Geometria

Róne przestrzenie geometrii klasycznej mona bada za pomoc topologii, geometrii róniczkowej i geometrii algebraicznej.

Projektowanie geometrii

Wedug autorów geometria przyjmuje wiele znacze. W cisym sensie geometria to studium ksztatów i rozmiarów figur. Ta definicja jest zgodna z pojawieniem si geometrii jako nauki w cywilizacji greckiej w okresie klasycznym . Wedug raportu Jean-Pierre'a Kahane'a definicja ta pokrywa si z ide, jak ludzie maj o geometrii jako nauczanym przedmiocie: jest to miejsce, w którym uczymy si rozumie przestrze  .

W 1739 Leonhard Euler bada problem siedmiu mostów królewieckich  ; jego praca jest uwaana za jeden z pierwszych wyników geometrii niezalenej od jakichkolwiek pomiarów, które zostan zakwalifikowane jako topologiczne. Pytania zadawane w trakcie XIX ^th  century doprowadzio do ponownego przemylenia pojcia formy i przestrzeni , odrzucajc sztywno odlegoci euklidesowych. Rozwaono moliwo cigego deformowania powierzchni bez zachowania indukowanej metryki, na przykad deformacji kuli w elipsoid. Badanie tych deformacji doprowadzio do powstania topologii ^{[ref. konieczne]}  : jej przedmiotem bada s zbiory , przestrzenie topologiczne , których pojcie bliskoci i cigoci definiuje wspólnie pojcie ssiedztwa . Wedug niektórych matematyków topologia jest integraln czci geometrii, a nawet jej podstawow gazi. Ta klasyfikacja moe by kwestionowana przez innych.

Zgodnie z punktem widzenia Felixa Kleina ( 1849 - 1925 ) geometria analityczna w rzeczywistoci zsyntetyzowaa dwie kolejno oddzielone cechy: jej zasadniczo metryczny charakter i jednorodno. Pierwszy znak znajduje si w geometrii metrycznej , która bada waciwoci geometryczne odlegoci. Drugi to podstawa programu Erlangena , który definiuje geometri jako badanie niezmienników dziaania grupowego.

Obecne prace, w dziedzinach badawczych znanych jako geometria, maj tendencj do kwestionowania pierwszej podanej definicji. Wedug Jeana-Jacquesa Szczeciniarcza geometria nie jest zbudowana na prostym odwoaniu si do przestrzeni, ani nawet [na] figuracji czy [na] wizualizacji, ale jest rozumiana poprzez jej rozwój: geometria jest wchonita, ale jednoczenie wydaje si nam nada znaczenie pojciom, jednoczenie sprawiajc wraenie powrotu do pierwotnego znaczenia . Jean-Jacques Szczeciniarcz zwraca uwag na dwa ruchy w badaniach matematycznych, które doprowadziy do rozszerzenia lub fragmentacji geometrii:

• procedura idealizacji polegajca na ukazaniu znaczenia struktury przez dodanie jej do ju zbadanych obiektów matematycznych;
• przeciwnie, zabieg tematyzacji polegajcy na wydobyciu nowej struktury lecej u podstaw ju zbadanych obiektów geometrycznych.

Jako rozszerzenie, geometria nie moe by duej traktowana jako zunifikowana dyscyplina, ale jako wizja matematyki lub podejcie do przedmiotów. Wedug Gerharda Heinzmanna geometria charakteryzuje si stosowaniem terminów i treci geometrycznych, takich jak   punkty  ,   odlego   lub   wymiar   jako ramy jzykowej w najróniejszych dziedzinach, czemu towarzyszy równowaga midzy podejciem empirycznym i podejcie teoretyczne.

Historia

Wynalezienie geometrii siga staroytnego Egiptu .

Klasyczna geometria

Dla Henri Poincarégo przestrze geometryczna ma nastpujce waciwoci:

1. Jest cigy;
2. On jest nieskoczony;
3. Ma trzy wymiary;
4. Jest jednorodna, to znaczy, e wszystkie jej punkty s identyczne;
5. Jest izotropowy, to znaczy, e wszystkie proste przechodzce przez ten sam punkt s do siebie identyczne.

Tej cisej definicji przestrzeni odpowiadaj geometrie euklidesowa i nieeuklidesowa. Skonstruowanie takiej geometrii polega na ustaleniu zasad rozmieszczenia czterech podstawowych obiektów: punktu , prostej , paszczyzny i przestrzeni . Ta praca pozostaje przywilejem czystej geometrii, która jako jedyna dziaa ex nihilo .

Geometria samolotu

Geometria paska opiera si przede wszystkim na aksjomatyce definiujcej przestrze; nastpnie o metodach przeci, przeksztace i konstrukcji figur ( trójkt , równolegobok , koo , kula itp.).

Geometria rzutowa jest najbardziej minimalistyczna, co czyni j wspólnym rdzeniem dla innych geometrii. Opiera si na aksjomatach:

1. czstoci wystpowania (lub przynalenoci), której najbardziej zauwaaln (i najbardziej osobliw) cech jest: Dwie róne wspópaszczyznowe linie maj jeden wspólny punkt. ";
2. Porzdek: umoliwia w szczególnoci uporzdkowanie punktów linii. Z tego punktu widzenia linia rzutowana jest podobna do okrgu, poniewa dwa punkty definiuj dwa odcinki;
3. cigo: w ten sposób w dowolnej przestrzeni geometrycznej mona czy jeden punkt z drugim cigym postpem. W geometrii euklidesowej ten aksjomat jest aksjomatem Archimedesa .

Równolego

Wyrónianie w geometrii rzutowej elementów niewaciwych charakteryzuje geometri argumentacyjn . Wtedy geometria afiniczna rodzi si z eliminacji tych nieodpowiednich elementów. To usunicie punktów tworzy pojcie równolegoci, poniewa odtd pewne pary linii wspópaszczyznowych przestaj si przecina. Usunity niewaciwy punkt jest porównywalny z kierunkiem tych prostych. Co wicej, dwa punkty definiuj tylko jeden odcinek (ten z dwóch, który nie zawiera punktu niewaciwego) i przybliaj pojcie znaczenia lub orientacji (czyli pozwalaj odróni od ). ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ overline {AB}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ overline {BA}}}$