Powierzchnia (geometria)



Informacje, które udało nam się zgromadzić na temat Powierzchnia (geometria), zostały starannie sprawdzone i uporządkowane, aby były jak najbardziej przydatne. Prawdopodobnie trafiłeś tutaj, aby dowiedzieć się więcej na temat Powierzchnia (geometria). W Internecie łatwo zgubić się w gąszczu stron, które mówią o Powierzchnia (geometria), a jednocześnie nie podają tego, co chcemy wiedzieć o Powierzchnia (geometria). Mamy nadzieję, że dasz nam znać w komentarzach, czy podoba Ci się to, co przeczytałeś o Powierzchnia (geometria) poniżej. Jeśli informacje o Powierzchnia (geometria), które podajemy, nie są tym, czego szukałeś, daj nam znać, abyśmy mogli codziennie ulepszać tę stronę.

.

Powierzchnia kwadratu wynosi tutaj 4.

W matematyce The obszar jest ilość w stosunku do niektórych figur w płaszczyźnie lub powierzchni w geometrii przestrzeni .

Rozwój tego matematycznego pojęcia wiąże się z racjonalizacją obliczania wielkości obszarów rolniczych za pomocą technik geodezyjnych . Ta ocena, wraz z jednostką miary, nazywana jest dziś obszarem .

Nieformalnie obszar ten umożliwia wyrażenie stosunku wielkości figury do jednostki za pomocą nacięć i sklejeń, przemieszczeń i odwróceń oraz przejścia do granicy w przybliżeniu. Miara obszaru może być dodatnią liczbą rzeczywistą lub być nieskończona dla niektórych powierzchni, takich jak płaszczyzna jako całość.

Opracowano różne techniki pomiaru powierzchni, od metody niepodzielności po rachunek całkowy i metody probabilistyczne, takie jak metoda Monte-Carlo .

Formalna definicja

W dwuwymiarowej przestrzeni euklidesowej dziedzina ma pole, jeśli jest zbiorem mierzalnym dla miary Jordana i jej pole jest równe tej mierze.

Nieruchomości

Pole S powierzchni płaskiej ma cztery właściwości:

  1. Obszar ograniczonej powierzchni płaskiej jest liczbą dodatnią lub zerową .
  2. Jednostkę długości jest wybrany, obszar kwadratu o boku 1 jest równe 1.
  3. Obszar jest addytywny . Oznacza to, że przy danych polach dwóch rozłącznych powierzchni A i B pole ich połączenia jest sumą ich pól:
    S ( AB ) = S ( A ) + S ( B ).
    Właściwość tę można interpretować w następujący sposób: jeśli „wycinamy” figurę, otrzymujemy dwie figury, których suma pól jest równa powierzchni figury początkowej.
  4. Obszar jest niezmienny według izometrii . Oznacza to, że figurę można przesuwać lub odwracać bez modyfikowania jej obszaru.

Własność addytywności zostaje rozszerzona przez indukcję do dowolnej liczby naturalnej n większej od dwóch: jeśli A 1 , A 2 ... A n są rozłącznymi powierzchniami dwa na dwa odpowiednich obszarów S ( A 1 ), S ( A 2 )… S ( A n ), wtedy

S ( A 1A 2 ∪… ∪ A n ) = S ( A 1 ) + S ( A 2 ) +… + S ( A n )

co jest odnotowane bardziej rygorystycznie:

Ale ta skończona właściwość addytywności nie wystarczy, choćby do udowodnienia wzoru na obliczanie powierzchni dysku (patrz poniżej). Jest zatem rozszerzona na nieskończoną, przeliczalną rodzinę powierzchni płaskich ( A n ) nN dwa na dwa rozłączne, których obszary są uważane za znane, z wynikiem analogicznym do poprzedniego:

Mówimy wtedy o σ-addytywności („  sigma-addytywności  ”).

Obliczanie powierzchni

Wybraną wcześniej jednostkę długości (oznaczoną 1u.l.) definiujemy jako jednostkę powierzchni (oznaczoną 1u.a.) przez 1u.a = (1u.l.) 2 . Wszystkie powierzchnie są mierzone w jednostkach powierzchni. Podstawową wartością do obliczania powierzchni jest kwadrat jednostkowy o boku 1u.l. ; pozwala obliczyć powierzchnię prostokąta . Korzystając z obszaru prostokąta, można określić obszar trójkąta prostokątnego (postrzeganego jako półprostokąt) lub równoległoboku , a następnie dowolnego trójkąta, a zatem dowolnego wielokąta .

Wzór na obszar dysku jest bardziej złożony do zademonstrowania: wymaga przejścia przez limit kontynuacji . Idea sukcesywnego zbliżania się do złożonej powierzchni za pomocą szeregu prostszych powierzchni (ogólnie prostokątów lub wielokątów) jest fundamentalna. Powierzchnię, do której można „poprawnie” zbliżyć się za pomocą prostokątów, na tyle, że można z niej wywnioskować jej powierzchnię na podstawie obliczeń granicznych, mówi się, że jest quarrable .

W niektórych przypadkach z pomocą geometrii przychodzi analiza , gdy rozumowanie przez cięcie i klejenie już nie wystarcza. Niektóre obliczenia miejsca wymagają zastosowania całek (pojęcie „obszar pod krzywą”), które mogą być czasami obliczonych od prymitywów o funkcji .

Inne przypadki są bardziej patologiczne  : matematycy stworzyli teorię pomiaru, aby uogólnić wyniki na obszarach. W przypadku fraktali obszary te są nieobliczalne lub niezadowalające. Pojęcie wymiaru Hausdorffa uogólnia pojęcie pola dla płaskiego obiektu fraktalnego.

Zwykłe powierzchnie

Poniżej podano najczęstsze formuły obliczania powierzchni i demonstracje, które ilustrują rozumowanie geometryczne często używane do rozwiązywania problemów dotyczących powierzchni: „wytnij i wklej”, czasami wyobrażając sobie nieskończoną liczbę wycięć przy uwzględnieniu granic.

Prostokąt

Demonstracja

Prostokąt, którego długość i szerokość są równe liczbom całkowitym m i n, składa się z m linii, z których każdy zawiera n jednostkowych kwadratów. Jego powierzchnia jest zatem równa m × n .

Jeżeli wymiary prostokąta są m / s i n / q frakcje , uważamy, że mają „cut” prostokąt o wymiarach m i n do p równe części, to każdy z tych elementów ponownie do q równe części. Prostokąta o wymiarach m i n zawiera zatem P x q razy większą od wymiarów m / s i n / q . Powierzchnia tego ostatniego prostokąta jest zatem równam/p × nie/q.

Wynik ten jest uogólniany w przypadku, gdy długość i szerokość prostokąta są liczbami rzeczywistymi , ale rozumowanie jest bardziej abstrakcyjne: wymaga przejścia do granicy, uznając, że dowolna liczba rzeczywista jest granicą szeregu liczb wymiernych .

Szczególny przypadek kwadratu

Kwadrat jest prostokąt, którego długość i szerokość są równe tym samym numerem zwanej boku kwadratu. Kwadrat o boku c ma powierzchnię równą c × c , która jest oznaczona przez c 2 . I odwrotnie, dowolną liczbę postaci c 2 (gdzie c jest dodatnie) można uznać za pole kwadratu o boku c , co wyjaśnia, że c 2 brzmi „  c do kwadratu” lub „kwadrat z c  ” .

Trójkąt

Najpopularniejszym wzorem do obliczania powierzchni trójkąta jest:

Pole trójkąta  -  Pole trójkąta to połowa iloczynu jego podstawy i jego wysokości.

Każdy prostokątnego trójkąta , którego cewniki (lub krótkie boki) mierzą i b mogą być uznane jako połowę prostokąta o wymiarach a i b, podzielonej na dwie części jednej z jego przekątnych. Powierzchnia tego trójkąta prostokątnego jest zatem równa .

Mówiąc ogólniej, dowolny trójkąt o wysokości trójkąta h i związanego z nim boku b (w tym przypadku bok nazywa się podstawą ) jest połową prostokąta o wymiarach h i b , co daje klasyczny wzór na obliczenie d 'powierzchni trójkąt:

Inne metody pozwalają na obliczenie pola trójkąta, a co za tym idzie pola dowolnego wielokąta , wykorzystując fakt, że dowolny wielokąt można podzielić na skończoną liczbę trójkątów. W szczególności dzieląc wielokąt foremny na trójkąty, których wierzchołek jest jego środkiem, otrzymujemy zwykłe wzory do obliczania powierzchni wielokąta foremnego .

Dysk

Twierdzenie  -  Powierzchnia dysku o promieniu R jest równa π × R 2 .

Przekonujemy się o tym wyniku dzieląc dysk na dowolnie dużą liczbę trójkątów.

Rozważając n punktów A 1 , A 2A n regularnie rozmieszczonych na okręgu o środku O i promieniu R , otrzymujemy wielokąt foremny o n bokach składający się z n trójkątów równoramiennych o tym samym polu OA 1 A 2 , OA 2 A 3 itd. Powierzchnia wielokąta foremnego jest zatem n razy większa od jednego z tych trójkątów. Jeśli wysokość każdego z jego trójkątów wynosi h n , pole każdego trójkąta wynosi1/2h n × A 1 A 2 . Mnożąc przez n , powierzchnia wielokąta równa się zatem połowie wysokości h n pomnożonej przez obwód wielokąta. Gdy liczba n punktów dąży do nieskończoności, wysokość h n ma tendencję w kierunku R , a obwód wielokąta w stosunku do tego koła, to znaczy 2 n R , który daje wynik deklarowanej.

Znając promień okręgu, kolejna metoda stosowana przez Archimedesa polega na podzieleniu tarczy na sektory , jak pokazano na rysunku po prawej.

Każdy sektor ma mniej więcej kształt trójkąta, a sektory można przestawić, tworząc równoległobok. Wysokość tego równoległoboku wynosi r , a szerokość to połowa obwodu koła, czyli π r . Zatem całkowita powierzchnia dysku wynosi π r 2

Chociaż ta metoda dzielenia na sektory jest tylko przybliżeniem, błąd staje się coraz mniejszy, gdy okrąg dzieli się na więcej sektorów. Granica sumy obszarów przybliżonych równoległoboków jest dokładnie π r 2 , która jest całkowita powierzchnia dysku.

Całka

Płaszczyzna euklidesowa jest wyposażona w ortonormalny układ współrzędnych , dla dodatniej i ciągłej funkcji liczbowej f , całka Riemanna z f w przedziale [ a  ; b ] pozwala w łatwy sposób wyrazić obszar domeny wyznaczony przez:

Ten obszar jest wtedy wart I (1u.a.) Gdzie liczba I oznacza całkę

NB Gdy kartezjański układ współrzędnych nie jest już ortonormalny, pomiar poprzedniej powierzchni (obszaru) będzie równy I (Mu.a.) Gdzie Mu.a oznacza obszar „komórki elementarnej” układu współrzędnych (c'tj. obszar równoległoboku zbudowanego na dwóch podstawowych wektorach układu współrzędnych): całka odpowiada zatem ilości „komórek elementarnych” zawartych w mierzonej powierzchni.

Obszar ten można oszacować metodami numerycznymi, zbliżając obszar pod krzywą zwykłymi powierzchniami: w szczególności prostokątami lub trapezami . W niektórych przypadkach obliczenia graniczne umożliwiają określenie dokładnej wartości całki, rozumując podobnie jak w przypadku tarczy.

Rozumowanie łączące rozważania obszarowe i rachunek różniczkowy pozwala to udowodnić

gdzie K jest pierwotna z F na [  ; b ] . Zatem znajomość prymitywów funkcji umożliwia poszerzenie zbioru obszarów obliczalnych o widziany wcześniej „podział”.

W ten sposób rozumowanie dotyczące obszarów i rachunku różniczkowego zasilają i wzbogacają się nawzajem. Obliczenia powierzchni mają zatem wpływ na wiele obszarów matematyki, poprzez całki, w tym prawdopodobieństwa lub statystyki, obliczając średnią wartość funkcji.

Metoda Monte Carlo

Jeżeli obliczanie pól pozwala na poprawę wiedzy o prawdopodobieństwach przez całki, to również jest odwrotnie. Niech powierzchnia S , której powierzchnia jest znana, która zawiera inny, L o nieznanym polu. Metodą Monte Carlo obejmuje wysyłanie przypadkowe punkty S . Istnieje wtedy całkowita liczba n S punktów i liczba n L , które przypadkowo znajdują się w L . Jest prawdopodobne, że stosunek pól L i S jest bliski stosunkowi n L do n S . Margines błędu będzie statystycznie tym mniejszy, im liczba punktów n S jest duża.

Problemy z obszarem

Kwadratura koła

Jednym z obszarów problemem przetrwała wieki, przynajmniej od Anaksagorasa ( V -tego  wieku  pne. Aż do 1882 roku, kiedy) Ferdinand Lindemann udowodnił, że gatunku jest liczba transcendentalny  : że kwadratura koła , które polega na budowie, za pomocą linijki i cyrkla , kwadrat o powierzchni równej powierzchni danego dysku.

Zamieszanie między obszarem a obwodem

Zakres jest w obszarze, w jednej z dwóch głównych środków płaskich figur geometrycznych. Pomimo tego, że nie są one wyrażone w tej samej jednostce, często myli się te dwa pojęcia lub uważa się, że im większe, tym bardziej drugie. Rzeczywiście, powiększenie (lub zmniejszenie) figury geometrycznej jednocześnie zwiększa (lub zmniejsza) jej powierzchnię i obwód. Na przykład, jeśli kawałek gruntu jest pokazany na mapie w skali 1: 10 000, rzeczywisty obwód gruntu można obliczyć mnożąc obwód reprezentacji przez 10 000, a powierzchnię mnożąc obwód reprezentacji przez 10 000 2 . Jednak nie ma bezpośredniego związku między obszarem a obwodem jakiejkolwiek figury. Na przykład prostokąt o powierzchni równej jednemu metrowi kwadratowemu może mieć wymiary w metrach: 0,5 i 2 (a więc obwód równy 5  m ), ale także 0,001 i 1000 (a więc obwód większy niż 2000  m ). Proklos ( V th  wieku ) informuje, że greccy rolnicy shared „sprawiedliwy” pól wzdłuż ich obwodów, ale z różnych dziedzin. Jednak produkcja pola jest proporcjonalna do obszaru, a nie do obwodu: niektórzy naiwni chłopi byli w stanie uzyskać pola o długich obwodach, ale przeciętny obszar (a zatem żniwa).

Izoperymetria, obszar minimalny

Izoperimetria zajmuje się w szczególności kwestią znalezienia jak największej powierzchni dla danego obwodu. Odpowiedź jest intuicyjna, to dysk . To wyjaśnia, dlaczego w szczególności oczy na powierzchni bulionu mają okrągły kształt.

Ten pozornie nieszkodliwy problem wymaga wyrafinowanych teorii, aby uzyskać rygorystyczną demonstrację. Problem izoperymetryczny jest czasem upraszczany przez ograniczenie autoryzowanych powierzchni. Na przykład szukamy czworokąta lub trójkąta o największej możliwej powierzchni, zawsze dla danego obwodu. Odpowiednimi rozwiązaniami są kwadrat i trójkąt równoboczny . Ogólnie rzecz biorąc, wielokąt o n wierzchołkach o największej powierzchni na danym obwodzie to ten, który znajduje się najbliżej okręgu , jest to wielokąt foremny .

Izoperimetria nie ogranicza się do tych pytań. Poszukujemy również obszaru o jak największej powierzchni dla danego obwodu, o różnej geometrii. Na przykład w przypadku półpłaszczyzny odpowiedzią jest półtarcza.

Koncepcja ta daje początek rodzinie twierdzeń zwanych izoperymetrycznymi , wzrostami zwanych nierównościami izoperymetrycznymi , a także relacji zwanej ilorazem izoperymetrycznym . Nierówność izoperymetryczna wskazuje, że powierzchnia o obwodzie p i powierzchni a spełnia następujący wzrost:

Termin po lewej nazywa się ilorazem izoperymetrycznym, jest równy 1 wtedy i tylko wtedy, gdy powierzchnia jest dyskiem.

Jeśli pochodzenie tego pytania ma co najmniej 2900 lat, to dopiero w 1895 roku , przy użyciu metod wywodzących się z twierdzenia Minkowskiego, problem ten został ostatecznie rozwiązany w jego starożytnej formie. Metody te umożliwiają udowodnienie twierdzenia izoperymetrycznego i uogólnienie go na wyższe wymiary w przypadku geometrii euklidesowej .

Problem izoperymetrii w przestrzeni trójwymiarowej polega na znalezieniu największej objętości zawartej na powierzchni danego obszaru. Odpowiedzią jest kula , która w szczególności ma kształt baniek mydlanych .

Zobacz artykuł izoperimetria, aby poznać podstawowe aspekty tego pytania. Niektóre odpowiedzi, wykorzystujące bardziej wyrafinowane narzędzia matematyczne, zaproponowano w artykule Twierdzenie izoperimetryczne .

Minimalna powierzchnia jest powierzchnią przestrzeni trójwymiarowej, która w pewnych ograniczeń, minimalizuje obszar w sąsiedztwie każdego z jej punktach. Oznacza to, że niewielka zmienność w tym obszarze sprawia, że ​​obszar jest większy. Dla danego zestawu wiązań może istnieć kilka minimalnych powierzchni. Minimalne powierzchnie są spontanicznie pobierane przez folię mydlaną, która spoczywa na ramie, ponieważ takie powierzchnie również minimalizują siły wywierane na folię. Poszukiwanie takich powierzchni nazywa się w matematyce problemem Plateau , wymaga rozumowania rachunku różniczkowego .

Duża powierzchnia

Odwrotnie, pojawia się problem uzyskania dla danej objętości figury o możliwie największej powierzchni. Istnieje matematycznie proste rozwiązanie: powierzchnia bez grubości ma zerową objętość. Takie formy spotykamy w przyrodzie: zielony liść rośliny jest zwykle bardzo cienki, ale szeroki, aby wyeksponować jak największą powierzchnię na słońce, aby promować fotosyntezę . Ale duża powierzchnia blaszki liściowej sprzyja również transpiracji , rośliny muszą walczyć z okresami suszy ( sosny , kaktusy itp.), dlatego często mają grubsze liście w celu zmniejszenia ich powierzchni, a tym samym walczą z wysychaniem.

Inną możliwą strategią jest wzięcie bryły i wywiercenie jej z dużą liczbą otworów. Na przykład gąbka Mengera jest zbudowana z sześcianu podzielonego na trzy równe plasterki wzdłuż każdego z trzech wymiarów. Daje to dwadzieścia siedem równych sześcianów, a następnie usuwamy środkowe kostki. Otrzymujemy wtedy nową bryłę o mniejszej objętości i większej powierzchni niż poprzednia, złożona z dwudziestu sześcianów. Następnie powtarzamy ten sam proces dla każdej z tych dwudziestu kostek, następnie ponownie dla tak otrzymanych kostek itd. Powtarzając ten proces w nieskończoność, otrzymujemy obiekt fraktalny, który ma nieskończoną powierzchnię i objętość równą zero, a jednocześnie ma wymiary (długość, szerokość, głębokość) równe wymiarom sześcianu początkowego. Bardzo wcięte kształty, takie jak gąbka Mengera, występują w naturze, jeśli chodzi o promowanie wymiany między dwoma środowiskami: na przykład płuca ssaków (w celu maksymalizacji wymiany gazowej przy zmniejszonej objętości), skrzela , jelita ...

Powierzchnia właściwa materiału to jego pole powierzchni na jednostkę masy: im większa powierzchnia właściwa, tym więcej obiekt może wymieniać z otoczeniem, tym bardziej jest porowaty. W szczególności powierzchnia właściwa jest ważną cechą fizyczną gleby , która determinuje jej zdolność do zatrzymywania składników odżywczych i wymiany ich z roślinami.

Historia

Wysoka starożytność

Według Herodota , geometria w starożytnym Egipcie pochodzi w potrzebie sprawiedliwie rozdzielić powierzchnie pól uprawnych po powodzi na Nilu . Egipcjanie znali zwykłe wzory obliczania pól wielokątów, a większość zachowanych z tego okresu problemów geometrycznych dotyczy problematyki pól.

W Babilonie pole A obliczono z obwodu P koła, stosując procedurę równoważną ze wzorem:

Nawet znając średnicę koła, skrybowie zawsze obliczali jego obwód (mnożąc średnicę przez 3), aby uzyskać jego powierzchnię. Procedura była następująca, tak jak w tym przykładzie, zaczerpnięta z rozwiązania zadania, w którym poproszono o wyznaczenie objętości kłody cylindrycznej o średnicy 1 +2/3 :

Metoda Babilońska  -  Potrójna 1 +2/3, górna część kłody i 5, obwód kłody, nadejdą. Weź kwadrat 5 i 25 nadejdzie. Pomnóż 25 przez1/12, stała i 2 +1/12, obszar nadejdzie.

W Egipcie obliczenia wykonano na podstawie średnicy D  :

Rozumowanie polegało prawdopodobnie na wpisaniu w kwadrat ośmiokąta i koła . Rysunek obok ilustruje to rozumowanie: jeśli kwadrat ma dla boku średnicę D dysku, ośmiokąt zbudowany na trzecim boku kwadratu ma powierzchnię

.

Powierzchnia tarczy jest uważana za nieco większą niż ośmiokąta, tj.

.

starożytna Grecja

( a + b ) 2 = a 2 + b 2 + 2 ab
rozumując na polach kwadratów.
Ta formuła była już znana Archimedesowi .

Świat arabsko-muzułmański

Al-Khwârizmî w swoim Abrégé du Calcul par la Restauration et la Comparison analizuje i rozwiązuje równania kwadratowe poprzez rozważania geometryczne na polach kwadratów, kontynuując w tym tradycję algebry geometrycznej sięgającej starożytności.

Powierzchnia

Obszar o powierzchni lub mieszkanie lub lewej powierzchni fizycznej jest jego fizycznego środka wyrażone w jednostkach miary . Odpowiednią jednostką systemu międzynarodowego jest metr kwadratowy lub jedna z jego wielokrotności lub podwielokrotności, na przykład ary lub hektary .

Pomiar ten jest czasami określany samym terminem „powierzchnia”, który ma tę samą etymologię.

Obliczenia powierzchni związane z pojęciem plonu rolniczego oraz z opodatkowaniem podatkowym umotywowały koncepcję powierzchni w geometrii . Modelowanie terenu prostą powierzchnią geometryczną pozwala na sprawną ocenę jego powierzchni.

Powierzchnia jednostek administracyjnych (np. we Francji gminy , wydziału itp.) może przybierać kilka różnych wartości w zależności od tego, czy jest mierzona ograniczeniem się do lądu, czy też z uwzględnieniem obszarów wodnych .

Uwagi i referencje

  1. Zalgaller Kudryavtsev .
  2. Faraut 2006 , Przedmowa.
  3. Są to na przykład te trzy, o których wspomina Faraut 2006 , Przedmowa.
  4. Perrin .
  5. Użycie tego terminu komputerowego w odniesieniu do praktyki pochodzącej przynajmniej z okresu paleo-babilońskiego może wydawać się dziwne, ale zostało to potwierdzone w Christine Proust , „  Hoyrup, 2002  ”, Éducmath ,( przeczytaj online ).
  6. Demonstrację przypadków całkowitych i ułamkowych na podstawie przykładów można znaleźć w Tannery 1903 , s.  93-94. Pełniejszą wersję można znaleźć w Perrin , s.  9.
  7. Perrin , s.  9.
  8. Amiot 1870 , s.  159.
  9. Amiot 1870 , s.  160.
  10. Amiot 1870 , s.  162-163.
  11. Zob. podobne rozumowanie np. w Tannery 1903 , s.  100-101 .
  12. Istnieją inne, bardziej ogólne definicje. Dotyczy to zwłaszcza programu nauczania matematyki w ostatnim roku serii naukowej we Francji (Dekret z 20-7-2001. Opublikowany w Dz.U. z 4-8-2001 , s.  67).
  13. Program nauczania matematyki w ostatniej klasie serii naukowej we Francji (Dekret z 20-7-2001. Opublikowany w Dz.U. 4-8-2001 , s.  67).
  14. Garbarnia 1903 , s.  277 i następne, aby uzyskać pełną prezentację z pokazami.
  15. Collette, tom 1 , s.  55.
  16. Dominique Barataud, „  Obszar i obwód  ” , plik dotyczący działań edukacyjnych opracowany przez krajowy think tank na temat nauczania matematyki w systemach przekaźnikowych , na stronie http://eduscol.education.fr/ .
  17. (w) Thomas Little Heath , Historia matematyki greckiej , tom.  2: Od Arystarcha do Diofanta , Dover ,( 1 st  ed. 1921) ( ISBN  978-0-48616265-2 , czytać on-line ) , s.  206.
  18. Bernard Teisssier , „  Tomy des corps convexes, géométrie et algebre  ” , o Instytucie Matematyki Jussieu (lekcja wygłoszona w czwartek, 7 października 1999 r., napisana przez C. Reydy), s.  2 .
  19. „  Problem izoperymetryczny  ” , na temat IREM d'Orléans , s.  2 .
  20. „Problem izoperymetryczny”, na temat IREM d'Orléans , s.  1.
  21. Teisssier 1999 , s.  6.
  22. Trojanow 2009 , s.  318, 336.
  23. Zobacz Co to jest minimalny obszar , filmy z Pałacu Odkrywców .
  24. Hopkins 2003 , s.  159.
  25. Hopkins 2003 , s.  148-149.
  26. Versteegh i in. 2005 , s.  73.
  27. Hopkins 2003 , s.  78.
  28. Joseph i in. 2009 , ok.  21.
  29. Dahan-Dalmedico i Pfeiffer , s.  120-121.
  30. Collette, tom 1 , s.  41-42.
  31. Bezpłatne tłumaczenie i adaptacja Robson 2008 , s.  65.
  32. Collette, tom 1 , s.  95
  33. Tabela jednostek SI uzyskana na stronie Międzynarodowego Biura Miar i Wag .
  34. „Surface”, Słownik historyczny języka francuskiego , Dictionnaires Le Robert 1992.

Zobacz również

Powiązane artykuły

Bibliografia

Mamy nadzieję, że informacje, które zgromadziliśmy na temat Powierzchnia (geometria), były dla Ciebie przydatne. Jeśli tak, nie zapomnij polecić nas swoim przyjaciołom i rodzinie oraz pamiętaj, że zawsze możesz się z nami skontaktować, jeśli będziesz nas potrzebować. Jeśli mimo naszych starań uznasz, że informacje podane na temat _title nie są całkowicie poprawne lub że powinniśmy coś dodać lub poprawić, będziemy wdzięczni za poinformowanie nas o tym. Dostarczanie najlepszych i najbardziej wyczerpujących informacji na temat Powierzchnia (geometria) i każdego innego tematu jest istotą tej strony internetowej; kierujemy się tym samym duchem, który inspirował twórców Encyclopedia Project, i z tego powodu mamy nadzieję, że to, co znalazłeś o Powierzchnia (geometria) na tej stronie pomogło Ci poszerzyć swoją wiedzę.

Opiniones de nuestros usuarios

Jozef Rudnicki

W tym poście o Powierzchnia (geometria) dowiedziałem się rzeczy, których nie znałem, więc mogę już iść spać.

Patrick Karpiński

Dzięki za ten post na Powierzchnia (geometria), właśnie tego potrzebowałem

Bernadeta Cichocki

Język wygląda na stary, ale informacje są wiarygodne i ogólnie wszystko, co napisano o Powierzchnia (geometria), daje dużo pewności.