Geometria



Informacje, które udało nam się zgromadzić na temat Geometria, zostały starannie sprawdzone i uporządkowane, aby były jak najbardziej przydatne. Prawdopodobnie trafiłeś tutaj, aby dowiedzieć się więcej na temat Geometria. W Internecie łatwo zgubić się w gąszczu stron, które mówią o Geometria, a jednocześnie nie podają tego, co chcemy wiedzieć o Geometria. Mamy nadzieję, że dasz nam znać w komentarzach, czy podoba Ci się to, co przeczytałeś o Geometria poniżej. Jeśli informacje o Geometria, które podajemy, nie są tym, czego szukałeś, daj nam znać, abyśmy mogli codziennie ulepszać tę stronę.

.

Geometria powoduje Ga matematyki badajcy dane na paszczynie i przestrzeni ( geometria euklidesowa ). Od koca XVIII, XX  wieku, geometria badania take dane nalece do innych rodzajach pomieszcze ( geometrii rzutowej , nieeuklidesowa geometrycznych , na przykad).

Od pocztku XX th  wieku, niektóre dane w zakresie metod badania tych miejsc zostay przeksztacone autonomicznych dziaów matematyki: topologii , geometrii róniczkowej i geometrii algebraicznej , na przykad. Jeli chcemy obj wszystkie te znaczenia, trudno jest dzi okreli, czym jest geometria. Dzieje si tak, poniewa jedno rónych gazi wspóczesnej geometrii tkwi bardziej w pocztkach historycznych ni we wspólnocie metod lub przedmiotów.

Uzyskanie przekroju stokowego przez rzut dwóch kul o rónych rednicach (patrz twierdzenie Dandelina ).

Etymologia

Przy czym okrelenie geometrii wywodzi si z greckiego z ( géomètres ), co oznacza miernikowiec, inspektor   i pochodzi z ( Ge ) ziemi, a ( METRON ) rodek. Byaby to zatem nauka pomiaru terenu.

Gówne dziay geometrii

Klasyczna geometria

Bez adnego konkretnego kwalifikatora i bez odniesienia do konkretnego kontekstu (w przeciwiestwie do geometrii róniczkowej lub geometrii algebraicznej ), geometria lub nawet geometria klasyczna obejmuje gównie:

Powysze geometrie mona uogólni poprzez zrónicowanie wymiarów przestrzeni, zmian pola skalarów (stosowanie linii innych od linii rzeczywistej) lub nadanie przestrzeni krzywizny. Te geometrie wci s uwaane za klasyczne.

Co wicej, geometri klasyczn mona aksjomatyzowa lub bada na róne sposoby.

Godne uwagi jest to, e algebra liniowa (przestrzenie wektorowe, formy kwadratowe, naprzemienne formy dwuliniowe, formy hermitowskie i antyhermitowskie itp.) pozwala na budowanie jednoznacznych modeli wikszoci struktur spotykanych w tych geometriach. Daje to zatem klasycznej geometrii pewn jedno.

Inne rodzaje geometrii

Istniej dziay matematyki, które powstay z badania figur przestrzeni euklidesowych, ale które uformoway si w autonomiczne dziay matematyki i które badaj przestrzenie niekoniecznie zanurzone w przestrzeniach euklidesowych:

Róne przestrzenie geometrii klasycznej mona bada za pomoc topologii, geometrii róniczkowej i geometrii algebraicznej.

Projektowanie geometrii

Wedug autorów geometria przyjmuje wiele znacze. W cisym sensie geometria to studium ksztatów i rozmiarów figur. Ta definicja jest zgodna z pojawieniem si geometrii jako nauki w cywilizacji greckiej w okresie klasycznym . Wedug raportu Jean-Pierre'a Kahane'a definicja ta pokrywa si z ide, jak ludzie maj o geometrii jako nauczanym przedmiocie: jest to miejsce, w którym uczymy si rozumie przestrze  .

W 1739 Leonhard Euler bada problem siedmiu mostów królewieckich  ; jego praca jest uwaana za jeden z pierwszych wyników geometrii niezalenej od jakichkolwiek pomiarów, które zostan zakwalifikowane jako topologiczne. Pytania zadawane w trakcie XIX th  century doprowadzio do ponownego przemylenia pojcia formy i przestrzeni , odrzucajc sztywno odlegoci euklidesowych. Rozwaono moliwo cigego deformowania powierzchni bez zachowania indukowanej metryki, na przykad deformacji kuli w elipsoid. Badanie tych deformacji doprowadzio do powstania topologii [ref. konieczne]  : jej przedmiotem bada s zbiory , przestrzenie topologiczne , których pojcie bliskoci i cigoci definiuje wspólnie pojcie ssiedztwa . Wedug niektórych matematyków topologia jest integraln czci geometrii, a nawet jej podstawow gazi. Ta klasyfikacja moe by kwestionowana przez innych.

Zgodnie z punktem widzenia Felixa Kleina ( 1849 - 1925 ) geometria analityczna w rzeczywistoci zsyntetyzowaa dwie kolejno oddzielone cechy: jej zasadniczo metryczny charakter i jednorodno. Pierwszy znak znajduje si w geometrii metrycznej , która bada waciwoci geometryczne odlegoci. Drugi to podstawa programu Erlangena , który definiuje geometri jako badanie niezmienników dziaania grupowego.

Obecne prace, w dziedzinach badawczych znanych jako geometria, maj tendencj do kwestionowania pierwszej podanej definicji. Wedug Jeana-Jacquesa Szczeciniarcza geometria nie jest zbudowana na prostym odwoaniu si do przestrzeni, ani nawet [na] figuracji czy [na] wizualizacji, ale jest rozumiana poprzez jej rozwój: geometria jest wchonita, ale jednoczenie wydaje si nam nada znaczenie pojciom, jednoczenie sprawiajc wraenie powrotu do pierwotnego znaczenia . Jean-Jacques Szczeciniarcz zwraca uwag na dwa ruchy w badaniach matematycznych, które doprowadziy do rozszerzenia lub fragmentacji geometrii:

  • procedura idealizacji polegajca na ukazaniu znaczenia struktury przez dodanie jej do ju zbadanych obiektów matematycznych;
  • przeciwnie, zabieg tematyzacji polegajcy na wydobyciu nowej struktury lecej u podstaw ju zbadanych obiektów geometrycznych.

Jako rozszerzenie, geometria nie moe by duej traktowana jako zunifikowana dyscyplina, ale jako wizja matematyki lub podejcie do przedmiotów. Wedug Gerharda Heinzmanna geometria charakteryzuje si stosowaniem terminów i treci geometrycznych, takich jak   punkty  ,   odlego   lub   wymiar   jako ramy jzykowej w najróniejszych dziedzinach, czemu towarzyszy równowaga midzy podejciem empirycznym i podejcie teoretyczne.

Historia

Wynalezienie geometrii siga staroytnego Egiptu .

Klasyczna geometria

Dla Henri Poincarégo przestrze geometryczna ma nastpujce waciwoci:

  1. Jest cigy;
  2. On jest nieskoczony;
  3. Ma trzy wymiary;
  4. Jest jednorodna, to znaczy, e wszystkie jej punkty s identyczne;
  5. Jest izotropowy, to znaczy, e wszystkie proste przechodzce przez ten sam punkt s do siebie identyczne.

Tej cisej definicji przestrzeni odpowiadaj geometrie euklidesowa i nieeuklidesowa. Skonstruowanie takiej geometrii polega na ustaleniu zasad rozmieszczenia czterech podstawowych obiektów: punktu , prostej , paszczyzny i przestrzeni . Ta praca pozostaje przywilejem czystej geometrii, która jako jedyna dziaa ex nihilo .

Geometria samolotu

Geometria paska opiera si przede wszystkim na aksjomatyce definiujcej przestrze; nastpnie o metodach przeci, przeksztace i konstrukcji figur ( trójkt , równolegobok , koo , kula itp.).

Geometria rzutowa jest najbardziej minimalistyczna, co czyni j wspólnym rdzeniem dla innych geometrii. Opiera si na aksjomatach:

  1. czstoci wystpowania (lub przynalenoci), której najbardziej zauwaaln (i najbardziej osobliw) cech jest: Dwie róne wspópaszczyznowe linie maj jeden wspólny punkt. ";
  2. Porzdek: umoliwia w szczególnoci uporzdkowanie punktów linii. Z tego punktu widzenia linia rzutowana jest podobna do okrgu, poniewa dwa punkty definiuj dwa odcinki;
  3. cigo: w ten sposób w dowolnej przestrzeni geometrycznej mona czy jeden punkt z drugim cigym postpem. W geometrii euklidesowej ten aksjomat jest aksjomatem Archimedesa .

Równolego

Wyrónianie w geometrii rzutowej elementów niewaciwych charakteryzuje geometri argumentacyjn . Wtedy geometria afiniczna rodzi si z eliminacji tych nieodpowiednich elementów. To usunicie punktów tworzy pojcie równolegoci, poniewa odtd pewne pary linii wspópaszczyznowych przestaj si przecina. Usunity niewaciwy punkt jest porównywalny z kierunkiem tych prostych. Co wicej, dwa punkty definiuj tylko jeden odcinek (ten z dwóch, który nie zawiera punktu niewaciwego) i przybliaj pojcie znaczenia lub orientacji (czyli pozwalaj odróni od ).

Stosowno

Geometrie euklidesowe i nieeuklidesowe

Pity aksjomat lub "  postulat równolegoci  " geometrii euklidesowej jest podstaw geometrii euklidesowej  :

Przez punkt poza lini przechodzi zawsze równolegle do tej linii i tylko jeden.

Zobacz Aksjomatyka Hilberta lub elementy euklidesowe dla bardziej kompletnych stwierdze geometrii euklidesowej.

Zaprzeczeniem tego postulatu doprowadziy do rozwoju dwóch nieeuklidesowych geometrii  : geometrii hiperbolicznej przez Gaussa , Lobachevsky , Bolyai i geometrii eliptycznej przez Riemanna .

Program Erlangen

W koncepcji Felixa Kleina (autora programu Erlangen ) geometria jest badaniem przestrzeni punktowych, na których dziaaj grupy przeksztace (zwanych take symetriami) oraz wielkoci i wasnoci, które s dla tych grup niezmiennicze. Na przykad paszczyzna i sfera s przestrzeniami dwuwymiarowymi, jednorodnymi (brak uprzywilejowanego punktu) i izotropowymi (brak uprzywilejowanego kierunku), ale róni si grupami symetrii ( grupa euklidesowa dla jednego, grupa obrotów dla inny).

Wród najbardziej znanych przeksztace znajdziemy izometrie , podobiestwa , rotacje , odbicia , translacje i homotety .

Nie jest to wic dyscyplina, ale wane dzieo syntezy, które pozwolio na jasne widzenie osobliwoci kadej geometrii. Dlatego program ten bardziej charakteryzuje geometri ni j ugruntowuje. Odegra rol mediatora w debacie na temat natury geometrii nieeuklidesowych i kontrowersji midzy geometriami analitycznymi i syntetycznymi .

Geometria grup klasycznych

Istnieje geometria róniczkowa i geometria algebraiczna grup Liego i grup algebraicznych , które same maj przestrzenie jednorodne , a geometria klasyczna czsto sprowadza si do badania tych przestrzeni jednorodnych. Geometrie afiniczne i rzutowe s powizane z grupami liniowymi, a geometrie euklidesowe, sferyczne, eliptyczne i hiperboliczne s powizane z grupami ortogonalnymi.

Gdy istniej wyrane klasyfikacje grup Liego lub grup algebraicznych lub ich jednorodnych przestrzeni speniajcych pewne hipotezy (na przykad grupy Liego lub proste algebraiczne, symetryczne przestrzenie, uogólnione odmiany flag, przestrzenie o staej krzywinie), gówne elementy te klasyfikacje czasami pochodz z geometrii klasycznej , a grupy, z którymi te klasyczne geometrie s zwizane, s powizane z tak zwanymi grupami klasycznymi (na przykad grupami liniowymi, ortogonalnymi, symplektycznymi).

Wikszo klasycznych geometrii jest powizana z grupami Liego lub prost algebraiczn, zwan klasyczn (wywodz si z algebry liniowej). Istniej inne grupy Liego lub proste algebraiki, o których mówi si, e s wyjtkowe i daj pocztek wyjtkowej geometrii, z pewnymi analogiami do geometrii klasycznej. To rozrónienie wynika z faktu, e proste grupy s (przy pewnych zaoeniach) podzielone na kilka nieskoczonych szeregów (czsto cztery) i skoczon liczb innych grup (czsto pi), i to wanie te ostatnie grupy s wyjtkowe i nie nie wchodz w zakres algebry liniowej (przynajmniej nie w ten sam sposób): s one czsto powizane z nieasocjacyjnymi strukturami algebraicznymi ( na przykad algebrami oktononu , wyjtkowymi algebrami Jordana).

Grupy Liego lub proste algebraiczne s zwizane z diagramami Dynkina (rodzaje wykresów), a pewne waciwoci tych geometrii mona odczyta z tych diagramów.

Obszary bada geometrii

Geometria Riemanna

Riemannowski geometria moe by postrzegana jako przeduenie euklidesowej geometrii. Jego badania skupiaj si na waciwociach geometrycznych przestrzeni ( rozmaitoci ) prezentujcych pojcie wektorów stycznych i wyposaonych w metryk ( metryk Riemanna ) umoliwiajc pomiar tych wektorów. Pierwszymi napotkanymi przykadami s powierzchnie trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej , której waciwoci metryczne byy badane przez Gaussa w latach 20. XIX w. Iloczyn euklidesowy indukuje metryk na powierzchni badanej przez ograniczenie do rónych paszczyzn stycznych. Wewntrzna definicja metryki zostaa sformalizowana w wyszym wymiarze przez Riemanna. Pojcie transportu równolegego umoliwia porównanie przestrzeni stycznych w dwóch rónych punktach rozmaitoci: ma na celu spójny transport wektora wzdu krzywej narysowanej na rozmaitoci riemannowskiej. Krzywizna rozmaitoci Riemanna mierzy z definicji moliw zaleno transportu równolegego z jednego punktu do drugiego od czcej je krzywej.

Metryka daje pocztek definicji dugoci krzywych, z której wywodzi si definicja odlegoci Riemanna. Ale waciwoci metryczne trójktów mog róni si od trygonometrii euklidesowej. Rónica ta jest czciowo badana przez twierdzenie Toponogova , które umoliwia przynajmniej lokalne porównanie badanej rozmaitoci riemannowskiej z przestrzeniami modelowymi, zgodnie z rzekomo znanymi nierównociami na krzywinie przekroju. Wród przestrzeni modelowych:

Zoona geometria

Zoonej geometrii odnosi si do wasnoci pola moe miejscowo identyfikowa . Obiekty te ( rozmaito zespolona ) wykazuj pewn sztywno, wynikajc z niepowtarzalnoci analitycznego rozszerzenia funkcji o kilka zmiennych.

Geometrie symplektyczne i kontaktowe

Symplektycznych geometria jest gazi geometrii róniczkowej i moe by wprowadzony jako uogólnienia do wyszych wymiarów pojcia obszaru zorientowane napotka w wymiarze 2. Jest to zwizane z naprzemiennych dwuliniowa formach. Obiektami tej geometrii s rozmaitoci symplektyczne, które s rozmaitociami róniczkowymi zaopatrzonymi w pole o naprzemiennych dwuliniowych ksztatach. Na przykad przestrze afiniczna poczona z przestrzeni wektorow obdarzon naprzemienn niezdegenerowan form dwuliniow jest rozmaitoci symplektyczn.

Geometria styku jest ga geometrii rónicowego studia odmiany styku, które s wyposaone w kolektory rónicowe w dziedzinie przestrzeni hiperpaszczyznach stycznych weryfikujcych waciwoci. Na przykad, przestrze rzutowa dedukuje przestrze wektorow zaopatrzon w naprzemienn niezdegenerowan posta dwuliniow jest rozmaitoci kontaktow.

Dyskretne i wypuke geometrie

Geometrie algebraiczne i arytmetyczne

Nieprzemienna geometria

Zastosowania geometrii

Geometria i astronomia byy od dawna poczone. Na poziomie elementarnym obliczenie rozmiarów Ksiyca, Soca i ich odpowiednich odlegoci od Ziemi wykorzystuje twierdzenie Talesa [ref. konieczne] . W pierwszych modelach Ukadu Sonecznego kada planeta bya powizana z bry platosk . Z obserwacji astronomicznych Keplera , potwierdzonych prac Newtona , udowodniono, e planety poruszaj si po orbicie eliptycznej, w której Soce jest jednym z punktów ogniskowych. Takie rozwaania natury geometrycznej mog czsto ingerowa w mechanik klasyczn, aby jakociowo opisa trajektorie .

W tym sensie geometria ingeruje w inynieri w badanie stabilnoci ukadu mechanicznego. Ale jeszcze bardziej naturalnie interweniuje we wzornictwie przemysowym . Rysunek przemysowy przedstawia przekroje lub rzuty trójwymiarowego obiektu i jest oznaczony dugociami i ktami. To pierwszy krok w tworzeniu projektu wzornictwa przemysowego . W ostatnim czasie maria geometrii z informatyk umoliwi nadejcie komputerowego wspomagania projektowania (CAD), oblicze elementów skoczonych i grafiki komputerowej .

Trygonometria euklidesowa jest stosowana w optyce do leczenia na przykad dyfrakcji wiata. Od niej take wywodzi si rozwój nawigacji  : nawigacji morskiej z gwiazdami (z sekstantami ), kartografii, nawigacji lotniczej (pilotowanie instrumentami z wykorzystaniem sygnaów z radiolatarni).

Nowe osignicia w geometrii w XIX th  century znalezione echa w fizyce. Czsto mówi si, e geometria riemannowska bya pocztkowo motywowana pytaniami Gaussa dotyczcymi mapowania Ziemi. Uwzgldnia w szczególnoci geometri powierzchni w przestrzeni. Jedno z jej rozszerze, geometria Lorentzowska , dostarczyo idealnego formalizmu do formuowania praw ogólnej teorii wzgldnoci . Geometria rónica znaleziono nowe zastosowanie w fizyce pocztowych nieniutonowskich z teori strun lub membran .

Zakaz przemienne geometria , wynaleziony przez Alain Connes , zyskuje na obecnym dobra struktur matematycznych, z których do pracy, aby rozwija nowe teorie fizyczne.

Edukacja w zakresie geometrii

Geometria zajmuje uprzywilejowane miejsce w nauczaniu matematyki . Jego zainteresowanie dowodz liczne badania edukacyjne [ ref.  podane]  : pozwala uczniom rozwija refleksj nad problemami, wizualizowa figury paszczyzny i przestrzeni, pisa demonstracje , wyprowadza wnioski z postawionych hipotez. Co wicej, rozumowanie geometryczne jest znacznie bogatsze ni prosta dedukcja formalna, poniewa opiera si na intuicji zrodzonej z obserwacji figur.

W latach szedziesitych edukacja matematyczna we Francji nalegaa na praktyczne zastosowanie problemów geometrii w yciu codziennym. W szczególnoci twierdzenie Pitagorasa zostao zilustrowane regu 3, 4, 5 i jej zastosowaniem w stolarstwie. Inwolucje, podziay harmoniczne i proporcje krzyowe byy czci programu nauczania w szkole redniej. Ale reforma wspóczesnej matematyki , urodzona w Stanach Zjednoczonych i zaadaptowana w Europie, doprowadzia do znacznego ograniczenia wiedzy nauczanej w geometrii, aby wprowadzi algebr liniow drugiego stopnia. W wielu krajach reforma ta bya ostro krytykowana i wskazywana jako odpowiedzialna za niepowodzenia szkolne [ ref.  dany] . Raport Jean-Pierre Kahane potpia brak prawdziwej wstpnej refleksji dydaktycznej na temat wkadu geometrii: w szczególnoci praktyka geometrii wektorowej przygotowuje ucznia do lepszego przyswojenia formalnych poj przestrzeni wektorowej, dwuliniowej. ...

Wykorzystanie rycin w nauczaniu innych przedmiotów pozwala uczniom lepiej zrozumie przedstawiane argumenty. NB W dydaktyce matematyki zwykle rozróniamy pojcia rysowania (wykonywane za pomoc przyrzdów takich jak linijki, cyrkle), schematu (wykonywane odrcznie i suce jako konkretne wsparcie dla rozumowania abstrakcyjnego wykona) i figura (abstrakcyjny obiekt geometryczny, do którego ostatecznie odnosi si rozumowanie, a kady z nich ma swoj wasn mentaln reprezentacj: na przykad moemy mie inn mentaln reprezentacj, z wyjtkiem podobiestwa, trójkta równobocznego figura ) . Przy tych rozrónieniach to, co jest przedstawione graficznie, przywouje zatem figur, ale ni nie jest. [ ref.  dany] .

Uwagi i referencje

  1. Fritz Reinhardt i Heinrich Soeder, Atlas Matematyki , Pocket Book, s.  13 .
  2. Jean-Pierre Kahane (red.), Nauczanie nauk matematycznych: Komisja do refleksji nad nauczaniem matematyki [ szczegóy wyda ]rozdz. 3, Geometria.
  3. Alain Michel, Geometryzacja teorii fizycznej: o genezie problemu, w Kouneiher i in.
  4. Jean-Jacques Szczeciniarz, Filozofia i geometria: powstanie geometrii, jej filozoficzne skutki, w: Kouneiher i in.
  5. Gerhard Heinzmann, Geometria i zasada przydatnoci: ponowne odczytanie Ferdinanda Gonsetha, w: Kouneiher i in.
  6. Mueller-Jourdan 2007 , s.  73
  7. Henri Poincaré , Nauka i hipoteza , Champs Flammarion,.
  8. do pewnego limitu, poniewa niektóre geometrie nie pasuj do tych ram.
  9. W pewnym stopniu iw przyblieniu pomaga to równie odróni od  ; wntrze na zewntrz.
  10. Jean-Pierre Provost i Gérard Vallée, Maths in Physics: Fizyka przez filtr matematyki , Paris, Éditions Dunod , coll.  "Sup Sciences",, 1 st  ed. , 331  s. ( ISBN  2-10-004652-7 ) , s.  51.
  11. Denis Rolland, Architektura wiejska w Pikardii: Soissonnais , CREER, 1998 ( ISBN  978-2-909797-25-0 ) , s.  49 .

Zobacz równie

Bibliografia

  • Charles Mugler,   O historii niektórych definicji geometrii greckiej i relacji midzy geometri a optyk (cz pierwsza)  , Klasyczna staroytno , tom.  26 N O  2, s.  331-345 ( czytaj online , konsultacja 28 stycznia 2020 r. ).
  • Charles Mugler,   O historii niektórych definicji geometrii greckiej i relacji midzy geometri a optyk (cig dalszy)  , Klasyczna staroytno , tom.  27, n o  1,, s.  76-91 ( czytaj online , konsultacja 28 stycznia 2020 r. )
  • Pascal Mueller-Jourdan , Inicjacja w filozofi pónego antyku: lekcje u Pseudo-Eliasza , Fryburg / Pary, Éditions du Cerf ,, 143  s. ( ISBN  978-2-204-08571-7 ). Ksika uyta do napisania artykuu
  • Nikoaj I. obaczewski, Pangeometria, przekad i redakcja: A. Papadopoulos, Seria Dziedzictwo Matematyki Europejskiej , t. 4, Europejskie Towarzystwo Matematyczne, 2010.
  • Jean-Paul Collette, Historia matematyki , tom.  2, Vuibert,( ISBN  2-7613-0118-8 ) , rozdzia 10: Odnowienie geometrii XIX -tego  wieku .
  • A. Dahan-Dalmedico i J. Peiffer , Historia matematyki: drogi i labirynty ,[ szczegóy wyda ]
  • Joseph Kouneiher Dominique Flament Philippe Nabonnand i Jean-Jacques Szczeciniarz ( red. ), Geometry XX th  historia wiek i ta [[[referencyjny: Geometria w XX th  historia wiek i ta (Joseph Kouneiher Dominique Flament Philippe Nabonnand, Jean-Jacques Szczeciniarz , re.) | Szczegóy wyda]]]

Linki zewntrzne


Mamy nadzieję, że informacje, które zgromadziliśmy na temat Geometria, były dla Ciebie przydatne. Jeśli tak, nie zapomnij polecić nas swoim przyjaciołom i rodzinie oraz pamiętaj, że zawsze możesz się z nami skontaktować, jeśli będziesz nas potrzebować. Jeśli mimo naszych starań uznasz, że informacje podane na temat _title nie są całkowicie poprawne lub że powinniśmy coś dodać lub poprawić, będziemy wdzięczni za poinformowanie nas o tym. Dostarczanie najlepszych i najbardziej wyczerpujących informacji na temat Geometria i każdego innego tematu jest istotą tej strony internetowej; kierujemy się tym samym duchem, który inspirował twórców Encyclopedia Project, i z tego powodu mamy nadzieję, że to, co znalazłeś o Geometria na tej stronie pomogło Ci poszerzyć swoją wiedzę.

Opiniones de nuestros usuarios

Ana Czaja

Dzięki za ten post na Geometria, właśnie tego potrzebowałem

Miroslaw Czajkowski

Język wygląda na stary, ale informacje są wiarygodne i ogólnie wszystko, co napisano o Geometria, daje dużo pewności.

Pawel Banaś

Nie wiem, jak dotarłem do tego artykułu o zmiennej, ale bardzo mi się podobał.