Twierdzenie Earnshawa
W fizyce , w klasycznym elektromagnetyzmie , twierdzenie Earnshawa stwierdza, że zestaw ładunków punktowych nie może być utrzymany w stabilnej równowadze tylko dzięki oddziaływaniom elektrostatycznym między ładunkami.
Twierdzenie to zostało po raz pierwszy udowodnione w 1842 roku przez Samuela Earnshawa (w) . Jest powszechnie stosowany w polach magnetycznych , ale pierwotnie był badany w przypadkach elektrostatycznych . W rzeczywistości ma to zastosowanie do dowolnej kombinacji sił, które podlegają prawu : skutków pól magnetycznych, elektrycznych lub grawitacyjnych .
1r2{\ Displaystyle {\ Frac {1} {r ^ {2}}}}
Wyjaśnienia
To twierdzenie jest konsekwencją twierdzenia Gaussa . Intuicyjnie, jeśli weźmiemy pod uwagę cząstkę będącą w równowadze stabilnej, małe zakłócenia nie powinny tej równowagi przerwać: powinna powrócić do swojej poprzedniej pozycji. Wynika to z faktu, że wszystkie linie pola siłowego wokół tego punktu wskazują na to położenie równowagi.
Zatem dywergencja pola w pobliżu pozycji równowagi jest ściśle ujemna, jeśli pole nie jest identycznie zerowe. Twierdzenie Gaussa twierdzi jednak, że coś takiego jest niemożliwe: siła F ( r ) wywierana na cząstkę, która pochodzi z potencjału spełniającego równanie Laplace'a, musi być zerowa dywergencją:
∇⋅fa=0{\ Displaystyle \ nabla \ cdot F = 0 \,}w pustce.
Zatem linie pola nie zbiegają się w żadnym punkcie w pustej przestrzeni, więc stabilna równowaga nie może tam istnieć. Mówi się również, że nie ma lokalnych minimów ani maksimów potencjału.
Twierdzenie dalej stwierdza, że nie ma statycznej konfiguracji magnesów , która pozwalałaby na stabilną lewitację obiektu wbrew grawitacji, nawet jeśli siły magnetyczne znacznie przekraczają siłę przyciągania grawitacyjnego. Lewitacja magnetyczna jest jednak możliwa, jeśli pole magnetyczne może się zmieniać w czasie.
Twierdzenie Earnshawa, wraz z niestabilnością cząstek w modelu atomu Bohra w wyniku promieniowania, zasugerowały kwantowe wyjaśnienie budowy atomu.
Demonstracja dla dipoli magnetycznych
Wprowadzenie
Chociaż można przedstawić dowód w ogólnym przypadku, rozważymy tutaj trzy szczególne przypadki.
Po pierwsze, z magnetycznych dipolowego o moment magnetyczny stałe dipolarnym ustalonym kierunku. Kolejne dwa przypadki dotyczą dipola o zmiennej orientacji, który ustawia się w kierunku (odpowiednio w przeciwnym kierunku) linii pola zewnętrznego pola magnetycznego . W materiałach paramagnetycznych (odpowiednio diamagnetycznych ) dipole są ustawione w kierunku (odpowiednio w przeciwnym kierunku) linii pola.
Przydatne lematy
Lematy ustanowiony w niniejszym punkcie będzie przydatna w nauce następujące przypadki szczególne.
Energia U dipola magnetycznego M w zewnętrznym polu magnetycznym B wynosi
U=-M⋅b=-(Mxbx+Myby+Mzbz){\ Displaystyle U = - \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {B} = - \ lewo (M_ {x} B_ {x} + M_ {y} B_ {y} + M_ {z} B_ {z} \) \ dobrze) \,}Dipol będzie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy jego energia osiągnie minimum, tj. Jeśli Laplacian energii jest dodatni:
ΔU=∇2U=∂2U∂x2+∂2U∂y2+∂2U∂z2>0{\ Displaystyle \ Delta U = \ nabla ^ {2} U = {\ częściowe ^ {2} U \ ponad \ częściowe x ^ {2}} + {\ częściowe ^ {2} U \ ponad \ częściowe y ^ {2 }} + {\ Partial ^ {2} U \ over \ Partial z ^ {2}}> 0}Wreszcie, ponieważ zarówno rozbieżność, jak i rotacja pola magnetycznego są zerowe przy braku prądów i zmian w polu elektrycznym , Laplacianie składników pola magnetycznego wynoszą zero:
Δbx=Δby=Δbz=0{\ Displaystyle \ Delta B_ {x} = \ Delta B_ {y} = \ Delta B_ {z} = 0 \,}Demonstracja zostanie podana na samym końcu tego artykułu.
Demonstracje
Energia dipola o stałej orientacji i stałym momencie wynosi:
U=-M⋅b{\ Displaystyle U = - \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {B} \,}W tym przypadku Laplacian energii wynosi zawsze zero:
ΔU=0{\ Displaystyle \ Delta U = 0 \,}Dipol jest zatem pozbawiony minimum (i maksimum) energii: nie ma w przestrzeni punktu, który byłby stabilny we wszystkich kierunkach lub niestabilny we wszystkich kierunkach.
Dipole ustawione w kierunku bezpośrednim lub pośrednim z polem zewnętrznym odpowiadają odpowiednio materiałom paramagnetycznym i diamagnetycznym. Energia jest wtedy podawana przez:
U=-M⋅b=-kb⋅b{\ Displaystyle U = - \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {B} = -k \ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {B} \,}Gdzie k jest dodatnią stałą dla materiałów paramagnetycznych i ujemną dla materiałów diamagnetycznych. Więc :
Δ(bx2+by2+bz2)≥0{\ Displaystyle \ Delta \ lewo (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {Z} ^ {2} \ prawo) \ geq 0 \,}W ten sposób pokazano, że materiały paramagnetyczne mają maksymalną (ale nie minimalną) energię i odwrotnie w przypadku materiałów diamagnetycznych.
Wreszcie moment magnetyczny magnesu ustawionego w polu jest wyrażony wzorem:
M=kb|b|{\ Displaystyle \ mathbf {M} = k {\ mathbf {B} \ ponad \ lewo | \ mathbf {B} \ prawo |} \,}Jego energia to:
U=-M⋅b=-kb|b|⋅b=-k(bx2+by2+bz2)(bx2+by2+bz2)1/2=-k(bx2+by2+bz2)1/2{\ Displaystyle U = - \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {B} = -k {\ mathbf {B} \ ponad \ lewo | \ mathbf {B} \ prawo |} \ cdot \ mathbf {B} = - k {\ left (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2} \ right) \ over \ left (B_ {x} ^ {2} + B_ { y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2} \ right) ^ {1/2}} = - k \ left (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2} \ right) ^ {1/2}}Jest to dokładnie pierwiastek kwadratowy energii omawianego powyżej przypadku paramagnetycznego (lub diamagnetycznego). Ściśle rosnąca funkcja pierwiastka kwadratowego indukuje bijekcję, która zachowuje maksima i minima uzyskane w przypadkach paramagnetycznych lub diamagnetycznych.
Nie znamy jednak żadnej stabilnej konfiguracji magnesów umożliwiającej lewitację: muszą istnieć inne powody, które sprzeciwiają się utrzymaniu anty-wyrównanych dipoli z polem (bez ruchu obrotowego, patrz Levitron (en) ).
Naprawiono dipol kierownicy
Pokażemy, że w dowolnym miejscu w kosmosie:
ΔU=∂2U∂x2+∂2U∂y2+∂2U∂z2=0{\ Displaystyle \ Delta U = {\ Frac {\ częściowe ^ {2} U} {\ częściowe x ^ {2}}} + {\ Frac {\ częściowe ^ {2} U} {\ częściowe y ^ {2} }} + {\ frac {\ Partial ^ {2} U} {\ Part z ^ {2}}} = 0}Energia U dipola M poddanego działaniu pola zewnętrznego wynosi ponownie:
U=-M⋅b{\ Displaystyle U = - \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {B}}Laplacian energii jest zatem:
ΔU=-[∂2(Mxbx+Myby+Mzbz)∂x2+∂2(Mxbx+Myby+Mzbz)∂y2+∂2(Mxbx+Myby+Mzbz)∂z2]{\ Displaystyle \ Delta U = - \ lewo [{\ Frac {\ częściowe ^ {2} (M_ {x} B_ {x} + M_ {y} B_ {y} + M_ {z} B_ {z})} {\ częściowe x ^ {2}}} + {\ frac {\ częściowe ^ {2} (M_ {x} B_ {x} + M_ {y} B_ {y} + M_ {z} B_ {z})} {\ częściowe y ^ {2}}} + {\ frac {\ częściowe ^ {2} (M_ {x} B_ {x} + M_ {y} B_ {y} + M_ {z} B_ {z})} {\ częściowe z ^ {2}}} \ right]}Rozszerzając, a następnie redukując wyrażenia Laplaca, jeśli M jest stałą, otrzymujemy:
ΔU=-(Mx(∂2bx∂x2+∂2bx∂y2+∂2bx∂z2)+My(∂2by∂x2+∂2by∂y2+∂2by∂z2)+Mz(∂2bz∂x2+∂2bz∂y2+∂2bz∂z2)){\ Displaystyle \ Delta U = - \ lewo (M_ {x} \ lewo ({\ Frac {\ częściowe ^ {2} B_ {x}} {\ częściowe x ^ {2}}} + {\ Frac {\ częściowe) ^ {2} B_ {x}} {\ częściowe y ^ {2}}} + {\ frac {\ częściowe ^ {2} B_ {x}} {\ częściowe z ^ {2}}} \ right) + M_ {y} \ left ({\ frac {\ części ^ {2} B_ {y}} {\ częściowy x ^ {2}}} + {\ frac {\ częściowy ^ {2} B_ {y}} {\ częściowy y ^ {2}}} + {\ frac {\ częściowe ^ {2} B_ {y}} {\ częściowe z ^ {2}}} \ right) + M_ {z} \ left ({\ frac {\ part ^ {2} B_ {z}} {\ częściowe x ^ {2}}} + {\ frac {\ części ^ {2} B_ {z}} {\ częściowe y ^ {2}}} + {\ frac { \ częściowe ^ {2} B_ {z}} {\ częściowe z ^ {2}}} \ right) \ right)}jest
ΔU=-(MxΔbx+MyΔby+MzΔbz){\ Displaystyle \ Delta U = - \ lewo (M_ {x} \ Delta B_ {x} + M_ {y} \ Delta B_ {y} + M_ {z} \ Delta B_ {z} \ prawej) \,}ale Laplacowie składników pola magnetycznego są zerowe w próżni (przy braku promieniowania). W związku z tym demonstracja kończy się uzyskaniem:
ΔU=-(Mx0+My0+Mz0)=0{\ Displaystyle \ Delta U = - \ lewo (M_ {x} 0 + M_ {y} 0 + M_ {z} 0 \ prawej) = 0 \,}
Dipol ustawiony w polu zewnętrznym
Najpierw rozważany jest przypadek dipola paramagnetycznego (lub diamagnetycznego ). Jego energię podaje:
U=-k(bx2+by2+bz2){\ Displaystyle U = -k \ lewo (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2} \ prawo) \,}Rozwijając, a następnie zmniejszając jego wyraz, otrzymujemy:
Δ(bx2+by2+bz2)=2[|∇bx|2+|∇by|2+|∇bz|2+bx∇2bx+by∇2by+bz∇2bz]{\ Displaystyle \ Delta \ lewo (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {Z} ^ {2} \ prawo) = 2 \ lewo [\ lewo | \ nabla B_ {x } \ right | ^ {2} + \ left | \ nabla B_ {y} \ right | ^ {2} + \ left | \ nabla B_ {z} \ right | ^ {2} + B_ {x} \ nabla ^ {2} B_ {x} + B_ {y} \ nabla ^ {2} B_ {y} + B_ {z} \ nabla ^ {2} B_ {z} \ right]}ale ponieważ Laplacian każdego składnika wynosi zero w próżni:
Δ(bx2+by2+bz2)=2[|∇bx|2+|∇by|2+|∇bz|2]{\ Displaystyle \ Delta \ lewo (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {Z} ^ {2} \ prawo) = 2 \ lewo [\ lewo | \ nabla B_ {x } \ right | ^ {2} + \ left | \ nabla B_ {y} \ right | ^ {2} + \ left | \ nabla B_ {z} \ right | ^ {2} \ right]}Wreszcie, ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest dodatni, otrzymujemy:
∇2(bx2+by2+bz2)≥0{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ lewo (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2} \ prawej) \ geq 0}
Laplasian pola magnetycznego
W tej sekcji pokazujemy, że Laplacian każdego składnika pola magnetycznego wynosi zero. Będziemy musieli odwołać się do właściwości pól magnetycznych, takich jak zerowa dywergencja i zerowa rotacja przy braku prądu i promieniowania, które wynikają z równań Maxwella .
Laplasian składowej wzdłuż x pola magnetycznego to:
Δbx=∂2bx∂x2+∂2bx∂y2+∂2bx∂z2=∂∂x∂∂xbx+∂∂y∂∂ybx+∂∂z∂∂zbx{\ Displaystyle \ Delta B_ {x} = {\ częściowe ^ {2} B_ {x} \ ponad \ częściowe x ^ {2}} + {\ częściowe ^ {2} B_ {x} \ ponad \ częściowe y ^ { 2}} + {\ częściowe ^ {2} B_ {x} \ ponad \ częściowe z ^ {2}} = {\ częściowe \ ponad \ częściowe x} {\ częściowe \ częściowe \ częściowe x} B_ {x} + { \ częściowe \ na \ częściowe y} {\ częściowe \ na \ częściowe y} B_ {x} + {\ częściowe \ na \ częściowe z} {\ częściowe \ na \ częściowe z} B_ {x}}Obrotowej z B jest zeru
∂bx∂y=∂by∂x{\ Displaystyle {\ częściowe B_ {x} \ ponad \ częściowe y} = {\ częściowe B_ {y} \ ponad \ częściowe x}}i
∂bx∂z=∂bz∂x{\ Displaystyle {\ częściowe B_ {x} \ ponad \ częściowe z} = {\ częściowe B_ {z} \ ponad \ częściowe x}}Więc mamy :
Δbx=∂∂x∂∂xbx+∂∂y∂∂xby+∂∂z∂∂xbz{\ Displaystyle \ Delta B_ {x} = {\ częściowe \ na \ częściowe x} {\ częściowe \ na \ częściowe x} B_ {x} + {\ częściowe \ nad \ częściowe y} {\ częściowe \ na \ częściowe x } B_ {y} + {\ part \ over \ części z} {\ part \ over \ części x} B_ {z}}Jest jednak różniczkowalny (i zakładamy, że jest nieskończenie taki). Więc :
bx{\ displaystyle B_ {x}}
Δbx=∂∂x(∂bx∂x+∂by∂y+∂bz∂z)=∂∂x(∇⋅b){\ Displaystyle \ Delta B_ {x} = {\ częściowe \ ponad \ częściowe x} \ lewo ({\ częściowe B_ {x} \ ponad \ częściowe x} + {\ częściowe B_ {y} \ ponad \ częściowe y} + {\ częściowe B_ {z} \ ponad \ częściowe z} \ w prawo) = {\ części \ częściowe \ częściowe x} \ lewo (\ nabla \ cdot \ mathbf {B} \ right)}Dywergencja B jest równa zeru, a więc stała:
Δbx=∂∂x(∇⋅b=0)=0{\ Displaystyle \ Delta B_ {x} = {\ częściowe \ ponad \ częściowe x} \ lewo (\ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0 \ prawej) = 0}To samo w odniesieniu do składników wzdłuż Y i Z pola magnetycznego.
Uwagi i odniesienia
-
(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu w angielskiej Wikipedii zatytułowanego „ Earnshaw's Theorem ” ( patrz lista autorów ) .
-
(en) S. Earnshaw, „O naturze sił molekularnych, które regulują budowę świecącego eteru”, w: Trans. Camb. Phil. Soc. , lot. 7, 1842, s. 97-112
Linki zewnętrzne
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">