Racjonalny punkt

W numerze teorii i geometrii algebraicznej , że racjonalne punkty od An algebraicznych różnych zdefiniowane na polu są, gdy X jest zdefiniowany przez układ równań wielomianowych, roztworów w k tego systemu. $X$ $k$

Definicja formalna

Pozwolić algebraiczne różnorodność zdefiniowane nad polem . Punkt nazywany jest racjonalny punkt jeśli pole resztkowe z X na X jest równa . Sprowadza się to do stwierdzenia, że wszystkie współrzędne punktu na afinicznej mapie lokalnej należą do . Kiedy rozmaitość algebraiczną jest wywnioskowana z układu jednorodnych lub afinicznych równań wielomianowych, punkty wymierne odpowiadają rozwiązaniom układu w . $X$ $k$ $x \ w X$ $k (x)$ $k$ $x$ $k$ $k$

Zbiór punktów wymiernych oznaczamy . $X$ $X (k)$

W algebraicznie zamkniętym polu bazowym wszystkie (zamknięte) punkty są wymierne. W przeciwnym razie może być pusta bez niej . $X (k)$ $X$

Kilka przykładów

Ważna część geometrii arytmetycznej dotyczy badania punktów wymiernych rozmaitości algebraicznych zdefiniowanych na polu liczbowym .

Zbiór racjonalnych punktów przestrzeni afinicznej utożsamiany jest z . Podobnie zbiór wymiernych punktów przestrzeni rzutowej (jako rozmaitości algebraicznej) utożsamiany jest z przestrzenią rzutową . ${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {K} ^ {n}}$ $K ^ {n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {K} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle (K ^ {n + 1} \ setminus \ {0 \}) / K ^ {*}}$
Jeśli X jest rzutową krzywą algebraiczną określoną równaniem w in, gdzie p jest nieparzystą liczbą pierwszą, punkty wymierne X (ℚ) odpowiadają jednorodnym rozwiązaniom wykładnika równania Fermata . Punkt jest racjonalnym punktem (na ℚ), z drugiej strony punkt, w którym jest prymitywnym p-tym pierwiastkiem jedności, nie jest racjonalny. ${\ Displaystyle x ^ {p} + y ^ {p} + z ^ {p} = 0}$ $p$ ${\ Displaystyle (1: -1: 0)}$ ${\ Displaystyle (-1: \ xi _ {p}: 0)}$ ${\ displaystyle \ xi _ {p} = e ^ {2i \ pi / p} \ in \ mathbb {C}}$
Krzywa afiniczna x 2 + y 2 + 1 = 0 na ℝ nie ma punktów wymiernych.
Mordella przypuszczenie , udowodnione przez Gerd Faltings , powiedział, że dla każdego rzutowej krzywej non-pojedynczej w rodzaju przynajmniej dwa zdefiniowane na polu numeru, ma co najwyżej skończoną liczbę punktów wymiernych.
Twierdzenie Mordella-Weil , uogólnione przez Langa i Neron, mówi, że za każdym Abelowych kolektora A nad pola K skończonego typu nad ℚ lub skończonego, zbiór punktów wymiernych A ( K ) to grupa przemienna typu skończył .

Zobacz też

§ „Punkty wymierne” artykułu: Odmiana algebraiczna

Uwagi

(w :) Serge Lang i André Néron , Racjonalny punkt odmian abelowych nad polami funkcyjnymi , Amer. J. Math. 81 (1959), 95-118
(w) Brian Conrad , „Chow's K / k -image i K / k -trace, oraz twierdzenie Langa- Nérona ” Enseign. Matematyka. , 52 (2006), 37–108 [ czytaj online ] .