Geometria rzutowa

W matematyce , geometria rzutowa jest pole geometrii , że modele intuicyjny pojęcia perspektywy i horyzontu . Bada niezmienione właściwości figur w projekcji centralnej .

Uwarunkowania historyczne

Matematyk i architekt Girard Desargues zakłada geometrię rzutową w swoim szkicowym projekcie ataku na wydarzenia związane ze spotkaniami stożka z planem opublikowanym w 1639 r., Gdzie wykorzystuje go do ujednoliconej teorii stożków . Ale my już rzutowe koncepcje w pracach Pappus z Aleksandrii ( IV th  wieku ), który wprowadził współczynnik krzyżowej i odnosi się do Apoloniusz z Perge . Prace Desargues miał niewielki sukces w swoim czasie i została zapomniana aż odnaleziony przez wydawcę i bibliofil Poudra połowie XIX th  wieku . Jego współcześni nie rozumieli głębi jego pracy, z wyjątkiem młodego Blaise'a Pascala , który je kontynuował, aw szczególności wykazał twierdzenie bliskie temu, które nazywa się dziś twierdzeniem Pascala .

Poncelet reinvents geometrii rzutowej na początku XIX th  wieku , z pewnością pod wpływem geometrii wykreślnej prowadzone przez profesora Politechniki , Gaspard Monge . W 1822 roku opublikował Traktat o właściwościach geometrycznych figur . Niezależnie, inny uczeń Monge, Joseph Gergonne również odkrył w tym samym czasie niektóre zasady geometrii rzutowej. Poncelet i Gergonne w różny sposób podkreślają zasadę dwoistości charakterystyczną dla geometrii rzutowej, w której na przykład dwie różne linie płaszczyzny są zawsze sieczne.

August Ferdinand Möbius w 1827 r. Wprowadził jednorodne współrzędne, które pozwalają na zastosowanie metod geometrii analitycznej do geometrii rzutowej, której poświęca się również Julius Plücker . Jednocześnie Jakob Steiner rozwija podejście do geometrii syntetycznej .

Ale to był Felix Klein , który w końcu XIX th  wieku, wyjaśnia związek między geometrii rzutowej i geometrii euklidesowej . Pod wpływem jego programu Erlangen dokonuje się zasadnicza ewolucja pojęciowa; podczas gdy do tej pory, geometria była nauką o liczbach, staje się studium przekształceń figur: the geometrzy przełomu wieków teraz skupić się na kompozycji z przemian , w strukturze niektórych grup przekształceń, że niezmienniki z takich lub taka rodzina transformacji, minimalne aksjomaty pozwalające na te własności transformacji.

Obecnie niektóre podstawowe pojęcia geometrii rzutowej są używane w wizji komputerowej i systemach renderowania grafiki, takich jak OpenGL .

Podstawowy przegląd

W podejściu wynikającym z programu Erlangen geometrię rzutową odróżnia się od zwykłej geometrii euklidesowej tym, że interesuje się jedynie badaniem tego, co na figurach pozostaje niezmienione po rzucie, podczas gdy geometria euklidesowa jest badaniem tego, co pozostaje niezmienne po przemieszczeniu (jedno może również postrzegać to jako naukę o figurach rysowanych linijką i kompasem); z tego punktu widzenia geometria rzutowa ma mniej aksjomatów niż geometria euklidesowa i dlatego jest bardziej ogólna.

Geometria rzutowa ignoruje równoległe linie prostopadłe linie , izometrie , koła , prawy trójkąty , równoramienny , równoboczny , etc. ; można też powiedzieć np., że dla niej okręgi, elipsy i hiperbola stanowią jedną figurę.

Możliwe jest, używając pewnych konwencji językowych (na przykład wywołując dwie równoległe linie, które przecinają się na wybranej linii płaszczyzny), aby znaleźć wyniki geometrii afinicznej z geometrii rzutowej (patrz poniżej ) i wprowadzając liczby zespolone , aby również znaleźć te z geometrii euklidesowej.

Aksjomaty geometrii rzutowej

Kilka systemów aksjomatów zostało sformułowanych na podstawie geometrii rzutowej, w szczególności przez Enriquesa , Coxetera i Rossiera, które wykazują tylko niewielkie różnice. Podstawowymi elementami są punkty. Linie i płaszczyzny to pewne zbiory punktów. Między punktami należącymi do tej samej prostej lub między płaszczyznami przechodzącymi przez tę samą prostą lub między prostymi należącymi do tej samej płaszczyzny i przechodzącymi przez ten sam punkt istnieje relacja trójskładnikowa, nazywana porządkiem cyklicznym .

Aksjomaty występowania

Aksjomat I1 : Istnieje co najmniej jedna prosta i jeden punkt nie należący do tej prostej.

Aksjomat I2 : Do każdej prostej należą co najmniej trzy punkty.

Aksjomat I3 : Biorąc pod uwagę dwa różne punkty, istnieje prosta i tylko jeden, do którego należą te dwa punkty.

Aksjomat I4 : Jeśli ABC i D są czterema różnymi punktami, takimi, że linie AB i CD zawierają punkt wspólny, to linie AC i BD zawierają punkt wspólny.

Definicja : mając trzy punkty AB i C, nazywamy płaszczyzną ABC, zbiór punktów należących do prostej zawierającej punkt C i zawierającej punkt wspólny z prostą AB.

Aksjomat I5 : Dla każdej płaszczyzny ABC istnieje co najmniej jeden punkt nienależący do płaszczyzny ABC.

Aksjomat I6 : Dowolne dwie odrębne płaszczyzny zawierają co najmniej dwa różne punkty wspólne.

Porządkuj aksjomaty

Definicja : Grupujemy pod nazwą postaci pierwszego rodzaju : - zbiór wszystkich punktów należących do tej samej prostej, zbiór nazywany linią punktową , - zbiór wszystkich płaszczyzn zawierających tę samą prostą, zbiór nazywany wiązka płaszczyzn - zbiór wszystkich liniach należących do tej samej płaszczyźnie i przechodzących przez ten sam punkt tej płaszczyzny, zestaw nazywa się wiązkę przewodów .

Aksjomat O1 : W każdej postaci pierwszego rodzaju istnieją dwie odwrotne relacje trójskładnikowe , takie, że niezależnie od elementów AB i C, trójka (A, B, C) spełnia jedną i tylko jedną z tych dwóch relacji, zwaną porządkiem ABC.

Aksjomat O2 : niezależnie od trzech elementów A, B i C postaci, porządek ABC jest relacją rzędu cyklicznego , to znaczy weryfikacją następujących warunków:

R(W,b,VS)=>R(VS,W,b){\ Displaystyle R (A, B, C) => R (C, A, B)}

R(W,b,VS)=>nieonieR(W,VS,b){\ Displaystyle R (A, B, C) => nieR (A, C, B)}

R(W,b,VS)mitR(W,VS,re)=>R(b,VS,re){\ Displaystyle R (A, B, C) and R (A, C, D) => R (B, C, D)}

Aksjomat O3 : Niezależnie od elementów A i B formy pierwszego rodzaju, istnieje co najmniej jeden element C formy, taki jak R (A, C, B).

Definicje :

O parach elementów AB i CD w postaci pierwszego rodzaju mówi się, że są oddzielnymi parami, jeśli rzędy ABC i ADB są takie same.

Odcinek wiązki linii z wierzchołkiem O przez linię nazywamy korespondencją, która wiąże z dowolną linią belki jej przecięcie z linią. Odwrotna zgodność między linią punktową a belką nazywana jest rzutem linii punktowej z punktu O.

Przekrój belki płaszczyzn krawędzi D linią prostą nazywamy korespondencją, która wiąże z dowolną płaszczyzną belki jej przecięcie z linią prostą. Odwrotna zgodność między linią punktową a belką nazywana jest rzutem linii punktowej z linii D.

Mając trzy elementy AB i C, nazywamy odcinek AB poza C zbiorem elementów M tak, że pary AB i CM są rozdzielone.

Aksjomat O4 : Projekcja i przekrój zachowują oddzielne pary.

Aksjomat ciągłości

Definicja: Mówimy, że element M odcinka AB poprzedza element N tego odcinka lub że N następuje po M, jeśli pary AN i MB są rozdzielone.

Aksjomat C1 : Jeśli elementy odcinka AB są podzielone na dwie klasy, takie jak:

- jakikolwiek element odcinka AB należy do jednej lub drugiej z dwóch klas;

- element A należy do pierwszej klasy, a B należy do drugiej;

- jakikolwiek element pierwszej klasy poprzedza jakikolwiek element drugiej klasy;

wtedy istnieje element C odcinka AB (należący do pierwszej lub drugiej klasy), tak że każdy element poprzedzający C należy do pierwszej klasy, a każdy element następujący po C należy do drugiej klasy.

Algebraiczny model geometrii rzutowej

Powierzchnia projekcyjna jest zdefiniowana w Algebra jako zestaw linii wektora o miejsca wektora  ; można sobie wyobrazić oko obserwatora umieszczone na początku przestrzeni wektorowej, a każdy element przestrzeni rzutowej odpowiada kierunkowi jego spojrzenia.

Przestrzeń rzutowa różni się od przestrzeni wektorowej swoją jednorodnością  : nie można w niej wyodrębnić żadnego konkretnego punktu, takiego jak początek przestrzeni wektorowej. W ten sposób zbliża się do przestrzeni afinicznej .

Definicja wektorowa

Niech będzie przestrzenią K-wektorową (K jest polem w ogóle lub ), do której nie jest zredukowana . Definiujemy na podstawie następującej relacji równoważności : mi{\ Displaystyle E \, \!}R{\ displaystyle \ mathbb {R} \, \!}VS{\ displaystyle \ mathbb {C} \, \!}{0}{\ displaystyle \ {0 \}}mi-{0}{\ Displaystyle E - \ {0 \} \, \!}

x∼y⇔∃λ∈K.∗,x=λy{\ Displaystyle x \ sim y \ Leftrightarrow \ exist \ lambda \ in K ^ {*}, x = \ lambda y \, \!}.

Tzw przestrzeni rzutowej na tym zestawie iloraz z relacją równoważności  : . mi{\ Displaystyle E \, \!}mi-{0}{\ Displaystyle E - \ {0 \} \, \!}∼{\ displaystyle \ sim \ \!}P.(mi)=(mi-{0})/∼{\ Displaystyle P (e) = (e - \ {0 \}) / \ sim \ \!}

Dla każdego elementu , aby zauważyć jej równoważność klasy: . Mamy zatem: wtedy i tylko wtedy, gdy i są współliniowe . x≠0{\ Displaystyle x \ neq 0 \, \!}mi{\ Displaystyle E \, \!}π(x)∈P.(mi){\ Displaystyle \ pi (x) \ w P (E) \ \!}π(x)={λx,λ∈K.∗}{\ Displaystyle \ pi (x) = \ {\ lambda x, \ lambda \ in K ^ {*} \} \, \!}π(x)=π(y){\ Displaystyle \ pi (x) = \ pi (y) \ \!}x{\ Displaystyle x \, \!}y{\ Displaystyle y \, \!}

Aplikacja nazywa się projekcją kanoniczną . π:mi-{0}→P.(mi){\ Displaystyle \ pi: E - \ {0 \} \ rightarrow P (E) \ \!}

Mówiąc prościej, przestrzeń rzutowa to zbiór linii wektorowych  ; elementem przestrzeni rzutowej jest linia wektora, której wektor kierujący jest . P.(mi){\ Displaystyle P (E) \ \!}mi{\ Displaystyle E \, \!}π(x){\ Displaystyle \ pi (x) \ \!}mi{\ Displaystyle E \, \!}x{\ Displaystyle x \, \!}

Jeśli jest skończonym wymiarze to mówimy, że jest skończonym wymiarze i oznaczamy ten wymiar w przestrzeni rzutowej. W szczególności : mi{\ Displaystyle E \, \!}nie{\ Displaystyle n \, \!}P.(mi){\ Displaystyle P (E) \ \!}nie-1=rejamP.(mi){\ displaystyle n-1 = dim \, P (E) \, \!}

• Jeśli n = 1, to jest singletonem (wymiar zerowy);P.(mi){\ Displaystyle P (E) \ \!}
• Jeśli n = 2, to jest płaszczyzną wektorową i nazywa się linią rzutową .mi{\ Displaystyle E \, \!}P.(mi){\ Displaystyle P (E) \ \!}
• Jeśli n = 3, to nazywamy płaszczyzną rzutową  ; jest to najpowszechniejsza struktura do tworzenia geometrii.P.(mi){\ Displaystyle P (E) \ \!}

Jeśli przestrzeń jest przestrzenią wektorową „typowego” wymiaru , to znaczy, że mamy określoną notację dla przestrzeni rzutowej: zamiast . mi{\ Displaystyle E \, \!}nie{\ Displaystyle n \, \!}K.nie{\ Displaystyle K ^ {n} \, \!}P.nie-1(K.){\ Displaystyle P ^ {n-1} (K) \, \!}P.(K.nie){\ Displaystyle P (K ^ {n}) \, \!}

Definicja afiniczna

Formalny aspekt definicji wektorowej nie powinien zapominać, że pojęcie przestrzeni rzutowej zrodziło się z rzutu centralnego i jest przede wszystkim pojęciem geometrycznym. Aby wziąć przykład z przestrzeni rzutowej , możemy zaobserwować odwrotny rysunek gdzie punkty , a należą do płaszczyzny afinicznej (nie przechodzącej przez początek układu współrzędnych). Musimy sobie wyobrazić umieszczonego obserwatora . To obserwator widzi wszystkie punkty linii w ci z linii w i tych linii w . Linie płaszczyzny nie są postrzegane jako punkty . Istnieje zatem bijekcja między liniami wektorów, które nie są równoległe do i punktami płaszczyzny . R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}m{\ displaystyle m}nie{\ displaystyle n}r{\ displaystyle r}(P.′){\ displaystyle (P ')}O{\ displaystyle O}(OM){\ displaystyle (OM)}m{\ displaystyle m}(OR){\ Displaystyle (LUB)}r{\ displaystyle r}(ONIE){\ displaystyle (ON)}nie{\ displaystyle n}(re){\ displaystyle (d)}(P.){\ displaystyle (P)}(P.′){\ displaystyle (P ')}R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}(P.){\ displaystyle (P)}(P.′){\ displaystyle (P ')}

Przestrzeń rzutowa jest więc w bijekcji z afinicznym samolot nie przechodzącej przez początek układu współrzędnych, do którego dodamy zestaw linii wektora w kierunku z . Możemy zatem zobaczyć płaszczyznę rzutową utworzoną przez płaszczyznę afiniczną, do której dodajemy linię rzutowania mającą dla elementów wszystkie linie wektorowe (lub kierunki) , zwane w tym kontekście prosto do nieskończoności . Każdy punkt prostej w nieskończoności nazywany jest wtedy punktem w nieskończoności lub niewłaściwym punktem (punkty będące punktami właściwymi). Pojęcie to pozwala na przykład mówić w płaszczyźnie o przecięciu dowolnych dwóch prostych: linie przecinają się we właściwym punkcie lub w niewłaściwym punkcie, jeśli proste są równoległe. W płaszczyźnie rzutowej każda prosta może zostać wybrana jako prosta w nieskończoności, co wywołuje afiniczną strukturę płaszczyzny dopełnienia. I odwrotnie, każda afiniczna płaszczyzna może być osadzona jako niewektorowa płaszczyzna afiniczna w przestrzeni wektorowej o wymiarze 3, a zatem zakończona na płaszczyźnie rzutowej. R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}(P.′){\ displaystyle (P ')}(P.){\ displaystyle (P)}(P.′){\ displaystyle (P ')} P.′~{\ displaystyle {\ tilde {P '}}}(P.′){\ displaystyle (P ')}(P.){\ displaystyle (P)}(P.′){\ displaystyle (P ')}(P.′){\ displaystyle (P ')}

Pojęcie to jest uogólnione na każdą rzutującą przestrzeń wymiaru  : jest to afiniczna przestrzeń wymiaru, do której dodajemy wszystkie kierunki . P.~{\ displaystyle {\ tilde {P}}}nie{\ displaystyle n}(P.){\ displaystyle (P)}nie{\ displaystyle n}(P.){\ displaystyle (P)}

W szczególności, jeśli = , powiązana linia rzutowa jest zbiorem, w którym znajduje się punkt na zewnątrz , rozszerzając operacje algebraiczne w następujący sposób: (P.){\ displaystyle (P)}K.{\ displaystyle K}K.~=K.∪{∞}{\ Displaystyle {\ tilde {K}} = K \ kubek \ {\ infty \} \ \!}∞{\ displaystyle \ infty}K.{\ Displaystyle K \, \!}

• dla wszystkich z ,x{\ displaystyle x}K.{\ displaystyle K}x/∞=0{\ Displaystyle x / \ infty = 0}
• dla wszystkich z ,x{\ displaystyle x}K.∗{\ displaystyle K ^ {*}}x/0=∞{\ Displaystyle x / 0 = \ infty}

Ta podwójna relacja, z jednej strony z ilorazową przestrzenią wektorową, z drugiej zaś z zakończoną przestrzenią afiniczną, wzbogaca badanie geometrii rzutowej. Podobnie, ten podwójny aspekt będzie ważny, jeśli chodzi o podawanie współrzędnych punktom przestrzeni rzutowej.

Plamienie

Jednorodne współrzędne

W przestrzeni rzutowej wymiaru n , a zatem wiąże się z miejscem wektora wymiaru n + 1 , przy czym każdy punkt m o wiąże się z rodziną wektorów E, są współliniowe. Jeśli E ma podstawę kanoniczną, nazywamy jednorodnymi współrzędnymi punktu m , współrzędnymi dowolnego wektora x takiego, który . Dlatego punkt ma rodzinę współrzędnych, które są do siebie proporcjonalne. Oznacza to, że jeśli jest to system współrzędnych jednorodnych z m , to jest takie samo dla każdego elementu k niezerową K . P.(mi){\ displaystyle P (E)}π(x)=m{\ Displaystyle \ pi (x) = m}(x1,x2,...,xnie+1){\ Displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, ..., x_ {n + 1})}(kx1,kx2,...,kxnie+1){\ Displaystyle (kx_ {1}, kx_ {2}, ..., kx_ {n + 1}) \,}

Spośród wszystkich tych współrzędnych często zdarza się, że faworyzuje się jedną, aby znaleźć przestrzeń afiniczną o wymiarze n . Spośród wszystkich przedstawicieli m preferujemy na przykład tego, którego ostatnia współrzędna jest równa 1 . To sprowadza się do stwierdzenia, że ​​rzutowaliśmy przestrzeń na hiperpłaszczyznę równania . Jeśli jest to układ współrzędnych m , preferujemy układ współrzędnych . Jest to oczywiście ważne tylko wtedy, gdy m jest właściwym punktem . xnie+1=1{\ Displaystyle x_ {n + 1} = 1 \,}(x1,x2,...,xnie+1){\ Displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, ..., x_ {n + 1})}(x1xnie+1,x2xnie+1,...,xniexnie+1,1){\ Displaystyle ({x_ {1} \ ponad x_ {n + 1}}, {x_ {2} \ ponad x_ {n + 1}}, ..., {x_ {n} \ ponad x_ {n + 1 }}, 1)}P.(mi){\ displaystyle P (E)}

Niewłaściwe punkty są reprezentowane przez jednorodne układy współrzędnych, których ostatnia współrzędna wynosi zero.

Następnie zauważamy zgodność między

• punkty właściwe i punkty przestrzeni afinicznej wymiaru n  ;P.(mi){\ displaystyle P (E)}
• niewłaściwe punkty i kierunki przestrzeni wektorowej o wymiarze n  ;P.(mi){\ displaystyle P (E)}

Dowolne wybranie współrzędnej równej 1 w jednorodnych współrzędnych umożliwia definiowanie różnych map .

Odniesienie do przestrzeni rzutowej

Przestrzeń wektorowa o wymiarze n jest identyfikowana na podstawie n niezależnych wektorów. Afiniczna przestrzeń wymiaru n jest identyfikowana za pomocą n + 1 niepowiązanych punktów. Przestrzeń rzutową wymiaru n określa się za pomocą n + 2 punktów. Moglibyśmy pomyśleć, że n + 1 punktów wystarczyłoby, przyjmując na przykład gdzie tworzy podstawę przestrzeni wektorowej o wymiarze n + 1 związanej z przestrzenią rzutową. Współrzędne punktu w tej ramce odniesienia byłyby wtedy, gdzie są współrzędne takiego, ale byłoby konieczne, aby te współrzędne były niezależne od przedstawiciela wybranego dla wektorów podstawy: na przykład ma innego przedstawiciela, którym jest . A w bazie nie ma tego samego układu współrzędnych . (π(mi1),π(mi2),...,π(minie+1)){\ Displaystyle (\ pi (e_ {1}), \ pi (e_ {2}), ..., \ pi (e_ {n + 1})) \,}(mija)ja∈{1;nie+1}{\ Displaystyle (e_ {i}) _ {i \ in \ {1; n + 1 \}}}m{\ Displaystyle m \,}(x1,...,xnie+1){\ displaystyle (x_ {1}, ..., x_ {n + 1}) \,}(x1,...,xnie+1){\ displaystyle (x_ {1}, ..., x_ {n + 1}) \,}x{\ displaystyle x \,}π(x)=m{\ Displaystyle \ pi (x) = m \,}π(mi1){\ displaystyle \ pi (e_ {1}) \,}2mi1{\ displaystyle 2e_ {1} \,}(2mi1,mi2,...,minie+1){\ Displaystyle (2e_ {1}, e_ {2}, ..., e_ {n + 1}) \,} x{\ displaystyle x \,}(x1/2,x2,...,xnie+1){\ Displaystyle (x_ {1} / 2, x_ {2}, ..., x_ {n + 1}) \,}

Dlatego konieczne jest zapobieżenie tej niejednoznaczności i ograniczenie wyboru innych przedstawicieli wektorów bazowych do wektorów współliniowych z poprzednimi, ale o tym samym współczynniku kolinearności. W tym celu wystarczy zdefiniować n + 2-gi punkt odpowiadający . Jeśli więc wybierzemy innych przedstawicieli o różnych współczynnikach kolinearności, wektor nie będzie już reprezentantem . π(mi1+mi2+⋯+minie+1){\ Displaystyle \ pi (e_ {1} + e_ {2} + \ cdots + e_ {n + 1}) \,}π(mi1)...π(minie+1){\ Displaystyle \ pi (e_ {1}) ... \ pi (e_ {n + 1}) \,}k1mi1+⋯+knie+1minie+1{\ Displaystyle k_ {1} e_ {1} + \ cdots + k_ {n + 1} e_ {n + 1} \,}π(mi1+mi2+⋯+minie+1){\ Displaystyle \ pi (e_ {1} + e_ {2} + \ cdots + e_ {n + 1}) \,}

Podprzestrzeń rzutowa

Ponieważ istnieją podprzestrzenie wektorowe przestrzeni wektorowej, a także podprzestrzenie afiniczne przestrzeni afinicznej, istnieją również podprzestrzenie rzutowe przestrzeni rzutowej. Składają się z rzutów podprzestrzeni wektorów skojarzonej przestrzeni wektorowej. Będziemy zatem mówić o linii rzutowej na płaszczyźnie rzutowej, płaszczyźnie rzutowej w przestrzeni rzutowej. Reguła wymiarów i istnienie punktów w nieskończoności pozwalają uprościć reguły zderzeń.

Bir relacja na linii projekcyjnej

Jeśli , , i cztery odrębne punkty rzutowej linii D istnieje unikalny izomorfizm kwasu D jako w{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}vs{\ displaystyle c}re{\ displaystyle d}faw,b,vs{\ displaystyle f_ {a, b, c}}K.~{\ displaystyle {\ tilde {K}}}

• faw,b,vs(w)=∞{\ displaystyle f_ {a, b, c} (a) = \ infty}
• faw,b,vs(b)=0{\ Displaystyle f_ {a, b, c} (b) = 0}
• faw,b,vs(vs)=1{\ displaystyle f_ {a, b, c} (c) = 1}

Zwany przekrój stosunek , , ,w{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}vs{\ displaystyle c}re{\ displaystyle d} , znany wartość . [w:b:vs:re]{\ displaystyle [a: b: c: d]}faw,b,vs(re){\ displaystyle f_ {a, b, c} (d)}

Jeśli , , i są cztery punkty oddzielić własne D obejmują klasyczną definicję dwustosunku lub stosunku anharmonic: . w{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}vs{\ displaystyle c}re{\ displaystyle d}vsw¯/vsb¯rew¯/reb¯{\ displaystyle {\ frac {{\ overline {ca}} \, / \, {\ overline {cb}}} {{\ overline {da}} \, / \, {\ overline {db}}}}}

Demonstracja

Homografię można napisać z definicji faw,b,vs{\ displaystyle f_ {a, b, c}}faw,b,vs(z)=αz+βγz+δ{\ Displaystyle f_ {a, b, c} (z) = {\ Frac {\ alfa z + \ beta} {\ gamma z + \ delta}}}

• γw+δ=0{\ Displaystyle \ gamma a + \ delta = 0}(wejście biegunowe )w{\ displaystyle a \;}
• αb+β=0{\ Displaystyle \ alfa b + \ beta = 0}
• αvs+β=γvs+δ{\ Displaystyle \ alfa c + \ beta = \ gamma c + \ delta}

bądź spokojny

• δ=-wγ{\ Displaystyle \ delta = -a \ gamma}
• β=-bα{\ displaystyle \ beta = -b \ alpha}
• α=vs-wvs-bγ{\ Displaystyle \ alpha = {\ Frac {ca} {CB}} \ gamma}

Biorąc , otrzymujemy wyrażenie:, które daje pożądany wniosek. γ=1{\ displaystyle \ gamma = 1}faw,b,vs(z)=vs-wvs-bz-bz-w{\ displaystyle f_ {a, b, c} (z) = {\ frac {ca} {cb}} {\ frac {zb} {za}}}

Ta definicja współczynnika krzyżowania ułatwia udowodnienie następującego wyniku: homografie zachowują stosunek krzyżowania . Dokładniej :

Rzutowa niezmienniczość współczynnika krzyża  -  a, b, c i d to cztery punkty linii rzutowej D (różne a, b, c) oraz e, f, g i h cztery punkty na prostej D '(e, f , g wyraźny), to istnieje homografia wysyłająca pierwszy kwadruplet do drugiego wtedy i tylko wtedy, gdy stosunki krzyżowe [a: b: c: d] i [e: f: g: h] są równe.

Transformacja projekcyjna lub homografia

Transformacje rzutowe lub homografie to transformacje badane w geometrii rzutowej. Uzyskuje się je jako złożone ze skończonej liczby rzutów centralnych. Opisują, co dzieje się z obserwowanymi położeniami różnych obiektów, gdy oko obserwatora zmienia miejsce. Transformacje rzutowe nie zawsze zachowują odległości lub kąty, ale zachowują właściwości padania i współczynnika krzyżowania - dwie ważne właściwości geometrii rzutowej. Odnajdujemy transformacje rzutowe na liniach, w płaszczyznach iw przestrzeni.

Podstawowa właściwość  : w skończonym wymiarze transformacja rzutowa jest całkowicie zdeterminowana przez obraz układu odniesienia w przestrzeni rzutowej.

Analityczna definicja homografii

Niech będą dwiema przestrzeniami rzutowymi i związanymi odpowiednio z przestrzeniami wektorowymi i . Oznaczmy przez i z kanonicznych występy z (wzgl. ), Na (wzgl. ). P.1{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {1}}P.2{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {2}}mi1{\ displaystyle E_ {1}}mi2{\ Displaystyle E_ {2}}π1{\ displaystyle \ pi _ {1}}π2{\ displaystyle \ pi _ {2}}mi1{\ displaystyle E_ {1}}mi2{\ Displaystyle E_ {2}}P.1{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {1}}P.2{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {2}}

Możemy wykonać „przejście” do ilorazu z liniowych map injective z w . Taki liniowy mapie jest podana, możemy zdefiniować mapę z na przekształcenie punktu do , oznaczający przedstawiciela . Oczywiście, aby ta definicja była spójna, musimy sprawdzić, czy nie zależy ona od wybranego przedstawiciela, co jest natychmiastowe, biorąc pod uwagę liniowość i definicję . mi1{\ displaystyle E_ {1}}mi2{\ Displaystyle E_ {2}}φ{\ displaystyle \ varphi}godz{\ displaystyle h}P.1{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {1}}P.2{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {2}}M{\ displaystyle M}godz(M)=π2∘φ(m){\ Displaystyle h (M) = \ pi _ {2} \ circ \ varphi (m)}m{\ displaystyle m}M{\ displaystyle M}φ{\ displaystyle \ varphi}π2{\ displaystyle \ pi _ {2}}

Aplikacja jest homografią związaną z . Jest więc zwięzły określone równaniem: .godz{\ displaystyle h}φ{\ displaystyle \ varphi}π2∘φ=godz∘π1{\ Displaystyle \ pi _ {2} \ circ \ varphi = h \ circ \ pi _ {1}}

Możemy również mówić bardziej ogólnie o zastosowaniu rzutowym, nie wymagając iniekcyjności początkowego zastosowania liniowego ; tego samego procesu przekazywania ilorazowi zapewni stosowania określony tylko w części  :, i z wartościami . Nie będziemy wtedy mówić o homografii. φ{\ displaystyle \ varphi}P.1{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {1}}P.1-π1-1(ker⁡(φ)){\ Displaystyle {\ mathcal {P}} _ {1} - \ pi _ {1} ^ {- 1} (\ ker (\ varphi))}P.2{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {2}}

Istnieje nieskończenie wiele map liniowych związanych z homography ale te liniowe mapy tworzą linię wektor z ponieważ pociąga za sobą . L(mi1,mi2){\ displaystyle {\ mathcal {l}} (E_ {1}, E_ {2})}godz1=godz2{\ displaystyle h_ {1} = h_ {2}}π2∘φ1=π2∘φ2{\ Displaystyle \ pi _ {2} \ circ \ varphi _ {1} = \ pi _ {2} \ circ \ varphi _ {2}}

W skończonych wymiarach p, n, jeśli mamy jednorodny układ współrzędnych, homografię można zdefiniować przez klasę niezerowych macierzy o formacie (n + 1) * (p + 1) wszystkie wielokrotności jednego d 'one. Będąc jedną z tych macierzy, a X macierzą kolumnową o jednorodnych współrzędnych , AX będzie macierzą kolumnową o jednorodnych współrzędnych (wszystko to jest zatem zdefiniowane z pewnym współczynnikiem). M{\ displaystyle M}godz(M){\ Displaystyle h (M)}

Przykład i dyskusja (geometria płaszczyzny). Bierzemy za i przestrzeń . jest płaszczyzną rzutową . Rozważmy homografię zdefiniowaną przez macierz A 3 * 3, która, jak przypuszczamy, jest diagonalizowalna . Możemy zatem obliczyć jednorodne współrzędne przekształceń dowolnego punktu.mi1{\ displaystyle E_ {1}}mi2{\ Displaystyle E_ {2}}R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}P.1=P.2{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {1} = {\ mathcal {P}} _ {2}}P.{\ displaystyle {\ mathcal {P}}}godz{\ displaystyle h} Te 3 kierunki własne są niezależne i definiują 3 niezmiennegodz{\ displaystyle h} punkty przez de . Te 3 punkty mają odpowiednio podobne macierz-kolumny o jednorodnych współrzędnych (wektory własne macierzy, z niezerowym współczynnikiem bliskim).P.{\ displaystyle {\ mathcal {P}}}X1,X2,X3{\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}} I odwrotnie, czy znajomość tych 3 niezmiennych punktów determinuje homografię, to znaczy A , aż do czynnika? W tym celu konieczne byłoby obliczenie wartości własnych A (z niemal zawsze współczynnikiem proporcjonalności). Jednak oczywiście nie mamy na to środków, znając tylko właściwe kierunki. Z drugiej strony, jeśli podamy np. Przekształcony punkt o jednorodnych współrzędnych na punkt o jednorodnych współrzędnych , to przez wyznaczenie przez wartości własne A: dowolne niezerowe, co pozwala obliczyć rozwiązując układ wartości własne, z wyjątkiem współczynnika proporcjonalności.X1+X2+X3{\ displaystyle X_ {1} + X_ {2} + X_ {3}}Y{\ displaystyle Y}λ1,λ2,λ3{\ Displaystyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ lambda _ {3}}λ1X1+λ2X2+λ3X3=kY,k{\ Displaystyle \ lambda _ {1} X_ {1} + \ lambda _ {2} X_ {2} + \ lambda _ {3} X_ {3} = kY, k} 4 punktów (3 punkty niezmiennicze plus 4 p zdefiniowano powyżej) określa rzutowe ramki odniesienia (patrz powyżej) i wiedza na temat transformacji tego rzutowej ramki odniesienia całkowicie określa homography. Przykład homografii Te przemiany według wzajemnych polary .

Topologia

Jeśli E jest przestrzenią wektorową o wymiarze skończonym lub o skończonym wymiarze, na E można zdefiniować topologię wynikającą z odległości indukowanej przez normę w przypadku rzeczywistym i przypadku złożonym. R{\ displaystyle \ mathbb {R}}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}||x||=x12+x22+....+xnie2{\ Displaystyle || x || = {\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + .... + x_ {n} ^ {2}}}}||x||=x1x1¯+x2x2¯+....+xniexnie¯{\ displaystyle || x || = {\ sqrt {x_ {1} {\ overline {x_ {1}}} + x_ {2} {\ overline {x_ {2}}} + .... + x_ { n} {\ overline {x_ {n}}}}}}

Ta topologia służy do definiowania topologii przestrzeni ilorazowej , zwanej topologią ilorazową . Jeśli oznacza zastosowanie przejścia do ilorazu, powiemy, że część jest otwarta, jeśli jej odwrotny obraz jest otwarty . Sprawdzamy, czy w ten sposób definiujemy przestrzeń topologicznąP.(mi)=mi-0/∼{\ displaystyle P (E) = e- {0} / \ sim}p:mi∖{0}→P.(mi){\ Displaystyle p: E \ setminus \ {0 \} \ rightarrow P (E)}W⊂P.(mi){\ Displaystyle A \ podzbiór P (E) \,}p-1(W){\ Displaystyle p ^ {- 1} (A) \,}mi∖{0}{\ Displaystyle E \ setminus \ {0 \} \,}

Pokazujemy, że jest kompaktowy . P.(mi){\ Displaystyle P (E) \,}

Dlatego zapewnimy przestrzeń rzutową P (E) z tą topologią. Pozwala mówić o homeomorfizmie i zauważyć, na przykład, że prawdziwa linia rzutowa jest homeomorficzna dla koła, a złożona linia rzutowa jest homeomorficzna dla kuli (patrz artykuł Sfera Riemanna o wyraźnym homeomorfizmie).

Dwoistość

Jeśli E jest skończenie wymiarową przestrzenią wektorową K, jej podwójne E * jest również n-wymiarową przestrzenią wektorową K. Możemy zatem skojarzyć przestrzeń rzutową P (E) z jej podwójnym P (E *). Linia w P (E *) będzie odpowiadać wiązce hiperpłaszczyzn w P (E). Przejście na podwójny umożliwia odwrócenie dużej liczby właściwości geometrycznych.

Użyteczność

1. Geometria rzutowa pozwoliła znacznie uprościć stwierdzenie i dowód twierdzeń o geometrii płaskiej, takich jak twierdzenie Pappusa lub twierdzenie Desarguesa , poprzez zredukowanie ogólnego przypadku do szczególnych przypadków, w których proste są równoległe.
2. Jeśli przestrzeń projekcyjna, w porównaniu ze zwykłą przestrzenią, czyli przestrzenią afiniczną, może wydawać się bardziej skomplikowanym obiektem, to nie można zaprzeczyć, że w wielu sytuacjach przestrzeń projekcyjna jest właściwą ramą do pracy. Aby podać przykład, jeśli i są dwiema krzywymi (zespolonymi) o odpowiednim stopniu, a następnie, jeśli widzimy te krzywe jako podrozmaitości płaszczyzny afinicznej, twierdzenie Bézouta mówi, że liczba punktów przecięcia między i jest zawsze mniejsza lub równa do . Z drugiej strony, jeśli widzimy te krzywe jak sub-rozmaitości na płaszczyźnie rzutowej, to twierdzenie mówi, że liczba punktów przecięcia (liczone z wielości) jest równa się . Istnieje wiele innych sytuacji, w których twierdzenia są formułowane w piękniejszej formie w geometrii rzutowej.VS{\ displaystyle C}VS′{\ displaystyle C '}re{\ displaystyle d}re′{\ displaystyle d '}VS{\ displaystyle C}VS′{\ displaystyle C '}rere′{\ displaystyle dd '}rere′{\ displaystyle dd '}
3. Do grafiki komputerowej trójwymiarowy znaczący sposób korzysta z geometrii rzutowej, ponieważ w tej geometrii tłumaczeń i obrotów, to znaczy, że transformacje euklidesowej grupy , znajdują się transformacje liniowe , co znacznie ułatwia ich leczenie.

Uwagi i odniesienia

1. René Taton , „Praca Pascala w geometrii rzutowej” , Revue d'histoire des sciences et de their applications , 1962, t. 15, nr 3-4, str. 197-252.
2. (w) John J. O'Connor i Edmund F. Robertson , „Joseph Diaz Gergonne” w archiwum MacTutor History of Mathematics , University of St Andrews ( czytaj online ).
3. (w) John J. O'Connor i Edmund F. Robertson , „Julius Plücker” w archiwum MacTutor History of Mathematics , University of St Andrews ( czytaj online ).
4. Coxeter'a 1994 .
5. Rossier .
6. Coxeter 1961 .
7. Enriques .
8. Michèle Audin , Geometry , EDP ​​Sciences ,2006, 3 e  ed. , 428  str. ( ISBN  978-2-7598-0180-0 , czytaj online ) , str.  196.

Zobacz też

Bibliografia

• Marcel Berger , Geometry [ szczegóły wydań ]( t. 1 )
• (en) HSMCoxeter, Projective Geometry, Springer-Verlag ,1994
• (en) HSMCoxeter, The real projective plane, Cambridge University Press, przedruk ,1961
• Jean-Denis Eiden, Klasyczna geometria analityczna , Calvage & Mounet, 2009 ( ISBN  978-2-91-635208-4 )
• Od geometrii rzutowej do geometrii euklidesowej , mistyczny heksagram Pascala
• Federigo Enriques, Lekcje geometrii rzutowej, Gauthier-Villard Paris ,1930
• Mała encyklopedia matematyki , Didier
• Jean Fresnel, Nowoczesne metody w geometrii
• Daniel Lehmann i Rudolphe Bkouche , Initiation à la géometry , PUF , 1988 ( ISBN  2 13 040160 0 )
• Jean-Claude Sidler, Geometria rzutowa, InterEditions, 1993
• Pierre Samuel, Geometria rzutowa , PUF, 1986
• Robert Rolland, Geometria rzutowa, Elipsy 2015
• Paul Rossier, Nowoczesna geometria syntetyczna, Vuibert Paris ,1960

Linki zewnętrzne

• Nicolas Jacon, „  Geometria rzutowa  ” w CNRS
• Daniel Perrin , „  Rzutowa geometria płaszczyzny i zastosowania do geometrii euklidesowej i nieeuklidesowej  ”

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">