Autonombre

W arytmetyce kolumbijska autonombra lub liczba to liczba naturalna, której w danej podstawie nie można zapisać jako liczby dodanej do sumy cyfr tej liczby.

Przykłady 15 nie jest autonomią, ponieważ można ją wygenerować z sumy 12 i jej cyfr: 15 = 12 + 1 + 2. 20 jest autonomiczne, ponieważ nie ma takiej sumy za 20.

Digitaddition

Pojęcie autonombry zostało wprowadzone w 1949 roku przez indyjskiego matematyka Dattatreya Ramachandrę Kaprekar, kiedy interesował się transformacją liczb, którą nazwał cyfrową addycją : dodaniem do liczby sumy cyfr.

Na przykład S (21) = 21 + 1 + 2 = 24.

Mówimy, że 24 jest generowane przez 21.

Wynik , że każda liczba naturalna łączy liczbę generatorów jest następnie A230093 z OEIS .

Sekwencja ściśle dodatnie liczby całkowite , które mają co najmniej jeden generator sekwencję A176995 ; najmniejsza liczba całkowita mająca wiele generatorów to 101 = 100 + 1 + 0 + 0 = 91 + 9 + 1.

Kaprekar nazywa liczbami całkowitymi komplementarnych autonombres : tymi, które nie mają generatora.

Fakt bycia autonombrem lub nie jest związany z podstawą, w której zapisana jest liczba. Na przykład liczba 11, zapisana na podstawie dziesięciu , jest liczbą wygenerowaną przez 10, podczas gdy zapisana w podstawie 5 ( 21 5 ), jest to autonombre.

Autonombry w bazie dziesięciu

Sekwencja autonombres w dziesiętnie jest 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 20 , 31 , itd. (kontynuacja A003052 z OEIS ). Jedynymi mniejszymi niż 100 są nieparzyste liczby całkowite mniejsze niż 10 i liczby całkowite przystające do 9 modulo 11 .

Podsekwencją z pierwszych autonombres wynosi 3 , 5 , 7 , 31 , 53 , 97 , 211 , itd. (kontynuacja A006378 ).

Autonombry w bazie 2

Poniższa relacja rekurencji umożliwia zbudowanie nieskończoności autonombr w bazie 2 (ale nie wszystkich).

Zaczynając od cyfry 1, dodaj cyfrę 1 po lewej stronie na piśmie liczby, a następnie dodaj 1 do uzyskanej liczby. Otrzymujemy sukcesywnie 1, 11 + 1 = 110, 1110 + 1 = 1111, 11111 + 1 = 100000.

Pierwszych dziewięć autonomicznych węzłów w bazie 2 to 1, 100, 110, 1101, 1111, 10010, 10101, 10111 i 11110.

W 1982 roku Umberto Zannier (de) udowodnił, że asymptotyczna gęstość autonombr o podstawie 2 istnieje i jest więc ściśle dodatnia, z G. Troi, że jest równa

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {8}} \ lewo (\ suma _ {n \ w S} {\ Frac {1} {2 ^ {n}}} \ prawej) ^ {2} \ około 0, 25266026}

gdzie S jest zbiorem liczb, które można zapisać jako sumę różnych wyrazów w postaci 2 k + 1 z k naturalną liczbą całkowitą.

Doszli do wniosku, że ta gęstość jest liczbą niewymierną , a nawet - używając twierdzenie podprzestrzeni (w) od Wolfgang Schmidt - transcendentny .

Autonombry na dowolnej podstawie

Powtarzająca się kontynuacja

W dowolnej zasadzie b > 2, sekwencja zdefiniowana przez indukcję poniżej tworzy nieskończoność autonombr o podstawie b (ale nie wszystkie):

{\ Displaystyle C_ {1} = {\ rozpocząć {przypadków} b-1 i {\ tekst {si}} b {\ tekst {parzysty}} \\ b-2 i {\ tekst {si}} b {\ tekst {nieparzyste}} \ end {sprawy}} \ quad {\ text {et}} C_ {k} = (b-2) b ^ {k-1} + C_ {k-1} + (b-2). }

Autonombry o nieparzystej podstawie

W 1973 roku Joshi udowodnił, że n jest nieparzystą podstawą b autonombre wtedy i tylko wtedy, gdy n jest nieparzyste. Łatwo jest pokazać, że jeśli n jest nieparzyste, to n jest autonombrem, ale odwrotnie jest delikatniejszy.

Autonombry w parach

W 1991 roku Patel udowodnił, że w podstawie b nawet większej lub równej 4 liczby całkowite 2 b , 4 b + 2 i ( b + 1) 2 są zawsze autonomicznymi.

Bibliografia

(fr) Ten artykuł jest częściowo lub w całości zaczerpnięty z artykułu Wikipedii w języku angielskim zatytułowanego „ Numer własny ” ( zobacz listę autorów ) .

(pl) Eric W. Weisstein , „ Własna Number, ” na MathWorld .
(w) U. Zannier, " O rozkładzie liczb własnych " , Proc. Gorzki. Matematyka. Soc. , vol. 85,1982, s. 10-14 ( czytaj online ).
(w) G. Troi i U. Zannier, „ Constant density on the Note in the distribution of self-numbers ” , Bollettino UMI , vol. 7, n O 9-A,1995, s. 143-148.
(w) G. Troi i U. Zannier, „ stała gęstość na notatce w rozkładzie liczb własnych - II ” , Bollettino UMI , t. 8, N O 2-B1999, s. 397-399 ( czytaj online ).

Link zewnętrzny

(pl) „ Self - Numbers Density Constant ” ( Archiwum • Wikiwix • Archive.is • Google • Co robić? ) , na mathsoft.com