Kompleksowa analiza
Informacje, które udało nam się zgromadzić na temat Kompleksowa analiza, zostały starannie sprawdzone i uporządkowane, aby były jak najbardziej przydatne. Prawdopodobnie trafiłeś tutaj, aby dowiedzieć się więcej na temat Kompleksowa analiza. W Internecie łatwo zgubić się w gąszczu stron, które mówią o Kompleksowa analiza, a jednocześnie nie podają tego, co chcemy wiedzieć o Kompleksowa analiza. Mamy nadzieję, że dasz nam znać w komentarzach, czy podoba Ci się to, co przeczytałeś o Kompleksowa analiza poniżej. Jeśli informacje o Kompleksowa analiza, które podajemy, nie są tym, czego szukałeś, daj nam znać, abyśmy mogli codziennie ulepszać tę stronę.
.
Kompleks analiza jest dziedzin matematyki dotyczcych funkcji do wartoci kompleksów (lub, bardziej ogólnie, do wartoci w ° C - miejsca wektora ), która jest róniczkowaln w odniesieniu do jednego lub wikszej liczby zmiennych kompleksy.
Funkcje dajce si wyprowadza na otwartej paszczynie zespolonej nazywane s holomorficznymi i posiadaj wiele silniejszych waciwoci ni te weryfikowane przez funkcje wyprowadzalne w analizie rzeczywistej . Midzy innymi kada funkcja holomorficzna jest analityczna i weryfikuje zasad maksimum .
Zasada izolowanych zer umoliwia zdefiniowanie pola z meromorficznych funkcji jako zbiór ilorazów funkcji cakowitych , to znaczy funkcji holomorficznych okrelonych na caej paszczynie zespolonej. Wród tych funkcji meromorficznych, e funkcje homograficzne tworz grup , która dziaa w zakresie Riemanna , skada si z paszczyzny zespolonej obdarzon punktu w nieskoczonoci .
Te analityczne rozszerze prowadzi do okrelenia powierzchni Riemanna , które sprawiaj, e moliwe jest zmniejszenie do funkcji rzeczywistych (z których s one w noniku) z MULTIFUNKCJA takie jak pierwiastka lub kompleksu logarytmu .
Badanie funkcji kilku zmiennych zoonych otwiera drog do zoonej geometrii .
Zoona pochodna
Definicja zoonej pochodnej
- ,
jest pod kadym wzgldem podobny do pochodnej rzeczywistej, z t rónic, e operacje na polu (tutaj odejmowanie i dzielenie) s zastpowane dziaaniami z kompleksów.
Zoona wyprowadzalno ma znacznie silniejsze konsekwencje ni rzeczywista wyprowadzalno . Na przykad dowoln funkcj holomorficzn mona wywoa w caych seriach na dowolnym otwartym dysku objtym jej definicj, która musi by otwarta, a zatem jest równowana funkcji analitycznej . W szczególnoci funkcje holomorficzne s nieskoczenie róniczkowalne, co na ogó nie ma miejsca w przypadku rzeczywistych funkcji wyprowadzalnych. Wikszo elementarne funkcje, takie jak funkcje wielomianowe , w funkcji wykadniczej oraz funkcji trygonometrycznych s holomorficzna.
Z drugiej strony pewne operacje stwarzaj nowe trudnoci, takie jak poszukiwanie funkcji prymitywnej lub odwrotnej , a tym bardziej rozwizanie równania róniczkowego . Aby móc wykonywa te operacje, naley wzi pod uwag topologiczny charakter dziedziny definicji (kwestie cznoci , prostego poczenia ).
Caka krzywoliniowa
Potnym narzdziem w analizie zoonej jest caka krzywoliniowa . Caka na zamknitej ciece funkcji, która jest holomorficzna wszdzie wewntrz sektora ograniczonego ciek zamknit, jest zawsze równa zeru; to jest cakowe twierdzenie Cauchy'ego . Warto funkcji holomorficznej w punkcie mona obliczy za pomoc caki krzywoliniowej na zamknitej ciece wokó tego punktu. Ten ostatni wynik, znany pod nazw wzoru cakowego Cauchy'ego , jest niezbdny do ustalenia teoretycznych wyników funkcji holomorficznych.
Caki wzdu cieki w paszczynie zespolonej s czsto uywane do wyznaczania rzeczywistych caek uogólnionych za pomoc teorii reszt . Jeli funkcja ma osobliwo w pewnym punkcie ( biegun lub osobliwo istotna ), co oznacza, e jej wartoci "eksploduj" i nie przyjmuj w tym miejscu wartoci skoczonej, to reszt funkcji moemy zdefiniowa w ten punkt, a te reszty mog by uyte do obliczenia caek, nastpujcych po ciekach, obejmujcych funkcj; to jest tre potnego twierdzenia o resztach .
Niezwyke zachowanie funkcji holomorficznych w pobliu istotnych osobliwoci jest opisane przez twierdzenie Weierstrassa-Casoratiego (lub ponownie twierdzenie Picarda) Funkcje, które maj tylko bieguny i nie maj zasadniczych osobliwoci, nazywane s funkcjami meromorficznymi . W serii Laurent s podobne do szeregu Taylora , ale wykorzystywane s do badania zachowania funkcji holomorficznych pobliu osobliwoci.
Cae funkcje
Cay (tj holomorficzny w caej paszczynie zespolonej) i funkcja ograniczona jest koniecznie staa; to jest stwierdzenie twierdzenia Liouville'a . Mona go uy do dostarczenia krótkiego i naturalnego dowodu na podstawowe twierdzenie algebry (lub twierdzenie d'Alemberta-Gaussa), które stwierdza, e pole liczb zespolonych jest algebraicznie zamknite , innymi sowy, e kady wielomian o wspóczynnikach zespolonych stopnia wikszy lub równy 1, przyznaje co najmniej jeden pierwiastek.
Rozszerzenie analityczne
Wan waciwoci funkcji holomorficznych jest to, e jeli funkcja jest holomorficzna w powizanej dziedzinie , to jej wartoci s cakowicie okrelone przez jej wartoci w kadej mniejszej subdomenie. Mówi si, e funkcja zdefiniowana na najwikszym polu jest rozszerzana analitycznie z jej wartoci na najmniejszym polu. Pozwala to na rozszerzenie definicji funkcji, takich jak funkcja Riemanna, które s pocztkowo zdefiniowane jako sumy szeregów, które zbiegaj si tylko w ograniczonych dziedzinach, na prawie ca paszczyzn zespolon. Czasami, jak w przypadku logarytmu zespolonego , niemoliwe jest analityczne rozszerzenie do funkcji holomorficznej w dziedzinie, która nie jest po prostu poczona w paszczynie zespolonej, ale mona j rozszerzy do funkcji holomorficznej na blisko spokrewnionej powierzchni , zwanej a surface autorstwa Riemanna .
Rozszerzenia: powierzchnie Riemanna, zoona analiza wielowymiarowa, zoona geometria
Teoria rozszerzenia analitycznego prowadzi do nieoczekiwanych trudnoci w przypadku funkcji tak prostych, jak pierwiastek kwadratowy lub logarytm zespolony . Pojcie funkcji wielowartociowej , wprowadzone w celu ich rozwizania, napotkao wiele problemów technicznych, które móg rozwiza jedynie Bernhard Riemann , dziki wprowadzeniu powierzchni noszcych jego imi , a których badanie jest naturalnym uogólnieniem analizy zoonej.
Jest równie bardzo bogate teoria zoonej analizy funkcji wielu zmiennych zespolonych , w których waciwoci analityczne, takie jak rozszerzenie serii cakowit zawsze prawdziwe, gdy wikszo waciwoci geometrycznych funkcji holomorficznymi z jednej zmiennej kompleksu (np konformalnej reprezentacja ) nie s ju sprawdzane. Riemann reprezentacja twierdzenie o zgodnoci relacji midzy niektórych pól w paszczynie zespolonej, która jest chyba najwaniejszy wynik w teorii jednowymiarowej nie cakowicie w wyszych wymiarach.
Kompleksowa analiza jest jednym z tradycyjnych gazi matematyki podnosi swoje fundamenty w XIX th century, a tu przed. Najwaniejszymi budowniczymi tej teorii s matematycy Euler , Gauss , Riemann , Cauchy , Weierstrass ; wielu innych z XX -tego wieku przyszed zrobi ich troch. Tradycyjnie analiza zoona, w szczególnoci teoria reprezentacji konformalnej , ma wiele zastosowa w technologii, ale jest równie wykorzystywana w analitycznej teorii liczb .
W dzisiejszych czasach sta si bardzo popularny dziki nowemu naciskowi w zoonej dynamice i obrazach fraktalnych wytwarzanych najczciej przez iteracj funkcji holomorficznych, z których najpopularniejszym jest zestaw Mandelbrota . Innym wanym zastosowaniem skomplikowanej analizy dzisiaj jest teoria strun , która jest niezmienna konforemnie (w) teoria pola kwantowego .
Bibliografia
- (fr) Ten artyku jest czciowo lub w caoci zaczerpnity z artykuu Wikipedii w jzyku angielskim zatytuowanego Analiza zoona ( zobacz list autorów ) .
- Henri Cartan , Elementarna teoria funkcji analitycznych jednej lub wicej zmiennych zoonych [ szczegóy wydania ]
- Jean Dieudonné , Calculus infinitesimal [ szczegóy wydania ]
Zobacz te
Wykad Michèle Audin , analiza Complex [PDF] , na Uniwersytecie w Strasburgu
Mamy nadzieję, że informacje, które zgromadziliśmy na temat Kompleksowa analiza, były dla Ciebie przydatne. Jeśli tak, nie zapomnij polecić nas swoim przyjaciołom i rodzinie oraz pamiętaj, że zawsze możesz się z nami skontaktować, jeśli będziesz nas potrzebować. Jeśli mimo naszych starań uznasz, że informacje podane na temat _title nie są całkowicie poprawne lub że powinniśmy coś dodać lub poprawić, będziemy wdzięczni za poinformowanie nas o tym. Dostarczanie najlepszych i najbardziej wyczerpujących informacji na temat Kompleksowa analiza i każdego innego tematu jest istotą tej strony internetowej; kierujemy się tym samym duchem, który inspirował twórców Encyclopedia Project, i z tego powodu mamy nadzieję, że to, co znalazłeś o Kompleksowa analiza na tej stronie pomogło Ci poszerzyć swoją wiedzę.