Analiza wymiarowa

Aplikacje

Prawa podobiestwa umoliwiaj odtworzenie tych samych zjawisk w rónych skalach.

Analiza wymiarowa moe znale zastosowanie w wielu problemów, zwaszcza w celu ustalenia liczby bezwymiarowe uczestniczcych w zjawiskach fizycznych, które s wykorzystywane do modelowania tego zjawiska przez modeli , lub do okrelenia a priori , e skutki skalowania . Mona go znale na przykad w nastpujcych obszarach:

• e aerodynamiczny dla charakterystyk aerodynamicznych samolotu, a bardziej ogólnie na zachowanie korpusu w pynnym ruchu (optymalizacji mostów wiszcych);
• opór przepywu i spadek cinienia w przepywie pynu przez rury;
• tworzenie i propagacja fal w rónych interfejsach;
• dyfuzja i transport ciepa;
• detoniczne , badanie detonacji i ich skutków;
• test wytrzymaoci materiau i testy zderzeniowe;
• makieta skutków trzsie ziemi (np. dla wieowców);
• starzenie i osadzanie si w glebach, do bada fundamentów budynków, osuwisk i lawin;
• hydraulika kanaów, transport osadów w rzekach;
• w medycynie i biologii , efekt skali w bionice , rozwój krenia krwi czy wzrost rolin.

Analiza wymiarowa tych zjawisk dostarcza uytecznych regu proporcjonalnoci . Umoliwia okrelenie kalibracji modeli eksperymentalnych i pokierowanie badaniami zmiennoci. W wielu przypadkach pomaga zidentyfikowa zalenoci funkcjonalne. W kadym razie przyczynia si to do lepszego zrozumienia problemu.

Analiza wymiarowa jest podstaw systemów jednostek naturalnych .

Miary, jednostki i wymiary

Jednorodne wzory

We wzorze fizycznym obecne zmienne nie s tylko liczbami, ale reprezentuj wielkoci fizyczne.

Wielko fizyczna to mierzalny parametr, który suy do okrelenia stanu, obiektu. Na przykad dugo, temperatura , energia , prdko , cinienie, sia (jak ciar ), bezwadno (masa), ilo materii (liczba moli ) s wielkociami fizycznymi. Fizyczny pomiar wyraa warto wielkoci fizycznej, poprzez jego odniesieniu do staej iloci tego samego rodzaju traktowanych jako odniesienia jednostki miary ( standardowy lub jednostki).

Wielko jest nastpnie wyraana przez liczb wymiern pomnoon przez jednostk miary. Dlatego operacje midzy wielkociami fizycznymi dotycz nie tylko liczb, ale take jednostek. Te jednostki obecne we wzorach fizycznych ograniczaj form, jak te formuy mog przyj, poniewa pewne moliwe operacje na prostych liczbach staj si niemoliwe, gdy te liczby s powizane z jednostkami. Te ograniczenia to te, które sprawiaj, e wzór fizyczny kwalifikuje si jako jednorodny:

• mnoenie (lub dzielenie) jest moliwe midzy wszystkimi jednostkami lub za pomoc bezwymiarowych staych, ale jest to praktycznie jedyna operacja dozwolona bez ogranicze; mnoenie lub dzielenie wielkoci fizycznych jest równie moliwe i dotyczy zarówno wartoci liczbowych, jak i jednostek tych wielkoci;
• dodawanie (lub odejmowanie) wielkoci fizycznych o rónym charakterze nie ma sensu; dodawanie lub odejmowanie wielkoci fizycznych tego samego rodzaju jest moliwe pod warunkiem, e s wyraone w tej samej jednostce (por. nastpna sekcja);
• Z wyjtkiem podniesienia do potgi (uogólnienie mnoenia i dzielenia), funkcja matematyczna (taka jak sinus lub wykadniczy ) moe odnosi si tylko do czystych liczb, bez wymiaru.

Taka kontrola moe by zautomatyzowana. Ju w 1976 roku Michel Sintzoff zauway, e wiarygodno programów obliczeniowych w fizyce mona wzmocni, deklarujc zmienne fizyczne jako takie, a nastpnie kodujc ich wymiary wykadnikami odnoszcymi si do wymiarów podstawowych przyjmowanych w ustalonej kolejnoci. Moliwe jest wtedy sprawdzenie ich jednorodnoci wymiarowej podczas kompilacji poprzez ocen symboliczn . W tym celu zauwaamy w szczególnoci, e:

• wymiary rónych wielkoci tworz multiplikatywn grup majc podstawowe wymiary jako generatory;
• dodawanie, odejmowanie, kombinacje min / max, przypisanie wielkoci zakadaj operandy i wyniki o tym samym wymiarze;
• Wymiar wyniku iloczynu (lub ilorazu) dwóch wielkoci jest iloczynem (lub ilorazem) ich wymiarów.

Podobne jednostki

Jeli dodawanie jednostek nie ma sensu, moliwe jest dodanie fizycznych wielkoci o tym samym charakterze, pod warunkiem jednak, e zostan one sprowadzone z powrotem do wspólnej jednostki.

Uwaga: Wspóczynnik konwersji dla temperatur ma odniesienie bezwzgldne, zero absolutne . Zwyke skale temperatury, stopnie Celsjusza i stopnie Fahrenheita zaczynaj si od rónych zer, wic konwersja z jednej jednostki na drug jest transformacj afiniczn , a nie proporcjonalnoci. Dlatego przelicznik moe wystpowa tylko midzy rónicami temperatur. Wzory fizyczne wyraaj temperatur w kelwinach .

Natura i jedno

Jednostka miary to wielko fizyczna, która umoliwia wyraenie wartoci miary fizycznej poprzez jej odniesienie do staej wielkoci tego samego rodzaju. Tak wic, jeli   godzina   jest jednostk miary czasu, dzieje si tak dlatego, e mona porówna wielkoci czasowe z okrelon wielkoci, która jest godzin: kady pomiar fizyczny ocenia tylko czas. Stosunek midzy dwiema wielkociami o tej samej naturze .

Te jednostki miary s same w sobie mierzalnymi wielkociami fizycznymi, wic liczba zwizana z jednostk i przyjmowanie godziny lub minuty jako odniesienia jest w zasadzie arbitralnym wyborem. Arbitralno tego wyboru moe by frustrujca, poniewa nie uchwyci, czym jest natura jednostki: chocia miara jest liczb zwizan z jednostk (co nadaje tej mierze jej natur), w rzeczywistoci moemy jedynie tworzy raporty i uzyskiwa dostp do bezwymiarowych liczb.

Idea systemu jednostek naturalnych odpowiada idei wyeliminowania arbitralnej czci pomiaru: jeli istnieje jednostka naturalna T, która moe suy jako uniwersalne odniesienie do pomiaru czasu, wówczas minuta i godzina mog by opisane odpowiednio jako nT i szedziesit razy nT . Jeli jednostka jest naturalna, moemy uzna, e T skupia istot tej wielkoci i jest jej sam natur, która powoduje, e liczba zmienia swoj natur i staje si miar fizyczn: arbitralna jednostka, na któr w ten sposób rozdziela si codzienne uycie. niezbdn wielko fizyczn, która nadaje jej natur, oraz wspóczynnik przeliczeniowy waciwy dla tej jednostki, który wspiera ca jej dowolno.

W tym podejciu pomiar wielkoci fizycznej nastpnie koncepcyjnie implikuje trzy jednostki: naturaln jednostk, która okrela natur pomiaru, wspóczynnik konwersji, który pochodzi z wielkoci uywanej jako praktyczna jednostka, oraz zmierzon liczb reprezentujc stosunek midzy wielkoci mierzon a jednostk praktyczn. To, e naturalna jednostka nie jest jasno okrelona (jedyn wyranie naturaln jednostk jest prdko wiata ) nie ma praktycznego znaczenia. Wspóczynnik przeliczeniowy, jeli trzeba go obliczy, zawsze przyjmuje posta stosunku midzy dwoma pomiarami tego samego rodzaju, a zatem nie zaley od dokadnej wartoci jednostki naturalnej.

Fizyczne wzory i wielkoci

Niezalenie od tego, jaka powinna by warto jednostki naturalnej, w tej perspektywie moemy uzna, e wyraenie fizyczne tumaczy operacje na obiektach zoonych, kojarzc liczb, jednostk i wspóczynnik konwersji.

Istniej operacje numeryczne wykonywane na liczbach, na których koncentruj si praktycy uywajcy wzoru. To wanie sprawia, e formua jest interesujca w praktyce.

Z drugiej strony, istniej jednoczesne operacje na wielkociach, które reprezentuj natur odnonych pomiarów fizycznych - i to niezalenie od wyboru jednostki; na tym skupia si teoretyk, badajc równanie wymiarowe.

Wreszcie istniej operacje na wspóczynnikach konwersji, które wynikaj z wyboru systemu potencjalnie dowolnych jednostek . To naley wzi pod uwag podczas przechodzenia z jednego systemu jednostek do drugiego. W fizycznym wzorze wybór ten nigdy nie przekada si, w rzeczywistoci, z wyjtkiem wspóczynnika konwersji bez wymiaru (a zatem bez zmiany natury wyraenia). A poniewa ten czynnik odzwierciedla tylko arbitralny wybór, w dobrze zaprojektowanych systemach (takich jak system metryczny) wybiera si jednostki tak, aby wspóczynnik konwersji wynosi jeden i znika ze wzoru.

Wymiarowe równanie fizycznego wzoru jest równanie wielkoci, który ma ten sam ksztat jak pocztkowy wzorze fizycznej, ale gdzie nie liczb, ani wspóczynniki, ani stae liczbowe zostay uwzgldnione bezwymiarowe. Tylko rozmiary. Przedstawiamy zjawiska mierzone symbolem; na przykad takt jest tam reprezentowany przez liter T, a dugo jest reprezentowana przez liter L. To wanie ten wzór umoliwia okrelenie wymiaru, w jakim musi by wyraony wynik wzoru fizycznego, niezalenie od liczb wynikajcych z pomiarów.

Wspóczynnik konwersji

Równania fizyczne cz ze sob wielkoci fizyczne, a wic liczby i jednostki, a take potencjalnie wspóczynniki konwersji w zalenoci od wyboru tych jednostek.

Przykad:

Fizyczny wzór kinematyki mówi nam, e prdko (gdy jest staa) jest mierzona jako przebyta dugo podzielona przez czas podróy. W takim przypadku, jeli mierzymy dugo w ligach , czas w godzinach i prdko w wzach , wzór powinien równie uwzgldnia wspóczynnik konwersji.

${\ Displaystyle V _ {\ mathrm {wze}} = k _ {\ rm {\ lewo (wze {\ frac {liga} {godzina}} \ prawo)}}. D _ {\ mathrm {liga}} / T _ {\ mathrm {godziny}}}$, z: ${\ Displaystyle k _ {\ rm {\ lewo (wze {\ Frac {liga} {godzina}} \ prawo)}} = 2,317 \ 336 \ 792}$

Obliczanie wspóczynnika konwersji

Ogólnie rzecz biorc, okrelenie tego wspóczynnika konwersji jest zoon operacj. Przyjmujc nowoczesny i racjonalny system jednostek jako odniesienie, taki jak midzynarodowy ukad jednostek , obliczenia s nieco uproszczone:

• 1 wze = 0,514  m s ¹
• 1 godzina = 3600  s
• 1 liga = 4288  m (liga ze supków)

W tym przypadku, zamieniajc natywne jednostki na OIOM:

${\ Displaystyle k _ {\ rm {\ lewo (wze {\ Frac {liga} {godzina}} \ prawo)}} = (D _ {\ mathrm {SI}} / 4288) / (T _ {\ mathrm {SI}} / 3600) / (V _ {\ mathrm {SI}} / 0.514)}$

Ale tak jak w midzynarodowym systemie jednostek , który jest systemem racjonalnym, mamy

${\ Displaystyle V _ {\ mathrm {SI}} = D _ {\ mathrm {SI}} / T _ {\ mathrm {SI}}}$

Moemy wywnioskowa:

${\ Displaystyle k _ {\ rm {\ lewo (wze {\ Frac {League} {godzina}} \ prawo)}}} = {\ Frac {1} {0.514}} \ razy {\ Frac {4288} { 3600}} = 2,317}$

Dlatego w tych starych jednostkach reimowych prdko (w wzach ) jest równa odlegoci (w ligach ) podzielonej przez czas (w godzinach ) pomnoonej przez wspóczynnik konwersji 2,317336792, który odzwierciedla arbitralny wybór jednostek.

 

I odwrotnie, znajc t formu V = D / T i majc dane jednostki czasu i dugoci (sekunda i metr w systemie metrycznym), moemy wybra jednostk prdkoci, aby wyeliminowa wspóczynnik konwersji: ta pochodna jednostka jest to metr na sekund w systemie metrycznym.

Wielko jednostki

Rozmiar podstawowy

Ogólnie rzecz biorc, przechodzc od jednego prawa fizycznego do drugiego, mona stopniowo wyrazi wymiary wszystkich wielkoci fizycznych jako funkcj siedmiu podstawowych wymiarów.

Midzynarodowy ukad jednostek dokonuje wyboru nastpujce i zaleca odpowiednie oznaczenia, które s powszechnie stosowane:

Podstawowe wielkoci i wymiary SI

Rozmiar podstawowy	Symbol wymiaru
Dugo	${\ displaystyle {\ mathsf {l}}}$
Masa	${\ displaystyle {\ mathsf {M}}}$
Czas lub czas trwania	${\ displaystyle {\ mathsf {T}}}$
Natenie elektryczne	${\ displaystyle {\ mathsf {I}}}$
Temperatura termodynamiczna	${\ displaystyle {\ mathsf {\ Theta}}}$
Ilo materii	${\ displaystyle {\ mathsf {N}}}$
Natenie wiata	${\ displaystyle {\ mathsf {J}}}$

Wybór tych siedmiu zmiennych to zabytkowy budynek, rozmiary zostay wybrane z XVIII ^-tego  wieku do potrzeb i standardów, które mogyby zrobi prosty i precyzyjny sposób. S one a priori najbardziej podstawowym i trzy podstawowe jednostki oznaczaj jedynie bezporedni dostp do rodka do fizyki XVIII ^th  wieku, byoby trudno sobie wyobrazi, co wybór innych wielkoci bazowych.

Moemy jednak wybra inne wielkoci referencyjne, na przykad w celu zdefiniowania prdkoci jako wielkoci bazowej i zdefiniowania dugoci znormalizowanej zgodnie z prdkoci znormalizowan i czasem znormalizowanym: jest to zreszt teraz robione porednio w systemie metrycznym , gdzie standardem prdkoci jest prdko wiata w próni. Podobnie, alternatyw dla prdu elektrycznego mogoby by zachowanie adunku elektrycznego jako jednostki podstawowej. Te alternatywne wybory prowadz nastpnie do alternatyw pod wzgldem systemu jednostek.

Wybór wielkoci podstawowych w porównaniu z wielkociami pochodnymi jest stosunkowo arbitralny. W wikszoci przypadków, mechanika, iloci faktycznie wykorzystywane jest ograniczona do trzech podstawowych jednostki Maxwell, podsystem L, M, T . Ale moliwe byoby oparcie systemu na sile zamiast na masie ( L, F, T ). W rzeczywistoci wyraanie jednostek w N m- ² lub w N rad- ¹ ilociach w taki sposób, aby wzi pod uwag, e niuton moe by wielkoci bazow definiujc te wielkoci pochodne. Moglibymy równie zastpi czas prdkoci lub czstotliwoci, polega na energii lub zdecydowa si na dowoln inn kombinacj trzech wielkoci mechanicznych, o ile te trzy wielkoci s niezalene. Ten wybór to tylko kwestia wygody. Analiza wymiarowa nie zaley od iloci przyjtych jako podstawa.

Iloci pochodne

Gówny artyku: Jednostki pochodzce z systemu midzynarodowego .

Jak wskazano powyej, prawo fizyczne obejmuje w ogólnym przypadku (dla nieracjonalnych systemów jednostkowych) stay czon odzwierciedlajcy konwersj jednostek midzy wielkociami wejciowymi i wyjciowymi. I odwrotnie, w systemie racjonalnym jednostka wielkoci wyjciowej jest tak dobrana, e jej wspóczynnik przeliczeniowy jest równy jednostce, czyli znika ze wzoru opisujcego prawo fizyczne  : czynnik ten nie ma znaczenia fizycznego.

Stopniowo, z prawem fizycznym w prawo fizyczne , zasada ta moe okreli wszystkie rodzaje iloci pochodnych wiedzie wymiar, a jeli to moliwe, aby naprawi spójn cao z uprzednio wybranych jednostek, dla których przelicznik bdzie równa jeden .

Ilo pochodz zatem ilo którego wymiar jest powizany z co najmniej jednym z siedmiu iloci zasad. Prawo fizyczne wyraa zwizek pomidzy iloci pochodnej i iloci podstawowych (lub innej iloci pochodnych). Jego stwierdzenie narzuca pewne równanie na wymiary .

O wymiarze wielkoci pochodnej mówi si, e jest prosty, gdy jest powizany tylko z jedn z siedmiu wielkoci podstawowych. Na przykad wymiar obszaru jest prosty: odnosi si tylko do dugoci i odpowiada kwadratowi dugoci. O wymiarze wielkoci pochodnej mówi si, e jest zoony, gdy jest powizany z co najmniej dwoma z siedmiu wielkoci podstawowych. Na przykad prdko to stosunek dugoci do czasu trwania.

Równanie wymiarowe

Równanie wymiarowej jest równanie, które odnosi si do wymiaru iloci uzyskanych z tych siedmiu iloci zasad. W równaniu wymiarowym wymiar wielkoci pochodnej jest oznaczony lub . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ text {dim}} ~ {X}}$${\ displaystyle [X]}$

Ogólna posta równania wymiarowego to:

${\ displaystyle {\ text {dim}} ~ {X} = {\ mathsf {l}} ^ {\ alpha} {\ mathsf {M}} ^ {\ beta} {\ mathsf {T}} ^ {\ gamma } {\ mathsf {I}} ^ {\ delta} {\ mathsf {\ Theta}} ^ {\ epsilon} {\ mathsf {N}} ^ {\ zeta} {\ mathsf {J}} ^ {\ eta} }$

lub:

• ${\ Displaystyle {\ mathsf {L, M, T, I, \ Theta, N}}}$i s odpowiednimi wymiarami siedmiu wielkoci podstawowych;${\ displaystyle {\ mathsf {J}}}$
• ${\ Displaystyle {\ alpha, \ beta, \ gamma, \ delta, \ varepsilon, \ zeta}}$i s odpowiednimi wykadnikami siedmiu wielkoci podstawowych.${\ displaystyle {\ eta}}$

Nazywa si je wykadnikami wymiarowymi. Taki wymiarowy wykadnik jest wzgldn liczb cakowit. Moe by (cile) dodatnia, zerowa lub (cile) ujemna. Wielko bezwymiarowa , a ilo wymiarze 1 , jest to ilo, na którym wszystkie przestrzenne wykadnikami s zerami.

Zatem wymiar wielkoci to sposób, w jaki skada si ona z siedmiu podstawowych wymiarów.

Wymiar prdkoci:

Mówimy, e wymiar prdkoci to dugo podzielona przez czas trwania   lub prdko jest jednorodna na dugoci podzielonej przez czas trwania. Równanie wymiaru zaznacza to w skrócie:

${\ Displaystyle {\ tekst {dim}} ~ {V} \; = \; {\ mathsf {\ Frac {L} {T}}}}$(lub ponownie ).${\ Displaystyle {\ rm {\ {\ mathsf {V}} \; \ equiv \; {\ mathsf {\ frac {L} {T}}}}}}$

Kompozycja moe sta si bardziej zoona.

Wymiar siy:

Druga z praw dynamiki Newtona mówi, e sia jest proporcjonalna do iloczynu masy i przyspieszenia. Przyspieszenie to wzrost prdkoci, std iloraz prdkoci do czasu trwania . Prdko to dugo podzielona przez czas trwania, wic przyspieszenie ma wymiar dugoci podzielony przez kwadrat czasu trwania. Wyprowadzamy wymiar siy:

${\ Displaystyle {\ tekst {dim}} ~ {F} \; = \; {\ mathsf {M}} \ cdot {\ mathsf {\ Frac {L} {T ^ {2}}}} \; = \ ; {\ mathsf {M}} \ cdot {\ mathsf {L}} \ cdot {\ mathsf {T}} ^ {- 2}}$ e moemy równie zauway ${\ Displaystyle {\ text {dim}} ~ {F} = {\ Frac {{\ mathsf {M}} \ cdot {\ tekst {dim}} ~ {V}} {\ mathsf {T}}}.}$

Rozszerzenia systemowe

Zapis któw

Gówne artykuy: Analogia midzy rotacj a translacj , Radian i Steradian .

Geometryczna definicja radianu .

Radian i jej kulisty odpowiednik steradian zajmuj oddzielnego miejsca w jednostkach, ani cakiem jednostk bazow, ani prawdziwie homologiczne do jednostki pochodzi. Przez dugi czas nazywano j jednostk dodatkow; 20 ^th  Konferencja Ogólna Midzynarodowe Biuro Miar i Wag wycofa t koncepcj. Radianie jest teraz jednostka bezwymiarowa, której nazwa i symbol moe by, ale nie koniecznie, w wyraeniach innych jednostek pochodnych SI odpowiedni .

Szczególny status tej jednostki wynika z wymiaru uwaanego za bezwymiarowy kta paskiego . W rzeczywistoci kt jest mierzony stosunkiem dugoci uku (AB), który przecina on na okrgu o promieniu r, do promienia r tego okrgu. Te dwa pomiary wykonujc w jednostce dugoci, dochodzimy do wniosku, e wymiar radianu wynosi zero, L ^1-1 = L ⁰ (i tak samo dla steradianu stosunek powierzchni przecicia do kwadratu promienia , L ^{2- 2} = L ⁰ ). Dlatego te, paradoksalnie, czwarta wielko bezporednio mierzalna w codziennym dowiadczeniu nie ma uprzywilejowanego statusu trzech podstawowych jednostek: jej jedno jest opcjonalna i nie jest nawet uwaana za wielko efektywn.

Niemniej jednak wielko ktowa jest wana dla wyjanienia zapisu niektórych jednostek, co uzasadnia jej opcjonalne uycie w midzynarodowym ukadzie jednostek . Jest w ten sposób, e prdko ktowa zauway w rad s ^-1 , a zatem róni si od herców i bekerelach , a priori o ten sam wymiar T ^-1 . Podobnie przyspieszenie ktowe jest zwykle zapisywane w rad s ² .

Chocia nie jest to zwyka praktyka, naley równie odnotowa skadow ktow w wielkociach opisujcych obrót, które mona po prostu zidentyfikowa krok po kroku za pomoc równa wymiarowych:

• pracy para jest , i jest w kg m ² s ^-2 . Dlatego para C jest wyraona w kg m ² s ² rad ¹ , a wic róni si od jednostki energii w kg m ² s ²  ;${\ displaystyle W = {\ vec {C}} \ cdot {\ vec {\ alpha}}}$
• równanie wyraa energi kinetyczn obracajcego si ciaa. E jest w kg m ² s ² , moment bezwadnoci I jest wyraony w kg m ² rad ²  ;${\ textstyle E = {\ frac {1} {2}} \, I \, \ omega ^ {2}}$
• wnioskuje si, e zachowawcza wielko obrotu, moment pdu , ma wymiar kg m ² rad ^-2 × rad s ^-1 = kg m ² s ^-1 rad ^-1 .${\ textstyle {\ vec {L}} = I \, {\ vec {\ omega}}}$

Ale zasadniczo, w przypadku analizy wymiarowej, kty nie mog by uwaane za zmienn problemu, poniewa ich klasyczna definicja nie nadaje im wasnego wymiaru. Na przykad wemy pocisk, dla którego szukamy wyraenia zasigu P jako funkcji kta i prdkoci v wystrzau oraz siy przycigania g . W tej postaci problem ma cztery zmienne zalene od trzech wielkoci i dlatego powinien by dobrze postawiony, aby rozwiza P jako funkcj pozostaych trzech, a do staej. Ale kt rozwaane jako bezwymiarowy, sposób, w którym wystpuje w Jednomian moe by tylko arbitralne: ta zmienna okazuje si by bezuyteczny w klasycznym podejciu, w którym nie mona odróni od arbitralnej stae..

Ten konkretny problem zostanie omówiony poniej przez rzutowanie, poprzez rozrónienie skadowych v _x i v _z prdkoci pocztkowej w dwóch kierunkach, ale to rozwizanie przez rzut nie jest ogólnym podejciem i tak naprawd nie rozwizuje konkretnego problemu któw.

Masa bezwadnociowa i masa powana

Gówne artykuy: Masa , Zasada równowanoci i Mole (jednostka) .

W termodynamice lub mechanice pynów czasami interesujce jest rozrónienie midzy mas jako miar bezwadnoci (masa bezwadnoci) a mas jako miar iloci materii (masa cika), zgodnie z sugesti de Huntleya. kade ciao:

• masa bezwadnoci jest dynamiczny waciwoci materii, która przejawia si przez bezwadnoci ciaa. Konkretnie, masa 20  kg jest odporna na przyspieszenie dwa razy bardziej ni masa 10  kg  ;
• masa brutto (ac gravis , ciki) jest statyczn wasnoci materii, która przejawia si grawitacji cia. Masa 20  kg tworzy wokó siebie pole grawitacyjne dwukrotnie wiksze ni masa 10  kg  ; ponadto w obecnoci tego samego zewntrznego pola grawitacyjnego (na przykad ziemskiego) na mas 20  kg zostanie poddana sia (ciar) dwukrotnie wiksza ni masa 10  kg .

Masa grób jest prawie Newtona grawitacji jaki adunek elektryczny jest do prawa Coulomba  : jest to w pewnym sensie adunek grawitacyjny . Chocia masa powana i masa bezwadna s koncepcyjnie róne, w praktyce widzimy, e s one zawsze proporcjonalne, co uzasadnia, e moemy uy tej samej jednostki do obu (jest to zasada równowanoci ). Jeli jednak uycie tej samej jednostki masy jest moliwe, nie jest to konieczne i pozostaje moliwe rozrónienie tych dwóch w równaniu wymiarowym: w swojej analizie Huntley pokazuje, e równanie fizyczne obejmujce dwa typy masy musi by jednorodny dla kadego rodzaju masy.

Rzuty kierunkowe

Huntley oferuje kolejne rozszerzenie. Polega ona na rozwaeniu, e trzy skadowe wektora naley traktowa jako odnoszce si do rónych wielkoci. W tym przypadku, zamiast mie tylko niezrónicowan dugo L , bdziemy mieli dugo L _x w kierunku x i tak dalej.

Aby zilustrowa t ide, moemy spróbowa obliczy, w jakiej odlegoci bdzie punkt upadku kuli armatniej wystrzelonej z paszczyzny poziomej, z prdkoci pionow V _z i poziom V _x .

Jeli nie wemie si pod uwag wymiarów przestrzeni, jedynymi interesujcymi wielkociami bd V _x i V _y , obie w LT ^-1 , zakres P , wymiar L , oraz g przyspieszenie ziemskie, o wymiar LT ^-2 . Te cztery wielkoci zale tylko od dwóch niezalenych wielkoci i dlatego mona zdefiniowa dwie wielkoci bezwymiarowe.

Poszukiwane równanie zakresu ma posta:

${\ Displaystyle R \ propto V_ {x} ^ {a} \, V_ {y} ^ {b} \, g ^ {c}}$.

Lub w postaci równania wymiarowego:

L = (L / T) ^{a + b} (L / T ² ) ^c .

Z którego moemy wywnioskowa, e a + b + c = 1 i a + b + 2 c = 0 , z którego moemy wywnioskowa, e c = -1 , ale dwa wykadniki pozostaj nieokrelone. Jest to normalne, poniewa w jednym równaniu istniej dwie niezalene wielkoci i cztery wielkoci.

Jeli jednak rozrónimy róne kierunki przestrzeni, to V _x ma wymiar L _x T ^-1 , V _y jest w L _y T ^-1 , R jest w L _x, a g jest w L _y T ^-2 . Równanie wymiarowe staje si wtedy:

L _x = (L _x / T) ^a (L _y / T) ^b (L _y / T ² ) ^c .

Majc teraz trzy niezalene wielkoci i cztery wielkoci dla dwóch równa, mona rozwiza ukad, aby znale a = 1 , b = 1 i c = -1  ; a wic :

${\ Displaystyle R \ propto {\ Frac {V_ {x} .V_ {y}} {g}}}$.

Jeli oznaczymy przez kt wystrzau, w porównaniu z prdkoci pocztkow V otrzymamy V _x = V cos ( ) i V _y = V sin ( ) , a zatem:

${\ Displaystyle R \ propto {\ Frac {V ^ {2}} {g}} \, \ sin (\ teta) \, \ cos (\ teta) = {\ Frac {V ^ {2}} {g} } \, \ sin (2 \ theta)}$.

W tym przykadzie moemy od razu zobaczy, jakie korzyci daje wprowadzenie rónych kierunkowo dugoci.

Podstawowym uzasadnieniem dla takiego podejcia jest to, e kady skadnik równania spójnego wymiarowo sam musi by spójny wymiarowo, niezalenie od tego, czy równanie jest skalarne, wektorowe czy tensorowe. Dlatego rzutujc problem na jedn z jego linii symetrii, mona (czasami) zidentyfikowa niezalene równania, a kade dodatkowe równanie rozwie now zmienn.

Podejcie to polega na zredukowaniu problemu zlokalizowanego w przestrzeni wymiaru trzeciego do kilku problemów w przestrzeniach liniowych wymiaru pierwszego. Chocia czsto przydatne, to rozszerzenie metody zaproponowanej przez Huntleya nadal ma pewne wady:

• nie radzi sobie dobrze z sytuacjami zwizanymi z produktami wektorowymi;
• nie pozwala na zarzdzanie ktami traktowanymi jako zmienne fizyczne;
• nie zawsze jest atwo przypisa te wielkoci L , L _x , L _y i L _z rónym zmiennym problemu , to znaczy zidentyfikowa odpowiednie osie rzutu.

Algebra orientacji

Gówny artyku: rozmiar orientacji .

Zamiast wprowadzania tylko trzech wymiarów dugoci L _x o wyranej orientacji, jak zaproponowa Huntley, Donald Siano zaproponowa przedstawienie wektorowego charakteru pewnych wielkoci, które maj zosta zachowane jako penoprawna wielko iloci orientacji 1 _x , 1 _y i 1 _z w równaniu wymiaru, symbol 1 ₀ reprezentujcy ze swojej czci wielko skalarn bez orientacji. Przy takim podejciu rzutowany wymiar L _x zaproponowany przez Huntleya staje si zoon wielkoci pochodn L1 _x , gdzie L tumaczy charakter dugoci, a 1 _x przekada charakter orientacji w okrelonym kierunku, wic zasadniczo charakter wektorowy tej wielkoci.

We wzorach wymiarowych wielkoci skalarne maj wtedy wymiar 1 ₀ niezalenie od kierunku przestrzeni, w której s rzutowane, ale wielkoci wektorowe otrzymuj wymiar niezerowej orientacji - której wybór w x ,y ,zjest wzgldnie arbitralny, o ile te wybory s uproszczone w równaniu wymiarowym. Kierunkiem moe by na przykad kierunek problemu 1 _x, gdy dotyczy tylko jednego kierunku, ale staje si drugim kierunkiem paszczyzny 1 _y, gdy wystpuje drugi, i kierunkiem prostopadym do pozostaych dwóch 1 _z , jako wymagane.

Konwencja ta prowadzi w szczególnoci do postulowania, e odchylenie ktowe przekada obrót w przestrzeni trójwymiarowej  :

Obrót ma wymiar 1 _z .

Ten sam wynik mona uzyska bezporednio zauway, e w ukadzie wspórzdnych biegunowych ( r , ) , Elementarna odmianami a prowadzi do prostopade przemieszczenia d x = R d  : d x jest orientacji 1 _Y w odniesieniu do odlegoci r powodowanego o orientacji 1 _x jednorodno wzoru narzuca, e d ma orientacj 1 _z , która jest wic wymiarem radiana . Moemy równie wykaza (poprzez rozwinicie szeregu Taylora ), e sin (), jak kada funkcja nieparzysta, ma tak sam wielko orientacji jak jej argument  ; i e cos ( x ) , jak kada funkcja parzysta, zawsze ma wielko orientacji skalarnej - ani funkcje parzyste, ani nieparzyste nie mog przyjmowa tylko argumentów skalarnych.

Jako przykad zastosowania wrómy do problemu zasigu pocisku, biorc pod uwag wielko orientacji . W odniesieniu do kierunku punktu uderzenia sia cikoci ma orientacj 1 _z , a kt wystrzau znajdujcy si w paszczynie xz bdzie mia wymiar prostopady, to znaczy 1 _y . Zakres P ma wic posta: ${\ displaystyle 1_ {x}}$

${\ Displaystyle P \ propto g ^ {a} \, v ^ {b} \, \ theta ^ {c}}$Oznacza to, e: .${\ Displaystyle \ mathrm {l} \, 1_ {x} \ sim \ lewo ({\ frac {\ mathrm {l} \, 1_ {z}} {\ mathrm {T} ^ {2}}} \ prawej) ^ {a} \ left ({\ frac {\ mathrm {L}} {\ mathrm {T}}} \ right) ^ {b} \, 1_ {y} ^ {c}}$

Jednorodno wymiarowa prawidowo narzuca zatem, e a = 1 i b = 2  ; a w odniesieniu do wielkoci orientacji c musi by nieparzyst liczb cakowit (dlatego mona przyj, e jest równe jednoci). Analiza uzupeniajca pokazuje, e funkcja poszukiwana w , z koniecznoci nieparzysta ze wzgldu na jednorodno, jest okresowa z okresem 2 (a wic ma posta sin ( n ) ) i zanika dla = 0 i = / 2  : dlatego n = 2, a poszukiwan funkcj jest sin (2 ) . Wic mamy :

${\ Displaystyle P \ propto {\ Frac {v ^ {2}} {g}} \, \ sin (2 \, \ theta)}$.

Przykady zastosowa

Zasada zera fizyki teoretycznej

Modelowanie przepywu wiru w tunelu aerodynamicznym.

Sia predykcyjnej mocy analizy wymiarowej w porównaniu z jej prostot skonia Wheelera do zaproponowania nastpujcej ogólnej zasady:

  Nigdy nie wykonuj oblicze przed poznaniem wyniku  .

To stwierdzenie, które moe wydawa si a priori paradoksalne , oznacza konkretnie: nie podejmowa skomplikowanych oblicze bez uprzedniego znalezienia jakociowej formy wyniku za pomoc analizy wymiarowej.

Analiza wymiarowa rzeczywicie umoliwia znalezienie formy rozwizania pewnych problemów bez koniecznoci rozwizywania adnych równa, dziki twierdzeniu Buckinghama (czasami nazywanego   twierdzeniem Pi). Ten typ oblicze jest poprawny tylko wtedy, gdy maa liczba parametrów steruje rozwizaniem problemu (2 lub 3).

Analiza wymiarowa umoliwia jedynie znalezienie równania fizycznego, które rzdzi tym zjawiskiem, a do staej numerycznej k bliskiej, bezwymiarowej i którego ta metoda nie moe zatem okreli. Aby go znale, potrzeba penego, wyranego obliczenia (lub pomiaru eksperymentalnego, aby to ustali). Jednak dowiadczenie pokazuje, e w ukadzie jednostek dostosowanych do badanego problemu, ta staakjest zawsze rzdu wielkoci 1 (w sensie, w którym ~ e ~ 1 ), std znaczenie analizy wymiarowej do przewidywania ksztatu wyniku obliczenia, jak równie jego rzd wielkoci.

Jednak skonstruowanie jednorodnych równa nie wystarczy do zidentyfikowania odpowiednich praw fizycznych. Synne równanie E = m c ² jest doskonale jednorodne i niezmienne przez zmian jednostek; ale ta jednorodno nie wystarczya, aby to wszystko przewidzie.

Dwa synne przykady obliczania potgi pierwszej bomby atomowej i modelu Komogorowa z turbulencji jednorodnej izotropowej , co znacznie wpyno na ca mechanik pynów .

Prawa spadajcych cia

Galileo i upadek cia

Galileusz pocztkowo zakada (bdnie), e o ile sia grawitacji wywierana na ciao (jego ciar) zaley od jego masy, to prawo rzdzce upadkiem cia, tj. Wysoko h jako funkcja czasu t i grawitacji g , moe równie zalee od masy m tego ciaa. W takim przypadku mielibymy:

${\ Displaystyle h = f (g, m, t)}$

Wysoko h ma oczywicie wymiar , masa m jest w , it ma wymiar  ; a analiza wymiarowa zapewnia rozmiar g . Jedyn kombinacj dajc bezwymiarow ilo jest wtedy: ${\ displaystyle \ scriptstyle L}$${\ displaystyle \ scriptstyle M}$${\ displaystyle \ scriptstyle T}$${\ displaystyle \ scriptstyle LT ^ {- 2}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {h} {gt ^ {2}}} = Cte}$

Funkcja masy nie moe by bezwymiarowa za pomoc zmiennych g , t i h , co pokazuje, e idea uzalenienia tego prawa od masy jest fizycznie niepoprawna. W rzeczywistoci masa interweniuje w opis trajektorii tylko wtedy, gdy bierze si pod uwag opór powietrza, poniewa lepko powietrza ma wtedy znaczenie dla wymiaru masy.

Galileusz nie mia rachunku róniczkowego i zaoy, e prdko v (której wymiar jest ) jest proporcjonalna do wysokoci upadku h , to znaczy tak . Gdyby móg zastosowa analiz wymiarow, mógby zauway, e jedyn bezwymiarow wielkoci, jak mona uzyska z v , h i g, jest: ${\ displaystyle \ scriptstyle LT ^ {- 1}}$${\ displaystyle v \ sim h}$

${\ Displaystyle {\ Frac {gh} {v ^ {2}}} = Cte}$

Dlatego nie moe istnie liniowa zaleno midzy h i v , któr mona zatem okreli bez rachunku róniczkowego.

 

Czstotliwo ukadu masowo-sprynowego

Waga oscylacyjna

Gówny artyku: system masa-spryna .

Podjto prób wyznaczenia okresu T drga ukadu masa-spryna w funkcji sztywnoci k spryny i ciaru p, który jest w niej zawieszony. Te trzy wielkoci fizyczne maj odpowiednio wymiar:

• T  : s  ;
• k  : kg s ²  ;
• p  : kg m s ² .

Widzimy, e w tej formie problem jest nierozwizywalny: ciar jest jedyn wielkoci fizyczn majc skadnik dugoci, dlatego nie moe interweniowa w czynnik bez wymiaru; a sztywno jest wówczas jedyn wielkoci majc skadnik masy, a zatem równie nie moe interweniowa.

Rozkadajc ciar na iloczyn masy przez przyspieszenie ziemskie, dy si nastpnie do okrelenia tego okresu oscylacji T masy m przyczepionej do idealnej spryny o sztywnoci k w polu grawitacyjnym g . Te cztery wielkoci fizyczne maj odpowiednio wymiar:

• T  : s  ;
• m  : kg  ;
• k  : kg s ²  ;
• g  : m s ² .

Z tych czterech zmiennych mona utworzy pojedynczy bezwymiarowy zwizek . adna kombinacja nie ma wspóczynnika g , poniewa tutaj jest jedyn, która ma skadnik dugoci. ${\ Displaystyle \ pi _ {1} = {\ Frac {k \, T ^ {2}} {m.}}}$

W rzeczywistoci analiza wymiarowa moe naoy silne ograniczenia na znaczenie wielkoci fizycznej w rozwizaniu problemu lub na potrzeb wprowadzenia parametrów uzupeniajcych. Tutaj jest wystarczajco duo zmiennych, aby poprawnie opisa problem, a wniosek jest taki, e w rzeczywistoci okres oscylacji masy przymocowanej do spryny nie zaley od grawitacji g  : byby taki sam na powierzchni Ziemia lub Ksiyc.

Odkryty bezwymiarowy czynnik jest a priori "ma sta", a równanie mona przepisa w postaci równowanej (pozujc ): ${\ displaystyle \ pi _ {2} = {\ sqrt {\ pi _ {1}}}}$

${\ displaystyle T = \ pi _ {2} {\ sqrt {m \ ponad k}}}$

Sama analiza wymiarowa nie moe okreli staej . Znajdujemy w inny sposób ni . ${\ displaystyle \ pi _ {2}}$${\ displaystyle \ pi _ {2} = 2 \ pi}$

 

Impuls synchrotronowy

Impuls synchrotronowy

Gówny artyku: Synchrotron .

Rozwamy materialny punkt o masie m i adunku elektrycznym q poddanym jednorodnemu polu magnetycznemu . Punkt materialny animowany przez prdko jest poddawany sile Lorentza  : ${\ displaystyle {\ vec {B}}}$${\ displaystyle {\ vec {czas}}}$

${\ displaystyle {\ vec {F}} = q {\ vec {czas}} \ wedge {\ vec {B}}}$

Kiedy punkt materialny opisuje okrg w paszczynie prostopadej do pola magnetycznego przy staej prdkoci ktowej . Ta prdko ktowa musi zalee od parametrów m , q i od problemu. ${\ displaystyle {\ vec {v}} \ perp {\ vec {B}}}$${\ displaystyle {\ vec {B}}}$

Moemy sprawdzi, czy istnieje prosta zaleno, jak produkt, midzy tymi parametrami:

${\ Displaystyle \ omega = km ^ {\ alpha} q ^ {\ beta} B ^ {\ gamma}}$

gdzie k , , i to nieznane stae i liczby bezwymiarowe.

Do okrelenia tych liczb stosuje si równania wymiarowe. Rzeczywicie mamy:

${\ Displaystyle {\ rm {\ lewo [F \ prawo] = M \ cdot L \ cdot T ^ {- 2} = \ lewo [q \ cdot v \ cdot B \ prawo] = Q \ cdot L \ cdot T ^ {-1} \ left [B \ right]}}}$

std równanie na wymiary pola magnetycznego:

${\ Displaystyle {\ rm {\ lewo [B \ prawo] = M \ cdot T ^ {- 1} \ cdot Q ^ {- 1}}}}$

Wyprowadzamy równanie o wymiarach  :

${\ Displaystyle \ lewo [\ omega \ prawej] = \ lewo [k \; m ^ {\ alpha} \; q ^ {\ beta} \; B ^ {\ gamma} \ prawej] = {\ rm {M ^ {\ alpha} \; Q ^ {\ beta} \; \ left [B \ \ right] ^ {\ gamma} = M ^ {\ alpha + \ gamma} \; Q ^ {\ beta - \ gamma} \; T ^ {- \ gamma}}}}$

Ponadto prdko ktowa jest stosunkiem kta podzielonego przez czas T ₀ (okres obrotu):

${\ Displaystyle \ omega = {\ Frac {2 \ pi} {T_ {0}}}}$

Kt jest bezwymiarowy i dochodzi do:

${\ Displaystyle {\ rm {\ lewo [\ omega \ prawej] = T ^ {- 1} = M ^ {\ alpha + \ gamma} \ cdot Q ^ {\ beta - \ gamma} \ cdot T ^ {- \ gamma}}}}$

Wychodzimy z tego, e: = 1; + = 0 = -1; i - = 0 = 1. Std posta  : ${\ displaystyle \ omega = k \ cdot {\ frac {qB} {m.}}}$

Nazywamy   pulsacj cyklotronu   wielko: ${\ displaystyle \ omega _ {c} = {\ frac {qB} {m.}}}$

W tym dokadnym przykadzie rozwizanie równania dynamiki Newtona pokazuje, e k = 1 dokadnie.

Ponadto B jest jedyn fizyczn wielkoci tego jednomianu, która ma charakter orientacyjny (jest to pseudowektor ). Relacj mona zatem zapisa w postaci wektorowej:

${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {\ omega}} _ {c} = {q \ over m} \ cdot {\ overset {\ hookrightarrow} {B}}}$

 

Energia bomby atomowej

Energia bomby atomowej

Wedug legendy analiza wymiarowa pozwolia Geoffreyowi Ingramowi Taylorowi oszacowa w 1950 r. Energi uwolnion przez eksplozj bomby atomowej , kiedy ta informacja zostaa sklasyfikowana jako cile tajna . W tym celu obserwowa film przedstawiajcy eksplozj nuklearn w Nowym Meksyku, któr armia amerykaska wypucia w 1949 roku. Energi wydedukowano z ekspansji atomowego grzyba.

Taylor zakada a priori, e proces rozszerzania si kuli gazowej zaley przynajmniej od nastpujcych parametrów:

• czas t  ;
• energia E uwolniona przez eksplozj;
• gsto powietrza .

Analiza wymiarowa prowadzi nastpnie do promienia kuli gazu w czasie t do równania:

${\ Displaystyle r = k \; E ^ {1/5} \; \ rho ^ {- 1/5} \; t ^ {2/5}}$

gdzie k jest bezwymiarow sta. W ten sposób Taylor ponownie znajduje eksperymentalne prawo ekspansji grzyba

${\ displaystyle r (t) \ propto t ^ {2/5}}$,

co wydaje si potwierdza jego dobór parametrów. Nastpnie ustala r i t z filmu i, zakadajc, e k jest rzdu jednoci, a jest znane, ostatecznie uzyskuje:

${\ Displaystyle E \ sim {\ Frac {\ rho \; r ^ {5}} {t ^ {2}}}}$

W rzeczywistoci Taylor nie zastosowa tego uproszczonego rozumowania. W swojej pierwszej publikacji, liczcej 15 stron, wykorzystuje analiz wymiarow do uproszczenia równa róniczkowych opisujcych przepyw. Po wielu obliczeniach uzyska w kocu nastpujc, bardzo prost formu:

${\ Displaystyle r = k (\ gamma) \; E ^ {1/5} \; \ rho ^ {- 1/5} \; t ^ {2/5}}$

gdzie interweniuje wielko liczbowa, która zaley od staej równej 1,4 w temperaturze otoczenia, ale która maleje w wysokiej temperaturze. Tym samym Taylor jest zaskoczony w swoim drugim artykule bardzo dobr zgodnoci midzy formu a wartociami zmierzonymi na zdjciach i stwierdza, e spodziewa si mniej dobrej zgodnoci. ${\ Displaystyle k (\ gamma)}$${\ displaystyle \ gamma}$

Dlatego tylko a posteriori , dziki obliczeniom Taylora i obserwacjom eksperymentalnym, e temperatura nie wpywa na temperatur, moemy bardzo elegancko znale wyraenie promienia grzyba jdrowego jako funkcji czasu i energii bomby.

Geoffrey Ingram Taylor i John von Neumann opublikowali to eleganckie rozwizanie niezalenie podczas II wojny wiatowej, wraz z trzema innymi po wojnie, LI Sedovem , R. Latter i J. Lockwood-Taylor.

Wyraenie energii w powyszym przykadzie (bomba jdrowa) mona uzyska bardziej ogólnie bez odwoywania si do ekspansji kuli gazu. Poniewa chodzi o szybkie znalezienie jednomianu, który interweniuje w relacji , odpowiednia jest kada metoda: ${\ Displaystyle E = f (\ rho, r, t)}$

Na przykad, a zatem skd${\ Displaystyle E = mc ^ {2} \ Rightarrow [E] = {\ rm {M \ cdot L ^ {2} \ cdot T ^ {- 2}}}}$${\ Displaystyle \ rho = {\ Frac {m.} {V}} \ Rightarrow [\ rho] = {\ rm {M \ cdot L ^ {- 3}}}}$${\ Displaystyle {\ Frac {[E]} {[\ rho]}} = {\ rm {L ^ {5} \ cdot T ^ {- 2}}}}$${\ Displaystyle E \ sim {\ Frac {\ rho \; r ^ {5}} {t ^ {2}}}}$

Metoda uogólni: patrzymy jak z , , i (patrz tabela poniej ) ${\ Displaystyle (a, b, c) \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle E = \ rho ^ {a} r ^ {b} t ^ {c}}$${\ displaystyle [E] = ML ^ {2} T ^ {- 2}}$${\ displaystyle [\ rho] = ML ^ {- 3}}$${\ displaystyle [r] = L}$${\ displaystyle [t] = T}$

${\ Displaystyle E = \ rho ^ {a} r ^ {b} t ^ {c} \ Rightarrow [E] = [\ rho] ^ {a} \ razy [r] ^ {b} \ razy [t] ^ {c} \ Leftrightarrow M ^ {1} L ^ {2} T ^ {- 2} = M ^ {a} L ^ {- 3a + b} T ^ {c} \ Leftrightarrow (a, b, c) = (1,5, -2) \ Rightarrow E = \ rho r ^ {5} t ^ {- 2}}$

 

Szybko sedymentacji

Szybko sedymentacji

Jednym ze sposobów przeprowadzenia analizy wielkoci czstek drobnego osadu jest umieszczenie go w jednorodnej zawiesinie, a nastpnie zmierzenie wysokoci osadu w funkcji czasu. Ta metoda zakada, e znamy szybko sedymentacji czstki jako funkcj jej rednicy . Oczywicie szybko sedymentacji zaley równie od przyspieszenia ziemskiego , lepkoci cieczy i gstoci wzgldnej , rónicy gstoci midzy osadem a ciecz. Poniewa istnieje tutaj pi parametrów tylko dla trzech podstawowych wymiarów, moliwe jest jedynie a priori okrelenie czciowej zalenoci midzy parametrami. ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ rho}$

Moliwe jest jednak rozrónienie w wymiarze dugoci midzy dugociami mierzonymi w kierunku pionowym w 1 _z , kierunkiem prdkoci, przyspieszenia i wpywem lepkoci, a dugociami mierzonymi w kierunku poziomym w 1 _x , kierunek, w którym naley zmierzy rednic przekroju efektywnego. Objto czstki czy kierunek pionowy i dwa poziomy.

Wymiary tych zmiennych s zatem nastpujce:

• ${\ displaystyle v}$ : Prdko w L · T ^-1 · 1 _z^{${\ displaystyle \,}$}
• ${\ displaystyle d}$ : rednica L · 1 _x
• ${\ displaystyle g}$ : Przyspieszenie grawitacyjne L · T ^-2 · 1 _z^{${\ displaystyle \,}$}
• ${\ displaystyle \ mu}$ : Lepko dynamiczna M · L ^-1 · T ^{-1 ${\ displaystyle \,}$${\ displaystyle \,}$}1 _z ^-1
• ${\ displaystyle \ rho}$ : Gsto M · L ^{-3 ${\ displaystyle \,}$}1 _z ^-1 1 _x ^-2

Jednorodno wzoru narzuca wówczas:

${\ displaystyle \ mathrm {Cte} = {v \ mu \ over \ rho gd ^ {2}}}$

Odpowiada to prawu Stokesa , dla którego staa wynosi 2/9.

 

Kosmologia: promie Hubble'a

Kosmologia: promie Hubble'a

W tym przykadzie dotyczcym kosmologii wykorzystujemy analiz wymiarow (dugo, mas i czas) z trzech staych G oraz iloczyn mas 3 gównych czstek atomowych (elektronu, protonu i neutronu) najdokadniej okrelonego ( dokadno ^10-10 patrz CODATA 2018): ${\ displaystyle \ hbar}$

• ${\ Displaystyle m ^ {3} = m_ {e} \ razy m_ {p} \ razy m_ {n}}$

• analiza wymiarowa podaje odlego: miliardy lat wietlnych;${\ Displaystyle {\ Frac {\ hbar ^ {2}} {Gm ^ {3}}} = 6,900}$
• Z drugiej strony, charakterystyczna dugo horyzontu czarnej dziury Schwarzschilda wynosi , R _H jest promieniem Hubble'a , otrzymujemy R _H = 13,80 miliarda lat wietlnych, co odpowiada 70,84 km / s na Mega parsek${\ displaystyle {\ frac {R_ {H}} {2}}}$

Wynik ten jest zgodny z najnowszymi szacunkami, z wyjtkiem tego, e nie mona go powiza z wiekiem, poniewa stae fizyczne i matematyczne s niezmienne w czasie i przestrzeni.

 

Historyczny

Historycy dyskutuj o pochodzeniu analizy wymiarowej. Matematycy Leonard Euler i Joseph Fourier oraz fizyk Rayleigh s generalnie cytowani jako osoby, które wnieli istotny wkad, przy zaoeniu, e prawa fizyczne takie jak nie powinny zalee od jednostek uytych do pomiaru wielkoci fizycznych, które pojawiaj si we wzorze. Wymóg ten prowadzi do wniosku, e prawo fizyczne musi tworzy jednorodne równanie midzy tymi rónymi jednostkami; wynik ostatecznie sformalizowany za pomoc twierdzenia Vaschy'ego-Buckinghama . Jednak pierwsze zastosowanie analizy wymiarowej wydaje si by spowodowane przez matematyka z Sabaudii François Daviet de Foncenex (17341799) w pracy opublikowanej w 1761 r., 61 lat przed dzieem Fouriera. W kadym razie James Clerk Maxwell ustanawia nowoczesne podejcie do analizy wymiarowej, stawiajc, e masa, dugo i czas s podstawowymi jednostkami, a pozostae okrelajc jako pochodne. ${\ textstyle {\ vec {F}} = m \, {\ vec {a}}}$

Chocia Maxwell zdefiniowa czas, dugo i mas jako trzy podstawowe jednostki, niemniej jednak zauway, e masa grawitacyjna moe by wielkoci wyprowadzon z czasu i dugoci, prowadzc do wyprowadzenia M = L ³ T ^-2 , pod warunkiem e w Newtona prawa powszechnego cienia , staa grawitacyjna G pochodzi równa jednoci. Podobnie, zapisujc prawo Coulomba w postaci, w której staa k _e jest równa jednoci, Maxwell ustali, e wymiar jednostki elektrostatycznej powinien wynosi Q = L ^3/2 M ^1/2 T ^-1 i biorc pod uwag wziwszy pod uwag, e ponadto rozwaa mas jako wielko pochodn M = L ³ T ^-2 , adunek elektryczny mia wówczas taki sam wymiar jak masa, tj. Q = L ³ T ^-2 .

Analiza wymiarowa pozwala równie wydedukowa form, która musi mie zwizek midzy wielkociami fizycznymi, które interweniuj w zjawisku, które chce si uwzgldni / zrozumie i scharakteryzowa. Wydaje si, e Rayleigh uy go w tym sensie po raz pierwszy, w 1872 roku, próbujc wyjani, dlaczego niebo jest niebieskie. Rayleigh opublikowa swoj metod w 1877 roku w swojej ksice o teorii dwiku .

To w jego pracy Théorie de la CHALEUR e Joseph Fourier wprowadza wymiar, któr pierwotnie zaliczane do wartoci liczbowych podejmowanych przez propagatorów jednostek bazowych. Na przykad dla niego przyspieszenie ma wymiar 1 w odniesieniu do jednostki dugoci i wymiar -2 w odniesieniu do jednostki czasu. Dla Maxwella wymiarem przyspieszenia jest cae wyraenie LT ^-2 , a nie cig wykadników; to wanie ta terminologia jest uywana dzisiaj.

Modelowanie

Ludwig Prandtl, jeden z ojców mechaniki pynów, przed swoim modelem rcznego kanau przepywowego (1904).

Od koca 19 ^th i na pocztku 20 ^-go wieku, wraz z dalszym badaniu waciwoci cieczy i ciaa poruszajce si w pynach, fizycy jak Ludwiga Prandtla , Theodore von Karman , Albert Shields , Johann Nikuradse i Rayleigha stosowa analiz wymiarow do odtworzenia w laboratorium iw kontrolowalnych warunkach zachowanie zjawisk fizycznych, ale z rónymi prdkociami lub gstociami, w oparciu o prawa podobiestwa majce zastosowanie do modeli o rónych skalach. Ta zasada podobiestwa, która umoliwia badanie zjawisk fizycznych w rónych skalach, jest podstaw teorii podobiestwa, zwanej take teori modeli.

Analiza wymiarowa jest rzeczywicie podstaw modelowania i podobiestwa. Twierdzenie Vaschy'ego-Buckinghama pokazuje, e dla dowolnego wzoru fizycznego zawierajcego n niezalenych zmiennych wymiarowych, w zalenoci od k jednostek podstawowych, wzór mona przeksztaci w równowany wzór w zalenoci od nk zmiennych bezwymiarowych wydedukowanych ze zmiennych pocztkowych. Ta transformacja umoliwia zastosowanie tego samego prawa, a zatem odtworzenie tego samego zjawiska w rónych skalach, o ile te bezwymiarowe liczby s identyczne w obu przypadkach. W wanym szczególnym przypadku, gdy n = k , nie ma wolnej zmiennej bez wymiaru, a twierdzenie implikuje, e bezwymiarowe wyraenie, które mog tworzy zmienne, jest stae dla rozwaanego zjawiska.

I odwrotnie, w badaniu zjawiska fizycznego konieczne jest zbadanie zachowania systemu tylko wtedy, gdy te bezwymiarowe zmienne s róne, a reszt mona wydedukowa na podstawie proporcjonalnoci. Analiza wymiarowa umoliwia zatem identyfikacj odpowiednich zmiennych do badania rozwaanego zjawiska, co wymaga dobrego wyczucia fizycznej rzeczywistoci, ale umoliwia ograniczenie planu eksperymentalnego tylko do tych wymiarów. Wszystkie wykresy wyników, na których osie s liczbami bezwymiarowymi, pochodz z analizy wymiarowej.

Uwagi i odniesienia

• (en) / (de) / (it) Ten artyku jest czciowo lub w caoci zaczerpnity z artykuów zatytuowanych w jzyku angielskim   Dimensional analysis   ( patrz lista autorów ) , w jzyku niemieckim   Dimensionsanalyse   ( patrz lista autorów ) oraz w jzyku woskim   Analisi Dimensionsale   ( patrz lista autorów ) .

Uwagi

1. Pochodna logarytmiczna jest pozornym wyjtkiem: pozwalamy sobie pisa , nawet jeli x nie jest bezwymiarowe (zamiast gdzie x ₀ jest sta o tym samym wymiarze co x ), poniewa dwie operacje daj formalnie ten sam wynik .${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ Frac {\ czciowe} {\ czciowe x}} (\ ln x)}$${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ Frac {\ czciowe} {\ czciowe x}} \ lewo (\ ln {\ Frac {x} {x_ {0}}} \ prawej)}$${\ Displaystyle \ scriptstyle \ mathrm {d} \ left (\ ln {\ Frac {x} {x_ {0}}} \ right) = {\ Frac {x_ {0}} {x}} \ mathrm {d} \ left ({\ frac {x} {x_ {0}}} \ right) = {\ frac {\ mathrm {d} x} {x}}}$
2.   Najwyraniej zaczynajc od Maxwella, mas, dugo i czas zaczto interpretowa jako majce uprzywilejowany charakter fundamentalny, a wszystkie inne wielkoci jako pochodne, nie tylko w odniesieniu do pomiaru, ale take w odniesieniu do ich stanu fizycznego   .
3. Takie rozwaania, majce na celu zdefiniowanie tych jednostek w taki sposób, aby pewne podstawowe stae byy warte jednostki, s rzeczywicie podstaw systemów jednostek naturalnych . Jednak zmniejszenie liczby jednostek podstawowych, nawet jeli jest teoretycznie moliwe, nie jest podane w praktyce. Kontynuujc t logik, moemy wybra, e prdko wiata jest równa, dalej zmniejszajc dugo do jednostki pochodnej, a nastpnie ... Ale jeli wszystkie wielkoci fizyczne ostatecznie sprowadz si do wymiaru czasu, analiza wymiarowa nie ju dostarcza adnych informacji i nie ma ju powodu do istnienia.${\ displaystyle \ scriptstyle c = 1}$${\ displaystyle \ scriptstyle T = L = M = Q}$

Bibliografia

1. H. Sidhoum, M. Babout, L. Frécon, Ampère2, jzyk programowania dla fizyki, The European Journal of Physics , tom 11, 1990, str.  163-171 .
2. David Rouvel "Scolia na Midzynarodowego Ukadu Jednostek Miar (SI)," Biuletyn Unii fizyków , n ^o  911, luty 2009, strona 212.
3. Zielona Ksiga z IUPAC , 3 ^e   ed. , 2007, strona 4
4.   Rozdzielczo 8 z 20 ^th  FGCM - Usunicie klas jednostek uzupeniajcych SI   na bipm.org , Midzynarodowe Biuro Miar i Wag ,1995.
5. Huntley, HE (1967), Dimensional Analysis, Dover, LOC 67-17978
6. Wprowadzenie do analizy wymiarowej dla geografów . Robin Haynes, 1982, s. 3334.
7. Donald Siano , Orientational Analysis - A Supplement to Dimensional Analysis - I , vol.  320, pot.  Journal of the Franklin Institute,1985, 267283  s. ( DOI  10.1016 / 0016-0032 (85) 90031-6 ) , rozdz.  6
8. Donald Siano , Orientational Analysis, Tensor Analysis and The Group Properties of the SI Supplementary Units - II , vol.  320, pot.  Journal of the Franklin Institute,1985, 285302  s. ( DOI  10.1016 / 0016-0032 (85) 90032-8 ) , rozdz.  6
9. Pietro-Luciano Buono,   Równowaga jednostek w modelowaniu matematycznym  , Accromath , vol.  12, lato-jesie 2017 ( czytaj online [PDF] )
10. Taylor, Sir Geoffrey Ingram, Powstanie fali uderzeniowej w wyniku bardzo intensywnej eksplozji. II. Eksplozja atomowa w 1945 r., Proceedings of the Royal Society of London. Seria A, nauki matematyczne i fizyczne , t. 201, nr 1065, strony 175-186 (22 marca 1950). [ czytaj online ]
11. Taylor, Sir Geoffrey Ingram, "Powstanie fali uderzeniowej przez bardzo intensywn eksplozj. I. Dyskusja teoretyczna" Proceedings of the Royal Society of London. Seria A, nauki matematyczne i fizyczne , t. 201, nr 1065, strony 159-174 (22 marca 1950). [ czytaj online ]
12. Neumann, John von, Rozwizanie róda punktowego, John von Neumann. Collected Works , pod redakcj AJ Taub, Vol. 6 [Elmsford, NY: Permagon Press, 1963], strony 219-237.
13. Sedov, LI, Propagation of strong shock waves, Journal of Applied Mathematics and Mechanics , tom. 10, strony 241-250 (1946).
14. Latter, R., Podobiestwo rozwizania dla sferycznej fali uderzeniowej, Journal of Applied Physics , tom. 26, str. 954-960 (1955).
15. Lockwood-Taylor, J., Dokadne rozwizanie problemu sferycznej fali uderzeniowej, Philosophical Magazine , tom. 46, strony 317-320 (1955).
16. Batchelor, George, The Life and Legacy of GI Taylor , [Cambridge, England: Cambridge University Press, 1996], strony 202 - 207. [ czytaj online ]
17. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/CCValueme
18. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Valuemp
19. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Valuemn
20. http://physics.nist.gov/cuu/Constants/Table/allascii.txt .
21. (w) Jean Maruani , The Dirac Electron: From Chemistry to Quantum Cosmology Holistic w Journal of the Chinese Chemical Society tom 63 wydanie 1 , Taipei, Wiley-VCH Verlag GmbH,2016, 33--48  s. ( DOI  https://doi.org/10.1002/jccs.201500374 )
22. http://www.ptep-online.com/2019/PP-57-12.PDF
23. Kalkulacja zostaa zoona 4 marca 1998 r. Przez Francisa M. Sancheza pod zapiecztowan pokryw nr 17367 w Akademii Nauk (Francja) pod numerem referencyjnym: DC / nr 17367, powiadczona przez Jacka BLACHERE 11 marca 1998 r.
24. (w) John Claude_Pecker and Jayant_Narlikar (redaktorzy), Current Issues in Cosmology , Cambridge, Cambridge University Press ,2006, 257--260  s. ( ISBN  978-1-107-40343-7 )
25. Henri Poincaré , Science and Hypothesis , Pary, Flammarion Library of Scientific Philosophy ,1902
26. (w) Enzo O. Macagno ,   Historyczno-krytyczny przegld analizy wymiarowej   , Journal of the Franklin Institute , vol.  292 N ^O  6,1971, s.  39140 ( DOI  10.1016 / 0016-0032 (71) 90160-8 , czytaj online )
27. (en) Roberto De A. Martins ,   Pochodzenie analizy wymiarowej   , Journal of the Franklin Institute , tom.  311 n ^O  5,Dziewitnacie osiemdziesit jeden, s.  3317 ( DOI  10.1016 / 0016-0032 (81) 90475-0 , czytaj online )
28. Traktat o mechanice staej, 1765 apud Dic. Fiz. .
29. Analityczna teoria ciepa , 1822 apud Dic. Fiz. .
30. Theory of Sound , 1877 apud Dic. Fiz. .
31. Stephen Finney Mason , A history of the science , Nowy Jork, Collier Books,1962( ISBN  0-02-093400-9 ) , str.  169
32. John J Roche , Matematyka pomiaru: historia krytyczna , Springer,1998, 330  s. ( ISBN  978-0-387-91581-4 , czytaj online ) , str.  203.
33. James Clerk Maxwell , Traktat o elektrycznoci i magnetyzmie ,1873, s.  4
34. James Clerk Maxwell , Traktat o elektrycznoci i magnetyzmie ,1873, s.  45
35. Baron John William Strutt Rayleigh , Teoria dwiku , Macmillan ,1877( czytaj online )
36. Joseph J. Fourier , Teoria ciepa ,1822( czytaj online ) , s.  156
37. James Clerk Maxwell , Traktat o elektrycznoci i magnetyzmie, tom 1 ,1873( czytaj online ) , s.  5

Zobacz te

Bibliografia

• Richard Taillet , Loïc Villain i Pascal Febvre , Sownik fizyki , Bruksela, De Boeck ,2013, s.  25
• Bernard Diu , Matematyka fizyka , Pary, Odile Jacob ,2010, s.  109-256 (Cz trzecia Analiza wymiarowa, cz czwarta i pita).

Powizane artykuy

• Bezwymiarowa wielko
• Jednorodno (fizyczna)
• Jednostki pochodzce z systemu midzynarodowego

Linki zewntrzne

• (en) Jednostki fizyczne i reprezentacja matematyczna . Chester H. Page, Journal of research of the National Bureau of Standards-B. Matematyka i fizyka matematyczna. Vol 65B, nr 4, padziernik-grudzie 1961.
• (fr) The n-Category Café  : blog Johna Baeza na temat analizy wymiarowej.
• (en) Eksploracja fizyki poprzez analiz wymiarow
• SI na bipm.org
• Jean Villey. Temperatura w analizie wymiarowej . J. Phys. Radium, 1944, 5 (8), s.  164-172 . <10.1051 / jphysrad: 0194400508016400>. <jpa-00233879>.
• Fizyczne podstawy analizy wymiarowej , Ain A. Sonin, MIT, 2001.
• 13 Pliki PDF zwizane z analiz wymiarow .
• (en) Fizyczne podstawy analizy wymiarowej , Ain A. Sonin, wyd. 2, 2001.