Twierdzenie Ampera

W Magnetostatyka , Ampera twierdzenie pozwala określić wartość pola magnetycznego dzięki danych prądów elektrycznych . Twierdzenie to jest integralną postacią równania Maxwella-Ampera . Został odkryty przez André-Marie Ampère'a i stanowi magnetostatyczny odpowiednik twierdzenia Gaussa . Do zastosowania analitycznego w prosty sposób twierdzenie Ampère'a wymaga, aby rozważany problem miał wysoką symetrię .

Twierdzenie o amperach statycznych

Relacje te mają zastosowanie tylko w przypadku, gdy pole elektryczne jest stałe w czasie (prądy są stabilne i niezależne od czasu), w przeciwnym razie pole magnetyczne zmieniałoby się w czasie.

W pustce

Dosłowne stwierdzenie

Obieg pola magnetycznego wzdłuż konturu C zorientowanego i zamkniętego, tzw. konturu Ampera, jest równy sumie prądów algebraicznych , które przechodzą przez obszar zamknięty przez C . ${\ vec {B}}$

Forma integralna

{\ displaystyle \ namaszczać _ {C} {\ vec {B}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ ell}} = \ mu _ {0} \ cdot \ suma I _ {\ mathrm {enlac { \ ostre {e}} s}} = \ mu _ {0} \ cdot I _ {\ mathrm {enlac {\ ostre {e}} s}}}

lub :

$\ namaścić _ {{C}}$ reprezentuje całkę krzywoliniową na zamkniętym konturze C ,
${\ vec {B}}$ jest pole magnetyczne ,
${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {\ ell}}}$ jest nieskończenie małym elementem przemieszczenia wzdłuż konturu C ,
${\ displaystyle \ suma I _ {\ mathrm {enlac {\ ostry {e}} s}}}$ jest sumą algebraiczną natężeń prądów splecionych (otoczonych) przez kontur C .
$\ mu _ {0}$ = 4π × 10 -7 kg m A -2 s -2 , lub ponownie 4π × 10 -7 T m / A jest przepuszczalnością próżni

Uwaga: Możemy wyróżnić kilka przypadków dotyczących natężenia splecionego przez obwód.

jeśli obwód obejmuje prąd objętościowy , wówczas natężenie splecione będzie miało następującą postać: ${\ displaystyle {\ vec {\ jmath}}}$

{\ displaystyle \ suma I _ {\ mathrm {enlac {\ ostry {e}} s}} = \ iint _ {S} {\ vec {\ jmath}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {S} } }

z w (am -2 ) ${\ displaystyle {\ vec {\ jmath}}}$

jeśli obwód obejmuje prąd powierzchniowy , wówczas natężenie splecione będzie miało postać: ${\ ve k}$

{\ displaystyle \ suma I _ {\ mathrm {enlac {\ ostry {e}} s}} = \ int _ {l} {\ vec {k}} \ cdot {\ hat {n}} \ mathrm {d} \ Eł }

${\ ve k}$ pl (Am -1 ) i jednostkowy wektor normalny na konturze całkowania. ${\ styl wyświetlania {\ kapelusz {n}}}$

jeśli obwód obejmuje kilka obwodów nitkowatych, to możemy powiedzieć, że intensywność spleciona zostanie zapisana:

{\ displaystyle I _ {\ mathrm {enlac {\ ostry {e}} s}} = \ suma _ {i} I_ {i}}

z intensywnością drutu obwodu nitkowatego. $ja_ {i}$

Uważaj , jest to suma algebraiczna: konieczne jest zorientowanie konturu Ampera, a zatem nadanie normalnej powierzchni, skąd konwencja znaku dotycząca splecionych prądów, liczonych dodatnio lub ujemnie zgodnie z ich kierunkiem. Ta konwencja jest utrzymywana przez zasadę korkociągu .

Dla zarysu Amper pokazanego na tym obrazku:

{\ displaystyle I _ {\ mathrm {enlac {\ ostry {e}} s}} = \ suma I_ {i} = - I_ {1} + I_ {2} + I_ {3}}

Forma różnicowa

Z twierdzenia Stokesa otrzymujemy wyrażenie prawa Ampère'a w postaci lokalnej (poprzez pokazanie operatora rotacyjnego ), które ustala zależność między polem w punkcie w przestrzeni a gęstością prądu w tym samym punkcie: $\ vec B$ ${\ displaystyle {\ vec {J}}}$

{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} \, {\ vec {B}} = \ mu _ {0} \, {\ vec {J}}}

W materii

W materii, szczególnie namagnesowanej, znajdujemy się w obecności kilku rodzajów prądów (prądy swobodne, które są zwykłymi prądami, które znamy, oraz prądy pokrewne , zależne od pól obecnych w materii). W konsekwencji konwencjonalne twierdzenie Ampere'a nie jest już aktualne. Z drugiej strony, twierdzenie Ampère'a o wzbudzeniu magnetycznym istnieje i będzie można je wykorzystać do obliczenia, jeśli znamy rozkład prądu. ${\ styl wyświetlania {\ vec {H}}}$ ${\ styl wyświetlania {\ vec {H}}}$

Pojęcia dotyczące gęstości prądu w materii statycznej

W materii źródła ( ) prądów nigdy nie są do końca poznane. Oddzielimy zatem znane źródła od nieznanych: ${\ displaystyle {\ vec {J}}}$

Na ogół nie znamy ładunków i prądów związanych z medium (odnotowujemy ich odpowiednie gęstości objętościowe) ${\ displaystyle {\ overrightarrow {J_ {kłamstwo}}}}$
Ogólnie znamy ładunki i wolne prądy medium (odnotowujemy ich odpowiednie gęstości objętościowe) ${\ displaystyle {\ overrightarrow {J_ {free}}}}$

Mamy więc:

{\ displaystyle {\ overrightarrow {J_ {tot}}} = {\ overrightarrow {J_ {free}}} + {\ overrightarrow {J_ {kłamstwo}}}}

Należy uwzględnić makroskopowe pole namagnesowania , notowane i definiowane jako gęstość objętościowa momentu magnetycznego . Pole to indukuje połączony prąd, który będzie źródłem namagnesowania, które jest wyrażone: ${\ styl wyświetlania {\ vec {M}}}$

{\ displaystyle {\ overrightarrow {J_ {m}}} = {\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} \, {\ vec {M}}}

gdzie jest wektor namagnesowania. ${\ styl wyświetlania {\ vec {M}}}$

W ten sposób stawiamy:

{\ displaystyle {\ overrightarrow {J_ {kłamstwo}}} = {\ overrightarrow {J_ {m}}} = {\ overrightarrow {\ nazwa operatora {rot}}} \, {\ vec {M}}}

Media przewodzące zawierają ładunki elektryczne, które mogą się przemieszczać (ładunki swobodne), indukują one gęstość prądu swobodnego (lub przewodnictwo), która jest wyrażona:

{\ displaystyle {\ overrightarrow {J_ {free}}} = \ sigma {\ vec {E}},}

jeden uznaje prawa miejscowego Ohma z tej przewodności . $\ sigma$

Forma dosłowna

W materii namagnesowanej twierdzenie Ampère'a można przepisać do wzbudzenia, biorąc pod uwagę tylko prądy swobodne:

Przepływ wzbudzenia magnetycznego wzdłuż zamkniętego konturu C jest równy całkowitemu natężeniu swobodnego strumienia przechodzącego przez dowolną powierzchnię w oparciu o C . ${\ styl wyświetlania {\ vec {H}}}$

Zakłada się, że jest się w stanie ustalonym, w którym to przypadku wektor gęstości prądu ( ) jest przepływem zachowawczym, a natężenie zależy tylko od C, a nie od wyboru docisku powierzchni C . ${\ displaystyle {\ overrightarrow {J_ {free}}}}$

Forma integralna

{\ displaystyle \ namaszczać _ {C} {\ vec {H}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ ell}} = \ int \! \! \! \! \! \! \! \ podzbiór \!\!\suset \!\!\!\!\!\!\!\int _ {S} {\ overrightarrow {J_ {free}}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {S}} }

Forma różnicowa

{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} \, {\ vec {H}} = {\ overrightarrow {J_ {free}}}}

Twierdzenie Ampera w dynamice

W pustce

Forma różnicowa

W trybie zmiennym równanie Maxwella-Ampera daje:

{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} \, {\ vec {B}} = \ mu _ {0} \ left ({\ vec {J}} + \ displaystyle {\ varepsilon _ {0} \, {\ frac {\ częściowy {\ vec {E}}} {\ częściowy t}}} \ prawy)}

Zauważa się obecność innego terminu w porównaniu z trybem statycznym. Jest to gęstość prądu, którą Maxwell wziął pod uwagę przy opracowywaniu swoich równań, zwaną gęstością prądu przesunięcia:

{\ displaystyle {\ overrightarrow {J_ {d}}} = \ varepsilon _ {0} \, {\ częściowy {\ overrightarrow {E}} \ nad \ częściowy t}}

gdzie ε 0 jest przenikalnością próżni .

Forma integralna

Zgodnie z twierdzeniem Greena równanie różniczkowe Maxwella-Ampera można przepisać w postaci całkowej:

{\ displaystyle \ namaszczać _ {C} {\ vec {B}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ ell}} = \ mu _ {0} \ int \! \! \! \! \! \!\!\podzbiór \!\!\suset \!\!\!\!\!\!\!\int _ {S} {\ vec {J}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec { S}} + \ mu _ {0} \ underbrace {\ varepsilon _ {0} \ int \! \! \! \! \! \! \! \ Podzbiór \! \! \ Supset \! \! \! \ !\!\!\!\ int _ {S} {\ częściowy {\ overrightarrow {E}} \ over \ częściowy t}} _ {\ overrightarrow {J_ {d}}} \ cdot \ mathrm {d} {\ z {S}}}

W materii

W sprawie możemy zapytać:

${\ displaystyle {\ vec {D}} = \ varepsilon _ {0} {\ vec {E}} + {\ vec {P}}}$ elektryczny gęstość strumienia (cm -2 )

W materii polaryzacja ośrodka musi być uwzględniona , odnotowana i zdefiniowana jako gęstość objętościowa całkowitego elektrycznego momentu dipolowego . Ten ostatni będzie indukował w zmiennym reżimie obecność gęstości prądu polaryzacyjnego określonej przez: ${\ vec P}$

{\ displaystyle {\ overrightarrow {J_ {p}}} = {\ frac {\ częściowy {\ vec {P}}} {\ częściowy t}},}

gdzie jest wektor polaryzacji. ${\ displaystyle {\ vec {P}}}$

Dryfując względem czasu otrzymujemy: ${\ displaystyle {\ vec {D}}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ częściowy {\ vec {D}}} {\ częściowy t}} = \ underbrace {\ varepsilon _ {0} {\ frac {\ częściowy {\ vec {E}}} {\ częściowy t}}} _ {\ overrightarrow {J_ {d}}} + \ underbrace {\ frac {\ częściowy {\ vec {P}}} {\ częściowy t}} _ {\ overrightarrow {J_ {p}}}}

rozpoznawana jest gęstość prądu polaryzacyjnego oraz gęstość prądu przesunięcia ${\ displaystyle {\ overrightarrow {J_ {p}}}}$ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {J_ {d}}}}$

${\ displaystyle {\ vec {H}} = {\ frac {\ vec {B}} {\ mu _ {0}}} - {\ vec {M}},}$ wzbudzenie magnetyczne (w Am -1 )

Forma różnicowa

Równanie Maxwella-Ampera jest zatem przepisywane w materii:

{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} \, {\ vec {H}} = {\ overrightarrow {J_ {free}}} + \ displaystyle {\ frac {\ częściowy {\ vec {D}} } {\ częściowy t}}}

Forma integralna

Zgodnie z twierdzeniem Greena równanie różniczkowe Maxwella-Ampera można przepisać w postaci całkowej:

{\ displaystyle \ namaszczać _ {C} {\ vec {H}}. d {\ vec {l}} = \ int \! \! \! \! \! \! \! \ podzbiór \! \! \ supset \!\!\!\!\!\!\!\int _ {S} {\ overrightarrow {J_ {free}}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {S}} + \ int \! \ !\!\!\!\!\!\podzbiór \!\!\zastępowanie\!\!\!\!\!\!\!\int _ {S} {\ częściowy {\ overrightarrow {D}} \ nad \ częściowy t}}

Uwagi

Twierdzenie Ampère'a prowadzi do wyników identycznych z tymi, które można uzyskać dzięki prawu Biota i Savarta .
Kierunek cyrkulacji na obrysie Ampère jest całkowicie dowolny. Jak tylko dokona się tego wyboru, trzeba zastosować regułę dobrego człowieka z Ampère .
Musisz zwrócić uwagę na sumę algebraiczną źródeł. Dwa natężenia o identycznej wartości przechodzące przez tę samą powierzchnię doprowadzą do całkowitego zerowego prądu.

Rozwiązywanie problemu z twierdzeniem Ampère'a

Ogólna metoda obliczania pola magnetostatycznego w dowolnym punkcie M w przestrzeni

Zdefiniuj układ współrzędnych odpowiedni do symetrii występujących w bieżącym rozkładzie ( kartezjański , cylindryczny i sferyczny );
Zidentyfikuj wszystkie niezmienności rozkładu prądu, aby wyznaczyć zależność pola względem określonych współrzędnych punktu M;
Zlokalizuj płaszczyzny symetrii (lub antysymetrii) rozkładu prądu, aby określić kierunek pola magnetycznego w punkcie M;
Zdefiniuj „kontur Ampera”, który zawiera punkt M i do którego pole jest styczne. W zależności od rozkładu generalnie konieczne jest rozróżnienie kilku przypadków, w zależności od regionu przestrzeni, w której znajduje się punkt (np. wewnątrz / na zewnątrz rozkładu);
Zastosuj twierdzenie Ampère'a w celu rozwiązania problemu.

Przykłady obliczeń

Przykłady obliczeń można znaleźć na stronie wikiversity

Bibliografia

John David Jackson ( tłum. z angielskiego), elektrodynamika klasyczna [ „ Klasyczna Elektrodynamika ”] [ szczegóły wydawnicze ]
Gérard Fournet, „Elektromagnetyzm”, Techniki inżynierskie ,10 marca 1993.
Michel Ney, „Podstawy elektromagnetyzmu”, Techniki inżynierskie ,10 sierpnia 2004 r..
José-Philippe Pérez, Robert Carles i Robert Fleckinger, Pusty elektromagnetyzm i środowiska materiałowe , Paryż, Masson, 1990 ( ISBN 2-225-82294-8 ) .
Marie-Nöelle Sanz - Bernard Salamito, All-In-One Fizyka PC, PC * - Le Cours De Référence , kolekcja J'intègre, Paryż, Dunod, 01/06/2009 ( ISBN 978-2-10-053462-3 )
Marie-Noelle Sanz - Anne-Emmanuelle Badel - François Clausset, All-In-One fizyka 1 st Rok MPSI-PCSI-PTSI - Poprawione kursy i ćwiczenia , kolekcja J'intègre, Paryż, Dunod, 20/06/2012 ( ISBN 978 -2-10-057871-9 )

Linki zewnętrzne

Animacja Flash na temat obiegu pola magnetycznego , Uniwersytet w Nantes.
Kurs Wikiversity na temat elektromagnetyzmu mediów materialnych.
Kurs na Uniwersytecie Le Mans na temat równań Maxwella w mediach