Teoria liczb transcendentnych

W matematyce The teorii transcendentalnych liczb jest gałąź teorii numer badająca numery transcendentalne (numery, które nie są roztwory równania wielomianowego ze współczynników całości ).

Transcendencja

Liczba zespolona α mówi się transcendentny, jeżeli dla każdej niezerowej wielomianu P o współczynnikach całkowitych, P ( α ) ≠ 0. Jest to taki sam dla każdej niezerowej wielomianem racjonalnych współczynników .

Mówiąc bardziej ogólnie, teoria dotyczy algebraicznej niezależności liczb. O zbiorze liczb {α 1 , α 2 , ..., α n } mówi się, że jest algebraicznie wolny nad ciałem K, jeśli nie ma niezerowego wielomianu P w n nieokreślony ze współczynnikami w K takimi, że P (α 1 , a 2 , ..., α n ) = 0. liczbę zespoloną α transcendentalna wtedy i tylko wtedy, gdy pojedyncza {α} algebraicznie na wolny Q .

Historia

Racjonalne przybliżenie: od Liouville do Rotha

Użycie terminu transcendentny do oznaczenia obiektu, który nie jest algebraiczny, sięga XVII wieku, kiedy Gottfried Leibniz udowodnił, że funkcja sinus nie jest funkcją algebraiczną . Pytanie, czy pewne kategorie liczb mogą być transcendentne, sięga 1748 r., Kiedy Euler przypuszczał, że jeśli a i b są racjonalne, to liczba log a b jest transcendentna lub racjonalna.

Przypuszczenie Eulera Udowodniono, że XX th century, ale prawie sto lat po jego przypuszczeń, Joseph Liouville udało się udowodnić istnienie liczb, które nie są algebraiczne, które do tej pory n 'nie było wiadomo na pewno. Jego artykuły na ten temat w latach czterdziestych XIX wieku nakreśliły argumenty, używając ułamków ciągłych do konstruowania liczb transcendentnych. Później, w latach pięćdziesiątych XIX wieku, podał warunek konieczny, aby liczba była algebraiczna, a zatem warunek wystarczający, aby liczba była transcendentna. To kryterium transcendencji nie było wystarczająco silne, aby było konieczne, w rzeczywistości nie udało się znaleźć transcendencji liczby e . Ale jego praca dostarczyła klasy liczb transcendentnych, znanych obecnie jako liczby Liouville'a .

Kryterium Liouville'a mówi, że do liczb algebraicznych nie można dobrze podchodzić za pomocą liczb wymiernych. Więc jeśli liczbę można bardzo dobrze przybliżyć liczbami wymiernymi, to musi być transcendentna. Pokazał, że jeśli α jest liczbą algebraiczną stopnia d ≥ 2, a ε rzeczywistą ściśle większą od zera, to nierówność

{\ Displaystyle \ lewo | \ alfa - {\ Frac {p} {q}} \ prawo | <{\ Frac {1} {q ^ {d + \ varepsilon}}}}

może być spełniony tylko przez skończoną liczbę liczb wymiernych p / q . Użycie go jako kryterium transcendencji nie jest trywialne, ponieważ konieczne jest sprawdzenie, czy istnieje nieskończoność rozwiązań p / q dla wszystkich d ≥ 2.

Prace na początku XX p wiek Axel Thue i Carl Siegel zmniejszenie wykładnika w ekspresji Liouville'a d + ε do d / 2 + 1 + ε i 2 $\sqrt d$ - 1 + ε. Wreszcie w 1955 roku Klaus Roth zredukował ją do 2 + ε. Ten wynik, znany jako twierdzenie Rotha , jest najlepszy z możliwych, ponieważ jeśli wykładnik 2 + ε zostanie zastąpiony przez 2, to wynik nie jest już prawdziwy. Jednak Serge Lang przypuszczał poprawę wyniku Rotha; w szczególności przypuszczał, że q 2 + ε można zredukować do q 2 log ( q ) 1 + ε .

Praca Rotha skutecznie zakończyła pracę, którą rozpoczął Liouville, a jego twierdzenie pozwoliło matematykom udowodnić transcendencję wielu stałych , takich jak stała Champernowne'a . Jednak twierdzenie to wciąż nie jest wystarczająco silne, aby wykryć wszystkie liczby transcendentne, a wiele słynnych stałych, takich jak $e$ i $π$ , nie jest zbyt dobrze aproksymowalnych w sensie Liouville'a.

Funkcje pomocnicze: od Hermite'a do Baker'a

Inne metody zostały opracowane w XIX wieku, aby zajmować się algebraicznymi właściwościami $e$ , a zatem i $π$ poprzez tożsamość Eulera . W tej pracy skupiono się na wykorzystaniu funkcji zwanych pomocniczymi (in) . Są to funkcje, które zazwyczaj mają dużo zer w rozpatrywanych punktach. Charles Hermite użył funkcji pomocniczych, które aproksymowały funkcje $e kx$ dla liczby całkowitej k , aby udowodnić transcendencję $e$ w 1873 r., A jego pracę podjął Ferdinand von Lindemann , który wykazał w 1882 r., Że $e α$ jest transcendentna dla dowolnej liczby non -zero algebraiczne α. W szczególności udowodniło to, że $π$ jest transcendentne, ponieważ $e iπ$ jest algebraiczne, a zatem odpowiedziano przecząco na problem starożytności kwadratu koła . Karl Weierstrass natychmiast rozwinął swoją pracę i udowodnił twierdzenie Lindemanna-Weierstrassa , którego opublikował dopiero w 1885 roku.

W 1900 roku David Hilbert zaproponował zbiór problemów, Problemy Hilberta . Siódmy z nich i jeden z najtrudniejszych dla Hilberta, kwestionuje transcendencję liczb postaci a b, gdzie a i b są algebraiczne, a różne od zera lub jedynki, a b jest irracjonalne. W 1934 roku Alexander Gelfond i Theodor Schneider udowodnili, że wszystkie te liczby są rzeczywiście transcendentne, wykorzystując funkcję pomocniczą, której istnienie zapewnia lemat Siegela . Ten wynik, twierdzenie Gelfonda-Schneidera , dowiodło transcendencji liczb takich jak $e π$ i stałej Gelfonda-Schneidera .

Następny postęp w tej dziedzinie nastąpił w latach sześćdziesiątych XX wieku, kiedy Alan Baker poczynił postępy w rozwiązaniu problemu postawionego przez Gelfonda w zakresie form liniowych w logarytmach . Samemu Gelfondowi udało się znaleźć nietrywialną dolną granicę ilości

{\ Displaystyle | \ beta _ {1} \ log \ alfa _ {1} + \ beta _ {2} \ log \ alfa _ {2} |}

gdzie cztery niewiadome są algebraiczne, α różni się od zera i jedynki, a β jest niewymierne. Dowód twierdzenia Bakera rozwiązał problem liczby klas Gaussa dla liczby klas równej 1. Praca ta przyniosła Bakerowi Medal Fieldsa za jej zastosowanie w rozwiązywaniu równań diofantycznych . Baker udowodnił, że jeśli α 1 , ..., α n są liczbami algebraicznymi innymi niż 0 i 1, a β 1 , ..., β n są liczbami algebraicznymi, takimi jak 1, β 1 , ..., β n są liniowo niezależne od liczb wymiernych, a następnie liczby

{\ Displaystyle \ alfa _ {1} ^ {\ beta _ {1}} \ alfa _ {2} ^ {\ beta _ {2}} \ cdots \ alfa _ {n} ^ {\ beta _ {n}} }

jest transcendentny.

Inne techniki: Cantor i Zilber

W latach siedemdziesiątych XIX wieku Georg Cantor zaczął rozwijać teorię mnogości , aw 1874 roku opublikował artykuł dowodzący, że liczby algebraiczne można poddać przeciwstawieniu do zbioru liczb całkowitych naturalnych , a zatem zbiór liczb transcendentnych musi być niepoliczalny . Później, w 1891 roku, Cantor użył argumentu przekątnego, aby udowodnić ten sam wynik. Podczas gdy wynik Cantora jest często cytowany jako czysto egzystencjalny, a zatem nie nadaje się do konstruowania pojedynczej liczby transcendentnej, dowody w wyżej wymienionych dwóch dokumentach dostarczają metod konstruowania liczb transcendentnych.

Chociaż Cantor posługiwał się teorią mnogości, niedawnym osiągnięciem było wykorzystanie teorii modeli do próby udowodnienia nierozwiązanego problemu w transcendentnej teorii liczb. Problemem jest określenie stopnia transcendencji ciała

{\ Displaystyle K = \ mathbb {Q} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, \ operatorname {e} ^ {x_ {1}}, \ ldots, \ operatorname {e} ^ {x_ {n }})}

dla liczb zespolonych $x 1 , ..., x n$ liniowo niezależnych od liczb wymiernych. Stephen Schanuel przypuszczał, że odpowiedź brzmi co najmniej n , ale nie są znane żadne dowody. Jednak w 2004 roku Boris Zilber opublikował artykuł, w którym wykorzystano techniki teorii modeli do stworzenia struktury z operacjami dodawania, mnożenia i potęgowania. Zilber podał kilka kryteriów, które mogłyby udowodnić, że omawiana struktura to C , ale nie może udowodnić aksjomatu Silnego Wykładniczego Zamknięcia . Najprostszy przypadek tego aksjomatu został już udowodniony, ale do rozstrzygnięcia tego przypuszczenia potrzebny jest ogólny dowód.

Podejścia

Typowym problemem w tej dziedzinie jest ustalenie, czy dana liczba jest transcendentna. Cantor użył argumentu o liczności, aby wykazać, że istnieje tylko kilka liczb algebraicznych, a zatem prawie wszystkie liczby są transcendentne. Jednak udowodnienie, że dana liczba jest transcendentna (lub wręcz irracjonalna) może być bardzo trudne.

Z tego powodu transcendentna teoria liczb często przyjmuje bardziej ilościowe podejście. Mając liczbę zespoloną α, można by się zastanawiać, jak blisko α jest do bycia liczbą algebraiczną. Na przykład, jeśli przyjmiemy, że liczba α jest algebraiczna, to czy możemy pokazać, że musi mieć bardzo wysoki stopień lub minimalny wielomian z bardzo dużymi współczynnikami? Jeśli można wykazać, że żaden skończony stopień nie jest wystarczający, liczba musi być transcendentna. Ponieważ liczba α jest transcendentna wtedy i tylko wtedy, gdy P (α) ≠ 0 dla dowolnego niezerowego wielomianu P o współczynnikach całkowitych, problem ten można rozwiązać, próbując znaleźć dolną granicę postaci

{\ Displaystyle | P (a) |> F (a, d)}

gdzie prawa strona jest funkcją dodatnią zależną od miary A wielkości współczynników P i jej stopnia d , i taka, że te dolne granice mają zastosowanie do wszystkich P ≠ 0.

Przypadek d = 1 jest przypadkiem „klasycznej” aproksymacji diofantycznej szukającej dolnych granic.

{\ Displaystyle | topór + b |}

Metody transcendentnej teorii liczb i aproksymacja diofantyna mają wiele wspólnego: w obu zastosowane jest pojęcie funkcji pomocniczej.

Najważniejsze wyniki

Twierdzenie Gelfonda-Schneidera ( patrz wyżej ) było głównym postępem w transcendentnej teorii liczb w okresie 1900-1950. W latach sześćdziesiątych XX wieku metoda Alana Bakera polegająca na logarytmicznych, liniowych formach liczb algebraicznych ( patrz wyżej ) ożywiła tę dziedzinę, z zastosowaniami do wielu klasycznych problemów i równań diofantycznych.

Otwarte kwestie

Chociaż twierdzenie Gelfonda-Schneidera dowodzi, że duża klasa liczb składa się z liczb transcendentnych, klasa ta pozostaje policzalna. Wiele stałych matematycznych nadal nie jest transcendentnych, aw niektórych przypadkach nie wiadomo nawet, czy są one racjonalne, czy nieracjonalne.

Głównym problemem w transcendentnej teorii liczb jest wykazanie, że określony zbiór liczb jest algebraicznie wolny, a nie po prostu pokazanie, że elementy są indywidualnie transcendentne. Chociaż wiemy, że $e$ i $π$ są transcendentne, nie oznacza to, że $e + π$ jest, ani jakakolwiek inna kombinacja tych dwóch (wiemy jednak, że $e π$ , stała Gelfonda , jest transcendentna). Innym poważnym problemem są liczby niezwiązane z funkcją wykładniczą. Główne wyniki teorii liczb transcendentnych mają tendencję do obracania się wokół funkcji wykładniczej i logarytmu, co oznacza, że potrzebne są całkowicie nowe metody, aby poradzić sobie z liczbami, których nie można wyrazić za pomocą tych dwóch obiektów.

Przypuszczenie Schanuel rozwiązać pierwszy problem, ponieważ zajmuje się algebraicznej niezależności i potwierdzić, że $E + π$ jest transcendentalny. Dotyczy to jednak funkcji wykładniczej i niekoniecznie traktujemy takie liczby, jak stała apery lub stała Eulera-Mascheroniego .

Bibliografia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w języku angielskim zatytułowanego „ Transcendentalna teoria liczb ” ( zobacz listę autorów ) .

Nicolas Bourbaki , Elementy historii matematyki [ szczegóły wydań ].
(w) AO Gelfond , Liczby transcendentalne i algebraiczne , Dover ,1960( zbMATH 0090.26103 ) , str. 2.
(La) L. Euler , Introduction to analysin infinitorum , Lausanne,1748.
Zobacz „ Twierdzenie Liouville'a (przybliżenie diofantyny) ”.
(de) A. Thue , „ Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen ” , J. Reine Angew. Matematyka. , vol. 135,1909, s. 284-305 ( DOI 10.1515 / crll.1909.135.284 ).
(de) CL Siegel , „ Algebraischer Zahlen Approximation ” , Math. Zeitschrift , vol. 10, n kość 3-4,1921, s. 172-213 ( DOI 10.1007 / BF01211608 , czytaj online ).
(w) Kurt Mahler , " O przybliżeniu π " , Proc. Akad. Wetensch. Ser. A , tom. 56,1953, s. 30-42.
Zobacz „ Twierdzenie Hermite'a-Lindemanna ”.
(De) G. Cantor , „ Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reelen algebraischen Zahlen ” , J. Reine Angew. Matematyka. , vol. 77,1874, s. 258-262 ( DOI 10.1515 / crll.1874.77.258 , czytaj online ).
(De) G. Cantor , „ Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre ” , Jahresber. DM V , vol. 1,1891, s. 75-78 ( czytaj online ).
(w) M. Kac i S. Ulam , Matematyka i logika , Fredering A. Praeger,1968, s. 13.
(w) oraz Bell , Men of Mathematics , Nowy Jork, Simon & Schuster ,1937, s. 569.
(w) R. Gray , „ Georg Cantor and Transcendental Numbers ” , Amer. Matematyka. Miesięcznie , vol. 101 N O 9,1994, s. 819-832 ( JSTOR 2975129 , czytaj online ).
(w) B. Zilber , " Pseudo-potęgowanie to algebraicznie zamknięte pola charakterystyczne zera " , Annals of Pure and Applied Logic , t. 132 n o 1,2005, s. 67-95 ( DOI 10.1016 / j.apal.2004.07.001 , Math Reviews 2102856 ).
(w) D. Marker , „ A note we Zilber's pseudoexponentiation ” , J. Symb. Logika , vol. 71, n o 3,2006, s. 791-798 ( DOI 10.2178 / jsl / 1154698577 , JSTOR 27588482 , recenzje matematyczne 2250821 ).
Zobacz „ Twierdzenie Richardsona ”.

Dalsza lektura

(en) Alan Baker, Transcendental Number Theory , Cambridge University Press ,1975, 157 pkt. ( ISBN 0-521-20461-5 , zbMATH 0297.10013 )
(en) Alan Baker and Gisbert Wüstholz, Logarithmic Forms and Diophantine Geometry , New Mathematical Monographs 9 , Cambridge University Press, 2007, ( ISBN 978-0-521-88268-2 )
(en) Serge Lang , Wprowadzenie do liczb transcendentalnych , Addison-Wesley ,1966( zbMATH 0144.04101 )