Ułamek ciągły

2=1+12+12+12+⋯{\ displaystyle {\ sqrt {2}} = 1 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {2 + \, \ cdots}}}}}} }

Przykład nieskończonej ekspansji na ułamek ciągły.

W matematyce , A ułamka lub prosty ułamka lub rzadziej ułamka jest wyrażeniem w postaci:

w0+1w1+1w2+1w3+....{\ displaystyle a_ {0} + {\ cfrac {1} {a_ {1} + {\ cfrac {1} {a_ {2} + {\ cfrac {1} {a_ {3} + \ kropki}}}} }}.}

składający się z skończonej lub nieskończonej liczby pięter.

Pokazujemy, że możemy „reprezentować” – w sensie, który zostanie określony – dowolną liczbę rzeczywistą w postaci ułamka ciągłego, skończonego lub nieskończonego, w którym a 0 jest liczbą całkowitą względną, a pozostałe a j są liczbami całkowitymi ściśle dodatnimi. .

Jak w zwykłym zapisie dziesiętnym, gdzie każda liczba rzeczywista jest aproksymowana liczbami dziesiętnymi coraz dokładniej w miarę podawania kolejnych miejsc dziesiętnych, podobnie każda liczba rzeczywista jest aproksymowana przez ułamki stopniowane powyższej postaci coraz dokładniej w miarę dodawania kolejnych pięter. Ponadto, jeśli do dokładnego opisania liczby niedziesiętnej potrzeba nieskończoności miejsc dziesiętnych, do dokładnego opisania liczby niewymiernej potrzebne jest nieskończone rozwinięcie ułamka.

Ułamki ciągłe są przydatne w aproksymacji diofantycznej , w szczególności dlatego, że zapewniają w pewnym sensie „najlepsze” przybliżenia liczb rzeczywistych za pomocą liczb wymiernych . Ta właściwość jest u początków algorytmów dla zbliżenia korzeni kwadratowych, ale również dowodów irracjonalności czy nawet transcendencję dla pewnych liczb jak Õ lub e . Okresowość ułamków o kwadratowych pierwiastków liczb całkowitych ściśle większy od 1 i bez czynnika kwadratowy ma użyteczne konsekwencje pracy w równaniu na łeb Fermat .

Już używany w indyjskich matematyków w średniowieczu, ciąg dalszy frakcje są omawiane w Europie w XVII th  wieku. Są one teraz uogólniane na inne wyrażenia, stosowane do aproksymacji całych szeregów zwanych przybliżeniem Padé , a nawet przystosowane do zastosowań liniowych .

Przegląd

Pojęcie ułamka łańcuchowego jest rozległe i występuje w wielu gałęziach matematyki. Powiązane koncepcje mogą być stosunkowo proste, jak algorytm Euklidesa , lub znacznie bardziej subtelne, jak funkcja meromorficzna .

Na początku możliwe jest postrzeganie ułamka łańcuchowego jako szeregu liczb całkowitych, które „reprezentują” rzeczywistą. Ta sytuacja jest trochę taka sama jak w systemie dziesiętnym, który reprezentuje π później liczb całkowitych 3, 1, 4, 1, 5, 9… W postaci ułamka łańcuchowego ciąg to 3, 7, 15, 1, 292, 1, 1… Pierwszy kierunek studiów polega na badaniu związku między ciągiem 3, 7, 15, 1, 292, 1, 1… a ciągiem liczb wymiernych proponowanych przez ułamek łańcuchowy, w tym przypadku 3 , 22/7, 333/106 itd., pozwala nam dowiedzieć się, jak przejść od pierwszej kontynuacji do drugiej, jak druga zbiega się i odpowiada na inne pytania tego rodzaju. Taki jest zasadniczo cel tego artykułu.

Ułamki ciągłe mają szczególny związek z pierwiastkami kwadratowymi lub ogólniej z tak zwanymi kwadratowymi liczbami niewymiernymi postaci a + b √ d , gdzie a i b są liczbami wymiernymi , b nie zero, a d > 1 jest liczbą całkowitą bez czynnika kwadratowego . Powiązane ułamki łańcuchowe są okresowe, od pewnego rzędu, to znaczy, że sekwencja liczb całkowitych tworzących ułamek łańcuchowy powtarza się od pewnego rzędu aż do nieskończoności. Ta sytuacja jest jak nieskończone dziesiętne reprezentacje liczb wymiernych. Te ułamki łańcuchowe rozwiązują słynny problem arytmetyczny zwany równaniem Pella-Fermata . To pytanie jest tematem artykułu „  Ciągły ułamek kwadratu niewymiernego  ”.

Podobnie jak system dziesiętny, ułamek ciągły oferuje liczby wymierne, które zbliżają się coraz bardziej do celu. Te przybliżenia są znacznie lepsze niż przybliżenia dziesiętne. Drugie dziesiętne przybliżenie π równe 31/10 ma mianownik stosunkowo bliski drugiemu przybliżeniu ciągłego ułamka 22/7, z drugiej strony 22/7 jest ponad 30 razy dokładniejsze niż 31/10. Ten rodzaj podejścia liczby rzeczywistej przez liczbę wymierną nazywa się przybliżeniem diofantycznym . Dużą rolę odgrywają tu ułamki ciągłe. Umożliwiły one skonstruowanie pierwszych znanych liczb przestępnych : liczb Liouville'a lub wykazanie, że liczba e jest niewymierna. Pod warunkiem uogólnienia definicji ułamka ciągłego możliwe staje się wykazanie, że π jest również nieracjonalne - podejście to zostało omówione w artykule „  Ułamek ciągły i przybliżenie diofantyczne  ”. (W rzeczywistości e i π są nawet transcendentne , zgodnie z twierdzeniem Hermite-Lindemanna .)

Ułamek ciągły to nie tylko liczby, ale także funkcje. Jest jeszcze bardziej uogólnionymi ułamkami łańcuchowymi przez zastąpienie współczynników wielomianami . Motywacja pochodzi z analizy złożonej , której celem jest badanie funkcji zmiennej złożonej o wartościach zespolonych , które są różniczkowalne jako takie . Klasyczne podejście polega na zdefiniowaniu ich jako całych szeregów, a więc jako granic wielomianów. Częstą specyfiką tego typu funkcji jest posiadanie kijków . Jeśli zamiast zbliżać się do funkcji wielomianami, używamy ilorazów , konstruujemy ciąg przybliżeń Padé, który niekoniecznie ma tę słabość.

Zbadano inne właściwości. W przeciwieństwie do systemu dziesiętnego, liczba całkowita występująca w ułamku ciągłym zwykle nie jest ograniczona przez 9, może stać się dowolnie duża. Alexandre Khintchine interesował się średnią, w sensie granicy geometrycznych średnich wszystkich tych mianowników. Dla prawie wszystkich liczb ta średnia jest taka sama (słowo „prawie” ma tutaj techniczne znaczenie teorii pomiaru ); ta średnia nazywana jest stałą Khintchine'a .

Możliwe jest również konstruowanie rozwinięć w ułamkach, umieszczając słupki ułamków na liczniku, a nie poniżej: otrzymujemy rozwinięcie szeregowe Engla  :

x0=1w0+1w0w1+1w0w1w2+⋯+1w0w1...wnie+⋯=1+1+1+⋯w2w1w0{\ displaystyle x_ {0} = {\ frac {1} {a_ {0}}} + {\ frac {1} {a_ {0} a_ {1}}} + {\ frac {1} {a_ {0 } a_ {1} a_ {2}}} + \ cdots + {\ frac {1} {a_ {0} a_ {1} \ ldots a_ {n}}} + \ cdots = {\ cfrac {1 + {\ cfrac {1 + {\ cfrac {1+ \ cdots} {a_ {2}}}} {a_ {1}}}} {a_ {0}}}}.

Wzorce chronologiczne

Stosowanie ułamków ciągłych jest stare. Aryabhata (476-550), indyjski matematyk używa ich do rozwiązywania równań diofantycznych, a także do precyzyjnego przybliżania liczb niewymiernych . Brahmagupta (598-668) dalej bada obecnie zwane równaniem Pell-Fermata , używając niezwykłej tożsamości . Próbuje rozwiązać równanie x 2 - 61 y 2 = 1 i znajduje najmniejsze rozwiązanie: x = 1 766 319 049 i y = 226 153 980.

W XII -tego  wieku, sposób wzbogacony Bhaskaraćarja . Algorytm The metoda ćakrawala podobny do ułamków rozwiązuje ogólnym przypadku. Najbardziej uderzającą różnicą w porównaniu z późniejszą metodą europejską jest to, że dopuszcza ona liczby ujemne w ułamku, umożliwiając szybszą zbieżność.

Pojawienie się w Europie jest późniejsze i włoskie. Raphaël Bombelli (1526-1572) używa przodka ułamków łańcuchowych do obliczenia przybliżeń pierwiastka kwadratowego z 13. Pietro Cataldi (1548-1626) rozumie, że metoda Bombelliego ma zastosowanie do wszystkich pierwiastków kwadratowych , używa jej do wartości 18 i pisze o tym krótką broszurę. Zauważa, że ​​uzyskane przybliżenia są na przemian większe i mniejsze od poszukiwanego pierwiastka kwadratowego.

W Anglii dokonuje się zdecydowany postęp. 3 stycznia 1657 roku Pierre de Fermat rzucił europejskim matematykom kilka pytań, w tym równanie rozwiązane już przez Brahmaguptę. Reakcja Anglików, ukąszona w szybkim tempie, była szybka. William Brouncker (1620-1684) znajduje związek między równaniem a ułamkiem łańcuchowym, a także algorytmiczną metodę obliczania rozwiązania równoważną z Indianami. Daje pierwszy uogólniony ułamek ciągły , dla liczby 4 / π . Wyniki te publikuje John Wallis, który korzysta z okazji, aby zademonstrować relacje rekurencyjne stosowane przez Brouncera i Bhaskarę II. Nazwa ułamka ciągniętego podaje w zdaniu: „Nempe si unitati adjungatur fractio, quae denominatorem habeat continue fractum  ” . W tym czasie Christian Huygens (1629-1695) wykorzystał racjonalne przybliżenia podane przez rozwój w ułamkach ciągłych do określenia liczby zębów przekładni automatu planetarnego.

Niektóre pytania teoretyczne zostaną rozwiązane w następnym stuleciu. Zastosowanie pokazuje, że algorytm ułamków łańcuchowych umożliwia rozwiązanie równania Pella-Fermata przez wykorzystanie faktu, że ułamek jest okresowy od pewnego rzędu. Leonhard Euler (1707-1783) pokazuje, że jeśli liczba ma okresowy ułamek łańcuchowy, to jest to rozwiązanie równania kwadratowego ze współczynnikami całkowitymi. Rewers, bardziej subtelny, to dzieło Josepha-Louisa Lagrange'a (1736-1813). W tym stuleciu Jean-Henri Lambert (1728-1777) znalazł nowe zastosowanie we frakcjach ciągłych. Używa ich, aby pokazać irracjonalność π .

Taka praktyka jest powszechna w XIX th  wieku. Évariste Galois (1811-1832) znalazł warunek konieczny i wystarczający, aby ułamek ciągły był natychmiast okresowy. Joseph Liouville używa ciągłego rozszerzania ułamkowego do wykazania liczb transcendentnych  : liczb Liouville'a . W 1873 roku Charles Hermite dowiódł transcendencji e . Produkt uboczny jego dowodu jest kolejnym dowodem wyrażenia prostego ułamka łańcuchowego e znalezionego przez Eulera. Pod koniec wieku Henri Padé (1863-1953) rozwinął teorię aproksymacji, które teraz noszą jego imię i które są ciągłymi ułamkami wielomianów . Ta technika jest używana przez Henri Poincaré (1854-1912) do wykazania stabilności Układu Słonecznego. Georg Cantor (1845-1918) udowadnia za pomocą ułamków ciągłych, że punkty odcinka i te znajdujące się wewnątrz kwadratu są w bijekcji . Funkcje tego rodzaju badane są w ramach teorii chaosu  ; są nieciągłe w każdym wymiernym punkcie przedziału [0, 1].

Intuicyjne podejście

Od algorytmu Euklidesa do ułamków ciągłych

Rozpoczniemy od przypomnienia przebiegu algorytmu z powodu euklidesowego poszukiwania GCD , analizując przykład dwóch liczb całkowitych 15 625 i 6 842. Przechodzimy do szeregu dzieleń euklidesowych z resztą:

15625=2×6842+1941,6842=3×1941+1019,1941=1×1019+922,1019=1×922+97,922=9×97+49,97=1×49+48,49=1×48+1.{\ displaystyle {\ początek {macierz} 15 \; 625 & = & 2 \ razy & 6 \; 842 & + & 1 \; 941, & \\ 6 \; 842 & = & 3 \ razy & 1 \; 941 & + & 1 \; 019, & \ \ 1 \; 941 & = & 1 \ razy & 1 \; 019 & + & 922, & \\ 1 \; 019 & = & 1 \ razy & 922 & + & 97 , & \\ 922 & = & 9 \ razy & 97 & + & 49, & \\ 97 & = & 1 \ razy & 49 & + & 48, & \\ 49 & = & 1 \ razy & 48 & + & 1. & \ koniec {matryca}}}

Inny sposób interpretacji tego algorytmu polega na stopniowym podejściu do ilorazu 15 625/6842. Część całkowita tego ilorazu wynosi 2, co pozwala na zapisanie:

156256842=2+19416842.{\ displaystyle {\ frac {15 \; 625} {6 \; 842}} = 2 + {\ frac {1 \; 941} {6 \; 842}}.}

Co możemy powiedzieć o ułamku 1941 / 6842 poza tym, że jest mniejszy niż 1? Jest między 1/4 a 1/3, jej odwrotność, 6 842/1 941, ma jako część całkowitą: 3; a dokładniej, jeśli użyjemy wyników drugiego podziału euklidesowego:

19416842=13+10191941.{\ displaystyle {\ frac {1 \; 941} {6 \; 842}} = {\ cfrac {1} {3 + {\ cfrac {1 \; 019} {1 \; 941}}}}.}

Więc krok po kroku:

156256842=2+13+10191941=2+13+11+9221019=⋯=2+13+11+11+19+11+11+148{\ displaystyle {\ cfrac {15 \; 625} {6 \; 842}} = 2 + {\ cfrac {1} {3 + {\ frac {1 \; 019} {1 \; 941}}}} = 2 + {\ cfrac {1} {3 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {922} {1 \; 019}}}}} = \ kropki = 2 + {\ cfrac {1} { 3 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {9 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {48}}}}}}}}}}}}}}

co jest rzeczywiście ułamkiem ciągłym. Czasami używana jest następująca notacja, co jest wygodniejsze:

156256842=[2,3,1,1,9,1,1,48].{\ displaystyle {\ frac {15 \; 625} {6 \; 842}} = [2,3,1,1,9,1,1,48].}

Możemy porównać 15 625/6842 z jego redukcjami uzyskanymi przez sukcesywne obcinanie liczby etapów frakcji ciągłej. W poniższej tabeli podano obcięcia w zapisie ułamkowym, a następnie dziesiętnym oraz różnicę między liczbą zmniejszoną a liczbą 15 625 / 6842.

Sukcesywna redukcja 15 625/6 842 i ewolucja błędu

Frakcja	Rozszerzenie dziesiętne	Błąd
2	2	–0,28...
7/3 = 2 + 1/3	2333 ...	+0,049...
9/4 = 2 + 1 / (3 + 1/1)	2,25	–0,033...
7/16	2,285 7 ...	+0.002 0 ...
153/67	2,283 58 ...	–0.000 10 ...
169/74	2 283 783 ...	+0.000 094 ...
322/141	2,283 687 9 ...	–0.000 001 0 ...
15 625/6 842	2.283 688 979 83 ...	0

Sekwencja błędów ma malejącą wartość bezwzględną i naprzemienne znaki.

Ciągłe rozwinięcie ułamka wymiernego

Niech r = p / q będzie to liczba wymierna (z p i q liczb całkowitych i q > 0). Dążyć do R skończonych rozszerzania w ułamka , to znaczy zapis R w postaci [ 0 , ..., n ] z N naturalne liczby całkowitej , 0 względem całkowitej i 1 , ..., a n całkowitymi > 0. W tym celu stosujemy algorytm Euklidesa:

Ustawiamy p 0 = p , p 1 = q i konstruujemy liczby całkowite a 0 i p 2 przez dzielenie euklidesowe  :

p0=w0p1+p2,w0∈Z,0≤p2<p1.{\ displaystyle p_ {0} = a_ {0} p_ {1} + p_ {2}, \ quad a_ {0} \ in \ mathbb {Z}, 0 \ leq p_ {2} <p_ {1}.}

Następnie tak długo, jak p j nie jest zerem, definiujemy liczby całkowite a j –1 i p j +1 przez:

pjot-1=wjot-1pjot+pjot+1,{\ displaystyle p_ {j-1} = a_ {j-1} p_ {j} + p_ {j + 1},}

z a j -1 liczbę całkowitą równą co najmniej 1 (dla j > 1) i 0 ≤ p j + 1 < p j . Algorytm Euklidesa zatrzymuje się. Przez n oznaczamy największą liczbę całkowitą, dla której p n +1 nie jest równe zero. Wiemy zatem, że p n / p n +1 jest równe liczbie całkowitej a n . Mamy wtedy:

p0p1=[w0,w1,...,wnie].{\ displaystyle {\ frac {p_ {0}} {p_ {1}}} = [a_ {0}, a_ {1}, \ kropki, a_ {n}].}

W rzeczy samej :

p0/p1=[w0,p1/p2]=[w0,w1,p2/p3]=⋯=[w0,w1,...,wnie],{\ styl wyświetlania p_ {0} / p_ {1} = [a_ {0}, p_ {1} / p_ {2}] = [a_ {0}, a_ {1}, p_ {2} / p_ {3} ] = \ kropki = [a_ {0}, a_ {1}, \ kropki, a_ {n}],}

lub :

pnie/pnie+1=[wnie] i dla jot=nie-1,nie-2,...,0 :pjot/pjot+1=[wjot,pjot+1/pjot+2]=[wjot,wjot+1,...,wnie].{\ displaystyle p_ {n} / p_ {n + 1} = [a_ {n}] {\ tekst {i dla}} j = n-1, n-2, \ ldots, 0 ~: \ quad p_ {j } / p_ {j + 1} = [a_ {j}, p_ {j + 1} / p_ {j + 2}] = [a_ {j}, a_ {j + 1}, \ kropki, a_ {n} ].}

Reprezentacja geometryczna  -

Algorytm Euklidesa pozwala nam obliczyć ułamek łańcuchowy w przypadku liczb wymiernych. Algorytm ten dopuszcza w tym kontekście interpretację geometryczną. Niech r = p / q będzie liczbą wymierną, rozważamy prostokąt o długości p i szerokości q , i układamy go kwadratami o boku q .

Jeśli r jest liczbą całkowitą, kafelkowanie składa się dokładnie z r kwadratów. W przeciwnym razie liczba kwadratów wstawionych do prostokąta wynosi 0 lub pierwszy wyraz ułamka kontynuacyjnego. Pozostaje nieutwardzony pas o wymiarze q × b 1 z b 1 równym p - a 0 q  ; pas ten jest wyłożony kwadratami o maksymalnym wymiarze, to znaczy boku b 1 . Liczba kwadratów jest równa drugiemu członowi a 1 ułamka łańcuchowego. Powtarzając metodę otrzymujemy wszystkie współczynniki a p .

Na obrazku obok układamy prostokąt 30 × 13 dwoma kwadratami o bokach 13. Pozostaje pasek o długości 13 i szerokości 4. Pod względem ułamka łańcuchowego otrzymujemy równość:

3013=2+413=2+1(134){\ displaystyle {\ frac {30} {13}} = 2 + {\ frac {4} {13}} = {\ kolor {czerwony} 2} + {\ cfrac {1} {\ lewo ({\ cfrac { 13} {4}} \ prawy)}}}.

Następnie zauważamy, że możliwe jest wypełnienie pozostałego pasma 3 kwadratami o boku 4 i pozostaje pas o długości 4 i szerokości 1, co pozwala zakończyć obliczanie ułamka łańcuchowego:

13=3×4+1⇒3013=2+1(3×4+14)=2+13+14=[2,3,4]{\ displaystyle 13 = 3 \ razy 4 + 1 \; \ strzałka w prawo \; {\ frac {30} {13}} = {\ kolor {czerwony} 2} + {\ cfrac {1} {\ lewo ({\ cfrac {3 \ razy 4 + 1} {4}} \ prawy)}} = {\ kolor {czerwony} 2} + {\ cfrac {1} {{\ kolor {czerwony} 3} + {\ cfrac {1} { \ kolor {czerwony} 4}}}} = [2,3,4]}.

Ta sama konstrukcja umożliwia znalezienie racjonalnego, którego rozwój w ułamku łańcuchowym jest znany. Na obrazku po lewej stronie możemy znaleźć wymierny, którego rozwój wynosi [1, 1, 2, 3]. Ostatni współczynnik jest równy 3, więc znajdujemy 3 małe kwadraty o boku 1, które dają rozmiar następnego kwadratu (3). Przedostatni współczynnik 2 wskazuje, że istnieją dwa średnie kwadraty boku 3. Te dwa boki i mały kwadrat dają rozmiar większego kwadratu (7). Powiązany współczynnik jest równy 1, więc jest tylko jeden tego rodzaju. Większy kwadrat (7) i średni kwadrat (3) dają bok ostatniego kwadratu (10). Ostatnie dwa kwadraty podają całkowitą długość prostokąta (17). Pożądana frakcja jest równa 17/10.

Proces zatrzymuje się, ponieważ p i q są współmierne, co oznacza, że ​​istnieje długość l i dwie liczby całkowite a i b takie, że p = a i q = lb .

Rozważmy teraz prostokąt o długości L i szerokości l . Jeśli iloraz L / l nie jest racjonalny, tj. jeśli długości L i l są niemierzalne, proces się nie zatrzymuje.

Tak jest w przypadku figury po prawej stronie przedstawiającej złoty prostokąt, to znaczy prostokąt, którego stosunek długości do szerokości jest równy φ złotej liczbie . W każdym paśmie możemy umieścić tylko jeden kwadrat, który prowadzi do reprezentacji: φ=[1,1,1,⋯]{\ displaystyle \ varphi = [1,1,1, \ cdots]}.

Kolejność liczników i mianowników to Fibonacci .

Wykazaliśmy zatem, że dla dowolnego wymiernego r algorytm Euklidesa zapewnia skończenie ciągłe rozwinięcie ułamka r (odwrotnie, każda liczba, która ma skończenie ciągłe rozwinięcie ułamka jest oczywiście wymierna). Tak otrzymane rozwinięcie [ a 0 ,…, a n ] ma tę właściwość, że jeśli n nie jest zerem, to a n > 1. Dedukujemy drugie rozwinięcie: r = [ a 0 ,…, a n - 1, 1 ] . To są jedyne dwa.

Gdy dodamy do wyliczenia w j tej ekspansji, obliczanie liczniki h j i mianowniki k j różnych obniżonych nich:

h0k0=[w0]=w01,h1k1=[w0,w1]=w0+1w1=w0w1+1w1,...{\ displaystyle {\ frac {h_ {0}} {k_ {0}}} = [a_ {0}] = {\ frac {a_ {0}} {1}}, \ quad {\ frac {h_ {1 }} {k_ {1}}} = [a_ {0}, a_ {1}] = a_ {0} + {\ frac {1} {a_ {1}}} = {\ frac {a_ {0} a_ {1} +1} {a_ {1}}}, \ quad \ ldots}

ten algorytm euklidesowy staje się rozszerzonym algorytmem euklidesowym . Dokładniej, ciąg par liczb całkowitych ( u i , v i ) dostarczony przez rozszerzony algorytm zastosowany do ( p , q ) pokrywa się z ciągiem ( k j , h j ), z wyjątkiem znaków i przesunięcia w pobliżu indeksy: k j = (–1) j u j +2 i h j = (–1) j +1 v j +2 . Dla j liczby całkowite k j i h j są zatem względnie pierwsze i p j + 1 = (-1) j ( qh j -1 - pk j -1 ). W szczególności: ostatnia zredukowana, h n / k n , to ułamek p / q umieszczony w postaci nierozkładalnej, a przedostatni odpowiada danemu rozwiązaniu tożsamości Bézouta dostarczonemu przez rozszerzony algorytm euklidesowy: NWD ( p , q ) = p n +1 = (–1) n ( qh n –1 - pk n –1 ).

Demonstracja

Zgodnie z § „Algorytm” artykułu o rozszerzonym algorytmie euklidesowym, ( u i , v i ) są zdefiniowane przez relację rekurencyjną

tyja+1=-wja-1tyja+tyja-1,vja+1=-wja-1vja+vja-1{\ displaystyle u_ {i + 1} = - a_ {i-1} u_ {i} + u_ {i-1}, \ quad v_ {i + 1} = - a_ {i-1} v_ {i} + v_ {i-1}}

i inicjalizacja

ty0=1,ty1=0,v0=0,v1=1.{\ displaystyle u_ {0} = 1, \ quad u_ {1} = 0, \ quad v_ {0} = 0, \ quad v_ {1} = 1.}

Zgodnie z § „Zmniejszane przez ułamek łańcuchowy” poniżej , ( k j , h j ) podążają za relacją powtarzalności

kjot=wjotkjot-1+kjot-2,hjot=wjothjot-1+hjot-2,{\ displaystyle k_ {j} = a_ {j} k_ {j-1} + k_ {j-2}, \ quad h_ {j} = a_ {j} h_ {j-1} + h_ {j-2} ,}

nawet przypisując im dodatkowe wartości

k-2=1,k-1=0,h-2=0,h-1=1.{\ displaystyle k _ {- 2} = 1, \ quad k _ {- 1} = 0, \ quad h _ {- 2} = 0, \ quad h _ {- 1} = 1.}

Związek ogłoszony między tymi dwoma sekwencjami par liczb całkowitych jest z niego wywnioskowany przez powtarzalność rzędu 2 .

Ciągłe rozwinięcie ułamka liczby π

Uwaga umożliwia uogólnienie poprzedniej metody na dowolną liczbę rzeczywistą. Aby to zilustrować, zastosujmy ją do liczby π . Pierwszym krokiem, w przypadku liczby wymiernej, było obliczenie ilorazu dzielenia euklidesowego licznika przez mianownik, co nie ma już sensu dla liczby rzeczywistej, z drugiej strony wynik był równy części całkowitej liczby racjonalny, ale cała część realnego ma znaczenie. Część ułamkowa , koniecznie mniejsza niż 1, została odwrócona, co nadal jest tutaj możliwe. Pozyskujemy :

π=3+1(1π-3)≈3+17,062513305931{\ displaystyle \ pi = 3 + {\ cfrac {1} {\ po lewej ({\ cfrac {1} {\ pi -3}} \ po prawej)}} \ ok 3 + {\ frac {1} {7062 \; 513 \; 305 \; 931}}}.

Ponieważ π - 3 jest mniejsze od 1 (jest to część ułamkowa), jego odwrotność jest większa od 1 i nie jest liczbą całkowitą, ponieważ π jest niewymierne . Możemy zatem zastosować to samo podejście:

1π-3≈7+0,062513305931≈7+115,99659441iπ≈3+17+115,99659441.{\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi -3}} \ około 7 + 0,062 \; 513 \; 305 \; 931 \ około 7 + {\ frac {1} {15,996 \; 594 \; 41}} \ quad {\ text {i}} \ quad \ pi \ ok 3 + {\ cfrac {1} {7 + {\ cfrac {1} {15,996 \; 594 \; 41}}}}.}

Nowa wartość, w przybliżeniu równa 15,997, jest nadal irracjonalna ściśle większa niż 1, stąd możliwość nowego kroku, potem nowego:

π≈3+17+115+11+0,003417≈3+17+115+11+1292+0,6.{\ displaystyle \ pi \ około 3 + {\ cfrac {1} {7 + {\ cfrac {1} {15 + {\ cfrac {1} {1 + 0,003 \; 417}}}}}} \ około 3+ {\ cfrac {1} {7 + {\ cfrac {1} {15 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {292 + 0,6}}}}}}}}.}

Ponieważ π jest nieracjonalne, proces nigdy się nie zatrzymuje (wyobrażając sobie, że obliczenia są wykonywane z nieskończoną liczbą miejsc po przecinku). Jako ciąg ułamków otrzymujemy 3 potem 22/7 ≈ 3,1428 potem 333/106 ≈ 3,14150 potem 355/113 ≈ 3,1415929 i wreszcie 103 993/33 102, bliskie π z dokładnością lepszą niż jedna miliardowa. Po raz kolejny sekwencja błędów ma malejącą wartość bezwzględną i naprzemienne znaki.

Podejście teoretyczne

Notacje i terminologia

• Ułamek ciągły lub prosty ułamek ciągły będziemy nazywać dowolnym ciągiem niepustym ( a p ), którego pierwszy wyraz a 0 jest liczbą całkowitą względną, a wszystkie następne są liczbami całkowitymi ściśle dodatnimi.
• Zbiór jego indeksów jest albo postaci {0, 1,…, n } dla pewnej liczby naturalnej n, jeśli jest to ciąg skończony, albo równy ℕ dla ciągu nieskończonego.
• Jego zredukowana o indeks p jest wymierną [ a 0 , a 1 ,…, a p ], określoną przez[w0]=w0,[w0,w1]=w0+1w1,...[w0,...,wp]=w0+1[w1,...,wp].{\ displaystyle [a_ {0}] = a_ {0}, \ quad [a_ {0}, a_ {1}] = a_ {0} + {\ frac {1} {a_ {1}}}, \ quad \ kropki [a_ {0}, \ kropki, a_ {p}] = a_ {0} + {\ frac {1} {[a_ {1}, \ kropki, a_ {p}]}}.}

Zmniejszone o ułamek ciągły

Niech ( a p ) będzie ułamkiem łańcuchowym. Łączymy z nim dwa ciągi liczb całkowitych ( h p ) i ( k p ), określone indukcją przez:

h-2=0,h-1=1,hp=wphp-1+hp-2k-2=1,k-1=0,kp=wpkp-1+kp-2.{\ displaystyle {\ początek {wyrównany} h _ {- 2} = 0, \ quad i h _ {- 1} = 1, \ quad i h_ {p} = a_ {p} h_ {p-1} + h_ {p-2 } \\ k _ {-2} = 1, \ quad & k _ {-1} = 0, \ quad & k_ {p} = a_ {p} k_ {p-1} + k_ {p -2}. \ end {wyrównany }}}

Następnie dla dowolnego indeksu p ułamka łańcuchowego:

[w0,w1,...,wp]=hpkp(1)wp=-hpkp-2-hp-2kphpkp-1-hp-1kp(2)hp-1kp-hpkp-1=(-1)p.(3){\ displaystyle {\ begin {matrix} [a_ {0}, a_ {1}, \ ldots, a_ {p}] = {\ frac {h_ {p}} {k_ {p}}} & \ quad & ( 1) \\ a_ {p} = - {\ frac {h_ {p} k_ {p-2} -h_ {p-2} k_ {p}} {h_ {p} k_ {p-1} -h_ { p-1} k_ {p}}} && (2) \\ h_ {p-1} k_ {p} -h_ {p} k_ {p-1} = (- 1) ^ {p} && (3 ) \ koniec {matryca}}}

Własność (3) pokazuje, na podstawie twierdzenia Bézouta , że liczby całkowite h p i k p są względnie pierwsze.

Te trzy właściwości są wykazane bezpośrednio, ale są również szczególnymi przypadkami uogólnionych ułamków ciągłych , przedstawionych w odpowiednim artykule. Również daje matrycy interpretacji definicji h p i k p , z co prowadzi się natychmiast, po transpozycji , na podwójną właściwość : (1)

[wp,wp-1,...,w0]=hphp-1 (gdyby w0>0) i [wp,wp-1,...,w1]=kpkp-1 (gdyby p>0).{\ displaystyle [a_ {p}, a_ {p-1}, \ ldots, a_ {0}] = {\ frac {h_ {p}} {h_ {p-1}}} {\ tekst {(si} } a_ {0}> 0 {\ tekst {) i}} [a_ {p}, a_ {p-1}, \ ldots, a_ {1}] = {\ frac {k_ {p}} {k_ {p -1}}} {\ tekst {(si}} p> 0 {\ tekst {).}}}

Ciągły ułamek liczby rzeczywistej

Algorytm

W opracowanym wcześniej algorytmie euklidesowym liczba całkowita a j jest ilorazem p j w podziale euklidesowym przez p j +1 . Jest to zatem część całkowita rzeczywistego x j równa p j / p j +1 . Część ułamkowa x j - a j z x j to p j + 2 / p j +1 , odwrotność rzeczywistego x j +1 .

Możemy wtedy zdefiniować ciągłą ekspansję ułamka dla dowolnego rzeczywistego x . Symbol ⌊ s ⌋ oznacza część całkowitą liczby s . Pytamy:

x0=x,{\ styl wyświetlania x_ {0} = x,}

jak również definicja rekurencyjna: o ile x j nie jest liczbą całkowitą,

wjot=⌊xjot⌋,xjot=wjot+1xjot+1.{\ displaystyle a_ {j} = \ lpodłoga x_ {j} \ rpodłoga, \ quad x_ {j} = a_ {j} + {\ frac {1} {x_ {j + 1}}}.}

Jeśli x jest wymierne, jak widzieliśmy powyżej , istnieje n takie, że x n jest liczbą całkowitą: ustawiamy a n = x n , algorytm zatrzymuje się, a dwie sekwencje ( a j ) i ( x j ) są skończone. Jeśli x jest irracjonalne, algorytm nigdy się nie zatrzymuje, a dwie sekwencje są nieskończone.

• Sekwencja ( a p ) nazywana jest ciągłą częścią rzeczywistego x .
• Rzeczywiste x p (ściśle większe od 1, jeśli p > 0) nazywamy całkowitym ilorazem x o indeksie p .
• Jego część całkowita a p jest niepełnym ilorazem x z indeksem p .

Możemy sformalizować ten algorytm w bardziej skomputeryzowany sposób:

• Dane: liczba rzeczywista x .
• Inicjalizacja: przypisuje wartość x do zmiennej X . Kontynuacja a jest pusta.
• Pętla: Przypisujemy zmienną A do części całkowitej X , łączymy tę wartość po a . Jeśli X jest liczbą całkowitą, algorytm zatrzymuje się. Jeśli X nie jest liczbą całkowitą, przypisujemy X wartość 1 / ( X - A ) i zaczynamy od początku pętli.

Lub :

• jeśli x jest liczbą całkowitą, jej rozwinięciem jest ( x );
• inaczej, niech 0 jest jego całkowita; rozwinięcie x to: a 0 , po którym następuje rozwinięcie 1 / ( x - a 0 ).

Jeśli x jest irracjonalne, w tym kontekście często używa się dwóch notacji:

x=w0+1w1+1w2+1⋯=[w0,w1,w2,⋯].{\ displaystyle x = a_ {0} + {\ cfrac {1} {a_ {1} + {\ cfrac {1} {a_ {2} + {\ cfrac {1} {\ cdots}}}}}} = [a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ cdots].}

Zostaną one usankcjonowane później  : zobaczymy między innymi, że ciąg redukcji jest zbieżny do x .

Pełne kontyngenty prawdziwego

Niech X będzie liczbę rzeczywistą, ( s ) jego ułamka, ( h p ) i ( k, s ) serię liczników i mianownik redukcji związanego z tym ciągłym frakcję, i ( x p ) serii kompletnych ilorazów x .

Dla dowolnego indeksu p mamy równość:

x=[w0,w1,...,wp-1,xp].{\ displaystyle x = [a_ {0}, a_ {1}, \ kropki, a_ {p-1}, x_ {p}].}

Jednak dowód z właściwości (1) i (2) powyżej, o ograniczeniu do ułamka jest ważny, jeżeli całkowita o p otrzymuje rzeczywistym x p . Otrzymujemy zatem odpowiednio:

x=xphp-1+hp-2xpkp-1+kp-2(1')xp=-xkp-2-hp-2xkp-1-hp-1.(2'){\ displaystyle {\ początek {matryca} x = {\ frac {x_ {p} h_ {p-1} + h_ {p-2}} {x_ {p} k_ {p-1} + k_ {p-2 }}} & \ quad & (1 ') \\ x_ {p} = - {\ frac {xk_ {p-2} -h_ {p-2}} {xk_ {p-1} -h_ {p-1 }}}.&& (2 ') \ end {macierz}}}

Nieruchomość (2'):

• pozwala obliczyć liczbę całkowitą a p (część całkowitą x p ) używając tylko x jako rzeczywistej, bez użycia ciągu liczb rzeczywistych ( x j ) , które mogą akumulować niedokładności na każdym kroku, jeśli algorytm jest używany w narzędziu komputerowym i tym samym prowadzić do błędnych wartości z określonej rangi;
• pokazuje, że ciąg liczb rzeczywistych | k p x - h p | jest ściśle malejąca.

Nadzór i konwergencja

Zapisana jest różnica dwóch kolejnych redukcji nieskończonego ciągłego ułamka ( patrz wyżej ), co stanowi punkt wyjścia do poniższego twierdzenia. hp+1kp+1-hpkp=(-1)pkpkp+1{\ displaystyle {\ frac {h_ {p + 1}} {k_ {p + 1}}} - {\ frac {h_ {p}} {k_ {p}}} = {\ frac {(-1) ^ {p}} {k_ {p} k_ {p + 1}}}}

Twierdzenie  - 

• Następnie zmniejsza się w sposób ciągły frakcji nieskończonej jest zbieżny i jego dopuszczalnych kontrole: .(hnie/knie){\ styl wyświetlania (h_ {n} / k_ {n})}(wnie){\ styl wyświetlania \ lewy (a_ {n} \ prawy)}ℓ{\ styl wyświetlania \ el}∀p∈NIE1kp(kp+1+kp)<|ℓ-hpkp|<1kpkp+1{\ displaystyle \ forall p \ w \ mathbb {N} \ quad {\ frac {1} {k_ {p} (k_ {p + 1} + k_ {p})}} <\ po lewej | \ ell - {\ frac {h_ {p}} {k_ {p}}} \ w prawo | <{\ frac {1} {k_ {p} k_ {p + 1}}}}
• Mapa jest bijekcją zbioru nieskończonych ciągłych ułamków na zbiór niewymiernych; na wzajemne bijekcja stowarzyszone z każdym irracjonalnego jego ciągłego frakcji .(wnie)↦ℓ{\ displaystyle \ lewy (a_ {n} \ prawy) \ mapsto \ ell}

Zastosowania

Zastosowania ułamków ciągłych są liczne. Można znaleźć na przykład w Ułamku ciągłym i Przybliżeniu diofantycznym dowody nieracjonalności e lub π , w Ułamku ciągłym niewymiernego kwadratu przykład rozwiązania równania Pell-Fermata lub w przybliżeniu Padé analityczne przedłużenie całego szeregu funkcja styczna. Podane tutaj zastosowanie wymaga jedynie zrozumienia właściwości opisanych w tym artykule.

Automat planetarny

Christian Huygens chciałby zbudować, przy użyciu mechanizmu zegarkowego, automat reprezentujący ruch planet wokół Słońca: „Po zakończonej pracy i wykonaniu PLC, maszyna reprezentująca ruch planet, której konstrukcja ma w szczególny sposób i dość proste ze względu na jego działanie, reszta jest bardzo przydatna dla tych, którzy badają lub obserwują bieg gwiazd. " Trudności napotyka on jest związany ze stosunkiem długości w roku Ziemi, a Saturna. W ciągu jednego roku Ziemia obraca się o 359 ° 45 ′ 40 ″ 30 ‴, a Saturn o 12 ° 13 ′ 34 ″ 18 ‴. Stosunek ten wynosi 77 708 431/2 640 858. Ile zębów potrzeba na dwóch kołach zębatych podtrzymujących odpowiednio Ziemię i Saturna?

Huygens wie, że ułamki ciągłe oferują najlepszy kompromis, który wyraża w następujący sposób: „Teraz, kiedy pomijamy z dowolnego ułamka ostatnie człony szeregu i te, które po nim następują, a pozostałe oraz liczbę całkowitą sprowadzamy do wspólnego mianownika , stosunek tego ostatniego do licznika będzie zbliżony do stosunku najmniejszej liczby podanej do największej; a różnica będzie tak mała, że ​​nie da się uzyskać lepszej zgody przy mniejszych liczbach. "

Ciągłe obliczanie frakcji pokazuje, że:

777084312640858=[29,2,2,1,5,1,4,1,1,2,1,6,1,10,2,2,3].{\ displaystyle {\ frac {77 \, 708 \, 431} {2 \, 640 \, 858}} = [29,2,2,1,1,5,1,4,1,1,2,1,6 , 1,10,2,2,3].}

Otrzymujemy ciąg ułamków: 29/1, 59/2, 147/5, 206/7, 1 177/40... Pierwsze dwa rozwiązania są mało precyzyjne, w pierwszym przypadku na końcu rotacji Saturn, pozycja ziemi jest błędna o prawie pół obrotu, w innym przypadku błąd przekracza 4 °. Piąta jest trudna technicznie, wymaga wykonania koła z ponad 1000 zębów lub kilku kół. Czwarty oferuje precyzję bliską 3/1000. To właśnie wybiera Huygens.

Jeśli Ziemia wykona sto pełnych obrotów, na automacie planetarnym Saturn wykonuje 700/206, czyli trzy obroty i kąt 143 ° 18 ′. W rzeczywistości Saturn obrócił się o 143 ° 26 ′. Albo błąd 8 minut kąta, znacznie niższy niż mechaniczne niedokładności zegara. Z podobnego obliczenia wynika, że ​​ułamek 147/5 daje w tym samym kontekście błąd większy niż jeden stopień w przypadku wdrożenia o porównywalnej trudności technicznej.

Uogólniony ułamek ciągły

Obliczenia we wstępnej części artykułu pokazują, jak wyznaczyć ułamek łańcuchowy π . Jednak każdy krok jest bardziej bolesny, ponieważ wymaga coraz większej precyzji wartości początkowej. Szeregi całkowite, zbieżne do π , oferują teoretyczne rozwiązanie obliczania każdego współczynnika ułamka łańcuchowego, ale są zbyt nierozerwalne obliczeniowo, aby można je było wykorzystać. Z tego powodu łatwiej jest uzyskać uogólnione wyrażenie ułamkowe, dopuszczając liczniki niekoniecznie równe 1. Pierwszy ułamek tego typu został wyprodukowany przez Brouncera:

π4=0+11+122+322+522+....{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 0 + {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1 ^ {2}} {2 + {\ cfrac {3 ^ {2}} { 2 + {\ cfrac {5 ^ {2}} {2+ \ kropki}}}}}}}}.}

Dowód tej równości pojawia się w artykule „  Formuła Eulera na ułamek ciągły  ” poprzez obliczenie w punkcie 1 uogólnionego ułamka ciągłego funkcji Arctangens . Tak więc ułamek ciągły dotyczy nie tylko liczb, ale także niektórych funkcji.

Ciągły ułamek e

Podobnie Euler rozwinął funkcję wykładniczą w ciągłą część funkcji o odpowiedniej formie: mi1/s=[1,s-1,1,1,3s-1,1,1,5s-1,1,1,7s-1,...],{\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {1 / s} = [1, s-1,1,1,3s-1,1,1,5s-1,1,1,7s-1, \ldots ],} tak, aby otrzymać ciąg dalszy ułamka e  :

mi=[2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,...].{\ displaystyle {\ rm {e}} = [2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,\ldots].}

Uwagi i referencje

Uwagi

1. W tym artykule omówiono związek z algorytmem Euklidesa. Ten z funkcjami meromorficznymi jest na przykład w badaniu aproksymantów Padé , opracowanym przez Henri Padé , „  Badania zbieżności ułamków ciągłych w rozwoju pewnej klasy funkcji  ” Asens , seria 3 E , lot.  24,1907, s.  341-400 ( czytaj online ), który przyniósł jego autorowi Grand Prix Akademii Nauk w Paryżu w 1906 roku .
2. Zobacz wzorze Brouncker użytkownika .
3. Zobacz § „Czysto okresowy rozwój” artykułu o ciągłym ułamku kwadratu irracjonalnego .
4. Użycie obu słów zależy od kontekstu. W niektórych przypadkach większość wyrażeń jest tego typu, co do tej pory badaliśmy. Dla uproszczenia mówimy o ułamku ciągłym . Wyrażenia, które są różne, na przykład dlatego, że n staje się ujemne lub jakakolwiek rzeczywista, są nazywane uogólnionymi ułamkami ciągłymi . W innych sytuacjach, ogólne określenie nie jest taki, w którym n jest liczbą całkowitą - może to być, na przykład, kompleks funkcji lub matryca - termin ułamka następnie wyznacza główną matematycznego przedmiotem zainteresowania i frakcje tu mowa się nazwa ułamka prostego ciągłą.

Bibliografia

1. Na Jean Dieudonné , „tradycyjne określenie w języku francuskim jest” ciągły frakcja”, co powoduje ryzyko niefortunnego nieporozumienia gdy frakcja zależy od zmiennego parametru; Angielski unika tego zamieszania, mówiąc ciąg dalszy, a nie ciągły  ” ( Jean Dieudonné (reż.), Abrégé d'histoire des mathematiques 1700-1900 [ szczegóły wydań ]), stąd dosłowne tłumaczenie „ułamka ciągłego”. Według Alaina Faisanta, Równanie diofantyczne drugiego stopnia , Hermann ,1991, 237  s. ( ISBN  978-2-7056-1430-0 ) , rozdz.  2 („Ułamki ciągłe”), s.  47, „Często mówimy błędnie, ułamki ciągłe” .
2. M. Couchouron , „  Rozwój liczby rzeczywistej we ułamkach ciągłych  ”, Przygotowanie do agregacji matematyki , Uniwersytet Rennes I ,2003( przeczytaj online ).
3. Uchwała historyczna Josepha-Louisa Lagrange'a pojawia się w: Joseph-Alfred Serret , Œuvres de Lagrange , t.  1, Gauthier-Villary ,1867( czytaj online ) , „Rozwiązanie problemu arytmetycznego”, s.  671-731(oryginalne Bruyset (Lyon) i Desaint (Paryż), L. Euler i JL Lagrange, Elementy algebry ,1774).
4. Liouville używany ten składnik w 1844 roku, ale w 1851 roku wykazały, że to zbędne: patrz artykuł „  Twierdzenie (aproksymacja diofantyczna) Liouville'a  ”.
5. (La) L. Euler , De fractionibus continuis dissertatio , przedstawione w 1737 i opublikowane w 1744. Analizę historyczną przedstawia: (en) Ed Sandifer, „  Jak Euler to zrobił – Kto udowodnił, że e jest irracjonalne?  " ,2006.
6. przykład podaje autor teorii w Padé 1907 .
7. W 1894 r. T.-J. Stieltjes w swoim „Badaniach na ułamkach ciągłych” bada zbieżność takich ułamków ciągłych.
8. Georges Ifrah , Uniwersalna historia liczb: inteligencja mężczyzn opowiedziana liczbami i obliczeniami , Robert Laffont, 1994 ( ISBN  978-2-70284212-6 ) .
9. (w) John Stillwell , Mathematics and Its History [ wyd. detaliczne ], 2010, s.  75-80 .
10. Bhāskara II , Bijaganita , 1150, według (w) Johna J. O'Connora i Edmunda F. Robertsona , „Równanie Pella” w archiwum MacTutor History of Mathematics , University of St Andrews ( czytaj online )...
11. (it) MT Rivolo i A. Simi , „  on calcolo delle radici quadrate e cubiche in Italia da Fibonacci Bombelli  ” , arch. Hist. Dokładne Sci. , tom.  52 N O  21998, s.  161-193.
12. (it) S. Maracchia, Estrazione di radice quadrata secondo Cataldi Archimede 28 (2), 1976, s. 1.  124-127 .
13. Laurent Hua i Jean Rousseau, Czy Fermat udowodnił swoje wielkie twierdzenie? hipoteza Pascala , L'Harmattan, 2002 ( ISBN  978-2-74752836-8 ) , s.  113 .
14. John Wallis , angielski matematyk, odparł: Nie będzie mu źle, wierzę, że odwdzięczymy się mu przysługą i to nie błahostką . Informacje te pochodzą ze strony Pierre de Fermat na stronie internetowej gminy Beaumont-de-Lomagne .
15. (La) J. Wallis , Arithmetica infinitorum (tłumacz: arytmetyka nieskończenie małych), 1655.
16. Ta informacja, podobnie jak większość tego akapitu, pochodzi od Claude'a Brezińskiego , „  Te dziwne frakcje, które nigdy się nie kończą  ”, Wykład w IREM , University of Reunion , „diaporama”,Październik 2005( przeczytaj online ).
17. (La) L. Euler , Introductio in analysin infinitorum , 1748, tom. ja, rozdz. 18 .
18. Te wyniki zostały zredagowane przez Bruyset i Desaint . Ta książka zawiera dodatki do elementów algebry Eulera autorstwa Lagrange'a, ponownie opublikowane w Joseph-Alfred Serret , Œuvres de Lagrange , tom.  VII, Gauthier-Villars ,1877( czytaj online ) , s.  5-180. Zawierają one zarówno dowody przywołane i podsumowano podstawową wiedzę na temat ułamków pod koniec XVIII -go  wieku.
19. (w) Carl D. Olds  (w) , „  Najprostsza ciągła ekspansja ułamka e  ” , American Mathematical Monthly , tom.  77,1970, s.  968-974 ( czytaj online )( Cena Chauvenet 1973).
20. H. Padé, O przybliżonej reprezentacji funkcji przez ułamki wymierne , rozprawa doktorska przedstawiona na Uniwersytecie Sorbony , 1892.
21. Patrz np. H. Poincaré , New Methods of Celestial Mechanics , Gauthier-Villars , 1892-1899.
22. (w) Julian F. Fleron, „  Nota o historii zbioru Cantora i funkcji Cantora  ” , Magazyn Matematyczny , t.  67,1994, s.  136-140 ( czytaj online ).
23. (w) Schroeder  (w) , Fraktale, Chaos, Power Laws , Freeman 1991 ( ISBN  978-0-71672136-9 ) .
24. Jean-Pierre Friedelmeyer "chodnikowe  prostokątów Frakcje ciągłe  ", Bulletin de l' APMEP , N O  450,2004, s.  91-122 ( czytaj online )
25. Hardy i Wright 2007 , s.  174, tys. 162.
26. (en) Yann Bugeaud , Aproksymacja liczbami algebraicznymi , CUP ,2004( ISBN  978-0-521-82329-6 ) , s.  5-6.
27. (w) Josep Rifà Coma , „Dekodowanie nieco więcej niż związanie BCH” w Gerard Cohen, Algebraic Coding: First French-Israeli Workshop, Paryż, Francja, 19-21 lipca 1993. Proceedings , Springer ,1994( ISBN  978-3-540-57843-7 , czytaj online ) , s.  287-303, s.  288 „  Wiadomo, że istnieje równoważność między rozszerzonym algorytmem euklidesowym, algorytmem Berlekampa-Masseya  (en) a obliczaniem zbieżności ciągłego rozszerzania ułamka ułamka wymiernego [ LR Welch i RA Scholtx ,„  Ułamki ciągłe i algorytm Berlekampa  ” , IEEE Trans. Poinformować. Teoria , tom.  25,1979, s.  18-27]  ” .
28. Do demonstracji, patrz na przykład poniższy odnośnik do Wikiversity .
29. (w) Alf van der Poorten  (w) , „  Symetria i składanie ułamków ciągłych  ” , Teoria liczb Bordeaux Journal , tom.  14 N O  22002, s.  603-611 ( czytaj online ).
30. C. Huygens , Pensees meslees , 1686, § 24.
31. Ten cytat pochodzi z Breziński 2005 , s.  51.

Zobacz również

Bibliografia

• (en) C. Brezinski, Historia ciągłych frakcji i przybliżonych Padé , Berlin, Springer-Verlag,1991( DOI  10.1007/978-3-642-58169-4 , przeczytaj online )
• Biuletyn APMEP n o  450
• Roger Descombes, Elementy teorii liczb , PUF , 1986
• GH Hardy i EM Wright ( przetłumaczone  z angielskiego przez F. Sauvageot), Wprowadzenie do teorii liczb [„  Wprowadzenie do teorii liczb  ”], Vuibert - Springer ,2007
• (en) Doug Hensley, Ciąg dalszy Frakcje , World Scientific ,2006( przeczytaj online )
• Jean Trignan, Wprowadzenie do problemów aproksymacji: ułamki ciągłe, różnice skończone , wyd. du Choix, 1994 ( ISBN  978-2-909028-16-3 )
• Georges Valiron , Teoria funkcji , Masson, Paryż, 1966, Pojęcia o arytmetycznych ułamkach ciągłych s.  17-24

Powiązane artykuły

• Przybliżony Padé
• Ciągła faktoryzacja ułamków
• Ciągły ułamek kwadratu niewymiernego
• Uogólniony ułamek ciągły
• Rozwój seryjny od Engel
• Miara irracjonalności
• Ograniczone ilorazy cząstkowe  (en)
• Tabela stałych matematycznych
• A jeśli chodzi o konwergencję:
  • stała Chintchin
  • Stała Lévy'ego
  • Problem konwergencji
  • Twierdzenie Lochsa
  • Twierdzenie Śleszyńskiego-Pringsheima

Linki zewnętrzne

• Ewidencja organów  :
  • Biblioteka Kongresu
  • Narodowa Biblioteka Dietetyczna
• Uwagi w ogólnych słownikach lub encyklopediach  : Encyclopædia Britannica  • Gran Enciclopèdia Catalana
• (en) Gilles Lachaud , „Ułamki ciągłe , binarne formy kwadratowe, pola kwadratowe i funkcje zeta” , w Algebrze i topologii 1988 , Taejon , Korea Inst. Tech. ,1988( czytaj online ) , s.  1-56
• (fr) Kalkulator ciągłych ułamków online
• (de) Graficzna ilustracja iterowanego algorytmu Euklidesa do obliczania ułamka łańcuchowego (z Kopciuszkiem ).
• Charles Walter, „  L1 Maths and L1 Info, Option Arithmétique, rozdz. 2: Ułamki ciągłe  ” , na Uniwersytecie w Nicei ,2011