Standard (matematyka)

W geometrii The normą jest przedłużeniem bezwzględnej wartości liczb na wektorach . Umożliwia pomiar długości wspólnej dla wszystkich reprezentacji wektora w przestrzeni afinicznej , ale także określa odległość między dwoma wektorami niezmienną translacją i zgodną z zewnętrznym mnożeniem.

Mówi się, że zwykła norma w płaszczyźnie lub w przestrzeni jest euklidesowa, ponieważ jest związana z iloczynem skalarnym u podstawy geometrii euklidesowej .

Inne standardy są szeroko stosowane w przestrzeniach wektorowych (o skończonym lub nieskończonym wymiarze ), zwanych wówczas znormalizowanymi przestrzeniami wektorowymi . Są szczególnie ważne w analizie funkcjonalnej do uzyskiwania markerów , wyrażania zróżnicowania na przestrzeniach funkcji jednej lub więcej zmiennych rzeczywistych lub złożonych , obliczania szacunków i aproksymacji .

Istnieje drugie pojęcie normy, używane w arytmetyce  : jest ono przedmiotem artykułu „  Norma (teoria ciał)  ”.

Zwykła geometria euklidesowa

Definicja

Jeśli i są dwoma punktami płaszczyzny lub zwykłej przestrzeni, normą wektora jest odległość, to znaczy długość odcinka . Zauważa z podwójnymi kreskami: . W{\ displaystyle A}b{\ displaystyle B}Wb→{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}}}Wb{\ displaystyle AB}[Wb]{\ displaystyle [AB]}‖Wb→‖{\ displaystyle \ | {\ overrightarrow {AB}} \ |}

Norma, kierunek i kierunek to trzy dane charakteryzujące wektor, a zatem niezależne od wyboru przedstawiciela.

W Unicode podwójna kreska „‖” to znak U + 2016 (różny od symbolu paralelizmu „∥”, U + 2225 ).

Obliczenie

• Zwykłą (euklidesową) normę wektora można obliczyć za pomocą jego współrzędnych w ortonormalnym układzie współrzędnych za pomocą twierdzenia Pitagorasa .
  • W płaszczyźnie, jeśli wektor ma współrzędne , zapisywana jest jego normau→{\ displaystyle {\ vec {u}}}(x,y){\ displaystyle (x, y)}‖u→‖=x2+y2.{\ Displaystyle \ | {\ vec {u}} \ | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}
    Jeśli punkty i mają swoje współrzędne, a następnie:W{\ displaystyle A}b{\ displaystyle B}(xW,yW){\ displaystyle (x_ {A}, y_ {A})}(xb,yb){\ displaystyle (x_ {B}, y_ {B})}‖Wb→‖=(xb-xW)2+(yb-yW)2.{\ Displaystyle \ | {\ overrightarrow {AB}} \ | = {\ sqrt {(x_ {B} -x_ {A}) ^ {2} + (y_ {B} -y_ {A}) ^ {2} }}.}
  • W przestrzeni, jeśli wektor ma współrzędne , jego norma jest zapisana:u→{\ displaystyle {\ vec {u}}}(x,y,z){\ Displaystyle (x, y, z)}‖u→‖=x2+y2+z2.{\ Displaystyle \ | {\ vec {u}} \ | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}.}
    Jeśli punkty i mają swoje współrzędne, a następnie:W{\ displaystyle A}b{\ displaystyle B}(xW,yW,zW){\ displaystyle (x_ {A}, y_ {A}, z_ {A})}(xb,yb,zb){\ displaystyle (x_ {B}, y_ {B}, z_ {B})}
    
    ‖Wb→‖=(xb-xW)2+(yb-yW)2+(zb-zW)2.{\ Displaystyle \ | {\ overrightarrow {AB}} \ | = {\ sqrt {(x_ {B} -x_ {A}) ^ {2} + (y_ {B} -y_ {A}) ^ {2} + (z_ {B} -z_ {A}) ^ {2}}}.}
• Normę (euklidesową) wektora można otrzymać z iloczynu skalarnego wektora samego siebie:‖u→‖=u→⋅u→.{\ displaystyle \ | {\ vec {u}} \ | = {\ sqrt {{\ vec {u}} \ cdot {\ vec {u}}}}.}

Nieruchomości

• Norma jest anulowana tylko dla wektora zerowego .0→{\ displaystyle {\ vec {0}}}
• Norma iloczynu przez liczbę jest iloczynem normy przez wartość bezwzględną tej liczby:‖ku→‖=|k|×‖u→‖.{\ Displaystyle \ | k {\ vec {u}} \ | = | k | \ razy \ | {\ vec {u}} \ |.}W szczególności każdy wektor ma tę samą normę, co jego przeciwieństwo:‖-u→‖=‖u→‖.{\ Displaystyle \ | - {\ vec {u}} \ | = \ | {\ vec {u}} \ |.}

W dowolnej przestrzeni wektorowej

Definicja formalna

Niech K będzie przemienne pole o wartość bezwzględną i E K - przestrzeń wektorową .

Normą na E jest zastosowanie na E z rzeczywistymi wartościami i spełniającego następujące założenia: NIE{\ displaystyle {\ mathcal {N}}}

• oddzielenie  : ;∀x∈miNIE(x)=0⇒x=0mi{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad {\ mathcal {N}} (x) = 0 \ Rightarrow x = 0_ {E}}
• absolutna jednorodność  : ;∀(λ,x)∈K.×miNIE(λx)=|λ|NIE⁡(x){\ displaystyle \ forall (\ lambda, x) \ in K \ razy E \ quad {\ mathcal {N}} (\ lambda x) = | \ lambda | \ operatorname {\ mathcal {N}} (x)}
• subaddytywność (zwana także nierównością trójkątów ).∀(x,y)∈mi2NIE(x+y)≤NIE(x)+NIE(y){\ displaystyle \ forall (x, r) \ in E ^ {2} \ quad {\ mathcal {N}} (x + y) \ leq {\ mathcal {N}} (x) + {\ mathcal {N} } (y)}

Uwagi.

• Odwrotność aksjomatu separacji jest prawdziwa.Rzeczywiście, przez jednorodność .NIE(0mi)=NIE(0⋅0mi)=0NIE⁡(0mi)=0{\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (0_ {E}) = {\ mathcal {N}} (0 \ cdot 0_ {E}) = 0 \ operatorname {\ mathcal {N}} (0_ {E}) = 0}
• Standard jest zawsze pozytywny.Rzeczywiście, dla każdego wektora , (o subadditivity), to znaczy (jednorodnością) .x{\ displaystyle x}0=NIE(0mi)=NIE(x-x)≤NIE(x)+NIE(-x){\ Displaystyle 0 = {\ mathcal {N}} (0_ {E}) = {\ mathcal {N}} (xx) \ równoważnik {\ mathcal {N}} (x) + {\ mathcal {N}} ( -x)}0≤2NIE⁡(x){\ Displaystyle 0 \ równoważnik 2 \ nazwa operatora {\ mathcal {N}} (x)}
• Dziedziny rzeczywistości i kompleksy nie są jedynymi, które przyjmują wartość bezwzględną.
  W przypadku ciał wartościowych norma może być nawet ultrametryczna, jeśli spełnia pewien warunek silniejszy niż subaddytywność.
• Funkcja E w ℝ + który spełnia tylko założenia jednorodności i sub-addytywności nazywa pół normą .

Przestrzeń wektorowa z normą nazywana jest przestrzenią wektorową norm (czasami w skrócie EVN).

Obraz wektora x według normy jest zwykle zapisywany jako ║ x ║ i brzmi „norma x  ”.

Pierwsze właściwości

• Norma jest podliniowa , czyli spełnia następującą właściwość:∀(λ,x,y)∈K.×mi2 , ‖λx+y‖≤|λ|‖x‖+‖y‖,{\ Displaystyle \ forall (\ lambda, x, r) \ in K \ razy E ^ {2} \, \ \ | \ lambda x + y \ | \ równoważnik | \ lambda | \ | x \ | + \ | y \ |,}który uogólnia poprzez powtarzanie się na:‖λ1x1+...+λniexnie‖≤|λ1|‖x1‖+...+|λnie|‖xnie‖.{\ Displaystyle \ | \ lambda _ {1} x_ {1} + \ ldots + \ lambda _ {n} x_ {n} \ | \ równoważnik | \ lambda _ {1} | \ | x_ {1} \ | + \ ldots + | \ lambda _ {n} | \ | x_ {n} \ |.}
• Separacja i jednorodność gwarantują właściwości separacji i symetrii funkcjire:(x,y)↦‖y-x‖.{\ Displaystyle d \ dwukropek (x, y) \ mapsto \ | yx \ |.}(Dla symetrii używamy tego , gdzie e oznacza multiplikatywny punkt neutralny K , stąd dla dowolnego wektora z ║– z ║ = ║ (- e ) z ║ = | - e | ║ z ║ = ║ z ║.) Następnie subaddytywność uzasadnia trójkątną nierówność ,∣-mi∣ =1{\ Displaystyle \ mid -e \ mid = 1}
  ‖z-x‖≤‖z-y‖+‖y-x‖,{\ Displaystyle \ | zx \ | \ leq \ | zy \ | + \ | yx \ |,}konieczne, aby pokazać, że d jest odległością na E , która jest bardziej niezmienna przez translację.
  Znormalizowana przestrzeń wektorowa jest zatem jednorodną przestrzenią metryczną, a związana z nią topologia jest zgodna z operacjami wektorowymi.
• Subaddytywność pozwala uzyskać następującą właściwość:∀(x,y)∈mi2 , |‖x‖-‖y‖|≤‖x-y‖,{\ Displaystyle \ forall (x, y) \ in E ^ {2} \, \ {\ duży |} \ | x \ | - \ | y \ | {\ duży |} \ równoważnik \ | xy \ |,}co pokazuje, że normą jest 1-lipschitzowska mapa, a zatem ciągła .
• Norma jest również, jak każda półnorma, funkcją wypukłą , która może być przydatna przy rozwiązywaniu problemów optymalizacyjnych .

Topologia

Odległość d związana z normą (por. Powyżej) nadaje E strukturę przestrzeni metrycznej , a więc odrębnej przestrzeni topologicznej . Otwarte dla tej topologii jest częścią O o E , takie, że:

∀x∈O,∃ε>0{y∈mi | ‖x-y‖<ε}⊂O.{\ Displaystyle \ forall x \ w O \; \ istnieje \ varepsilon> 0 \ quad \ {y \ in E ~ | ~ \ | xy \ | <\ varepsilon \} \ podzbiór O.}

Wyposażony w tę topologię, E jest „evt” ( topologiczną przestrzenią wektorową ), to znaczy:

Twierdzenie  -  Dodanie E × E w E i zewnętrzne mnożenie K × E w E są ciągłe.

Demonstracja

Niech ( x , y ) będzie punktem E × E i ( h , k ) wzrostem, a następnie:

‖(x+godz+y+k)-(x+y)‖=‖godz+k‖≤‖godz‖+‖k‖≤2max(‖godz‖,‖k‖)=2‖(godz,k)‖mi×mi.{\ Displaystyle \ lewo \ Vert (x + h + y + k) - (x + y) \ prawo \ Vert = \ | h + k \ | \ równoważnik \ | h \ | + \ | k \ | \ równoważnik 2 \ max (\ | h \ |, \ | k \ |) = 2 \ | (h, k) \ | _ {E \ razy E}.}

Powyższy wzrost pokazuje, że dodatek jest 2- lipschitzowski, a zatem jest jednolicie ciągły .

Niech K × E będzie punktem i wzrostem, jeśli i  : (λ,x){\ Displaystyle (\ lambda, x)}(μ,godz){\ displaystyle (\ mu, h)}‖(λ,x)‖K.×mi≤M{\ Displaystyle \ | (\ lambda, x) \ | _ {K \ razy E} \ równoważnik M}‖(μ,godz)‖K.×mi≤ε≤1{\ Displaystyle \ | (\ mu, h) \ | _ {K \ razy E} \ równoważnik \ varepsilon \ równoważnik 1}

‖(λ+μ)(x+godz)-λx‖≤‖λgodz‖+‖μx‖+‖μgodz‖≤2Mε+ε2≤(2M+1)ε.{\ Displaystyle \ lewo \ Vert (\ lambda + \ mu) (x + h) - \ lambda x \ prawo \ Vert \ leq \ | \ lambda h \ | + \ | \ mu x \ | + \ | \ mu h \ | \ leq 2 mln \ varepsilon + \ varepsilon ^ {2} \ leq (2 mln + 1) \ varepsilon.}

Ostatniego dostosowania przedstawia jednolity ciągłości zewnętrznej namnażania na całej kuli K x E z centrum 0, a promień M , tak ciągłości K x E .

Ponieważ norma dotycząca przestrzeni wektorowej jest indukowana w topologii e.vt, a nawet oddzielnej lokalnie wypukłej przestrzeni ( patrz poniżej ), można się zastanawiać, czy topologia danego evt może być indukowana przez możliwą normę on . W takim przypadku mówimy, że e.vt jest normalne . Oddzielne lokalnie wypukłe przestrzenie nie są normalne (na przykład przestrzeń Montela o nieskończonym wymiarze nigdy nie jest znormalizowana). mi{\ displaystyle E}mi{\ displaystyle E}T{\ displaystyle T}T{\ displaystyle T}(mi,T){\ displaystyle (E, T)}mi{\ displaystyle E}(mi,T){\ displaystyle (E, T)}

Piłka

Taka konstrukcja topologii nadaje całe znaczenie pojęciu otwartej kuli o środku x i promieniu r , to znaczy zbiorem punktów, których odległość do x jest ściśle mniejsza niż r . Każda otwarta kula jest obrazem kuli jednostkowej (otwartej) złożonej z przesunięcia z wektorem x i dylatacji ze stosunkiem r .

Otwarte kule wyśrodkowane w jakimś punkcie tworzą podstawę okolic tego punktu; dlatego charakteryzują topologię. Jeśli E jest przestrzenią wektorową na ℝ (w szczególności jeśli jest przestrzenią wektorową na ℂ), każda otwarta kula jest wypukła . Rzeczywiście, ponieważ wypukłość jest zachowana dzięki tłumaczeniu i homotece, wystarczy wykazać tę właściwość dla otwartej kuli jednostkowej. Jeśli x i y są dwoma punktami tej piłki i jeśli θ jest liczbą rzeczywistą między 0 a 1, to:

‖θx+(1-θ)y‖≤θ‖x‖+(1-θ)‖y‖<1.{\ Displaystyle \ | \ teta x + (1- \ teta) y \ | \ równoważnik \ teta \ | x \ | + (1- \ teta) \ | y \ | <1.}

W związku z tym weryfikowana jest następująca właściwość:

Właściwość  -  prawdziwa znormalizowana przestrzeń wektorowa jest lokalnie wypukła .

Oznacza to, że każdy punkt przyjmuje podstawę wypukłych okolic, na przykład otwarte kulki wyśrodkowane w tym miejscu.

Równoważny standard

Im więcej otworów zawiera topologia, tym dokładniejsza staje się powiązana analiza. Z tego powodu topologia zawierająca co najmniej wszystkie otwory innego jest uważana za drobniejszą. W przypadku dwóch standardów i na tej samej przestrzeni wektorowej E pojawia się pytanie , któremu kryterium na standardach odpowiada takie porównanie między skojarzonymi z nimi topologiami. NIE1{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {1}}NIE2{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {2}}

• NIE1{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {1}}mówi się, że jest drobniejszy niż (mówimy również, że dominuje ), jeśli jakakolwiek sekwencja wektorów E zbiegających się w celu zbieżności dla lub znowu, jeśli istnieje ściśle dodatnia rzeczywista, taka jak:NIE2{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {2}}NIE1{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {1}}NIE2{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {2}}NIE1{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {1}}NIE2{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {2}}α{\ displaystyle \ alpha}∀x∈mi, NIE2(x)≤αNIE1(x).{\ displaystyle \ forall x \ in E \ {\ mathcal {N}} _ {2} (x) \ leq \ alpha {\ mathcal {N}} _ {1} (x).}Definicję tę uzasadnia fakt, że jest ona drobniejsza niż wtedy i tylko wtedy, gdy powiązana z nią topologia jest drobniejsza niż .NIE1{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {1}}NIE2{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {2}}T1{\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {1}}T2{\ displaystyle {\ mathcal {T}} _ {2}}
• NIE1{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {1}}i mówi się, że są równoważne, jeśli każdy z nich jest lepszy od drugiego lub jeśli istnieją dwie ściśle dodatnie wartości rzeczywiste i takie, że:NIE2{\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {2}}α{\ displaystyle \ alpha}β{\ displaystyle \ beta}∀x∈mi, αNIE1(x)≤NIE2(x)≤βNIE1(x).{\ displaystyle \ forall x \ in E, ~ \ alpha {\ mathcal {N}} _ {1} (x) \ leq {\ mathcal {N}} _ {2} (x) \ leq \ beta {\ mathcal {N}} _ {1} (x).}Odpowiada to faktowi, że otwarte kule obu standardów mogą być włączone do siebie, aż do rozszerzenia, lub że dwie powiązane topologie są takie same. Pod względem metrycznym te dwie struktury są nawet jednorodnie izomorficzne. W rzeczywistej przestrzeni wektorowej o skończonym wymiarze wszystkie normy są równoważne (patrz artykuł „  Topologia przestrzeni wektorowej o skończonym wymiarze  ”).

Konstrukcje ogólne

• Dowolny iloczyn skalarny w rzeczywistej przestrzeni wektorowej E definiuje powiązaną normę euklidesową przez:∀x∈mi, ‖x‖=x⋅x.{\ displaystyle \ forall x \ in E, \ \ | x \ | = {\ sqrt {x \ cdot x}}.}Norma jest euklidesowa (czyli pochodzi z iloczynu skalarnego) wtedy i tylko wtedy, gdy aplikacjaNIE{\ displaystyle {\ mathcal {N}}}(x,y)↦12(NIE(x+y)2-NIE(x)2-NIE(y)2){\ Displaystyle (x, y) \ mapsto {\ Frac {1} {2}} \ lewo ({\ mathcal {N}} (x + y) ^ {2} - {\ mathcal {N}} (x) ^ {2} - {\ mathcal {N}} (y) ^ {2} \ right)}jest dwuliniowa iw tym przypadku ta mapa jest powiązanym iloczynem skalarnym (patrz artykuł „  Tożsamość polaryzacji  ”).
• Jeśli f jest iniekcyjną mapą liniową od E do F, to każda norma na F indukuje normę na E za pomocą równania‖x‖mi=‖fa(x)‖fa.{\ Displaystyle {\ mathcal {\ |}} x \ | _ {E} = \ | f (x) \ | _ {F}.}
• Jeśli C jest ograniczonym i zrównoważonym wypukłym otwartym planem rzeczywistej przestrzeni wektorowej E , to skrajnia C jest normą J zdefiniowaną przez ∀x∈mi jot(x)=inf{λ>0 | 1λx∈VS}{\ Displaystyle \ forall x \ w E ~ J (x) = \ inf \ lewo \ {\ lambda> 0 ~ \ lewo | ~ {\ Frac {1} {\ lambda}} x \ w C \ prawej. \ w prawo \}}i gdzie C jest otwartą piłką jednostki .
• Jeżeli E i F są dwa rzeczywiste lub złożone znormalizowane przestrzeni wektorowej, przestrzeń z ciągłych map liniowych jest z normą operatora podporządkowaną do odpowiednich norm E i F zapisać:L(mi,fa){\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (E, F)}∀T∈L(mi,fa), ‖T‖=łykx∈mi∖{0}‖T(x)‖fa‖x‖mi.{\ Displaystyle \ forall T \ w {\ mathcal {L}} (E, F), \ \ | T \ | = \ sup _ {x \ in E \ setminus \ {0 \}} {\ Frac {\ | T (x) \ | _ {F}} {\ | x \ | _ {E}}}.}

Przykłady

W skończonym wymiarze

W tej sekcji oznacza wektor o k n  ; x→{\ displaystyle {\ vec {x}}}(x1,...,xnie){\ displaystyle (x_ {1}, \ kropki, x_ {n})}

• euklidesowa normą jest otrzymywany z produktu skalarną lub kanoniczna produktu hermitowskiego  :‖x→‖2=|x1|2+...+|xnie|2{\ Displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {2} = {\ sqrt {| x_ {1} | ^ {2} + \ ldots + | x_ {n} | ^ {2}}}}i odpowiada normie stosowanej zwykle dla odległości między dwoma punktami w zwykłej płaszczyźnie lub przestrzeni (obecność 2 w dolnym indeksie wyjaśniono tuż po - w przypadku p = 2: norma 2 );
• normą 1 jest sumą tych modułów (lub wartości bezwzględne) współczynników:‖x→‖1=|x1|+...+|xnie|{\ Displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {1} = | x_ {1} | + \ ldots + | x_ {n} |}i indukuje odległość przemieszczenia pod kątem prostym na szachownicy, zwaną odległością Manhattanu  ;
• bardziej ogólnie, dla każdego p większego lub równego 1, norma p (są to normy Höldera ) jest określona następującym wzorem:‖x→‖p=(|x1|p+...+|xnie|p)1p.{\ Displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {p} = \ lewo (| x_ {1} | ^ {p} + \ ldots + | x_ {n} | ^ {p} \ w prawo) ^ {\ frac {1} {p}}.}Dlatego też utożsamia normę euklidesową z normą 2, ale przede wszystkim interesuje ją tylko jej uogólnienie na przestrzenie funkcyjne;
• „nieskończony” norma jest dana przez:‖x→‖∞=max(|x1|,...,|xnie|).{\ Displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty} = \ max \ lewo (| x_ {1} |, \ kropki, | x_ {n} | \ po prawej).}Wywołuje odległość przemieszczenia przez twarze i rogi w sieci, podobnie jak w przypadku króla na szachownicy, znanej jako odległość Czebyszewa .

Wszystkie te standardy są równoważne, ponieważ ‖x→‖∞≤‖x→‖p≤nie1p‖x→‖∞{\ Displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty} \ leq \ | {\ vec {x}} \ | _ {p} \ równoważnik n ^ {\ Frac {1} {p}} \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty}}.

Nierówność trójkątna dla p- norm nazywa się nierównością Minkowskiego  ; jest to konsekwencja wyników wypukłości, w tym nierówności Höldera . Te ostatnie, uogólnienie wyżej związane, a ponadto pokazuje, że dla każdego wektora z K n , w malejącej mapy p ↦ ║ ║ p jest ciągła na [1 + ∞] . W rzeczy samej, x→{\ displaystyle {\ vec {x}}} x→{\ displaystyle {\ vec {x}}}

1≤p≤q≤∞⇒‖x→‖q≤‖x→‖p≤nie1p-1q‖x→‖q{\ Displaystyle 1 \ równoważnik p \ równoważnik q \ równoważnik \ infty \ Rightarrow \ | {\ vec {x}} \ | _ {q} \ równoważnik \ | {\ vec {x}} \ | _ {p} \ równoważnik n ^ {{\ frac {1} {p}} - {\ frac {1} {q}}} \ | {\ vec {x}} \ | _ {q}}.

Inne przykłady pojawiają się klasycznie:

• Normą dotyczącą przestrzeni kwaternionów jest norma euklidesowa zastosowana do podstawy .(1,ja,jot,k){\ Displaystyle (1, ja, j, k)}
• Przestrzeń wielomianów stopnia mniejszego lub równego n można wyposażyć w normy wyprowadzone z przestrzeni funkcyjnych (patrz poniżej).

Należy zauważyć, że „naiwna” implementacja wzoru na komputerze może prowadzić do błędów przeregulowania lub niedoregulowania dla wartości ekstremalnych (bardzo dużych lub bardzo małych wartości bezwzględnych): pośredni krok podniesienia do kwadratu może prowadzić do wyników, których nie można przedstawić zgodnie z do standardu IEEE 754 , a zatem do końcowego wyniku równego 0 lub „nieskończony”, nawet jeśli wynik końcowy jest sam w sobie reprezentowalny. Aby tego uniknąć, możemy wziąć pod uwagę  : każda z nich należy do zakresu (a co najmniej jedna z wartości to dokładnie 1), więc zawartość pierwiastka jest w zakresie , co zapobiega wyprzedzaniu i podkładaniu, jeśli wynik końcowy jest reprezentowalny. Inną metodą jest metoda Moler i Morrison . ‖x→‖2=|x1|2+...+|xnie|2{\ Displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {2} = {\ sqrt {| x_ {1} | ^ {2} + \ ldots + | x_ {n} | ^ {2}}}}‖x→‖2{\ Displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {2}}‖x→‖∞=max(|x1|,...,|xnie|){\ Displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty} = \ max \ lewo (| x_ {1} |, \ kropki, | x_ {n} | \ po prawej)}‖x→‖2=‖x→‖∞×|x1‖x→‖∞|2+...+|xnie‖x→‖∞|2{\ Displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {2} = \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty} \ times {\ sqrt {\ left | {\ frac {x_ { 1}} {\ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty}}} \ right | ^ {2} + \ ldots + \ left | {\ frac {x_ {n}} {\ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty}}} \ right | ^ {2}}}}|xja‖x→‖∞|{\ Displaystyle \ lewo | {\ Frac {x_ {i}} {\ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty}}} \ prawo |}[0,1]{\ displaystyle [0,1]}[1,nie]{\ displaystyle [1, n]}

W nieskończonym wymiarze

• W przestrzeni funkcji ciągłych zdefiniowanej na odcinku ℝ i zawierającej wartości rzeczywiste lub zespolone, znajdujemy dla p większe lub równe 1 normy p zdefiniowane w sposób podobny do tych dla skończonych wymiarowych przestrzeni wektorowych:VS0([w,b]){\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {0} ([a, b])}[w,b]{\ displaystyle [a, b]}‖fa‖p=(∫wb|fa(t)|pret)1/p{\ Displaystyle {\ | f \ |} _ {p} = \ lewo (\ int _ {a} ^ {b} | f (t) | ^ {p} \ mathrm {d} t \ prawej) ^ {1 / p}}które w szczególności pozwalają zdefiniować przestrzenie L p .
  W szczególności norma euklidesowa związana z iloczynem skalarnym lub kanonicznym hermitowskim jest określona przez‖fa‖2=∫wb|fa(t)|2 ret.{\ Displaystyle {\ | f \ |} _ {2} = {\ sqrt {\ int _ {a} ^ {b} | f (t) | ^ {2} ~ \ mathrm {d} t}}.}„Nieskończony” norma lub sup normą lub nawet normę zbieżności jest napisane‖fa‖∞=łykt∈[w,b]|fa(t)|{\ Displaystyle {\ | f \ |} _ {\ infty} = \ sup _ {t \ w [a, b]} | f (t) |}i jest tam również uzyskiwany jako granica norm p, gdy p dąży do nieskończoności.
  Wszystkie te standardy nie są równoważne dwa na dwa.
  Co więcej, można je łatwo rozszerzyć na przestrzenie funkcji ciągłych na zwartym zbiorze n , a nawet na funkcje ciągłe ze zwartym podparciem .
• Na przestrzeni funkcji różniczkowalnych z pochodną ciągłą można zastosować jeden z powyższych standardów lub też uwzględnić pochodną za pomocą wzorca jak następuje:VS1([w,b]){\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1} ([a, b])}‖fa‖=∫wb(|fa(t)|+|fa′(t)|) ret{\ Displaystyle \ | f \ | = \ int _ {a} ^ {b} (| f (t) | + | f '(t) |) ~ \ operatorname {d} t}w celu uznania aplikacji wywodzącej się z in za ciągłą.VS1([w,b]){\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1} ([a, b])}VS0([w,b]){\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {0} ([a, b])}
• Na £ -l przestrzeni ∞ o ograniczonych sekwencji , naturalna norma jest sup normą  :‖(unie)nie∈NIE‖∞=łyknie∈NIE|unie|.{\ Displaystyle {\ | (u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}} \ |} _ {\ infty} = \ sup _ {n \ in \ mathbb {N}} | u_ {n} |.}

Norma algebry

Definicja

Norma w algebrzeNIE{\ displaystyle {\ mathcal {N}}} W{\ displaystyle A}

nazywa się normą algebry czy istnieje realna stała takie, że VS{\ displaystyle C}∀(x,y)∈W2NIE(x×y)≤VSNIE(x)NIE(y){\ Displaystyle \ forall (x, r) \ w A ^ {2} \ quad {\ mathcal {N}} (x \ razy y) \ równoważnik C \, {\ mathcal {N}} (x) {\ mathcal {N}} (y)} [ref. niezbędny]

innymi słowy takie, że norma jest sub-multiplikatywna ( ). NIE′: =VSNIE{\ Displaystyle {\ mathcal {N}} ': = C {\ mathcal {N}}}NIE′(x×y)≤NIE′(x)NIE′(y){\ Displaystyle {\ mathcal {N}} '(x \ razy y) \ równoważnik {\ mathcal {N}}' (x) {\ mathcal {N}} '(y)}

W przypadku algebry rzeczywistej lub złożonej warunek jest równoważny ciągłości iloczynu w postaci mapy dwuliniowej.

Jeśli algebra jest unitarna, możemy żądać, aby norma również spełniała:

NIE(1W)=1{\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (1_ {A}) = 1},

w takim przypadku mnożenie przez stałą nie może już służyć do „renormalizacji” normy.

Przykłady

• Zastosowanie modułu jest norma Algebra na ℂ uważane za ℝ-Algebra.
• Norma operatora jest normą algebry.L(mi){\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (E)}
• „Nieskończona” norma na ℂ n wywołuje normę operatora, na której jest napisane:Mnie(VS){\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {n} (\ mathbb {C})}

∀(wja,jot)∈Mnie(VS), ‖(wjajot)‖=maxja∑jot|wjajot|.{\ Displaystyle \ forall (a_ {i, j}) \ w {\ mathcal {M}} _ {n} (\ mathbb {C}), \ \ | (a_ {ij}) \ | = \ max _ { i} \ sum _ {j} | a_ {ij} |.}

Uwagi i odniesienia

Uwagi

1. Xavier Gourdon, Analiza ,2020( ISBN  978-2-340-03856-1 , OCLC  1160201780 ).
2. Standard 1 jest również nazywany w języku angielskim normą Manhattan .
3. Słowo „nieskończony” jest nazwą standardu, a nie kwalifikującym przymiotnikiem. Dlatego nie zgadza się ze słowem „standard”.
4. Na przykład  : Topologia przestrzeni wektorowych o skończonym wymiarze , University Paris Diderot,‖x→‖∞≤‖x→‖2≤‖x→‖1≤nie‖x→‖∞{\ displaystyle \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty} \ leq \ | {\ vec {x}} \ | _ {2} \ równoważnik \ | {\ vec {x}} \ | _ {1} \ leq n \ | {\ vec {x}} \ | _ {\ infty}}2005, 17  s. ( czytaj online ) , s.  2.

Bibliografia

• Haïm Brezis , Analiza funkcjonalna: teoria i zastosowania [ szczegóły wydań ]Wprowadzenie do analizy funkcjonalnej, dotyczy głównie dwóch przykładów przestrzeni Banacha i Hilberta .
• Serge Lang , Real Analysis , InterEditions, 1977 ( ISBN  978-2-72960059-4 )Rozdział II dotyczy ogólnie topologicznych przestrzeni wektorowych, aw szczególności tematu artykułu.

Zobacz też

Powiązany artykuł

• Metryczne własności linii i płaszczyzn

Linki zewnętrzne

• „  Przestrzenie metryczne i standardowe  ” , na les-mathematiques.net
• Znormalizowana przestrzeń wektorowa, przestrzeń pre-Hilberta B. Silvi, laboratorium Theoretical Chemistry of the University Pierre and Marie Curie
• Standard itp. na stronie bibmath.net