Jak rozwiązywać równania kwadratowe?

Wprowadzenie

Równania kwadratowe to jedne z najczęściej spotykanych równań w matematyce. Wiele problemów związanych z fizyką, w której obserwujemy ruch bryły, opiera się na rozwiązaniu równania kwadratowego. Jest to równanie postaci:

ax² + bx + c = 0, gdzie a, b, c są liczbami rzeczywistymi oraz a ≠ 0.

Sposoby rozwiązywania równań kwadratowych

Sposób nr 1 - Metoda kanoniczna

Jest to jeden z najpopularniejszych sposobów rozwiązywania równań kwadratowych. Polega on na przekształceniu równania w taki sposób, aby otrzymać postać kanoniczną, czyli postać równania, w której x² ma współczynnik równy 1.

Zaczynamy od dobrania takiego mnożnika, aby wyrażenie a x² było równe square(mnożnik * x).
Korzystając z tożsamości (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, przepisujemy lewą stronę równania kwadratowego jako:

a x² + bx + c = square(mnożnik * x) + bx + c,
następnie:
a x² + bx + c = (mnożnik * x)² + 2 * mnożnik * x * (b/2*mnożnik) + (b/2*mnożnik)² + c - (b/2*mnożnik)2.

Po uporządkowaniu otrzymujemy:

a (x + b/2*mnożnik)2 = (b2/4*mnożnik2) - c,
następnie:
x + b/2*mnożnik = ± sqrt((b2/4*mnożnik2) - c)/sqrt(a),
a na końcu otrzymujemy:
x1 = -b/2*a + sqrt((b2 - 4ac))/2a, x2 = -b/2*a - sqrt((b2 - 4ac))/2a.

Sposób nr 2 - Wzór Viete'a

Wzór Viete'a jest uogólnieniem metody kanonicznej i pozwala na znalezienie pierwiastków równania kwadratowego bez przeprowadzania przekształceń.

Pierwszy pierwiastek, x1, wynosi:

x1 = (-b + sqrt(b2 - 4ac))/2a.

Drugi pierwiastek, x2, wynosi:

x2 = (-b - sqrt(b2 - 4ac))/2a.

Przykłady zastosowania

Równania kwadratowe są niezwykle przydatne w matematyce i fizyce. Wiele zagadnień związanych z mechaniką, jak np. opis ruchu bryły, opiera się na rozwiązaniu równania kwadratowego. Poza tym, równania te są niezbędne do wyznaczenia pierwiastków wielomianów drugiego stopnia oraz do określenia krzywizny powierzchni.

Podsumowanie

Równania kwadratowe to jedne z podstawowych i najczęściej stosowanych równań w matematyce. Ich rozwiązywanie jest niezbędne w wielu dziedzinach nauki, takich jak fizyka czy matematyka. Metoda kanoniczna oraz wzór Viete'a są dwoma skutecznymi sposobami na rozwiązanie równań kwadratowych.