {A} = {\ frac {ab} {- a + b + c}} = p (pq)}rb=wbw-b+vs=q(p+q){\ displaystyle r_ {B} = {\ frac {ab} {a-b + c}} = q (p + q)}rVS=wbw+b-vs=p(p+q){\ displaystyle r_ {C} = {\ frac {ab} {a + bc}} = p (p + q)}
• średnica opisanego okręgu jest równa c .

Generacja algebraiczna i geometryczna

Berggren wykazał w 1934 roku, że każdy wczesny triol pitagorejski można uzyskać z trypletu (3, 4, 5) przez wielokrotne stosowanie , i , z: R1{\ styl wyświetlania {\ matematyczny {R}} _ {1}}R2{\ styl wyświetlania {\ matematyczny {R}} _ {2}}R3{\ styl wyświetlania {\ matematyczny {R}} _ {3}}

R1=(1-222-122-23)R2=(122212223)R3=(-122-212-223){\ displaystyle {\ mathcal {R}} _ {1} = {\ początek {pmatrix} 1 i -2 i 2 \\ 2 i -1 i 2 \\ 2 i -2 i 3 \\\ koniec {pmatrix} } \ quad {\ mathcal {R} } _ {2} = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \\\ end {pmatrix}} \ quad {\ mathcal {R}} _ {3} = {\ begin {pmatrix} -1 & 2 & 2 \ \ -2 & 1 & 2 \\ - 2 & 2 & 3 \\\ end {pmatrix}}}

Co więcej, ten rozkład jest wyjątkowy.

Geometrycznie iloczyn trójki ( a, b , c ) odpowiada konstrukcji Φ przeprowadzonej dla punktu , gdzie: Rja{\ styl wyświetlania {\ matematyczny {R}} _ {i}} ∘{\ styl wyświetlania \ okrąg} Sja{\ styl wyświetlania {\ matematyczny {S}} _ {i}}(wvs,bvs){\ displaystyle \ lewo ({\ frac {a} {c}}, {\ frac {b} {c}} \ po prawej)}

• S1{\ styl wyświetlania {\ matematyczny {S}} _ {1}} jest symetrią względem osi y;
• S2{\ styl wyświetlania {\ matematyczny {S}} _ {2}} jest symetrią centrum O;
• S3{\ styl wyświetlania {\ matematyczny {S}} _ {3}} symetria względem osi x;
• oraz Φ zastosowanie samego okręgu jednostkowego , który w dowolnym punkcie M wiąże M „drugi punkt przecięcia z linią przechodzącą przez M i P (1,1).(VS){\ styl wyświetlania {\ matematyczny {(}} C)}(VS){\ styl wyświetlania {\ matematyczny {(}} C)}

Przykłady

• (77,36,85)=R3∘R2(3,4,5){\ displaystyle (77,36,85) = {\ mathcal {R}} _ {3} \ circ {\ mathcal {R}} _ {2} (3,4,5)}
• (85,132,157)=R1∘R3∘R3(3,4,5){\ displaystyle (85 132 157) = {\ mathcal {R}} _ {1} \ circ {\ mathcal {R}} _ {3} \ circ {\ mathcal {R}} _ {3} (3,4,5 )}

Gęstość

Jeśli zwrócimy uwagę na liczbę pierwotnych trójek pitagorejskich z trzeciego wyrazu mniejsze niż i liczbę takich trójek o sumie mniejszej niż , Derrick Norman Lehmer (w) wykazał w 1900 r., że kiedy dąży do nieskończoności, oraz . NIEvs(nie){\ styl wyświetlania N_ {c} (n)}nie{\ styl wyświetlania n}NIEs(nie){\ styl wyświetlania N_ {s} (n)}nie{\ styl wyświetlania n} nie{\ styl wyświetlania n}NIEvs(nie)~nie2π{\ displaystyle N_ {c} (n) \ sim {\ frac {n} {2 \ pi}}}NIEs(nie)~log⁡2π2nie{\ displaystyle N_ {s} (n) \ sim {\ frac {\ log 2} {\ pi ^ {2}}} n}

Problemy z kolorowaniem

Możemy traktować zbiór naturalnych liczb całkowitych jako graf, którego wierzchołki są liczbami i takie, że wierzchołki połączone krawędzią to te, które są częścią tej samej trójki.

Dlatego zastanawiamy się, czy możliwe jest pokolorowanie wykresu w taki sposób, aby elementy tej samej trójki nie miały tego samego koloru.

Innymi słowy, staramy się pokolorować wykres tak, aby nie było monochromatycznego 3- klik . Ten problem został pierwotnie postawiony przez Paula Erdősa i Ronalda Grahama .

Ograniczając się do dwóch kolorów, zostało pokazane w 2016 roku, a zweryfikowane w 2019 roku dzięki Coq , że możliwe jest tylko podniesienie się do pierwszych 7824 liczb całkowitych.

Stosując trzy różne kolory, istnieje dopuszczalne pokolorowanie pierwszej liczby całkowitej 11066, ale poza tym problem pozostaje otwarty.

Wizualizacja trójek pitagorejskich

Funkcja zespolonaz↦z2{\ displaystyle z \ mapsto z ^ {2}} pozostawia stabilny pierścień Z [ i ] liczb całkowitych Gaussa . W każdym punkcie obrazu z Z. [ I ] według niniejszego funkcja odpowiada w Pitagorasa potrójny (rzeczywiście ,, a ). Ta uwaga przedstawia wizualizację trójek pitagorejskich i wyjaśnienie obecności przypowieści na wykresie punktowym obok. (p+qja)2=p2-q2+2pqja{\ displaystyle (p + q \ mathrm {i}) ^ {2} = p ^ {2} -q ^ {2} + 2pq \ mathrm {i}}(p2-q2)2+(2pq)2=(p2+q2)2{\ displaystyle (p ^ {2} -q ^ {2}) ^ {2} + (2pq) ^ {2} = (p ^ {2} + q ^ {2}) ^ {2}}

Aplikacje

Wiązane liny mogą być używane do konstruowania kątami prostymi wyznaczającej trójkąta, którego długości boków znajdują się elementy triplet Pitagorasa.

Uwagi i referencje

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w angielskiej Wikipedii zatytułowanego "  Potrójny pitagorejski  " ( zobacz listę autorów ) .

Uwagi

1. Dla pierwszych dwudziestu liczb całkowitych przykładem takiego kolorowania jest 1, 2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8 , 9, 10, 11, 12 , 13 , 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. Zauważamy na przykład, że trojaczki ( 3 , 4, 5 ) i (5, 12 , 13 ) rzeczywiście nie są monochromatyczne.
2. Ogólnie używamy 12 odstępów tworzących trzy boki o długości 3, 4 i 5.

Bibliografia

1. Goichot, „  Tablette Plimpton 322  ” , w Le Portail des IREM ,2016, recenzja Christine Proust , 02/2017.
2. Christine Proust, „  Plimpton 322: w poszukiwaniu prostokątów sześćdziesiętnych, mezopotamska wersja poszukiwań „trójek pitagorejskich”  ” , o obrazach matematyki ,15 listopada 2015(dostęp w sierpniu 2020 r . ) .
3. Jean-Paul Delahaye "  W arkana Pitagorasa trójek  " pour la nauki , N O  514sierpień 2020, s.  80-85 ( czytaj online ).
4. Patrz np. Pierre Guillot, Kurs matematyki L1 ,coreEdition, s.  229 .
5. Gérard Villemin , "  Ilość trojaczków  " ,15 marca 2020 r..
6. Jean Dieudonné , O honor ludzkiego ducha: dzisiejsza matematyka , Hachette ,1988, 298  s. ( ISBN  978-2-01-011950-7 , OCLC  20000703 ) , s.  94.
7. (pl) Wacław Sierpiński , Trójkąty pitagorejskie , Dover ,2003( 1 st  ed. 1962) ( linia odczytu ) , s.  4-7.
8. (w) John Stillwell , Elementy teorii liczb , Springer , al.  „Teksty licencjackie z matematyki”,2003( czytaj online ) , s.  112.
9. Do demonstracji, patrz na przykład Sierpińskim 2003 , s.  4 lub to poprawione ćwiczenie z lekcji arytmetyki na Wikiversity .
10. (pl) RD Carmichael , Analiza diofantyczna ,1915( czytaj online ) , s.  13.
11. Sierpiński 2003 , s.  6.
12. Carmichael 1915 , s.  17 (Ćwiczenia: 1.).
13. (Sv) B. Berggren, "trójkąt pitagoreiska", Tidskrift for elementär matematik, fysik i kemi , tom. 17, 1934, s.  129-139 .
14. Andre Stoll „  geometryczne a algebraicznych pokolenia trójek Pitagorasa  ” L'Ouvert , n os  100-101,wrzesień 2000, s.  1 ( przeczytaj online [PDF] ).
15. (w) DN Lehmer, „  Asymptotyczna ocena niektórych sum totient  ” , Amer. J. Matematyka. , tom.  22,1900, s.  293-335 ( JSTOR  2369728 ).
16. Shalom Eliahou i Jean Fromentin, „  Pythagoras i mieszanie  ” , o obrazach matematyki ,21 czerwca 2017(dostęp w sierpniu 2020 r . ) .
17. (w) [wideo] Numberphile , Problem z 7825 na YouTube .
18. (w) "  Wszyscy mogą potrójnie wizualizować pitagorejczyka  " , na YouTube .

Zobacz również

• Tego twierdzenia Fermata pokazuje, że takie potrójne nie istnieje, gdy wykładnik a , b , c jest liczbą całkowitą większą niż lub równą 3.
• Twierdzenie Nivena  (pl)

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">