Transformacje Lorentza

W artykule przedstawiono transformacje Lorentza w aspekcie technicznym. Czytelnik pragnący uzyskać bardziej ogólne informacje fizyczne na ten temat, może odnieść się do artykułu o szczególnej teorii względności .

Do transformacji Lorentza są liniowymi transformacje współrzędnych danego punktu na czasoprzestrzeni Minkowskiego czterech wymiarów. W szczególnej teorii względności odpowiadają one prawom zmiany układu odniesienia Galileusza, dla których zachowane są równania fizyczne i dla których prędkość światła pozostaje identyczna we wszystkich układach odniesienia Galileusza. Są one czasami uznawane relatywistyczna odpowiednik Galileo przemian z mechaniki klasycznej .

Najczęstszą formą jest:

{t′=γ(t-vxvs2)x′=γ(x-vt)y′=yz′=z{\ Displaystyle \ lewo \ {{\ zaczynać {wyrównane} t '& = \ gamma \ lewo (t - {\ Frac {vx} {c ^ {2}}} \ prawo) \\ x' & = \ gamma \ left (x-vt \ right) \\ y '& = y \\ z' & = z \ end {aligned}} \ right.}

Gdzie ( t , x , y , z ) i ( t ′, x ′, y ′, z ′) reprezentują współrzędne zdarzenia w dwóch inercjalnych układach odniesienia, których względna prędkość jest równoległa do osi , to prędkość światło , a współczynnik Lorentza jest . v{\ displaystyle v}x{\ displaystyle x}vs{\ displaystyle c}γ=11-v2vs2{\ Displaystyle \ gamma = {\ Frac {1} {\ sqrt {1 - {\ Frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}

Termin „transformacje Lorentza” może odnosić się do przedstawionych powyżej zmian współrzędnych, czasami nazywanych specjalnymi transformacjami Lorentza lub wzmocnieniem Lorentza , lub do większego zbioru określanego jako grupa Lorentza . Grupę tę tworzy zbiór przekształceń liniowych zgodnych z postulatami szczególnej teorii względności , czyli takich, które wychodzą z pseudo-normy niezmiennika przestrzeni Minkowskiego . Grupa Lorentza obejmuje nie tylko wzmocnienia Lorentza dla dowolnego dowolnego kierunku przestrzeni, ale także obroty układu przestrzennego , zwane statycznymi obrotami przestrzeni. W ramach relatywistycznych teorii kwantowych i opisu cząstek elementarnych dopuszcza się również przemiany odwracające poczucie czasu i orientację ramy przestrzennej , choć w szczególnej teorii względności mogą się one wydawać bez znaczenia. Grupa Lorentza jest sama w sobie podgrupą grupy Poincaré, która rozszerza poprzednią definicję na transformacje afiniczne , nie ograniczając się do przekształceń liniowych. Grupa Poincaré umożliwia zatem przedstawienie wszystkich zmian układu odniesienia, na które zezwala szczególna teoria względności, łącznie z tymi, które pociągają za sobą przesunięcie początku odniesienia czasoprzestrzennego.

We wstępie do publikacji „Deux Mémoires de Henri Poincaré o fizyce matematycznej”, Acta Matematica , vol. 38, s.  293-308 , w 1921 r. Hendrik Lorentz stwierdza, że ​​w celu zapewnienia identycznego zapisu równań Maxwella w każdym układzie odniesienia Galileusza Henri Poincaré wprowadził to prawo matematycznie, chrzcząc je imieniem Lorentz. Ten ostatni przedstawił jego wersję, którą później uznał za niedoskonałą.

Najpopularniejsze prezentacje

Rozważamy dwa układy odniesienia Galileusza i jednorodne przesunięcie prostoliniowe jeden względem drugiego, tak że porusza się z prędkością względem wzdłuż kierunku osi . Oznaczamy odpowiednio i trzy współrzędne przestrzenne oraz czas umożliwiający zlokalizowanie tego samego zdarzenia obserwowanego z każdego z tych układów odniesienia. R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}v{\ displaystyle v}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}x{\ displaystyle x} (t,x,y,z){\ Displaystyle \ (t, x, y, z)} (t′,x′,y′,z′){\ Displaystyle \ (t ', x', y ', z')}

Transformacje Lorentza między tymi dwoma układami odniesienia są zatem:

Transformacja Lorentza ( kierunek ) x{\ displaystyle x} {t′=γ(t-vxvs2)x′=γ(x-vt)y′=yz′=z{\ Displaystyle \ lewo \ {{\ zaczynać {wyrównane} t '& = \ gamma \ lewo (t - {\ Frac {vx} {c ^ {2}}} \ prawo) \\ x' & = \ gamma \ left (x-vt \ right) \\ y '& = y \\ z' & = z \ end {aligned}} \ right.}

z i . γ=11-β2 {\ Displaystyle \ gamma = {\ Frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} ~} β=v/vs{\ Displaystyle ~ \ beta = v / c}

Parametr jest stały dla danej transformacji. Jest to wielkość algebraiczna, dodatnia lub ujemna, której wartość bezwzględna nie może być równa ani większa niż  : (przemieszczenie w dodatnim kierunku osi des liczone jest dodatnio). Dopuszczalne są w ten sposób tylko prędkości subluminiczne , a możliwe wartości dla i są w związku z tym: i . v{\ displaystyle v}vs{\ displaystyle c}-vs<v<vs {\ Displaystyle -c <v <c ~}x{\ displaystyle x}β{\ displaystyle \ beta}γ{\ displaystyle \ gamma} -1<β<1 {\ Displaystyle ~ -1 <\ beta <1 ~} 1≤γ<+∞{\ Displaystyle ~ 1 \ leq \ gamma <+ \ infty}

Transformacje nie są definiowane, jeśli są poza tymi granicami. Rzeczywiście, przyjmuje nieskończoną wartość dla i staje się liczbą zespoloną dla . Współrzędne czasu i przestrzeni są wielkościami mierzalnymi, ich wartość jest z konieczności opisana liczbą rzeczywistą . v{\ displaystyle v}γ{\ displaystyle \ gamma}v=vs{\ displaystyle v = c}v>vs{\ displaystyle v> c}

Co więcej, na mocy zasady względności żaden układ odniesienia Galileusza nie jest uprzywilejowany względem innych. Dlatego transformacje, z których należy przejść do, muszą mieć taką samą formę, jak te, które mają przejść z do . Jedyna asymetria polega na tym, że porusza się z prędkością względem . Odwrotne transformacje są zapisane w następujący sposób: R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}-v{\ displaystyle -v}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}

Odwrotna transformacja Lorentza ( kierunek ) x{\ displaystyle x} {t=γ(t′+vx′vs2)x=γ(x′+vt′)y=y′z=z′{\ Displaystyle \ lewo \ {{\ zaczynać {wyrównane} t & = \ gamma \ lewo (t '+ {\ Frac {vx'} {c ^ {2}}} \ prawej) \\ x & = \ gamma \ left (x '+ vt' \ right) \\ y & = y '\\ z & = z' \ end {aligned}} \ right.}

Transformacje Lorentza zostały tutaj przedstawione jako pasywne transformacje  (we) współrzędnych, innymi słowy porównaliśmy sposób, w jaki to samo zdarzenie było obserwowane w dwóch różnych układach odniesienia. Inny punkt widzenia polega na uznaniu ich za transformacje aktywne, które nie wpływają na układ odniesienia, ale na sam system fizyczny. Nowe współrzędne następnie opisują to zjawisko tak, jak byłoby to obserwowane, gdyby cały układ został wprowadzony w jednolity ruch prostoliniowy z prędkością wzdłuż osi tego samego układu odniesienia.  (t′,x′,y′,z′){\ Displaystyle \ (t ', x', y ', z')}-v{\ displaystyle -v}x{\ displaystyle x}

Alternatywne formy

• Używając , uzyskujemy bardziej symetryczny zapis przekształceń:β=v/vs{\ displaystyle \ beta = v / c}

 {vst′=γ(vst-β.x)x′=γ(x -β.vst)y′=yz′=z{\ Displaystyle \, ~ \ lewo \ {{\ rozpocząć {wyrównane} ct '& = \ gamma \ lewo (ct- \ beta .x \ prawo) \\ x' & = \ gamma \ lewo (x ~ - \ beta .ct \ right) \\ y '& = y \\ z' & = z \ end {aligned}} \ right. \,}

• Na dublet wydarzeń. Forma zajmująca się różnicami współrzędnych może wydawać się bardziej interesująca, ponieważ to rzeczywiście długości i przedziały czasu są mierzone eksperymentalnie lub są przedmiotem zainteresowania na płaszczyźnie fizycznej. Zwracając uwagę i różnice we współrzędnych między dwoma zdarzeniami obserwowanymi z każdego układu odniesienia, liniowość przekształceń Lorentza prowadzi do: Δx,Δy,...{\ Displaystyle \ \ Delta x, \ Delta y, ...} Δx′,Δy′,...{\ Displaystyle \ \ Delta x ', \ Delta y', ...}

{Δt′=γ(Δt-vΔxvs2)Δx′=γ(Δx-vΔt)Δy′=ΔyΔz′=Δz{\ Displaystyle \ lewo \ {{\ rozpocząć {wyrównane} \ Delta t '& = \ gamma \ lewo (\ Delta t - {\ Frac {v \ Delta x} {c ^ {2}}} \ prawej) \\ \ Delta x '& = \ gamma \ left (\ Delta xv \ Delta t \ right) \\\ Delta y' & = \ Delta y \\\ Delta z '& = \ Delta z \ end {aligned}} \ right .}

• W relatywistycznej teorii kwantów dopuszcza się również inwersję czasową T i inwersję przestrzenną P. Przekształcenia Lorentza, które pozostawiają niezmiennicze równania fizyczne (przy braku ładunku elektrycznego ) są zatem:

 {vsΔt′=ϵ1γ(vsΔt-βΔx)Δx′=ϵ2γ(Δx-βvsΔt)Δy′=ϵ2ΔyΔz′=ϵ2Δz,{\ Displaystyle \, ~ \ lewo \ {{\ rozpocząć {wyrównane} c \ Delta t '& = \ epsilon _ {1} \ gamma \ lewo (c \ Delta t- \ beta \ Delta x \ prawej) \\\ Delta x '& = \ epsilon _ {2} \ gamma \ left (\ Delta x- \ beta c \ Delta t \ right) \\\ Delta y' & = \ epsilon _ {2} \ Delta y \\\ Delta z '& = \ epsilon _ {2} \ Delta z \ end {aligned}} \ right. \ ,,}gdzie wskazują, czy nastąpiła zmiana orientacji czasowej i / lub przestrzennej.ϵja=±1{\ displaystyle \ epsilon _ {i} = \ pm 1}Uwaga: Mówiąc bardziej ogólnie, każda transformacja stosowana w fizyce kwantowej ma postać , z transformacją grupy Lorentza szczególnej teorii względności (ortochronicznej i właściwej) i . Grupa Eigena i orthochronous przekształceń są połączone , to wskazuje, że rozkład grup Lorentz jest utworzona z czterech połączonych ze sobą elementów.S⋅Λ{\ Displaystyle S \ cdot \ Lambda}Λ{\ displaystyle \ Lambda}S∈{jare;T;P.;TP.}{\ Displaystyle S \ in \ {Id; T; P; TP \}}

Prezentacja macierzy

W postaci macierzowej zapisujemy transformacje Lorentza:

[vst′x′y′z′]=[γ-βγ00-βγγ0000100001][vstxyz]{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} ct '\\ x' \\ y '\\ z' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ gamma i - \ beta \ gamma i 0 i 0 \\ - \ beta \ gamma & \ gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} c \, t \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}}}

gdzie zanotowana macierz spełnia następujące oczekiwane właściwości: Λ{\ displaystyle \ Lambda}

• det(Λ)=+1{\ Displaystyle \ det (\ Lambda) = + 1}, co oznacza, że ​​transformacja zachowuje orientację przestrzeni .
• ΛT η Λ=η {\ Displaystyle \ Lambda ^ {T} ~ \ eta ~ \ Lambda = \ eta ~}, gdzie jest metryka Minkowskiego , co oznacza, że ​​macierz jest pseudo-ortogonalna i zachowuje pseudo-normę przestrzeni Minkowskiego .η{\ displaystyle \ eta}  η=rejawsol(1,-1,-1,-1){\ Displaystyle ~ \ eta = \ operatorname {diag} (1, -1, -1, -1)}

Odwrotną transformację daje: Λ-1{\ displaystyle \ Lambda ^ {- 1}}

[vstxyz]=[γβγ00βγγ0000100001][vst′x′y′z′]{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} = {\ początek {bmatrix} \ gamma i \ beta \ gamma i 0 i 0 \\ beta \ gamma & \ gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} c \, t '\\ x' \\ y ' \ z '\ end {bmatrix}}}

Ten zapis w postaci macierzy 4 × 4 odpowiada standardowej reprezentacji grupy Lorentza, zaznaczonej (½, ½). Obiekty, które są przekształcane w ramach tej reprezentacji, są kwadratowymi wektorami ( w tym przypadku kwadratowym sektorem czasowo-położeniowym). Możliwe są jednak inne reprezentacje macierzowe, które umożliwiają zastosowanie transformacji Lorentza do obiektów o innym charakterze (np. Pole elektromagnetyczne , bispinery Diraca …).

Prezentacja jako rotacja hiperboliczna

Definicje i wynika z nich . Analogia z hiperboliczną relacją trygonometryczną pozwala określić szybkość poprzez pozowanie:  γ=11-β2 {\ Displaystyle ~ \ gamma = {\ Frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} ~} β=v/vs ,{\ Displaystyle ~ \ beta = v / c ~,} γ2-(γβ)2=1{\ Displaystyle \ \ gamma ^ {2} - (\ gamma \ beta) ^ {2} = 1}
 pałka2⁡ϕ-sinh2⁡ϕ=1 {\ Displaystyle ~ \ cosh ^ {2} \ phi - \ sinh ^ {2} \ phi = 1 ~} ϕ{\ displaystyle \ phi}

 pałka⁡(ϕ)=γ≥1 {\ Displaystyle ~ \ cosh (\ phi) = \ gamma \ geq 1 ~}i z . sinh⁡(ϕ)=γβ∈R,{\ Displaystyle ~ \ sinh (\ phi) = \ gamma \ beta \ in \ mathbb {R} \ ,,}ϕ=Argth⁡(v/vs)∈R{\ Displaystyle \ phi = \ operatorname {argth} {\ lewo (v / c \ prawo)} \ w \ mathbb {R}}

W ten sposób można zapisać dowolną specjalną transformację Lorentza:

[vst′x′y′z′]=[pałka⁡(ϕ)-sinh⁡(ϕ)00-sinh⁡(ϕ)pałka⁡(ϕ)0000100001][vstxyz] .{\ Displaystyle {\ zaczynać {bmatrix} ct '\\ x' \\ y '\\ z' \ koniec {bmatrix}} = {\ zaczynać {bmatrix} \ cosh (\ phi) & - \ sinh (\ phi) & 0 & 0 \\ - \ sinh (\ phi) & \ cosh (\ phi) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} \.}

I odwrotna forma:

[vstxyz]=[pałka⁡(ϕ)sinh⁡(ϕ)00sinh⁡(ϕ)pałka⁡(ϕ)0000100001][vst′x′y′z′] .{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} = {\ początek {bmatrix} \ cosh (\ phi) & \ sinh (\ phi) i 0 i 0 \ \\ sinh (\ phi) & \ cosh (\ phi) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} ct '\ x' \ y '\\ z' \ end {bmatrix}} \.}

Podobieństwo do macierzy rotacji w zwykłej przestrzeni prowadzi do postrzegania jakiejkolwiek specjalnej transformacji Lorentza jako hiperbolicznej rotacji kątowej w czasoprzestrzeni Minkowskiego (gdzie jest szybkość). Ten „obrót” ma jednak tę szczególną cechę, że wpływa również na współrzędną czasową. Pseudo prostopadłe znak rotacji macierzy wskazuje, że te przekształcenia są rzeczywiście izometrie z przestrzeni Minkowskiego.ϕ{\ displaystyle \ phi}ϕ{\ displaystyle \ phi}

Prezentacja w formie ukośnej

Dzięki definicjom i właściwościom funkcji trygonometrii hiperbolicznej otrzymujemy nieco inną prezentację transformacji Lorentza:

{vst′-x′=miϕ(vst-x)vst′+x′=mi-ϕ(vst+x)y′=yz′=z.{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadków} ct'-x '= e ^ {\ phi} (ct-x) \\ ct' + x '= e ^ {- \ phi} (ct + x) \\ y' = y \\ z '= z. \ end {przypadki}}}

Albo w postaci macierzowej:

[vst′-x′vst′+x′y′z′]=[miϕ0000mi-ϕ0000100001][vst-xvst+xyz] .{\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} ct'-x '\\ ct' + x '\\ y' \\ z '\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} e ^ {\ phi} & 0 & 0 & 0 \ \ 0 & e ^ {- \ phi} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix } ct-x \\ ct + x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} \.}

Co to jest ukośny kształt z wyborem znaków, których dwie osie tworzą przecięcie stożka światła z płaszczyzną (Oxt) lub (Ox't ') dla drugiego znaku odniesienia, i które są niemożliwe do zmaterializowania w' przestrzeń fizyczna w trzech wymiarach.

Prezentacja w dowolnym kierunku

Transformacje Lorentza można uogólnić na dowolny kierunek w przestrzeni. Dla dwóch ramek odniesienia Galileusza w jednorodnym przesunięciu prostoliniowym względem siebie, tak że względny ruch w odniesieniu do jest opisany przez wektor prędkości i tak, że początki dwóch ramek odniesienia pokrywają się , transformacje są zapisywane w postaci wektorowej : R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}} v{\ displaystyle \ mathbf {czas.}}t=t′=0{\ displaystyle t = t '= 0}

Transformacja Lorentza (w dowolnym kierunku v ) {t′=γ(t-v⋅rvs2)r′=r+(γ-1)(r⋅vv2)v-γtv{\ Displaystyle \ lewo \ {{\ zaczynać {wyrównane} t '& = \ gamma \ lewo (t - {\ Frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {r}} {c ^ {2}}} \ po prawej) \\\ mathbf {r '} & = \ mathbf {r} + (\ gamma -1) \ left ({\ frac {\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {v}} {v ^ {2} }} \ right) \ mathbf {v} - \ gamma t \ mathbf {v} \ end {aligned}} \ right.}

gdzie i gdzie i wyznaczyć współrzędne przestrzenne obserwowane z każdego układu odniesienia. Te wzory muszą naturalnie pozostać ważne we wszystkich inercjalnych układach odniesienia. Względny ruch w stosunku do opisania przez wektor , odwrotna transformacja jest zatem zapisana: |v|=v{\ Displaystyle | \ mathbf {v} | = v}r=(x,y,z){\ Displaystyle \ mathbf {r} = (x, y, z)}r′=(x′,y′,z′){\ Displaystyle \ mathbf {r '} = (x', y ', z')}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}-v{\ displaystyle - \ mathbf {czas.}}

Odwrotna transformacja Lorentza ( kierunek - nieokreślony v ) {t=γ(t′+v⋅r′vs2)r=r′+(γ-1)(r′⋅vv2)v+γt′v{\ Displaystyle \ lewo \ {{\ zaczynać {wyrównane} t & = \ gamma \ lewo (t '+ {\ Frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {r'}} {c ^ {2}}} \ right) \\\ mathbf {r} & = \ mathbf {r '} + (\ gamma -1) \ left ({\ frac {\ mathbf {r'} \ cdot \ mathbf {v}} {v ^ { 2}}} \ right) \ mathbf {v} + \ gamma t '\ mathbf {v} \ end {aligned}} \ right.}

Pisząc macierz otrzymujemy:

X′=ΛX{\ displaystyle X '= \ Lambda X}

z:

Λ=[γ-γvx/vs-γvy/vs-γvz/vs-γvx/vs1+(γ-1)vx2v2(γ-1)vxvyv2(γ-1)vxvzv2-γvy/vs(γ-1)vyvxv21+(γ-1)vy2v2(γ-1)vyvzv2-γvz/vs(γ-1)vzvxv2(γ-1)vzvyv21+(γ-1)vz2v2],X′=[vst′x′y′z′]iX=[vstxyz].{\ Displaystyle \ Lambda = {\ rozpocząć {bmatrix} \ gamma & - \ gamma v_ {x} / c & - \ gamma v_ {y} / c & - \ gamma v_ {z} / c \\ - \ gamma v_ {x} / c & 1 + (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {x} ^ {2}} {v ^ {2}}} & (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {x} v_ {y}} {v ^ {2}}} & (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {x} v_ {z}} {v ^ {2}}} \\ - \ gamma v_ {y} / c & (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {y} v_ {x}} {v ^ {2}}} & 1 + (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {y} ^ {2 }} {v ^ {2}}} & (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {y} v_ {z}} {v ^ {2}}} \\ - \ gamma v_ {z} / c & (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {z} v_ {x}} {v ^ {2}}} & (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {z} v_ {y}} {v ^ {2}}} & 1 + (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {z} ^ {2}} {v ^ {2}}} \ end {bmatrix}} \ ,, \ quad X '= { \ begin {bmatrix} c \, t '\ x' \\ y '\\ z' \ end {bmatrix}} \ quad {\ textrm {et}} \ quad X = {\ begin {bmatrix} c \, t \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} \,.}

Prezentacja dla innych rozmiarów

Kwadriwektory

Chociaż transformacje Lorentza są początkowo przedstawiane jako zmiany we współrzędnych czasu i przestrzeni, mają one bardziej ogólne zastosowanie do każdej wielkości fizycznej, którą można opisać za pomocą czterowektora (czterowektor jest z definicji czterowymiarowym wektorem, którego składowe są przekształcane w taki sam sposób, jak współrzędne czasu i przestrzeni). Zmieniając współrzędne, w wyniku przekształcenia kwadrivectora w liniową relację macierzy: X{\ displaystyle X}X′{\ displaystyle X '}

X′=ΛX{\ displaystyle X '= \ Lambda X}

gdzie jest transformacją Lorentza wyrażoną w standardowej reprezentacji przez macierz 4 × 4. Ponadto, ustawiając za pomocą , pseudo-normę dowolnego czterowektora jest dana i spełnia relację postaci: Λ{\ displaystyle \ Lambda}X=(W,Z){\ Displaystyle X = (A, \ mathbf {Z})}Z=(Zx,Zy,Zz){\ Displaystyle \ mathbf {Z} = (Z_ {x}, Z_ {y}, Z_ {z})} X⋅X=XTηX {\ Displaystyle ~ X \ cdot X = X ^ {\ mathrm {T}} \ eta X ~}

X⋅X=X′⋅X′⟺W2-Z⋅Z=W′2-Z′⋅Z′{\ Displaystyle X \ cdot X = X '\ cdot X' \ quad \ quad \ Longleftrightarrow \ quad \ quad A ^ {2} - \ mathbf {Z} \ cdot \ mathbf {Z} = {A '} ^ {2 } - \ mathbf {Z} '\ cdot \ mathbf {Z}'}

wskazując, że norma czterowektorowa jest relatywistycznym niezmiennikiem .

Kwadrivector	W	Z	X
Pozycja czterowektorowa	Czas	Wektor pozycji	(vst;r){\ Displaystyle \ lewo (ct; \ mathbf {r} \ prawej)}
Impuls czterowektorowy	Energia	Wektor pędu	(mivs;p){\ Displaystyle \ lewo ({\ tfrac {E} {c}}; \ mathbf {p} \ prawej)}
Prędkość czterowektorowa	Prędkość światła	Wektor prędkości	γu(vs;u){\ Displaystyle \ gamma _ {u} \ lewo (c; \ mathbf {u} \ po prawej)}
Siła czterowektorowa	Moc mechaniczna	Wektor siły	γu(fa⋅uvs;fa){\ Displaystyle \ gamma _ {u} \ lewo ({\ tfrac {\ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {u}} {c}}; \ mathbf {F} \ prawej)}
Potencjalny czterowektor	Potencjał elektryczny	Potencjał wektora magnetycznego	(Φvs;W){\ Displaystyle \ lewo ({\ tfrac {\ Phi} {c}}; \ mathbf {A} \ prawej)}
Gęstość prądu w czterowektorach	Gęstość ładunków elektrycznych	Aktualny wektor gęstości	(ρvs;jot){\ Displaystyle \ lewo (\ rho c; \ mathbf {J} \ prawej)}
Fala czterowektorowa	Pulsacja	Wektor falowy	(ωvs;k){\ Displaystyle \ lewo ({\ tfrac {\ omega} {c}}; \ mathbf {k} \ prawej)}
Obrót czterowektorowy	-	Obracać	(st;S){\ Displaystyle \ lewo (s_ {t}; \ mathbf {S} \ prawej)}

Jednak są wielkości, których nie można zapisać w postaci kwadratu. Dotyczy to na przykład momentu pędu, a także pola elektrycznego i pola magnetycznego . Moment pędu jest z definicji i staje się po doładowaniu . Jeśli chodzi o pola i , stanowią one dwa uzupełniające się aspekty pola elektromagnetycznego i dlatego nie mogą być przekształcane oddzielnie. Przyjmując siłę Lorentza jako definicję tych pól, zastosowanie zasady kowariancji do praw elektromagnetyzmu oznacza, że ​​wyrażenie musi zachować identyczną formę po zmianie inercjalnego układu odniesienia . L{\ displaystyle \ mathbf {L}} mi{\ displaystyle \ mathbf {E}} b{\ displaystyle \ mathbf {B}}L=r×p{\ Displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ razy \ mathbf {p}} L′=r′×p′{\ displaystyle \ mathbf {L} '= \ mathbf {r}' \ times \ mathbf {p} '}mi{\ displaystyle \ mathbf {E}}b{\ displaystyle \ mathbf {B}}fa=q(mi+v×b){\ Displaystyle \ mathbf {F} = q (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ razy \ mathbf {B})}fa′=q(mi′+v′×b′){\ Displaystyle \ mathbf {F} '= q (\ mathbf {E}' + \ mathbf {v} '\ times \ mathbf {B}')}

Pole elektromagnetyczne

Wzory transformacji pola i sugerują, że te dwie wielkości są połączone obiektowi matematycznemu z 6 elementów: tensor rangi 2 skośnym , to znaczy do bivector . Napinacz elektromagnetyczne napisany w postaci macierzy: mi{\ displaystyle \ mathbf {E}}b{\ displaystyle \ mathbf {B}}

faμν=(0-mix/vs-miy/vs-miz/vsmix/vs0-bzbymiy/vsbz0-bxmiz/vs-bybx0){\ Displaystyle F ^ {\ mu \ nu} = {\ rozpocząć {pmatrix} 0 i -E_ {x} / c i -E_ {y} / c i -E_ {z} / c \\ E_ {x} / c & 0 & -B_ {z} & B_ {y} \\ E_ {y} / c & B_ {z} & 0 & -B_ {x} \\ E_ {z} / c & -B_ {y} & B_ {x} & 0 \ end {pmatrix}} \ quad}( Podpisanie umowy (+ - - -))

Pola otrzymane po transformacji Lorentza są podane w postaci macierzowej przez: fa′{\ displaystyle F '}Λ{\ displaystyle \ Lambda}

fa′=ΛfaΛT{\ Displaystyle F '= \ Lambda F \ Lambda ^ {T}}

lub pismem tensorycznym  :

fa′μν=ΛμρΛνσfaρσ{\ Displaystyle F '^ {\ mu \ nu} = {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ rho} {\ Lambda ^ {\ nu}} _ {\ sigma} F ^ {\ rho \ sigma}}

Dla prostego doładowania wzdłuż osi otrzymujemy: x{\ displaystyle x}

{mix′=mixmiy′=γ(miy-βvsbz)miz′=γ(miz+βvsby)bx′=bxby′=γ(by+βvsmiz)bz′=γ(bz-βvsmiy){\ displaystyle \ left \ {{\ begin {aligned} E '_ {x} & = E_ {x} {\ Frac {} {}} \\ E' _ {y} & = \ gamma (E_ {y} - \ beta cB_ {z}) {\ frac {} {}} \\ E '_ {z} & = \ gamma (E_ {z} + \ beta cB_ {y}) {\ frac {} {}} \ \ B '_ {x} & = B_ {x} \\ B' _ {y} & = \ gamma (B_ {y} + {\ tfrac {\ beta} {c}} E_ {z}) \\ B '_ {z} & = \ gamma (B_ {z} - {\ tfrac {\ beta} {c}} E_ {y}) \ end {aligned}} \ right.}

Inne ilości

Dla ogólnego obiektu z komponentami zapisuje się transformacje Lorentza: nie{\ displaystyle n}

X′=Π(Λ) X{\ displaystyle {X '} = {\ Pi (\ Lambda)} ~ X}

z tej reprezentacji , która kojarzy się matrycę z każdej transformacji . Różne reprezentacje grupy Lorentza (in) są konstruowane z algebry Liego grupy Lorentza, potęgowanie macierzy . Π{\ displaystyle \ Pi}Λ{\ displaystyle \ Lambda}nie×nie{\ displaystyle n \ razy n} 

Implikacje fizyczne

Transformacja Lorentza można łączyć równolegle z Galilejskich przemian z mechaniki klasycznej  :

Transformacja Galileusza  {t′=tx′=x-vty′=yz′=z{\ Displaystyle \, ~ \ lewo \ {{\ zaczynać {wyrównane} t '& = t \\ x' & = x-vt \\ y '& = y \\ z' & = z \ koniec {wyrównane}} \ dobrze.}

{\ displaystyle ~~~~~~~~}

Transformacja Lorentza {t′=γ(t-vx/vs2)x′=γ(x-vt)y′=yz′=z{\ Displaystyle \ lewo \ {{\ zaczynać {wyrównane} t '& = \ gamma \ lewo (t-vx / c ^ {2} \ prawej) \\ x' & = \ gamma \ lewo (x-vt \ prawo) ) \\ y '& = y \\ z' & = z \ end {aligned}} \ right.}

Zauważmy, że w przeciwieństwie do klasycznego przypadku, na współrzędną czasową wpływa teraz zmiana układu odniesienia, a czasu nie można już uważać za absolutny w teorii względności. Pojęcie jednoczesności dwóch zdarzeń staje się względne, co oznacza, że ​​dwa jednoczesne zdarzenia w jednym układzie odniesienia niekoniecznie są takie w innym. Czynnik występujący przed nawiasami powoduje pojawienie się zjawisk, takich jak skrócenie długości i wydłużenie czasu trwania . Rezygnacja z koncepcji absolutnej przestrzeni i czasu pozwala zagwarantować niezmienność c we wszystkich układach odniesienia Galileusza, w przeciwieństwie do klasycznego poglądu, który postulował istnienie eteru służącego jako mechaniczna podpora dla propagacji fale świetlne. γ{\ displaystyle \ gamma}

Granice nierelatywistyczne

Grupa Galileo

Wzory z grupy Lorentza można przybliżyć w przypadku, gdy prędkość ciała jest mała w porównaniu z prędkością światła lub, co sprowadza się do tego samego, powodując, że prędkość światła dąży do nieskończoności. Pomijając termin we wzorach, znajdujemy następnie grupę Galileo, która jest grupą przekształceń odpowiadających zmianom układu odniesienia w fizyce klasycznej .  v{\ displaystyle \ v} vs{\ displaystyle \ c} v/vs{\ displaystyle \ v / c}

Grupa Carrolla

Grupa Carrolla jest kolejnym nierelatywistycznym przybliżeniem elementów grupy Lorentza, gdy interesują nas duże interwały przypominające przestrzeń . To przybliżenie, odkryte przez Jeana-Marca Lévy-Leblonda w 1965 r., Zdaniem jego odkrywcy ma jedynie znaczenie edukacyjne.

Różne metody znajdowania transformacji

• W przypadku szczególnej teorii względności Einstein zainicjował metodę:

Z zasady względności i niezmienności prędkości światła przy zmianie układu odniesienia, założonej jednorodności i izotropii przestrzeni oraz z wykorzystaniem geometrycznej reprezentacji idealnej sytuacji, w której dwa inercjalne układy odniesienia pozwalają zobaczyć, zmierzyć długości i czas, czas od jednego układu odniesienia do drugiego, różne wzory są przedstawiane za pomocą układu równań liniowych, dla których należy znaleźć współczynniki. Transformacje niefizyczne są czasami odrzucane bez szczegółów przez wybór pozytywnego rozwiązania w równaniu kwadratowym, wybór wynikający z fizycznego założenia orientacji znaków odniesienia za pomocą reguły takiej jak prawa ręki , zilustrowanej geometrycznym reprezentacja towarzysząca rozumowaniu.

• Quantum fizyki relatywistycznymi jak teorii pola kwantowe , przekształcenia stosowane są określone jako symetrii z Minkowskiego przestrzeni , która nie zmienia się równania (przy braku ładunku elektrycznego ). Sprowadza się to do określenia przekształceń liniowych pozostawiających niezmieniony przedział czasoprzestrzenny  : jest to definicja matematyczna, dla której zmiany układu odniesienia dla obserwatorów są tylko niektórymi z tych przekształceń i która pozwala je wszystkie znaleźć.
  Metoda ta jest również stosowana w niektórych podręcznikach szczególnej teorii względności, po wykazaniu, że niezmienność przedziału czasoprzestrzennego przy zmianie układu odniesienia wynika bezpośrednio z dwóch aksjomatów szczególnej teorii względności i po wyeliminowaniu przekształceń, które nie uwzględniają konwencja orientacji trójwymiarowych punktów orientacyjnych ( ogólnie zasada prawej ręki ) i orientacja osi czasu w kierunku przyszłości  ; eliminacja dokonywana na różne sposoby, czasem oznaczona pieczęcią oczywistości, a czasem bardziej uzasadniona.

• Możemy również znaleźć te transformacje, szukając liniowych zastosowań czasoprzestrzeni do czterech wymiarów, ale a priori bez metryki, zachowując postać równań Maxwella .

Metoda geometryczna

Zakłada się, że fizyczna czasoprzestrzeń jest przestrzeń afiniczna gdzie ramy odniesienia, z których tylko te, które są bezwładnościowe są uważane , są identyfikowane z afinicznych ramek tego afinicznej przestrzeni. Ponadto zaniedbuje się stałe translacje między znacznikami odniesienia, które przejawiają się jedynie dodawaniem stałych liczb do współrzędnych. Dlatego transformacja współrzędnych odbywa się za pomocą liniowej mapy , którą można przedstawić za pomocą macierzy  :

Demonstracja

Niech będą dwoma układami odniesienia i przesunięciem prostoliniowym względem siebie na równoległych osiach, ze względną prędkością v wzdłuż osi Ox. Niech będą przestrzenno-czasowymi współrzędnymi zdarzenia w układzie odniesienia , a jego współrzędnymi w układzie odniesienia . (Dla uproszczenia notacji, nie zostaną uwzględnione w niniejszym ustępie, pozostałe dwa elementy przestrzenne y i oo ). R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}(x,t){\ displaystyle (x, t) \ quad}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}(x′,t′){\ displaystyle (x ', t') \ quad}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '\ quad}

• Stosowanie zasady względności  :

Zgodnie z zasadą względności współczynniki transformacji liniowej zależą tylko od względnej prędkości między układami odniesienia i nie są uwzględniane poza tymi dwoma układami odniesienia. Dla większej precyzji, należałoby powiedzieć względne prędkości układów odniesienia, podchodzimy do tematu nieco dalej.

• Pierwsze użycie prędkości światła  :

Jeśli w układzie odniesienia rozważymy przesunięcie sygnału świetlnego w kierunku dodatnich xs, a więc z prędkością światła, to . Ale ponieważ ta prędkość jest taka sama w układzie odniesienia , biorąc pod uwagę przemieszczenie tego samego sygnału widzianego z tego układu odniesienia, ponieważ oś x 'ma taką samą orientację jak oś x i w ten sam sposób dla osi czasowych trzeba mieć . Podobnie, zaczynając od rozważenia sygnału z .R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}} x=vst{\ displaystyle \ x = ct}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '} x′=vst′{\ displaystyle \ x '= ct'}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}W związku z tym : x-vst=0⟺x′-vst′=0{\ Displaystyle x-ct = 0 \ Longleftrightarrow x'-ct '= 0} A skoro x, t, x ', t' są połączone relacjami liniowymi o stałych współczynnikach, musimy mieć i ( przy stałych współczynnikach a, b, a 'i b'), skąd lub jak wnioskujemy , stąd dla pewna stała. x′=w.x+b.vst{\ displaystyle \ x '= a.x + b.ct} vst′=w′.x+b′.vst{\ displaystyle \ ct '= a'.x + b'.ct} x′-vst′=λ1.x-λ2.vst{\ Displaystyle \ x'-ct '= \ lambda _ {1}. x- \ lambda _ {2} .ct}x-vst=0⟺x′-vst′=0 {\ Displaystyle x-ct = 0 \ Longleftrightarrow x'-ct '= 0 \} λ1=λ2{\ Displaystyle \ \ lambda _ {1} = \ lambda _ {2}} x′-vst′=λ.(x-vst){\ Displaystyle \ x'-ct '= \ lambda. (x-ct)}λ{\ displaystyle \ lambda}

• Drugie użycie prędkości światła  :

Rozważając przesunięcie sygnału świetlnego w kierunku ujemnych xs i wykonując to samo rozumowanie, otrzymujemy: dla pewnej stałej. x′+vst′=μ.(x+vst){\ Displaystyle \ x '+ ct' = \ mu. (x + ct)}μ{\ displaystyle \ mu}

• Wniosek dotyczący prędkości światła  :

Dodając i odejmując dwie poprzednie równości, otrzymujemy: {x′=w.x-b.vstvst′=w.vst-bx(2){\ Displaystyle \ lewo \ {{\ zaczynać {macierz} x '= ax-b.ct \\ ct' = a.ct-bx \ koniec {macierz}} \ prawo. \ quad (2)} z: i .w=(λ+μ)/2{\ Displaystyle a = (\ lambda + \ mu) / 2 \ quad} b=(λ-μ)/2{\ Displaystyle \ b = (\ lambda - \ mu) / 2}

• Pierwsze użycie względnej szybkości repozytoriów:

Jako początek układu odniesienia mamy i dlatego zgodnie z pierwszym równaniem układu (2) mamy:R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}x′=0{\ displaystyle x '= 0} x=bw.vst{\ Displaystyle x = {\ Frac {b} {a}}. ct} Oznaczając przez prędkość układu odniesienia w stosunku do układu odniesienia , możemy zatem pisać v{\ displaystyle \ v}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}} v=xt=bw.vs{\ Displaystyle v = {\ Frac {x} {t}} = {\ Frac {b} {a}}. c}lub z v=β.vs{\ displaystyle \ v = \ beta .c}β=vvs=bw{\ Displaystyle \ beta = {\ Frac {v} {c}} = {\ Frac {b} {a}}} Możemy zatem napisać: {x′=w.(x-β.vst)vst′=w.(vst-β.x)(3){\ Displaystyle \ lewo \ {{\ zaczynać {macierz} x '= a. (x- \ beta .ct) \\ ct' = a. (ct- \ beta .x) \ koniec {macierz}} \ w prawo. \ quad (3)}

• Drugie zastosowanie względnej prędkości wzorców:

Za początek układu odniesienia mamy, a zatem zgodnie z równaniami układu (2) mamy:R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}x=0{\ displaystyle x = 0} x′=-bw.vst′{\ Displaystyle x '= - {\ Frac {b} {a}}. ct'} Oznaczając przez prędkość układu odniesienia w stosunku do układu odniesienia , możemy zatem pisać v′{\ displaystyle \ v '}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '} v′=x′t′=-bw.vs=-v{\ Displaystyle v '= {\ Frac {x'} {t '}} = - {\ Frac {b} {a}}. c = -v}.

• Wykorzystanie założeń przestrzennych  :

Kiedy mamy . Współczynnik umożliwia więc przeliczenie pomiaru długości wykonanego w układzie odniesienia na pomiar wykonany w . Współczynnik ten może zależeć od względnej prędkości między układami odniesienia, ale nie od jego kierunku ani od jego kierunku przy założeniu izotropii przestrzeni. Ponadto, jak wyjaśniono na początku akapitu, jest niezależny od współrzędnych x, t, x ', t'.t=0{\ displaystyle t = 0} x′=w.x{\ displaystyle \ x '= siekiera}w{\ displaystyle a}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '} v{\ displaystyle \ v}w{\ displaystyle a} Więc zależy od standardu prędkości , czyli od .w{\ displaystyle a} v{\ displaystyle \ v} v2{\ displaystyle \ v ^ {2}}

• Stosowanie zasady względności  :

Przez odwrócenie ról ram odniesienia i , i mające uzasadnić, że i to nie zależy od kierunku lub znaczenia , a zatem i możemy napisać:R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R}} '}v′=-v{\ displaystyle v '= - v} w{\ displaystyle \ a} v{\ displaystyle \ v} w(v2)=w((-v)2){\ Displaystyle \ a (v ^ {2}) = a ((- v) ^ {2})} {x=w.(x′+β.vst′)vst=w.(vst′+β.x′)(4){\ Displaystyle \ lewo \ {{\ zaczynać {matrix} x = a. (x '+ \ beta .ct') \\ ct = a. (ct '+ \ beta .x') \ koniec {matrix}} \ dobrze. \ quad (4)} Korzystając z dwóch równań układu (3) w pierwszym równaniu układu (4), otrzymujemy :x=w2.(1-β2)x,{\ Displaystyle x = a ^ {2}. \ lewo (1- \ beta ^ {2} \ prawej) x \ ,,} w=±11-β2{\ Displaystyle a = {\ Frac {\ pm 1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}} Znak + jest wybrany, w przeciwnym razie następuje zmiana orientacji między osią x a osią x ', co z założenia nie ma miejsca.

• Konkluzja  :

Zapisuje się transformacje Lorentza: {x′=11-β2.(x-β.vst)vst′=11-β2.(vst-β.x){\ Displaystyle \ lewo \ {{\ zacząć {matrix} x '= {\ Frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}. (x- \ beta .ct) \\ ct' = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}. (ct- \ beta .x) \ end {matrix}} \ right.} O czym często piszemy: {x′=γ.(x-β.vst)vst′=γ.(vst-β.x){\ Displaystyle \ lewo \ {{\ rozpocząć {macierz} x '= \ gamma. (x- \ beta .ct) \\ ct' = \ gamma. (ct- \ beta .x) \ koniec {macierz}} \ dobrze.} Z i .β=vvs{\ displaystyle \ beta = {\ frac {v} {c}}}γ=11-β2{\ Displaystyle \ gamma = {\ Frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}}  

Metoda zaczynająca się od niezmienności pseudo-normy

Demonstracja

W tym paragrafie współrzędne są współrzędne układu inercjalnego i układu odniesienia inercjalnego , przy czym te dwa układy odniesienia mają te same pochodzenie przestrzenne i czasowe.  (vst,x,y,z)=(vst,r→){\ Displaystyle \ (ct, x, y, z) = (ct, {\ vec {r}})} R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}} (vst′,x′,y′,z′)=(vst′,r→ ′){\ Displaystyle \ (ct ', x', y ', z') = (ct ', {\ vec {r}} ~')}R′{\ displaystyle {\ mathcal {R '}}}

W czasoprzestrzeni z Minkowskiego The pseudo standard określa się przez kwadrat przedziału przestrzenno-czasowego  : res2=ηαβrexαrexβ=rexαrexα=vs2ret2-rex2-rey2-rez2{\ Displaystyle \ ds ^ {2} = \ eta _ {\ alpha \ beta} dx ^ {\ alpha} dx ^ {\ beta} = dx _ {\ alpha} dx ^ {\ alpha} = c ^ {2} dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2}}

Transformacje Lorentza to liniowe odwzorowania na czworokątnych współrzędnych, które pozostawiają niezmienną pseudo-normę: (vst,x,y,z)⟼(vst′,x′,y′,z′){\ Displaystyle \ (ct, x, r, z) \ longmapsto (ct ', x', y ', z')} (vs.ret)2-rex2-rey2-rez2=(vs.ret′)2-rex′2-rey′2-rez′2{\ Displaystyle \ (c.dt) ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} = (c.dt ') ^ {2} -dx' ^ {2} - dy '^ {2} -dz' ^ {2}}

Przypadek, w którym transformacja dotyczy tylko współrzędnych przestrzennych

W tym przypadku niezmienność pseudo-normy oznacza , że transformacja zachowuje normę przestrzenną: powiązana macierz 3x3 jest macierzą ortogonalną .  rex2+rey2+rez2=rex′2+rey′2+rez′2{\ Displaystyle \ dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2} = dx '^ {2} + dy' ^ {2} + dz '^ {2}}

• Jeśli jego wyznacznik jest dodatni, jest to obrót w przestrzeni i dlatego zachowuje orientację przestrzeni . Przekształcenie czasoprzestrzeni pozostawia czas niezmieniony i działa jako obrót o stały kąt na wektorach przestrzeni, jest uważany za fizycznie realistyczny.
• Jeśli jego wyznacznik jest ujemny, istnieje również symetria planarna, która odwraca orientację przestrzeni. Transformacja, która pozostawia niezmieniony czas, ale odwraca orientację przestrzenną, nie jest uważana za fizycznie realistyczną, ale można ją wykorzystać do zbadania matematycznych właściwości równań.

Przypadek, w którym transformacja dotyczy również współrzędnej czasowej

Aby uzyskać więcej lekkości w zapisach, możemy zastąpić przez , przez itp  ret{\ displaystyle \ dt} t{\ displaystyle \ t} rex{\ displaystyle \ dx} x{\ displaystyle \ x}

• Liniowość takiej transformacji pozwala napisać:

{vst′=w.vst+Tv→.r→r→ ′=w→.vst+W.r→{\ Displaystyle \ lewo \ {{\ rozpocząć {matrix} ct '= a.ct + {} ^ {T} \! {\ vec {v}}. {\ vec {r}} \\ {\ vec {r }} ~ '= {\ vec {w}}. ct + A. {\ vec {r}} \ end {matrix}} \ right.} gdzie jest stałą rzeczywistym, jest macierzą 3x3 o stałych współczynnikach, i są dwa wektory stałej powierzchni, z transpozycją i z iloczynu skalarnego wektorów i . w{\ displaystyle \ a} W{\ displaystyle \ A}v→{\ displaystyle {\ vec {czas}}}w→{\ displaystyle {\ vec {w}}}Tv→={\ Displaystyle {} ^ {T} \! {\ vec {v}} =}v→{\ displaystyle {\ vec {czas}}}Tv→.r→={\ Displaystyle {} ^ {T} \! {\ vec {v}}. {\ vec {r}} =}v→{\ displaystyle {\ vec {czas}}}r→{\ displaystyle {\ vec {r}}} Dzięki transformacji Lorentza wpływającej tylko na współrzędne przestrzenne możemy uczynić wektory i współliniowe: mamy zatem i gdzie jest wektor jednostkowy ( ), który jest również stały, oraz dwie stałe liczby rzeczywiste (prawdopodobnie zero).v→{\ displaystyle {\ vec {czas}}}w→{\ displaystyle {\ vec {w}}}v→=b.u→{\ displaystyle {\ vec {v}} = b. {\ vec {u}}}w→=re.u→{\ displaystyle {\ vec {w}} = d. {\ vec {u}}}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}‖u→‖=1{\ Displaystyle \ | {\ vec {u}} \ | = 1} b{\ displaystyle \ b} re{\ displaystyle \ d} Możemy więc pisać {vst′=w.vst+b.Tu→.r→r→ ′=re.u→.vst+W.r→{\ Displaystyle \ lewo \ {{\ rozpocząć {matrix} ct '= a.ct + b. {} ^ {T} \! {\ vec {u}}. {\ vec {r}} \\ {\ vec {r}} ~ '= d. {\ vec {u}}. ct + A. {\ vec {r}} \ end {matrix}} \ right.}

• Pseudo-norma będąca formą kwadratową , jej niezmienność przez transformację jest równoważna niezmienniczości skojarzonej z nią postaci dwuliniowej : b{\ displaystyle \ B}b((τ1,r→1),(τ2,r→2))=τ1.τ2-Tr→1.r→2{\ Displaystyle B \ lewo ((\ tau _ {1}, {\ vec {r}} _ {1}), (\ tau _ {2}, {\ vec {r}} _ {2}) \ prawej ) = \ tau _ {1}. \ tau _ {2} - {} ^ {T} \! {\ vec {r}} _ {1}. {\ vec {r}} _ {2}}

Teraz mamy zatem , albob((vst,0→),(0,r→))=0{\ Displaystyle B \ lewo ((ct, {\ vec {0}}), (0, {\ vec {r}}) \ prawej) = 0}b((vst′,(0→)′),((0)′,r→ ′))=0{\ Displaystyle B \ lewo ((ct ', \ lewo ({\ vec {0}} \ prawej)'), ((0) ', {\ vec {r}} ~') \ prawej) = 0}b((w.vst,re.vst.u→),(b.Tu→.r→,Wr→))=...=vst.(wb.Tu→-re.Tu→.W).r→=0{\ Displaystyle B \ lewo ((a.ct, d.ct. {\ vec {u}}), (b. {} ^ {T} \! {\ vec {u}}. {\ vec {r} }, A {\ vec {r}}) \ right) = ... = ct. \ Left (ab. {} ^ {T} \! {\ Vec {u}} - d. {} ^ {T} \! {\ vec {u}}. A \ right). {\ vec {r}} = 0} Ta równość jest prawdziwa dla wszystkiego i każdego wektora przestrzeni , jaki mamy . Jeśli , to macierz nie jest odwracalna (ponieważ przyjmuje 0 jako wartość własną, ponieważ ), a związana z nią transformacja Lorentza nie jest podstawową zmianą przestrzeni czterowymiarowej: co nie odpowiada hipotezom. Jeśli wtedy or i krótka praca pokaże, że wracamy do przypadku, w którym transformacja dotyczy tylko wektorów przestrzeni. t∈R{\ displaystyle \ t \ in \ mathbb {R}}r→{\ displaystyle {\ vec {r}}}wb.Tu→=re.Tu→.W{\ Displaystyle ab. {} ^ {T} \! {\ vec {u}} = d. {} ^ {T} \! {\ vec {u}}. A}Tu→.W=T0→{\ Displaystyle {} ^ {T} \! {\ vec {u}}. A = {} ^ {T} \! {\ vec {0}}} W{\ displaystyle \ A} TW{\ Displaystyle \ {} ^ {T} \! A}u→≠0→{\ displaystyle {\ vec {u}} \ neq {\ vec {0}}} re=0{\ displaystyle \ d = 0} w=0{\ displaystyle \ a = 0} b=0{\ displaystyle \ b = 0} Więc , , i , z . w≠0{\ displaystyle \ a \ neq 0} b≠0{\ displaystyle \ b \ neq 0} re≠0{\ displaystyle \ d \ neq 0}Tu→.W=α.Tu→{\ Displaystyle {} ^ {T} \! {\ vec {u}}. A = \ alfa. {} ^ {T} \! {\ vec {u}}}α=wbre{\ displaystyle \ alpha = {{ab} \ ponad d}}

• Pozujemy i , mamy , z i . r||=Tu→.r→{\ Displaystyle \ r_ {||} = {} ^ {T} \! {\ vec {u}}. {\ vec {r}}}r→ ||=r||.u→{\ displaystyle {\ vec {r}} ~ _ {||} = r_ {||}. {\ vec {u}}}r→=r→ ||+r→⊥{\ Displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} ~ _ {||} + {\ vec {r}} _ {\ perp}}r→⊥⊥u→{\ displaystyle {\ vec {r}} _ {\ perp} \ perp {\ vec {u}}}r2=(r ||)2+(r⊥)2{\ Displaystyle r ^ {2} = \ lewo (r ~ _ {||} \ prawo) ^ {2} + \ lewo (r _ {\ perp} \ prawo) ^ {2}}

• Oznacza to niezmienność transformacji Lorentza . Rozwijając i używając , otrzymujemy . (vst)2-r2=(vst′)2-(r′)2{\ Displaystyle \ (ct) ^ {2} -r ^ {2} = (ct ') ^ {2} - (r') ^ {2}}Tu→.W=α.Tu→{\ Displaystyle {} ^ {T} \! {\ vec {u}}. A = \ alfa. {} ^ {T} \! {\ vec {u}}}α=wbre{\ displaystyle \ alpha = {{ab} \ ponad d}} (vst)2-r2=(w2-re2).(vst)2+b2.(r||)2-(W.r→)2{\ Displaystyle \ (ct) ^ {2} -r ^ {2} = (a ^ {2} -d ^ {2}). (ct) ^ {2} + b ^ {2}. \ lewo (r_ {||} \ right) ^ {2} - \ left (A. {\ vec {r}} \ right) ^ {2}}

Ta równość jest prawdziwa dla wszystkich i wszystkich wektorów przestrzeni , mamy: t∈R{\ displaystyle \ t \ in \ mathbb {R}}r→{\ displaystyle {\ vec {r}}} {w2-re2=1r2=(W.r→)2-b2.(r||)2{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadków} a ^ {2} -d ^ {2} = 1 \\ r ^ {2} = \ lewo (A. {\ vec {r}} \ prawej) ^ {2} - b ^ {2}. \ left (r_ {||} \ right) ^ {2} \ end {przypadki}}} Wykorzystując konkretny przypadek , otrzymujemy .r→=u→{\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {u}}} b=±re{\ displaystyle \ b = \ pm d} Wykorzystując przypadek specjalny (tj. ), Otrzymujemy , a endomorfizm macierzy jest izometrią dwuwymiarowej przestrzeni wektorów prostopadłych do siebie.r→⊥u→{\ displaystyle {\ vec {r}} \ perp {\ vec {u}}} r||=0{\ displaystyle \ r_ {||} = 0}(W.r→⊥)2=(r→⊥)2{\ Displaystyle \ lewo (A. {\ vec {r}} _ {\ perp} \ prawej) ^ {2} = \ lewo ({\ vec {r}} _ {\ perp} \ prawo) ^ {2} } W{\ displaystyle \ A}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}} Tak więc, ustawiając = ograniczenie do płaszczyzny wektorów prostopadłych do i otrzymujemy:W~{\ displaystyle {\ tilde {A}}} W{\ displaystyle \ A}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}ϵ=±1{\ Displaystyle \ epsilon = \ pm 1} {vst′=w.vst+b.r||r→ ′=ϵ.b.u→.vst+ϵ.w.r||.u→+W~.r→⊥=(ϵ.b.vst+ϵ.w.r||).u→+W~.r→⊥{\ displaystyle {\ begin {przypadki} ct '= a.ct + b.r_ {||} \\ {\ vec {r}} ~' = \ epsilon .b. {\ vec {u}}. ct + \ epsilon .a.r_ {||}. {\ vec {u}} + {\ tilde {A}}. {\ vec {r}} _ {\ perp} = \ left (\ epsilon .b.ct + \ epsilon .a.r_ {||} \ right). {\ vec {u}} + {\ tilde {A}}. {\ vec {r}} _ {\ perp} \ end {cases}}} Z  w2-b2=1{\ Displaystyle \ a ^ {2} -b ^ {2} = 1} Używając ponownie transformacji Lorentza dotyczącej tylko współrzędnych przestrzennych, a jeszcze dokładniej podprzestrzeni wektorów prostopadłych do , możemy wrócić do przypadku , a otrzymujemy:u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}W~=jare2×2{\ displaystyle {\ tilde {A}} = Id_ {2 \ times 2}} {vst′=w.vst+b.r||r→ ′=(ϵ.b.vst+ϵ.w.r||).u→+r→⊥⇒{vst′=w.vst+b.r||r||′=ϵ.b.vst+ϵ.w.r||r→ ⊥′=r→⊥{\ displaystyle {\ begin {przypadków} ct '= a.ct + b.r_ {||} \\ {\ vec {r}} ~' = \ lewo (\ epsilon .b.ct + \ epsilon .a. r_ {||} \ right). {\ vec {u}} + {\ vec {r}} _ {\ perp} \ end {cases}} \ Rightarrow {\ begin {cases} ct '= a.ct + b .r_ {||} \\ r '_ {||} = \ epsilon .b.ct + \ epsilon .a.r_ {||} \\ {\ vec {r}} ~' _ {\ perp} = {\ vec {r}} _ {\ perp} \ end {sprawy}}} Z  w2-b2=1{\ Displaystyle \ a ^ {2} -b ^ {2} = 1}

• Wybierając kierunek wektora jako oś , korzystając z funkcji hiperbolicznych i pozwalając na omówienie zachowania lub nie orientacji czasu i przestrzeni, otrzymujemy:u→{\ displaystyle {\ vec {u}}} x{\ displaystyle \ x}ϵja=±1{\ displaystyle \ epsilon _ {i} = \ pm 1}

[vst′x′y′z′]=[ϵ1pałka⁡(ϕ)-ϵ1sinh⁡(ϕ)00-ϵ2sinh⁡(ϕ)ϵ2pałka⁡(ϕ)0000100001][vstxyz] .{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} ct '\\ x' \\ y '\\ z' \ end {bmatrix}} = {\ początek {bmatrix} \ epsilon _ {1} \ cosh (\ phi) & - \ epsilon _ {1} \ sinh (\ phi) & 0 & 0 \\ - \ epsilon _ {2} \ sinh (\ phi) & \ epsilon _ {2} \ cosh (\ phi) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}} \.}  

Historia i geneza przemian Lorentza

• Woldemar Voigt opublikował w 1887 r. Artykuł o efekcie Dopplera, w którym zauważył niezmienność pewnych równań różniczkowych przy zmianach zmiennych (we współczesnej notacji dla ułatwienia czytania):

x′=x-vt,y′=yγ,z′=zγ,t′=t-vxvs2,γ=11-v2vs2{\ Displaystyle x ^ {\ prime} = x-vt, \ quad y ^ {\ prime} = {\ Frac {y} {\ gamma}}, \ quad z ^ {\ prime} = {\ Frac {z} {\ gamma}}, \ quad t ^ {\ prime} = t - {\ frac {vx} {c ^ {2}}}, \ quad \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- { \ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}

• W 1889 roku George Francis FitzGerald opublikował w czasopiśmie Science artykuł Ether and the Earth's Atmosphere , w którym sformułował hipotezę skrócenia długości, hipotezę, którą Hendrik Lorentz również sformułował, niezależnie od FitzGerald, w artykule do 1892 roku.

W swojej pracy Teoria elektromagnetyczna Maxwella i jej zastosowanie do ruchomych ciał z 1892 roku Lorentz użyje transformacji bardzo odmiennych od transformacji Voigta:x′=vsvs2-v2x,y′=y,z′=z,t′=t-ϵvsx′z ϵ=vvs2-v2{\ Displaystyle x ^ {\ prime} = {\ dfrac {c} {\ sqrt {c ^ {2} -v ^ {2}}}} x, \ quad y ^ {\ prime} = y, \ quad z ^ {\ prime} = z, \ quad t ^ {\ prime} = t - {\ dfrac {\ epsilon} {c}} x ^ {\ prime} \ quad {\ text {with}} \ epsilon = {\ dfrac {v} {\ sqrt {c ^ {2} -v ^ {2}}}}}Zarówno dla Voigta, jak i dla Lorentza te transformacje są nadal tylko narzędziami matematycznymi bez żadnego szczególnego znaczenia.Lorentz wprowadza pojęcie czasu lokalnego odpowiadającego obrazowi współrzędnych czasowych tych przekształceń. Jednak ten czas lokalny nie ma dla niego innego znaczenia poza matematycznym:

„  Ważne jest, aby zrozumieć, że dla Lorentza przekształcone współrzędne i pola były matematycznymi pomocami bez bezpośredniego fizycznego znaczenia.  "

- Olivier Darrigol, Geneza teorii względności , seminarium Poincaré, 2005.

• W artykule z 1899 roku Lorentz zauważył, że hipoteza skurczu w naturalny sposób powstała z przemian, które przeformułował:

x′=vsvs2-v2x,y′=y,z′=z,t′=t-vvs2-v2x{\ displaystyle x ^ {\ prime} = {\ dfrac {c} {\ sqrt {c ^ {2} -v ^ {2}}}} x, \ quad y ^ {\ prime} = y, \ quad z ^ {\ prime} = z, \ quad t ^ {\ prime} = t - {\ dfrac {v} {c ^ {2} -v ^ {2}}} x}

• W artykule z 1904 roku Lorentz podał nawet różne przekształcenia:

x′=klx,y′=ly,z′=lz,t′=lkt-klwvs2xz k2=vs2vs2-w2{\ Displaystyle x ^ {\ prime} = klx, \ quad y ^ {\ prime} = ly, \ quad z ^ {\ prime} = lz, \ quad t ^ {\ prime} = {\ frac {l} { k}} t-kl {\ frac {w} {c ^ {2}}} x \ quad {\ text {with}} k ^ {2} = {\ dfrac {c ^ {2}} {c ^ { 2} -w ^ {2}}}}Widzimy zatem, że w 1904 r. Forma tych przemian nie została jeszcze doskonale określona, ​​pojawiła się metodą prób i błędów, metodą prób i błędów.

• W następnym roku, 1905, Henri Poincaré przedstawia Akademii Nauk notatkę o dynamice elektronu podsumowującą swój artykuł, który planuje przedstawić w Palermo, w którym potwierdza i koryguje wyniki Lorentza z 1904 roku. transformacje Lorentza (poprawione)

x′=kl(x+ϵt),y′=ly,z′=lz,t′=kl(t+ϵx)z k=11-ϵ2{\ Displaystyle x ^ {\ prime} = kl (x + \ epsilon t), \ quad y ^ {\ prime} = ly, \ quad z ^ {\ prime} = lz, \ quad t ^ {\ prime} = kl (t + \ epsilon x) \ quad {\ text {with}} k = {\ dfrac {1} {\ sqrt {1- \ epsilon ^ {2}}}}}i zauważ, że muszą utworzyć grupę.W ten sposób nadaje im ostateczną postać (poza znakiem, który sprowadza się tylko do rozważenia odwrotnych przekształceń):x′=k(x+ϵt),y′=y,z′=z,t′=k(t+ϵx)z k=11-ϵ2{\ displaystyle x ^ {\ prime} = k (x + \ epsilon t), \ quad y ^ {\ prime} = y, \ quad z ^ {\ prime} = z, \ quad t ^ {\ prime} = k (t + \ epsilon x) \ quad {\ text {with}} k = {\ dfrac {1} {\ sqrt {1- \ epsilon ^ {2}}}}}

• W tym samym roku Einstein opublikował artykuł O elektrodynamice ruchomych ciał, w którym zrekonstruował te same przemiany i nadał im znaczenie.

Uwagi i odniesienia

1. Amaury Mouchet, Elegancka efektywność symetrii , Dunod,2013( czytaj online )
2. Henri Poincaré, O dynamice elektronu , Proceedings of the Academy of Sciences, vol. 140, s. 1504-1508, 5 czerwca 1905. Odręczna notatka .
3. Lorentz pisze: „To właśnie te rozważania, opublikowane przeze mnie w 1904 roku, dały początek Poincarému swojemu Pamiętnikowi o dynamice elektronu, w którym dołączył moje imię do transformacji, o której właśnie wspomniałem. […] Nie wskazałem transformacji, która jest najbardziej odpowiednia. Dokonał tego Poincaré, a następnie MM. Einstein i Minkowski. "
4. Henri Poincaré, O dynamice elektronu , Rendiconti del Ciorcolo matematico di Palermo , vol. 21, s. 129-176, 1906. Złożony 23 lipca 1905.
5. Jeszcze prostszą formę uzyskuje się czasami przez pozowanie w układach naturalnych jednostek . vs=1{\ displaystyle ~ c = 1}
6. James H. Smith, Wprowadzenie do względności , InterEditions (1968). 2 e wydanie z poprawionymi ćwiczeniami (1979) ( ISBN  978-2-7296-0088-4 ) . Opublikowane przez Masson (Dunod - 3 th Edition - 1997) ( ISBN  978-2-225-82985-7 )
7. WH Furry , „  Lorentz Transformation and the Thomas Precession  ”, American Journal of Physics , tom.  23 N O  8,1 st listopad 1955, s.  517–525 ( ISSN  0002-9505 , DOI  10.1119 / 1.1934085 , Bibcode  1955AmJPh..23..517F , czytaj online )
8. Czynnik związany z definicją poczwórnej prędkości nie jest niezmienny podczas zmiany układu odniesienia.γu{\ displaystyle \ gamma _ {u}}
9. Współrzędna czasowa kwadriwektora spinowego jest ustalona na 0 we właściwym układzie odniesienia cząstki. Poruszający się obserwator dostrzeże jednak niezerową wartość i zmieniony spin. ( Chaichian i Hagedorn, Symetria w mechanice kwantowej: od momentu pędu do supersymetrii , IoP,st{\ displaystyle s_ {t}}st{\ displaystyle s_ {t}}1997( ISBN  978-0-7503-0408-5 , czytaj online ) , str.  239)
10. Jednak w tym samym układzie odniesienia Galileusza czas jest nadal jednoznacznie definiowany. Innymi słowy, wszystkie zegary stacjonarne w danym układzie inercjalnym pozostają zsynchronizowane w czasie, nawet jeśli są przestrzennie oddzielone dużymi odległościami. Nie ma to już miejsca w ogólnej teorii względności, w której pojęcie równoczesności traci wszelkie znaczenie i nie można go już zdefiniować inaczej niż lokalnie .
11. The Carroll Group, JM Levy-Leblond , Annals of the IHP, 1965.
12. To można znaleźć w Teoria względności Alberta Einsteina, redaktor Gauthier-Villard, 1921, przetłumaczone przez Mlle J. Rouvrière.
13. Niedawny przykład znajduje się w rozdziale 5 książki Jamesa H. Smitha Wprowadzenie do względności (redaktor Masson, przetłumaczony przez Philippe'a Breniera, poprzedzony przez Jean-Marca Levy- Leblonda, wydaną ponownie w 1997 r., ( ISBN  2-225-82985-3 ) ).
14. Przykład wyboru uzasadnionego oczywistością znajduje się w §19 książki Électromagnétisme et gravitation relativistes Jean-Claude'a Boudenota (redaktor ellipses, 1989, ( ISBN  2-7298-8936-1 ) ); inny jest w §4, autorstwa Lev Landau i Evgueni Lifchits , Physique theorique , t.  2: Teoria pola [ szczegóły wydań ].
15. Przykłady tekstów omawiających bardziej szczegółowo kryteria wyboru obejmują (en) Geometrical Physics in Minkowski czasoprzestrzeń , EG Peter Rowe, Springer-Verlag ( ISBN  1852333669 ) , 2001; (en) Geometry of Minkowski Spacetime Gregory L. Naber, Springer-Verlag ( ISBN  3540978488 ) , 1992, gdzie w rozdziale 1, §1.3, jako powód tego wyboru przedstawiono zachowanie orientacji przestrzennych i czasowych; w książce Philippe'a Tourrenca, Relativity et gravitation (Armand Colin éditeur, ( ISBN  2-200-21209-7 ) ), na stronach 23 do 25, autor uzasadnia, używając zasady zgodności , wybór transformacji Lorentza dla szczególnej teorii względności wśród wszystkie transformacje wywnioskowane z hipotezy o niezmienności przedziału czasoprzestrzennego; kwestia zachowania tych orientacji jest szczegółowo omówiona w rozdziale 1 książki La géometry de la relativité specialinte , Jean Parizet, redaktor ellipses, 2008, 172 strony, ( ISBN  978-2-7298-3902-4 )
16. Metodę tę, przy użyciu form różniczkowych i z błędami typograficznymi, przedstawiono w rozdziale 1 książki The geometry of special Relativity autorstwa Jean Parizet, redaktor elipses, 2008, 172 strony, ( ISBN  978-2-7298-3902-4 ) .
17. Lev Landau i Evgueni Lifchits , Fizyka teoretyczna , t.  2: Teoria pola [ szczegóły wydań ]§1 do 4.
18. Ta równość obowiązuje tylko przy założeniu zachowania orientacji czasu i przestrzeni poprzez zmianę układu odniesienia. Ogólnie rzecz biorąc, musimy więc napisać , gdzie wskazuje na względną orientację układów odniesienia (O, x, t) i (O, x ', t') i umożliwia wzbogacenie końca akapitu o dyskusję na temat wyborów między różnymi transformacjami Lorentza zgodnymi z matematyką szczególnej teorii względności, poprzez jawne wprowadzenie hipotezy o braku zmiany orientacji układów odniesienia.x′=ϵ.vst′{\ Displaystyle x '= \ epsilon .ct' \ quad}ϵ=±1{\ Displaystyle \ epsilon = \ pm 1}
19. Główne etapy tej demonstracji znajdują się, na przykład, w rozdziale 1 książki „Geometria szczególnej teorii względności” Jeana Parizeta, redaktora elips, 2008, 172 strony, ( ISBN  978-2-7298-3902-4 ) .
20. Mamy: tak , potem , potem . Wniosek: jest rzeczywiście macierzą endomorfizmu przestrzeni wymiaru 2 wektorów prostopadłych do siebie.u→⊥v→{\ displaystyle {\ vec {u}} \ perp {\ vec {v}}}Tu→.W.v→=α.Tu→.v→=0{\ Displaystyle {} ^ {T} \! {\ vec {u}}. A. {\ vec {v}} = \ alfa. {} ^ {T} \! {\ vec {u}}. {\ vec {v}} = 0}u→⊥W.v→{\ displaystyle {\ vec {u}} \ perp A. {\ vec {v}}} W{\ displaystyle \ A}u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}
21. Woldemar Voigt, Ueber das Doppler'sche Princip , Göttinger Nachrichten, num. 7, str. 41-51, 1887
22. HALorentz, Die krewny Bewegung der Erde und des Ęthers , Zittingsverlag Akad. Mokry. Amsterdam, t. 1, str. 74, 1892.
23. HALorentz, teoria elektromagnetyczna Maxwella i jej zastosowanie do ruchomych ciał , Holenderskie Archiwa Nauk Ścisłych i Przyrodniczych, T. XXV, 1892.
24. HALorentz, Uproszczona teoria zjawisk elektrycznych i optycznych w systemach ruchomych , Proceedings of the Royal Nétherlands Academy of Arts and Sciences, vol. 1, str. 427-442, 1899.
25. HALorentz, Zjawiska elektromagnetyczne w układzie poruszającym się z dowolną prędkością mniejszą niż prędkość światła , Proceedings of the Royal Nétherlands Academy of Arts and Sciences, vol. 6, str. 809, 1904.
26. André Rougé, Ograniczona teoria względności. Wkład Henri Poincaré , École polytechnique, 2008.

Zobacz też

Bibliografia

• [Voigt 1887] (de) Woldemar Voigt , »  Ueber das Doppler'sche Princip  « , Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen , vol.  43 th  lat, N O  214 marca 1887, s.  41-51 ( czytaj na Wikiźródłach , czytaj online [PDF] ).
• [Gourgoulhon 2010] Éric Gourgoulhon ( pref.  Z Thibault Damour ,) Ograniczony względność: cząstek astrofizyki , Les Ulis i Paryż, PND Sciences i CNRS , Coli.  „Bieżąca / wiedza fizyczna”,Maj 2010, 1 st  ed. , 1  obj. , XXVI -776  pkt. , rys. , 15,5 × 23  cm ( ISBN  978-2-7598-0067-4 , EAN  9782759800674 , OCLC  690639994 , uwaga BnF n o  FRBNF41411713 , SUDOC  14466514X , prezentacja online , czytaj online ).

Powiązane artykuły

• Henri Poincaré
• Hendrik lorentz
• Względność
• Obliczenia relatywistyczne
• Kowariancja
• Niezmienność Lorentza

Linki zewnętrzne

• (en) Jean-Marc Lévy-Leblond , „  Jeszcze jedno wyprowadzenie transformacji Lorentza  ” [PDF]
• Jean-Marc Levy-Leblond "  Les relativités  " Les Cahiers de Fontenay , n o  8,1977( przeczytaj online [PDF] ).
• (en) Victor Yakovenko, „  Pochodzenie transformacji Lorentza  ” [PDF] , University of Maryland .