Konstruktywna analiza

Konstruktywna analiza jest gazi konstruktywnych matematyki . Krytykuje klasyczn analiz matematyczn i stara si oprze analiz na konstruktywnych zasadach. Jest czci nurtu myli konstruktywistycznego lub intuicjonistycznego , którego gównymi czonkami byli Kronecker , Brouwer czy Weyl .

Krytyka analizy klasycznej

Krytyka odnosi si do sposobu, w jaki uywa si pojcia istnienia, dysjunkcji oraz do stosowania rozumowania przez absurd .

Mona uzna, e konstruktywna analiza precyzuje klasyczne twierdzenia i ich dowody poprzez odrónienie twierdze uwaanych za konstruktywne od tych, które nimi nie s. Te ostatnie, klasycznie prawdziwe, wymagaj w konstruktywnej analizie udowodnienia w bardziej skuteczny sposób lub zastpienia ich konstruktywnym stwierdzeniem. To rozrónienie midzy twierdzeniami konstruktywnymi i niekonstruktywnymi nie pozostaje bez zainteresowania, na przykad w moliwoci implementacji procedur numerycznych majcych na celu zastosowanie twierdzenia, nawet jeli analiza konstruktywna nie ogranicza si do tego aspektu algorytmicznego.

Istnienie w matematyce

Rozwa waciwo P w zalenoci od parametru x . Zadajemy sobie pytanie o pokazanie, e istnieje x takie, e P ( x ) jest spenione. Zasadniczo istniej dwa sposoby odpowiedzi na to pytanie:

pierwszym jest zdefiniowanie konkretnego obiektu x, a nastpnie sprawdzenie, czy P ( x ) jest prawdziwe. To jest rzeczywiste istnienie;
druga polega na rozumowaniu przez absurd. Przypuszczamy, e dla wszystkich x P ( x ) nie jest weryfikowane i próbujemy wydedukowa z niego sprzeczno. Jeli nam si uda, dojdziemy do wniosku, e nieistnienie x jest absurdem i dlatego x istnieje. W tego typu dowodach zwykle nie ma moliwoci wyranego zdefiniowania danego x . To formalne istnienie.

Klasyczna analiza matematyczna nie rozrónia tych dwóch poj istnienia, podczas gdy analiza konstruktywna je rozrónia. Zauwaono pierwsze pojcie:

{\ Displaystyle \ istnieje x \; P (x)}

podczas gdy drugi jest odnotowany:

{\ Displaystyle \ neg (\ forall x \; \ neg P (x))}

W konstruktywnej analizie nie s uwaane za identyczne. Pierwsza prowadzi do drugiej, ale odwrotna, prawdziwa w analizie klasycznej, podlegajcej odwoaniu si do rozumowania przez absurd , nie jest uwaana za konstruktywn. Aby zrobi zdjcie dziki Hermannowi Weylowi , w pierwszym przypadku wiemy, e istnieje skarb, a ponadto mamy map wskazujc jego skrytk. W drugim przypadku wiemy, e istnieje skarb, ale nie mamy mapy.

Jako przykad rozwamy dane rzeczywiste x, którego nie wiemy, czy jest racjonalne, czy nieracjonalne (tak jest w przypadku staej Eulera-Mascheroniego ) i chcemy udowodni, e x jest racjonalne. Moemy rozway dwie nastpujce metody demonstracyjne:

zaómy, e x jest irracjonalne i koczy si sprzecznoci;
rozsdnie wprowad dwie liczby cakowite p i q i udowodnij, e x = p / q .

Widzimy, e druga metoda dostarcza wicej informacji ni pierwsza, poniewa nie tylko udowadnia, e x jest wymierne, ale take daje jego posta jako iloraz dwóch jawnych liczb cakowitych, czego nie robi pierwszy dowód. W przypadku analizy konstruktywnej te dwie metody nie s równowane: pierwszy dowód dowodzi, e x jest nieracjonalny, a drugi, e x jest racjonalny. Ale dla konstruktywnej analizy bycie racjonalnym jest silniejsz waciwoci ni bycie nieracjonalnym.

Pojcie dysjunkcji i wykluczona osoba trzecia

W matematyce klasycznej, jeli P i Q s dwoma zdaniami, moemy wykaza, e dysjunkcja jest prawdziwa, pokazujc, e koniunkcja prowadzi do sprzecznoci. Jednak takie podejcie nie pozwala stwierdzi, które z dwóch twierdze jest prawdziwe i nie jest akceptowane w konstruktywnej analizie. Udowodnienie w konstruktywnej analizie oznacza udowodnienie, e P jest prawdziwe lub udowodnienie, e Q jest prawdziwe. ${\ Displaystyle P \ lor Q}$ ${\ displaystyle \ neg P \ land \ neg Q}$ ${\ Displaystyle P \ lor Q}$

Podobnie, jeli P jest jakkolwiek wasnoci, to zdanie jest prawdziwe ( wykluczona trzecia zasada ) w analizie klasycznej, nawet jeli nie mamy pojcia, czy P jest prawdziwe, czy te P jest faszywe. W konstruktywnej analizie nie uznajemy tej zasady. Jeli A jest zbiorem, a P jest wasnoci zalen od parametru x A, fakt twierdzenia, e wszystkie elementy A weryfikuj P lub e jeden z elementów A nie weryfikuje P, nazywa si zasad wszechwiedzy . Nie jest rozpoznawany w konstruktywnej analizie. Wikszo twierdze analizy klasycznej opiera si na tej zasadzie i dlatego uwaa si je za niekonstruktywne. ${\ displaystyle P \ lor \ neg P}$

Niech bdzie seri liczb cakowitych. Fakt twierdzc, e dla wszystkich n , wynosi zero lub e istnieje n takie, e jest niezerowe, nazywa mae zasada wszechwiedzy. Jest równie odrzucany w konstruktywnej analizie. Powód tego jest nastpujcy. Powiedzmy na przykad, e dla n wikszego lub równego 2, jeli 2 n jest rozoone na sum dwóch liczb pierwszych, a jeli nie. Nie mamy dzisiaj adnej metody pozwalajcej stwierdzi, czy wszystkie wyrazy cigu s zerowe, czy nie, odpowied na to pytanie rozwizuje hipotez Goldbacha . ${\ displaystyle (a_ {n})}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ ${\ displaystyle a_ {n} = 0}$ ${\ displaystyle a_ {n} = 1}$ ${\ displaystyle (a_ {n})}$

Rozumowanie przez absurd

Klasycznie stwierdza, e jeli prowadzi do sprzecznoci, to P jest prawdziwe. Zasada ta jest analogiczna do zasady wykluczonej osoby trzeciej i jest równie odrzucana w konstruktywnej analizie. Fakt, który prowadzi do sprzecznoci, pozwala stwierdzi, e jest to prawda, ale podwójna negacja jest uwaana za sabsz ni stwierdzenie. Zatem potwierd efektywne istnienie elementu x speniajcego P. Jego negacj jest . Negacja negacji stwierdza to, co, jak widzielimy powyej, stanowi formalne, ale nieskuteczne istnienie x . ${\ displaystyle \ neg P}$ ${\ displaystyle \ neg P}$ ${\ displaystyle \ neg \ neg P}$ ${\ Displaystyle \ istnieje x \; P (x)}$ ${\ Displaystyle \ forall x \; \ neg P (x)}$ ${\ Displaystyle \ neg (\ forall x \; \ neg P (x))}$

Niektóre zasady

Zatem w konstruktywnej analizie, rozumowaniu absurdem, eliminacji podwójnej negacji, uywaniu wykluczonej trzeciej, unika si kontrapozycji. Pod tym wzgldem podejcie konstruktywnej analizy jest podobne do podejcia logiki intuicjonistycznej . Jednak ta ostatnia logika odrzuca poprzednie zasady, podczas gdy konstruktywna analiza pozwala sobie na ich uycie, o ile s one uzasadnione. Na przykad rozumowanie absurdem prowadzce do dowodu formalnego istnienia jest dopuszczalne, jeli dziedzina, do której si ono odnosi, jest zbiorem skoczonym. Wykluczony jest równie trzecia moliwo porównania dwóch liczb cakowitych lub dwóch racjonalnych liczb x i y : nie mamy albo poniewa istniej algorytmiczne procedury porównywania dwóch liczb cakowitych lub dwie liczby wymierne, ale ten sam wniosek nie zosta przyjty do dwóch liczb rzeczywistych. ${\ displaystyle x> y}$ ${\ displaystyle x \ leq y}$

Dlatego przydatne moe by podanie kilku przykadów niekonstruktywnego i konstruktywnego rozumowania.

Rozumowanie niekonstruktywne

Nastpujce rozumowania, klasycznie prawdziwe, s uwaane za niekonstruktywne, poniewa wymagaj posugiwania si rozumowaniem wedug absurdu lub zasady wykluczonej tercji . Sprecyzujmy, e definicja negacji zdania P polega na tym, e P prowadzi do sprzecznoci. Jednak konstruktywna analiza próbuje obej si bez negacji, proponujc ogólnie dwie definicje odpowiadajce dwóm stwierdzeniom, które byyby klasycznymi wzajemnymi zaprzeczeniami.

Na podstawie dedukcji : koniunkcja A i B prowadzi do sprzecznoci, ale nie pozwala nam wiedzie, które z dwóch zda jest faszywe. Dysjunkcja obu negacji, przyjta klasycznie, nie jest taka w analizie konstruktywnej. ${\ Displaystyle \ neg (A \ ziemia B)}$ ${\ displaystyle \ neg A \ lor \ neg B}$

Od , wywnioskowa, e : klasycznie, korzystanie z contraposed jest wariant rozumowania absurdu. Nie jest to konstruktywnie uzasadnione. ${\ displaystyle \ neg B \ rightarrow \ neg A}$ ${\ displaystyle A \ rightarrow B}$

${\ Displaystyle A \ lor \ neg A}$ ( wykluczone trzecie ): jak powiedzielimy, to klasyczne twierdzenie nie jest konstruktywnie przyjte, poniewa nie wiemy, czy A jest rzeczywicie prawdziwe, czy te A jest faszywe.

${\ displaystyle \ neg \ neg A \ rightarrow A}$ (eliminacja podwójnej negacji): wyjanilimy powyej, e podwójna negacja jest uwaana za sabsz ni afirmacja w konstruktywnej analizie.

Na podstawie wywnioskowa : fakt, e A implikuje B, nie jest uwaany za konstruktywnie wystarczajcy do ustalenia, czy A jest faszywe, czy B jest prawdziwe. Dowód implikacji musi by taki, e dostarcza dowodu B, jeli mamy dowód A. Jeli nie mamy dowodu A, moliwe, e nie mamy równie dowodu . ${\ displaystyle A \ rightarrow B}$ ${\ displaystyle \ neg A \ lor B}$ ${\ displaystyle \ neg A}$

Na podstawie dedukcji : jak ju widzielimy, konstruktywna analiza rozrónia dwa pojcia egzystencji, których tu dotyczy. Z drugiej strony moemy wydedukowa pierwsz, ale nie odwrotnie. ${\ Displaystyle \ neg (\ forall x \; A (x))}$ ${\ Displaystyle \ istnieje x \; \ neg A (x)}$

Konstruktywne rozumowanie

Pokazujemy, e nastpujce rozumowanie nie przemawia do rozumowania absurdu lub wykluczonej osoby trzeciej. Dlatego dopuszcza si ich konstruktywn analiz.

${\ displaystyle \ neg A \ land \ neg B}$ klasycznie, ale take konstruktywnie, odpowiednik . ${\ Displaystyle \ neg (A \ lor B)}$

Z moemy wywnioskowa , ale nie odwrotnie. ${\ displaystyle \ neg A \ lor \ neg B}$ ${\ Displaystyle \ neg (A \ ziemia B)}$

${\ Displaystyle \ Neg (\ istnieje x \; A (x))}$ klasycznie, ale take konstruktywnie, odpowiednik . ${\ Displaystyle \ forall x \; \ neg A (x)}$

Z moemy wywnioskowa , ale nie odwrotnie. ${\ Displaystyle \ istnieje x \; \ neg A (x)}$ ${\ Displaystyle \ neg (\ forall x \; A (x))}$

Elementy analizy

Przedstawiono tu tylko kilka podstawowych poj dotyczcych cigów i funkcji, aby wyjani, czym jest analiza konstruktywna.

Prawdziwe

Analiza konstruktywna opiera swoje pojcia na liczbach cakowitych i wymiernych, uwaanych za obiekty elementarne, z natury konstruktywne. Definicja liczby rzeczywistej przez cig wymiernych Cauchy'ego nie jest uwaana za konstruktywn. Rzeczywicie, znajomo adnego konkretnego elementu cigu nie daje najmniejszej informacji o wartoci rzeczywistoci. Nastpujce definicje zostaj zastpione:

Sekwencja wymierna jest regularna, jeli dla kadego n i m jest cile dodatnia . W analizie konstruktywnej taka sekwencja definiuje rzeczywisty x . ${\ displaystyle (x_ {n})}$ ${\ displaystyle | x_ {n} -x_ {m.} | \ leq {\ dfrac {1} {n}} + {\ dfrac {1} {m.}}}$

Dwa rzeczywiste x i y s równe, jeli dla kadego n , . To jest relacja równowanoci . Na tych rzeczywistych moemy zdefiniowa operacje sumy i iloczynu, maksimum, minimum, wartoci bezwzgldnej, a take nierównoci. Dokadniej :

{\ displaystyle | x_ {n} -y_ {n} | \ leq {\ dfrac {2} {n}}}

cile dodatnia rzeczywista x jest definiowana przez cig regularny i liczb cakowit n tak, e .

{\ displaystyle x_ {n}> {\ dfrac {1} {n}}}

Prawdziwy x jest dodatni lub zerowy, jeeli dla kadego n , .

{\ displaystyle x_ {n} \ geq - {\ dfrac {1} {n}}}

Prawdziwy x wynosi zero, jeli dla kadego n , .

{\ displaystyle | x_ {n} | \ leq {\ dfrac {1} {n}}}

Rzeczywiste x inne ni 0 jest definiowane przez regularn sekwencj i liczb cakowit n tak, e .

{\ displaystyle | x_ {n} |> {\ dfrac {1} {n}}}

Mona wykaza, e dla wszystkich n , co pozwala zrozumie póniejsze sformuowanie poprzednich definicji. ${\ displaystyle | x_ {n} -x | \ leq {\ dfrac {1} {n}}}$

Powinnimy uwaa, aby pokaza, e x nie jest zerem, musimy wyranie zdefiniowa n takie, e . Samo wykazanie, e warunek prowadzi do sprzecznoci, nie jest konstruktywnie wystarczajce. Tym samym nie pozwala wywnioskowa w konstruktywnej analizie , e z powodu braku danych n . Z drugiej strony powoduje to . Konkretnie, fakt, który prowadzi do sprzecznoci klasycznie oznacza, e x nie jest zerem, a zatem istnieje na przykad niezerowa cyfra w jej rozwiniciu dziesitnym, ale to nie pozwala nam powiedzie, jaka jest ranga tego dziesitnego. Dlatego po raz kolejny widzimy pojawienie si formalnego istnienia niedopuszczalnego w konstruktywnej analizie. I odwrotnie, jeli x jest niezerowe w sensie konstrukcyjnym, wówczas moemy okreli rzd niezerowej liczby dziesitnej. Liczbowo rónica jest istotna, bo w drugim przypadku znamy dokadno, z jak naley wykona obliczenia, aby odróni x od 0, podczas gdy w pierwszym przypadku j ignorujemy. Dlatego te konstruktywna analiza odrónia siln rónic od sabej rónicy . ${\ displaystyle | x_ {n} |> {\ dfrac {1} {n}}}$ ${\ displaystyle \ forall n \; | x_ {n} | \ leq {\ dfrac {1} {n}}}$ ${\ Displaystyle \ neg (x = 0)}$ ${\ Displaystyle x \ neq 0}$ ${\ Displaystyle x \ neq 0}$ ${\ Displaystyle \ neg (x = 0)}$ ${\ displaystyle x = 0}$ ${\ Displaystyle x \ neq 0}$ ${\ Displaystyle \ neg (x = 0)}$

Podobnie, jeli to wiemy , moemy to wywnioskowa , skoro wniosek jest napdzany zarówno przez pierwsze zdanie dysjunkcji, jak i przez drugie. Ale odwrotno nie jest wana w konstruktywnej analizie. Mona bardzo dobrze mie, nie bdc w stanie okreli, które z dwóch zda jest prawdziwe lub które jest prawdziwe. ${\ Displaystyle x = 0 \ lor x> 0}$ ${\ displaystyle x \ geq 0}$ ${\ displaystyle x \ geq 0}$ ${\ displaystyle x = 0}$ ${\ displaystyle x> 0}$

Wreszcie tak , ale odwrotno nie jest akceptowana w konstruktywnej analizie. ${\ displaystyle x> 0}$ ${\ displaystyle \ neg (x \ leq 0)}$

Przykady konstruktywnych stwierdze

Jeli , to istnieje takie pozytywne rozumowanie . Ta waciwo jest konstruktywnie pokazana w nastpujcy sposób. Rzeczywiste x jest okrelone przez regularn sekwencj i istnieje (jawnie implikowana) liczba cakowita n taka, e . Pozwól nam podj racjonalne dla . Tak jak mamy: ${\ displaystyle x> 0}$ ${\ displaystyle a <x}$ ${\ displaystyle (x_ {n})}$ ${\ displaystyle x_ {n}> {\ dfrac {1} {n}}}$ ${\ Displaystyle {\ dfrac {1} {2}} (x_ {n} - {\ dfrac {1} {n}})}$ ${\ displaystyle | x-x_ {n} | \ leq {\ dfrac {1} {n}}}$

{\ Displaystyle xa \ geq x_ {n} - {\ dfrac {1} {n}} - a = {\ dfrac {1} {2}} (x_ {n} - {\ dfrac {1} {n}} )> 0}

Jeli wtedy lub . Konstruktywny dowód polega najpierw na okreleniu racjonalnego a takiego, e . Nastpnie okrelamy racjonalne u takie, e . Aby to zrobi, wystarczy wzi liczb cakowit N mniejsz ni i wybra dla u wyraz cigu regularnego definiujcego x . W ten sam sposób okrelamy racjonalne v takie, e . Mamy wtedy . Jeden z dwóch wymiernych Ü i V jest zatem cile wiksze ni , i jest wyranie zarówno znane, moemy wiedzie, który z nich. Jeli to jest u , nastpnie . Jeli to jest v , to . ${\ displaystyle x + y> 0}$ ${\ displaystyle x> 0}$ ${\ displaystyle y> 0}$ ${\ displaystyle a <x + y}$ ${\ displaystyle | xu | <{\ dfrac {a} {4}}}$ ${\ displaystyle {\ dfrac {a} {4}}}$ ${\ displaystyle x_ {N}}$ ${\ displaystyle | yv | <{\ dfrac {a} {4}}}$ ${\ Displaystyle u + v \ geq x + y- | xu | - | yv |> {\ dfrac {a} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ dfrac {a} {4}}}$ ${\ displaystyle x> 0}$ ${\ displaystyle y> 0}$

Jeli x i y s dwoma danymi rzeczywistymi, zdanie lub nie jest akceptowane w analizie konstruktywnej. Wemy n-t cyfr dziesitn x równ 1, jeli n jest nieparzyst liczb doskona, a 0 w przeciwnym razie, a y = 0. Nie wiemy, jak konstruktywnie to pokaza lub . Z drugiej strony, jeli y i z s podane z , przyblione obliczenie z wystarczajc liczb miejsc po przecinku umoliwi skuteczne okrelenie jednego z dwóch stwierdze lub . Moemy przedstawi ogólny konstruktywny dowód tego wyniku. Wystarczy, e to zauway i zastosuje poprzedni wynik, aby wydedukowa, e lub . Ten wynik jest fundamentalny, poniewa opiera si na nim wiele konstruktywnych demonstracji. ${\ displaystyle x> y}$ ${\ displaystyle x \ leq y}$ ${\ displaystyle x> y}$ ${\ displaystyle x \ leq y}$ ${\ displaystyle y <z}$ ${\ displaystyle x> y}$ ${\ displaystyle x <z}$ ${\ Displaystyle 0 <Zy = (zx) + (xy)}$ ${\ displaystyle zx> 0}$ ${\ displaystyle xy> 0}$

Suites

Konstruktywnie, cig liczb rzeczywistych zbiega si do liczby rzeczywistej l, jeli dla kadej liczby cakowitej k istnieje taka liczba cakowita , e dla kadej liczby cakowitej n wikszej lub równej mamy . Definicja musi by jednoznaczna z k . Na przykad sekwencja zbiega si do 0. Wystarczy wzi . ${\ displaystyle (x_ {n})}$ ${\ displaystyle N_ {k}}$ ${\ displaystyle N_ {k}}$ ${\ displaystyle | x_ {n} -l | \ równowanik {\ dfrac {1} {k}}}$ ${\ displaystyle N_ {k}}$ ${\ displaystyle ({\ dfrac {1} {n}})}$ ${\ displaystyle N_ {k} = k}$

Sekwencja jest cigiem Cauchy'ego, jeli dla wszystkich liczb cakowitych k istnieje taka liczba cakowita , e mamy dla wszystkich liczb cakowitych n i m wikszych lub równych . Moemy wykaza w konstruktywnej analizie, e szereg liczb rzeczywistych zbiega si wtedy i tylko wtedy, gdy jest to Cauchy'ego, co jest wynikiem analogicznym do analizy klasycznej, ale z konstruktywnymi definicjami. ${\ displaystyle N_ {k}}$ ${\ displaystyle N_ {k}}$ ${\ displaystyle | x_ {n} -x_ {m.} | \ leq {\ dfrac {1} {k}}}$

Jednak w analizie klasycznej zwikszona rzeczywista rosnca sekwencja jest zbiena, podczas gdy ten wynik nie jest akceptowany w analizie konstruktywnej. Rozwa rosnc sekwencj liczb cakowitych równ 0 lub 1, ale której nie wiemy, czy wszystkie wyrazy w cigu s równe zero. Klasycznie granica tej sekwencji wynosi 0 lub 1, ale nie jestemy w stanie jednoznacznie powiedzie, czym jest ta granica. Konstruktywnie nastpujce elementy nie bd uznawane za majce ograniczenia.

Górna granica

Poprzedni akapit pokazuje, e pojcie górnej granicy równie stwarza problem w konstruktywnej analizie. Klasycznie, kady zestaw liczb rzeczywistych dodatnich przyznaje górn granic. Jednak generalnie niemoliwe jest podanie przyblionej wartoci. Istnienie takiej granicy jest w tym przypadku czysto formalne i nie jest dopuszczalne w konstruktywnej analizie. Rozwamy znowu sekwencj, w której, dla kadego n , oznacza 0 lub 1. Tradycyjnie, górna granica tej sekwencji wynosi zero, jeli wszystkie warunki s kolejno do zera, a jest równe 1, gdy jedna z nich nie ma. Dokadne okrelenie górnej granicy odwouje si do wspomnianej powyej zasady wszechwiedzy. Ale generalnie nie jestemy w stanie okreli, które z dwóch zda jest prawdziwe, nawet jeli mamy definicj lub algorytm umoliwiajcy okrelenie dla kadego podanego n . W takim przypadku klasyczny analityk powie, e istnieje górna granica, ale o tym nie wie. Konstruktywistyczny analityk powie, e ta górna granica nie jest zdefiniowana i odmówi rozwaenia jakiegokolwiek rozumowania opartego na jej istnieniu. ${\ displaystyle (x_ {n})}$ ${\ displaystyle x_ {n}}$ ${\ displaystyle x_ {n}}$

W analizie konstruktywnej moemy pokaza, e ograniczona cz A woli rzeczywicie dopuszcza górn granic wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej pary ( x , y ) liczb rzeczywistych z , to albo y gównych A, albo x nie ma jej majestatu. Biorc pod uwag par, musimy zatem wyranie okreli, która alternatywa jest prawdziwa, i w przypadku, gdy x nie nakada si na A, wyranie pokaza element a z A taki, e . Istnienie jest udokumentowane przez podkrelenie regularnej sekwencji, która okrela t górn granic. Jest to zatem znane liczbowo za pomoc przyblionych wartoci z dowoln podan precyzj. Tak jest w przypadku reszty . Nie jest tak w przypadku sekwencji , gdzie jeli n jest liczb nieparzyst doskonay i = 0 w pozostaych przypadkach. Sytuacja moe si zmieni w przyszoci w drugim przypadku, w zalenoci od wzrostu naszej wiedzy, ale nasza obecna ignorancja wskazuje na niekonstruktywny charakter pojcia górnej granicy w ogóle. ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle x <y}$ ${\ displaystyle x <a}$ ${\ displaystyle (1 - {\ dfrac {1} {n}})}$ ${\ displaystyle (x_ {n})}$ ${\ displaystyle x_ {n} = 1}$

Funkcje

W analizie klasycznej pokazano, e funkcja ciga na segmencie jest jednostajnie ciga . Ale dowód opiera si na niekonstruktywnych zasadach formalnego istnienia, takich jak twierdzenie Bolzano-Weierstrassa . Konstruktywna analiza nie moe udowodni tego twierdzenia. W zwizku z tym okrelenie cigo funkcji f na przedziau i tym, e jest równomiernie ciga na segmencie J wczone I . Dlatego te centralnym pojciem w konstruktywnej analizie jest jednolita cigo, nadana przez modu cigoci . Dla caej liczby cakowitej k musimy by w stanie poda tak liczb rzeczywist , e dla wszystkich x i y z J otrzymamy tak szybko, jak . ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ Displaystyle \ omega (k)}$ ${\ Displaystyle | f (x) -f (y) | <{\ dfrac {1} {k}}}$ ${\ Displaystyle | xy | <\ omega (k)}$

Moemy wykaza w konstruktywnej analizie, e funkcja ciga na segmencie dopuszcza górn granic i doln granic, ale ogólnie nie moemy pokaza, e te granice s maksimum i minimum w tym sensie, e konieczne byoby wykazanie x w którym osignito maksimum lub minimum. Rozwamy na przykad waciwo P na liczbach cakowitych, w przypadku których nie wiemy, czy lub wrcz przeciwnie (w sensie konstrukcyjnym nie mamy dowodu pierwszego ani drugiego stwierdzenia). Ustawmy jeli jest prawdziwa, jeli jest faszywe i n nawet, jeli jest faszywe i n nieparzyste. Na koniec pozujmy . Nie jestemy w stanie powiedzie, czy a jest równe zero, cile dodatnie czy cile ujemne. Jeli wemiemy pod uwag funkcj f afiniczn cigle i dalej , tak e i , klasyczny analityk powie, e f dopuszcza maksimum, ale nie bdzie w stanie powiedzie, czy to maksimum jest osigane w 0, czy w . Konstruktywistyczny analityk ograniczy si do stwierdzenia, e f przyjmuje górn granic równ max (0, a ), numeryczne przyblienie tego, które mona osign z dowoln precyzj. ${\ Displaystyle \ forall n \; P (n)}$ ${\ Displaystyle \ istnieje n \; \ neg P (n)}$ ${\ displaystyle a_ {n} = 0}$ ${\ Displaystyle P (n)}$ ${\ displaystyle a_ {n} = 1}$ ${\ Displaystyle P (n)}$ ${\ displaystyle a_ {n} = - 1}$ ${\ Displaystyle P (n)}$ ${\ displaystyle a = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ dfrac {a_ {n}} {3 ^ {n}}}}$ ${\ displaystyle [0, {\ dfrac {1} {2}}]}$ ${\ displaystyle [{\ dfrac {1} {2}}, 1]}$ ${\ Displaystyle f (0) = f (1) = 0}$ ${\ displaystyle f (1/2) = a}$ ${\ displaystyle {\ dfrac {1} {2}}}$

Twierdzenie o wartociach porednich

Klasyczne twierdzenie wartoci poredniej nie jest ujta w zwyczajowo analizy. Jej wykazanie opiera si na pojciu górnej granicy, której ogólne istnienie nie jest konstruktywne.

Inny klasyczny dowód tego twierdzenia opiera si na dychotomii , ale nie jest te konstruktywny. Niech to jest podane w poprzednim akapicie, oraz okreli f afinicznej na , i z , , . Poszukajmy prawdziwego c takiego, e . Metoda dychotomii oblicza i musi okreli, czy a jest równe zero, cile dodatnie czy cile ujemne, co zwykle nie jest moliwe. W omawianym przypadku nie mona powiedzie, czy c jest mniejsze ni 1/3, wiksze ni 2/3, czy te mona je w midzyczasie przyj . ${\ displaystyle [0, {\ dfrac {1} {3}}]}$ ${\ displaystyle [{\ dfrac {1} {3}}, {\ dfrac {2} {3}}]}$ ${\ displaystyle [{\ dfrac {2} {3}}, 1]}$ ${\ Displaystyle f (0) = - 1}$ ${\ displaystyle f (1/3) = f (2/3) = a}$ ${\ Displaystyle f (1) = 1}$ ${\ displaystyle f (c) = 0}$ ${\ displaystyle f (1/2) = a}$ ${\ displaystyle [{\ dfrac {1} {3}}, {\ dfrac {2} {3}}]}$

W zwizku z tym analiza konstruktywna proponuje alternatywne stwierdzenie w stosunku do twierdzenia o wartociach porednich. Niech f kontynuuje na segmencie i takie tam . Nastpnie dla wszystkich i wszystkie r z istnieje x tak, e . ${\ displaystyle [0,1]}$ ${\ Displaystyle f (0) <f (1)}$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ ${\ Displaystyle [f (0), f (1)]}$ ${\ Displaystyle | f (x) -y | <\ varepsilon}$

Efektywne istnienie x takiego, które mona uzyska wzmacniajc hipotezy, na przykad okrelajc, e f jest cile zwikszane. Demonstracja jest wtedy dokonywana nie przez dychotomi, ale trychotomi. Konstruujemy seri zagniedonych segmentów . Podobnie , konstruktywnie mona zdecydowa, czy lub czy , i jednoznacznie zdefiniowa jako równe lub równe . Rzeczywiste x jest wtedy granic cigów i . ${\ Displaystyle f (x) = y}$ ${\ displaystyle [a_ {n}, b_ {n}]}$ ${\ displaystyle f (a_ {n} + {\ dfrac {b_ {n} -a_ {n}} {3}}) <f (a_ {n} +2 {\ dfrac {b_ {n} -a_ {n }} {3}})}$ ${\ displaystyle y> f (a_ {n} + {\ dfrac {b_ {n} -a_ {n}} {3}})}$ ${\ displaystyle y <f (a_ {n} +2 {\ dfrac {b_ {n} -a_ {n}} {3}})}$ ${\ displaystyle [a_ {n + 1}, b_ {n + 1}]}$ ${\ displaystyle [a_ {n}, a_ {n} +2 {\ dfrac {b_ {n} -a_ {n}} {3}}]}$ ${\ displaystyle [a_ {n} + {\ dfrac {b_ {n} -a_ {n}} {3}}, b_ {n}]}$ ${\ displaystyle (a_ {n})}$ ${\ displaystyle (b_ {n})}$

Zasady wszechwiedzy

Zasada polega na wszechwiedzy stwierdzajc, e jeli jest zbiorem i P jest nieruchomo w zalenoci od parametru x element A , a nastpnie wszystkie elementy A zweryfikowa P lub jeden z elementów A nie weryfikuje P . Jest to klasyczna waciwo wynikajca z zasady wykluczonej tercji , ale jej uycie generalnie wskazuje na stwierdzenie lub niekonstruktywn demonstracj. Dlatego jego uycie nie jest dozwolone w konstruktywnej analizie.

Najczciej niebdcego konstruktywna propozycja wykorzystuje ma zasad wszechwiedzy, który stanowi, e jeeli jest cigiem liczb cakowitych, to dla wszystkich n , wynosi zero lub istnieje n takie, e jest niezerowe. W analizie konstruktywnej jest ona odrzucana, poniewa nie ma algorytmu pozwalajcego zdecydowa, która z dwóch waciwoci jest weryfikowana. Program taki jak: ${\ displaystyle (a_ {n})}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$

n : = 1

while a _n = 0 do n : = n + 1 end while

w kocu znajdzie indeks n, na przykad jeli taki indeks istnieje, ale bdzie zaptla si w nieskoczono, jeli nie istnieje. Ta maa zasada jest równowana stwierdzeniu, e dla dowolnego rzeczywistego x albo x wynosi zero, albo x nie jest zerem. W analizie konstruktywnej znamy liczby rzeczywiste x, dla których nie mamy dowodu ani na to, e s zerowe, ani na to, e nie s zerowe, tak wic dysjunkcji nie mona konstruktywnie udowodni. ${\ displaystyle a_ {n} \ neq 0}$

Od maego zasad wszechwiedzy, moemy wydedukowa nastpujc zasad, e zasada Markowa : dla wszystkich rzeczywistych x , . Sprowadza si to równie do stwierdzenia, e dla kadej sekwencji liczb cakowitych . Ale moemy wróci do maej zasady wszechwiedzy z zasady Markowa jedynie poprzez rozumowanie absurdalne. W rezultacie w konstruktywnej analizie zasada Markowa jest uwaana za sabsz i mniej restrykcyjn ni maa zasada wszechwiedzy. Ponadto zasada Markowa ma specjalny status. Nie znamy adnego konstruktywnego dowodu na to, który skoniby go do odrzucenia, ale nie znamy adnego kontrprzykadu w konstruktywnej analizie. Rzeczywicie, w wikszoci systemów logicznych, w tym konstruktywnych, dowód polega na dowodzeniu . Jego status jako konstruktywnego aksjomatu jest zatem przedmiotem debaty. ${\ Displaystyle \ neg (x = 0) \ rightarrow x \ neq 0}$ ${\ displaystyle (a_ {n})}$ ${\ displaystyle \ neg (\ forall n \; a_ {n} = 0) \ rightarrow \ istnieje n \; a_ {n} \ neq 0}$ ${\ Displaystyle \ Neg (\ forall n \; a_ {n} = 0)}$ ${\ Displaystyle \ istnieje n \; a_ {n} \ neq 0}$

Zasada Markowa ma równie znaczenie w nastpnym pytaniu. Mówi si, e funkcja f jest sabo iniekcyjna, jeli . Mówi si jednak, e jest silnie iniekcyjny . W analizie konstruktywnej funkcja silnie iniekcyjna jest sabo iniekcyjna, ale odwrotnie wymaga zastosowania zasady Markowa. ${\ displaystyle \ forall x \ forall y \; (f (x) = f (r) \ rightarrow x = y)}$ ${\ Displaystyle \ forall x \ forall y \; (x \ neq y \ rightarrow f (x) \ neq f (y))}$

Zobacz te

Bibliografia

Gówne postpy w konstruktywnej analizie poczyni Erret Bishop:

(en) Erret Bishop, Foundations of Constructive Mathematics , McGraw Hill (1967)
(en) Erret Bishop, Douglas Bridges, Constructive Analysis , Springer-Verlag (1985)
(en) Hermann Weyl, The Continuum: A Critical Examination of the Foundations of Analysis , Thomas Jefferson University Press (1987)

Linki zewntrzne

(pl) Konstruktywna matematyka na stronie ncatlab.org

Uwagi i odniesienia

Na ten temat mona przeczyta Thierry Coquant, Herbrand i program Hilberta , Gazette of the SMF, nr 118, padziernik 2008, dostpny w Mathematical Society of France, The naukowe dziedzictwo Jacquesa Herbranda [PDF] .
Nieuchwytn waciwo nazywamy waciwoci, której prawdziwo lub fasz moemy zweryfikowa dla dowolnej liczby cakowitej, ale której nie wiemy, czy jest ona prawd, czy faszem dla wszystkich liczb cakowitych. Ten typ wasnoci pozwala zrozumie rónic midzy analiz klasyczn a analiz konstruktywn. por. Jean Cavaillès, Aksjomatyka metod i formalizm, esej o problemie podstaw matematyki , Hermann, 1981, s. 35 i nast.

[1] Na ten temat mona przeczyta Thierry Coquant, Herbrand i program Hilberta , Gazette of the SMF, nr 118, padziernik 2008, dostpny w Mathematical Society of France, The naukowe dziedzictwo Jacquesa Herbranda [PDF] .

[2] Nieuchwytn waciwo nazywamy waciwoci, której prawdziwo lub fasz moemy zweryfikowa dla dowolnej liczby cakowitej, ale której nie wiemy, czy jest ona prawd, czy faszem dla wszystkich liczb cakowitych. Ten typ wasnoci pozwala zrozumie rónic midzy analiz klasyczn a analiz konstruktywn. por. Jean Cavaillès, Aksjomatyka metod i formalizm, esej o problemie podstaw matematyki , Hermann, 1981, s. 35 i nast.

Konstruktywna analiza

streszczenie