Analiza wektorowa



Informacje, które udało nam się zgromadzić na temat Analiza wektorowa, zostały starannie sprawdzone i uporządkowane, aby były jak najbardziej przydatne. Prawdopodobnie trafiłeś tutaj, aby dowiedzieć się więcej na temat Analiza wektorowa. W Internecie łatwo zgubić się w gąszczu stron, które mówią o Analiza wektorowa, a jednocześnie nie podają tego, co chcemy wiedzieć o Analiza wektorowa. Mamy nadzieję, że dasz nam znać w komentarzach, czy podoba Ci się to, co przeczytałeś o Analiza wektorowa poniżej. Jeśli informacje o Analiza wektorowa, które podajemy, nie są tym, czego szukałeś, daj nam znać, abyśmy mogli codziennie ulepszać tę stronę.

.

Analiza wektor jest gazi matematyki , e badania te pola z skalary i wektory dostatecznie regularnych w przestrzeniach euklidesowych , czyli wnioski o róniczkowalnej otwartej przestrzeni euklidesowej E do wartoci odpowiednio i E . Z punktu widzenia matematyka analiza wektorowa jest wic gazi geometrii róniczkowej . Ta ostatnia obejmuje analiz tensorow, która zapewnia potniejsze narzdzia i bardziej zwiz analiz, midzy innymi, pól wektorowych.

Jednak znaczenie analizy wektorowej wynika z jej intensywnego wykorzystania w fizyce i naukach inynierskich . Z tego punktu widzenia to przedstawimy, dlatego najczciej ograniczymy si do przypadku, w którym mamy do czynienia ze zwyk przestrzeni trójwymiarow. W tym kontekcie pole wektorowe wie wektor (z trzema rzeczywistymi skadowymi) z kadym punktem w przestrzeni, podczas gdy pole skalarne wie z nim jeden rzeczywisty. Wyobra sobie na przykad wod w jeziorze. Dane o jego temperaturze w kadym punkcie tworz pole skalarów, a jego prdko w kadym punkcie, pole wektorów (bardziej teoretyczne podejcie mona znale w geometrii róniczkowej ).

Rachunek wektorowych i analiza wektorów zostay opracowane w kocu XIX E  wieku przez J. Willard Gibbsa i Oliver Heaviside wychodzc z teorii quaternions (ze wzgldu na Hamiltona ); wikszo notacji i terminologii zostaa ustalona przez Gibbsa i Edwina Bidwella Wilsonów w ich ksice z 1901 roku, Vector Analysis ( Vector Analysis ).

Gówne liniowe operatory róniczkowe

Gradientu The dywergencja i zwijanie s trzy rónicowe operatorów liniowych rzdu pierwszego. Oznacza to, e obejmuj one tylko czciowe (lub rónicowe ) pierwsze pochodne pól, w przeciwiestwie na przykad do laplackiego, który obejmuje czciowe pochodne drugiego rzdu.

Znajduj si one w szczególnoci w:

Operator formalny nabla

Operator nabla bierze swoj nazw od staroytnej liry, która miaa ten sam trójkt skierowany w dó. Jest operatorem formalnym zdefiniowanym we wspórzdnych kartezjaskich przez

.

Piszemy równie, aby podkreli, e formalnie operator nabla ma cechy wektora. Z pewnoci nie zawiera wartoci skalarnych, ale uyjemy jego elementów skadowych (które moemy postrzega jako operacje oczekujce na argumenty - operatory róniczkowe ) bardzo dokadnie tak, jak uywalibymy wartoci skalarnych tworzcych wektor.

Notacja nabla zapewnia wygodny sposób wyraania operatorów wektorowych we wspórzdnych kartezjaskich  ; w innych ukadach wspórzdnych mona go nadal uywa kosztem dodatkowych rodków ostronoci; Wicej szczegóów i bardziej teoretyczne interpretacje (w szczególnoci zwizek z pochodn kowariantn ) mona znale w artykuach szczegóowych nabla i zwizku Koszula .

Operator róniczkowania gradientu

Gradientu jest operatorem liniowe, które stosuje si w dziedzinie skalarnych i opisuje dziedzinie wektorów która reprezentuje zmian wartoci skalarnej w dziedzinie przestrzeni. Praktycznie gradient wskazuje kierunek najwikszej zmiennoci pola skalarnego i intensywno tej zmiennoci. Na przykad gradient wysokoci jest skierowany wzdu linii najwikszego nachylenia, a jego norma ronie wraz ze spadkiem.

W matematyce gradient pola f , o którym zakada si, e jest róniczkowalny w sposób cigy w punkcie a , jest okrelony zalenoci

,

gdzie oznacza warto na wektorze róniczki funkcji w punkcie .

Jest zatem do prostu definicja z stycznej liniow map do skalarnej pola F ( M ) = f ( x , y , z ) w M = . Co wicej, dla powierzchni o równaniu f ( x , y , z ) = 0 , wektor normalny do powierzchni w punkcie jest przez , co mona atwo wywnioskowa z powyszego.

Wynika z tego natychmiast, e pochodna funkcji w odniesieniu do wektora v jest dana przez

W wymiarze 3 i wspórzdnych kartezjaskich pole gradientu spenia (na podstawie ortonormalnej)

Relacj t mona wykorzysta, w szczególnym przypadku, gdy ma ona zastosowanie, do okrelenia gradientu. Jest naturalnie uogólniany w dowolnym wymiarze przez dodanie komponentów do nabla.

Styczne liniowe odwzorowanie pola wektorowego

Niech M 'bdzie punktem przesunitym z M przez translacj wektorów  ; wic :

definiuje operator liniowy zaznaczony przez kapelusz, aby wskaza, e jego reprezentacja w bazie jest macierz kwadratow [3-3], styczn liniow map pola wektorowego F ( M ) .

Wyznacznikiem tego operatora jest jakobian transformacji do M czy F ( M ) .

Jej lad okreli dywergencj pola wektorowego F ( M ) .

Umoliwi to nadanie rotacji pola wektorowego F ( M ) wewntrzn definicj.

Moemy to zweryfikowa symbolicznie:

Operator dywergencji

Dywergencja dotyczy pola tensorów rzdu n i przeksztaca je w pole tensorów rzdu n -1 . W praktyce dywergencja pola wektorowego wyraa jego tendencj do lokalnego pezania z maej objtoci otaczajcej punkt M, w którym obliczana jest dywergencja.

W wymiarze 3 i we wspórzdnych kartezjaskich, jeli jest tensorem rzdu 1, to jest wektorem i moemy zdefiniowa dywergencj za pomoc relacji

gdzie wyznacza pole wektorowe, do którego zastosowano operator dywergencji. Dywergencj mona zobaczy formalnie, podobnie jak iloczyn skalarny operatora nabla, przez rodzajowy wektor pola, do którego jest stosowana, co uzasadnia zapis . Oczywicie ta definicja jest naturalnie uogólniona w kadym wymiarze.

Niezalena definicja wyboru bazy to:

Inna moliwa definicja, bardziej ogólna, ale trudniejsza do sformalizowania, polega na zdefiniowaniu dywergencji pola wektorowego w punkcie jako lokalnego strumienia pola wokó tego punktu.

Operator rotacyjny

Rotacja przeksztaca pole wektorowe w inne pole wektorowe . Trudniejsze do przedstawienia tak precyzyjnie, jak gradient i dywergencja, wyraa tendencj pola do obracania si wokó punktu: jego lokalna cyrkulacja na maej koronce otaczajcej punkt M jest niezerowa. Na przykad :

  • podczas tornada wiatr obraca si wokó oka cyklonu, a pole wektora prdkoci wiatru ma niezerow rotacj wokó oka. Prdko obrotowa tego pola prdkoci (innymi sowy pola wirowego lub nawet pola wirowego) jest tym bardziej intensywna, im bliej oka znajdujemy si.
  • rotacja pola prdkoci ciaa staego, które obraca si ze sta prdkoci, jest staa, skierowana wzdu osi obrotu i zorientowana tak, aby obrót odbywa si wzgldem niej w kierunku bezporednim i jest po prostu równy

W przestrzeni trójwymiarowej i we wspórzdnych kartezjaskich moemy zdefiniowa rotacj za pomoc relacji

gdzie wyznacza pole wektorowe, do którego zastosowano operator rotacji. Formalna analogia z iloczynem krzyowym uzasadnia zapis .

Mona to równie zapisa, naduywajc notacji (jest to równie sztuczka mnemoniczna), uywajc wyznacznika:

gdzie oznacza podstaw kanoniczn. To ostatnie wyraenie jest nieco bardziej skomplikowane ni poprzednie, ale mona je atwo uogólni na inne ukady wspórzdnych.

  • Wewntrzna definicja (midzy innymi) rotacji jest nastpujca  :

Z pola moemy zbudowa pole (gdzie jest wektor jednorodny), którego dywergencja jest postaci liniow i dlatego mona j wyrazi iloczynem skalarnym , gdzie jest przeciwiestwem rotacji  :

Inna moliwa definicja, bardziej ogólna, ale trudniejsza do sformalizowania, polega na zdefiniowaniu rotacji pola wektorów w punkcie takim jak lokalna cyrkulacja pola wokó tego punktu (patrz rotacja w fizyce ).

Operatory wyszego rzdu

Operator laplacowski

Najczciej uywanym operatorem rzdu 2 jest Laplacian , nazwany na cze matematyka Pierre-Simona de Laplace'a . Laplasian pola jest równy sumie drugich pochodnych tego pola w odniesieniu do kadej ze zmiennych.

W wymiarze 3 i we wspórzdnych kartezjaskich jest napisane:

.

Definicja ta ma znaczenie zarówno dla pola skalarów, jak i dla pola wektorów. Mówimy odpowiednio o skalarnym laplasie i wektorowym laplasie . Skalarny laplacian pola skalarów jest polem skalarów, podczas gdy wektor laplacian pola wektorów jest polem wektorów. Aby odróni to drugie, czasami zauwaa si (aby nowicjusze nie zapominali, e jest to operator ); naley raczej odradza notacj .

Drugi zapis laplacowski, który pojawia si powyej, zachca nas do formalnego rozwaenia go jako kwadratu skalarnego operatora nabla    .

Laplacian pojawia si podczas pisania kilku równa róniczkowych czstkowych, które odgrywaj fundamentaln rol w fizyce.

  • Najprostszym jest równanie Laplace'a . Jej (klasowe ) rozwizania to funkcje harmoniczne , których badanie nazywa si teori potencjau . Nazwa ta pochodzi od potencjau elektrycznego , którego zachowanie (podobnie jak innych potencjaów w fizyce) jest regulowane w pewnych warunkach przez to równanie.
  • Laplacian jest równie uywany do pisania:
    • równanie Poissona  :
       ;
    • czyli równanie wibrujcych strun  :

Operator wektora laplackiego

Laplace'a pola wektor jest wektorem okrelonym przez skalarne Laplace'a kadego z elementów skadowych wektora pola, a wic w kartezjaskim ukadzie wspórzdnych , jest okrelony przez:

Wystpuje wektorowy laplacian:

Niektóre wzory róniczkowe

Uwaga: Nastpujce wzory s wane tylko pod warunkiem, e niektóre zaoenia testowania (funkcji skalarnej w pierwszym wzorze powinny by , w którym , na przykad Podobnie, jeli. Oznacza prowadzcy w drugi wzór, sprawdzenia funkcji wektora , ).

  • (zastosowany do wektora) ( rotacyjny z rotacyjnego )
  • (zastosowane do skalara)

Tak zwane formuy Leibniza dla produktów

  • (gdzie jest jednolity wektor) i oczywicie:
  • (zwany Bernoulli , w mechanice pynów)
  • (gdzie jest jednolity wektor, wewntrzna definicja rotacji )
  • (gdzie jest jednolity wektor, z definicji stycznej mapy liniowej)


  • (symetryczny w f i g)

Kilka przydatnych formu

  • Niech K ( K ) i g ( K ) s oba pola skalarne, istnieje pole wektorowe , takie, e:
  • Pole centralne odgrywa bardzo wan rol w fizyce. Dlatego wane jest, aby zapamita kilka oczywistych faktów:
    • jej stycznym liniowym zastosowaniem jest macierz tosamoci (por. definicja!),
    • so i (gdzie jest jednolity wektor) i
  • Z drugiej strony (gdzie jest jednolity wektor).
  • A take: z w szczególnoci (oczywiste, poniewa )
  • , z wyjtkiem
  • To znaczy pole newtonowskie jest bardzo czsto badane, poniewa jest to jedyne pole centralne z zerow dywergencj (oczywist, jeli mylimy w kategoriach strumienia), z wyjtkiem r = 0 , gdzie jest to warte  ; ten wynik to twierdzenie Gaussa dla kta bryowego ). Wynika z tego . W zwizku z tym
    (gdzie jest jednolity wektor), który dzieli si na:

(gdzie jest jednolity wektor) i

(gdzie jest wektor jednolity), co jest mniej oczywiste (por. moment magnetyczny ).

Wyraenia operatorów w rónych wspórzdnych

Wspórzdne walcowe

Wspórzdne sferyczne

Zaczniki

Bibliografia

Powizane artykuy

Mamy nadzieję, że informacje, które zgromadziliśmy na temat Analiza wektorowa, były dla Ciebie przydatne. Jeśli tak, nie zapomnij polecić nas swoim przyjaciołom i rodzinie oraz pamiętaj, że zawsze możesz się z nami skontaktować, jeśli będziesz nas potrzebować. Jeśli mimo naszych starań uznasz, że informacje podane na temat _title nie są całkowicie poprawne lub że powinniśmy coś dodać lub poprawić, będziemy wdzięczni za poinformowanie nas o tym. Dostarczanie najlepszych i najbardziej wyczerpujących informacji na temat Analiza wektorowa i każdego innego tematu jest istotą tej strony internetowej; kierujemy się tym samym duchem, który inspirował twórców Encyclopedia Project, i z tego powodu mamy nadzieję, że to, co znalazłeś o Analiza wektorowa na tej stronie pomogło Ci poszerzyć swoją wiedzę.

Opiniones de nuestros usuarios

Karol Baranowski

Świetny post o Analiza wektorowa.

Radoslaw Brzeziński

Minęło trochę czasu odkąd widziałem artykuł o zmiennej napisany w tak dydaktyczny sposób. Podoba mi się.