Analiza wariancji

Natura	Metoda statystyczna ( d )
Akronim	(nie) ANOVA
Opisany przez	Radziecka encyklopedia ormiaska

W statystykach The analiza wariancji (termin czsto skracane przez angielski termin ANOVA : ANALIZA o f va riance ) jest zbiorem modeli statystycznych wykorzystywanych w celu sprawdzenia, czy rodki z grupy pochodz z tej samej populacji. Grupy odpowiadaj modalnociom zmiennej jakociowej (np. Zmienna: leczenie; modalnoci: program treningu sportowego , suplementy diety ; placebo ), a rednie obliczane s ze zmiennej cigej (np. Przyrost masy miniowej).

Test ten stosuje si, gdy pomiar jednego lub wicej kategoryczne zmienne objaniajce (nastpnie nazywane czynnikami zmiennoci ich róne warunki s czasami nazywane poziomy), które maj wpyw na prawie zmienn cig by wyjanione. O analizie jednoczynnikowej mówimy wtedy, gdy analiza odnosi si do modelu opisanego przez pojedynczy czynnik zmiennoci, analiz dwuczynnikow lub w inny sposób analiz wieloczynnikow.

Historia

Ronald Aylmer Fisher po raz pierwszy przedstawia termin wariancja i proponuje jego formaln analiz w artykule z 1918 roku The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance . Jego pierwsze zastosowanie analizy wariancji zostao opublikowane w 1921 r. Analiza wariancji staa si szeroko znana po wczeniu jej do ksiki Fishera z 1925 r. Statistical Methods for Research Workers.

Zasada

Analiza wariancji umoliwia zbadanie zachowania si zmiennej ilociowej, któr naley wyjani jako funkcj jednej lub wicej zmiennych jakociowych, zwanych take nominalnymi jakociowymi. Kiedy chcemy zbada si wyjaniajc kilku zmiennych jakociowych jednoczenie, uyjemy wielokrotnej analizy wariancji ( MANOVA ). Jeli model zawiera jakociowe i cige zmienne objaniajce i chce si zbada prawa czce cige zmienne objaniajce ze zmienn ilociow, która ma by wyjaniona w odniesieniu do kadej kategorii zmiennych kategorialnych, wówczas zostanie uyta analiza kowariancji ( ANCOVA ).

Model

Pierwszym krokiem w analizie wariancji jest napisanie modelu teoretycznego zgodnie z badanym problemem. Czsto mona napisa kilka modeli tego samego problemu, zgodnie z elementami, które chce si wczy do badania.

Ogólny model jest napisany:

{\ Displaystyle y_ {ijk ...} = \ mu + f (i, j, k, ...) + \ varepsilon ~}

ze zmienn ilociow do wyjanienia, sta, zwizkiem midzy zmiennymi objaniajcymi a bdem pomiaru. Podnosi fundamentalne zaoenie, e bd jest zgodny z rozkadem normalnym . ${\ displaystyle y_ {ijk ...}}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon = {\ mathcal {N}} (0, \ sigma ^ {2})}$

Wyjaniajce zmienne

Istniej dwa typy zmiennych kategorialnych: z efektem losowym lub bez.

W przypadku zmiennej o staym efekcie dla kadej modalnoci istnieje odpowiednia staa warto. Jest napisany w modelu teoretycznym wielk liter:

{\ Displaystyle y_ {i} = \ mu + A_ {i} + \ varepsilon _ {i} ~}

gdzie dla i = 0, dla i = 1 itd. ${\ displaystyle A_ {0} = A}$ ${\ displaystyle A_ {1} = A}$

Zauwa, e zmienna ilociowa zawsze bdzie równa µ powikszonej o (chocia moe przyjmowa wartoci dodatnie lub ujemne). ${\ displaystyle y_ {i}}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$

W przypadku zmiennej z efektem losowym zmienna wynika z zaoonego rozkadu normalnego, który jest dodawany do ustalonej wartoci. S napisane w modelu teoretycznym ma liter greck:

{\ Displaystyle y_ {i} = \ mu + \ alpha _ {i} + \ epsilon _ {i} ~}

z i ${\ displaystyle \ alpha _ {i} = \ mu _ {a} + \ varepsilon _ {\ alpha}}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {\ alpha} = {\ mathcal {N}} (0, \ sigma _ {\ alpha} ^ {2})}$

Model oparty wycznie na zmiennych objaniajcych ze staymi efektami i efektami losowymi nazywany jest modelem mieszanym.

Podstawowe zaoenia

Ogólna forma analizy wariancji opiera si na tecie Fishera, a zatem na normalnoci rozkadów i niezalenoci prób.

Normalno rozkadu: zakada si, zgodnie z hipotez zerow, e próbki pochodz z tej samej populacji i maj rozkad normalny. Dlatego konieczne jest sprawdzenie normalnoci rozkadów i homoskedastycznoci (jednorodno wariancji, na przykad testami Bartletta lub Levene'a ). W przeciwnym razie moemy zastosowa nieparametryczne warianty analizy wariancji ( ANOVA Kruskala-Wallisa lub ANOVA Friedmana ).
Niezaleno próbek: zakada si, e kada analizowana próbka jest niezalena od innych próbek. W praktyce jest to problem, który pozwala zaoy, e próbki s niezalene. Czstym przykadem próbek zalenych jest przypadek pomiarów z powtórzeniami (kada próbka jest analizowana kilka razy). W przypadku próbek zalenych dla przypadków nieparametrycznych zostanie zastosowana analiza wariancji z powtarzanymi pomiarami lub ANOVA Friedmana .

Hipotezy do sprawdzenia

Hipoteza zerowa odpowiada przypadkowi, w którym rozkady maj ten sam rozkad normalny.

Alternatywna hipoteza gosi, e istnieje co najmniej jeden rozkad, którego rednia odbiega od innych rednich:

{\ displaystyle {\ begin {przypadki} {H_ {0} ~: ~ m_ {1} = m_ {2} = ... = m_ {k} = m} \\ {H_ {1} ~: ~ \ istnieje (i, j) ~ {\ text {takie jak}} ~ m_ {i} \ neq m_ {j}} \ end {przypadki}}}

.

Dekompozycja wariancji

Pierwszy krok w analizie wariancji polega na wyjanieniu cakowitej wariancji na wszystkich próbach jako funkcji wariancji spowodowanej czynnikami (wariancji wyjanionej przez model), wariancji wynikajcej z interakcji midzy czynnikami i losowej reszty wariancja (wariancja niewyjaniona przez model). bdca wariancj obcion estymatorem , wykorzystujc sum kwadratów bdów ( SCE francuski, SS dla Sum Square English) do oblicze i nieobcion wariancj estymatora (znan równie jako redni kwadrat lub CM ). ${\ Displaystyle S_ {n} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle S_ {n-1} ^ {2}}$

Odchylenie (implikowane odchylenie od redniej) pomiaru jest rónic midzy tym pomiarem a redni:

{\ displaystyle e = y_ {ijk ...} - {\ overline {y}}}

.

Suma kwadratów odchyle SCE i estymatora oblicza si ze wzorów: ${\ Displaystyle S_ {n-1} ^ {2}}$

{\ Displaystyle SCE = \ suma _ {ijk ...} (y_ {ijk ...} - {\ overline {y}}) ^ {2} \ qquad {\ tekst {i}} \ qquad S_ {n- 1} ^ {2} = {\ frac {SCE} {n-1}}}

Mona zatem zapisa sum kwadratów cakowitych odchyle jako liniow kompozycj sumy kwadratów odchyle kadej zmiennej objaniajcej i sumy kwadratów odchyle dla kadej interakcji : ${\ displaystyle SCE _ {\ text {cznie}}}$ ${\ Displaystyle SCE _ {\ tekst {wspóczynnik}}}$ ${\ displaystyle SCE _ {\ text {interakcja}}}$

{\ displaystyle SCE _ {\ text {total}} = \ sum _ {i} {SCE _ {{\ text {czynnik}} _ {i}}} + \ sum _ {ij} {SCE _ {{\ text {interakcja}} _ {ij}}}}

Ten rozkad wariancji jest zawsze prawidowy, nawet jeli zmienne nie maj rozkadu normalnego.

Test Fishera

Z zaoenia obserwowana zmienna ma rozkad normalny . Prawo × ² z k stopniami swobody jest zdefiniowany jako suma k normalny kwadratów zmiennych , sumy kwadratów odchyle nastpuj prawa × ² , z liczb stopni swobody : ${\ displaystyle y_ {i}}$ ${\ displaystyle SCE}$ ${\ displaystyle DDL}$

{\ Displaystyle SCE \ sim \ chi ^ {2} (DDL) ~}

Fishera jest definiowany jako stosunek dwóch prawami × ² . W przypadku hipotezy zerowej , zwizek midzy dwoma estymatorami Bezstronna wariancja powinna by zgodna z prawem Fishera : ${\ displaystyle H_ {0}}$ ${\ Displaystyle S_ {DDL} ^ {2} ~}$

{\ Displaystyle F = {\ Frac {S_ {1} ^ {2}} {S_ {2} ^ {2}}} = {\ Frac {\ dfrac {SCE_ {1}} {DDL_ {1}}} { \ dfrac {SCE_ {2}} {DDL_ {2}}}} \ sim F (DDL_ {1}, DDL_ {2})}

Jeli warto F nie jest zgodna z tym prawem Fishera (tj. Warto jest wiksza ni próg odrzucenia), to odrzucamy hipotez zerow: dochodzimy do wniosku, e istnieje statystycznie istotna rónica midzy rozkadami. Wspóczynnik zmiennoci nie dzieli badanej populacji na identyczne grupy. Dla przypomnienia, warto progu odrzucenia jest wstpnie obliczana w tabelach referencyjnych jako funkcja ryzyka pierwszego rodzaju i dwóch stopni swobody i . ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle F _ {\ alpha} (DDL_ {1}, DDL_ {2})}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle DDL_ {1}}$ ${\ displaystyle DDL_ {2}}$

Testy post-hoc

Analiza wariancji pozwala po prostu odpowiedzie na pytanie, czy wszystkie próbki maj ten sam rozkad normalny. Jeli odrzucimy hipotez zerow, analiza ta nie pozwala nam wiedzie, które próbki odbiegaj od tego prawa.

Identyfikacja odpowiednich próbek przy uyciu rónych testów post-hoc (lub testów wielokrotnych porówna (in) , MCP dla testu wielokrotnych porówna ). Testy te generalnie wymagaj zwikszenia ryzyka analizy (pod wzgldem ryzyka statystycznego). Jest to uogólnienie k populacji z Studenta t badania w celu porównania rednie z dwóch próbek z regulacj bdu (FDR FWER, etc.), na przykad: testy LSD FICHER'S, testy Newman -Keuls testy Tukey'a HSD Bonferroniego i Sheffé testy.

W szczególnoci we wspóczesnej biologii testy MCP pozwalaj na prawidowe uwzgldnienie ryzyka pomimo duej liczby przeprowadzanych testów (np. Do analizy biochipów).

Kiedy analizujemy kilka zmiennych objaniajcych, z których kada ma kilka modalnoci, liczba moliwych kombinacji szybko staje si bardzo dua.

Jednokierunkowa analiza wariancji

Nazywana równie jednokierunkow analiz ANOVA , jednokierunkowa analiza wariancji ma zastosowanie, gdy chcesz wzi pod uwag pojedynczy czynnik zmiennoci.

Notacja Rozwamy rozmiary I prób , wynikajce z I populacji, które przestrzegaj I normalnych praw o tej samej wariancji. Kada osoba jest napisana z i . Cakowita sia robocza to . ${\ displaystyle Y_ {i}}$ ${\ displaystyle n_ {i}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (\ mu _ {i}, \ sigma ^ {2})}$ ${\ displaystyle y_ {ij}}$ ${\ Displaystyle ja \ w [1, ja]}$ ${\ displaystyle j \ in [1, n_ {i}]}$ ${\ Displaystyle N = \ suma _ {i = 1} ^ {ja} n_ {i}}$

rednie na próbk i sum s zapisywane:

{\ displaystyle {\ overline {y_ {i, \ cdot}}} = {\ frac {1} {n_ {i}}} \ sum _ {j = 1} ^ {n_ {i}} {y_ {ij} } \ sim {\ mathcal {N}} \ left (\ mu _ {i}, {\ frac {\ sigma ^ {2}} {n_ {i}}} \ right)}

{\ Displaystyle {\ overline {y _ {\ cdot, \ cdot}}} = {\ Frac {1} {N}} \ sum _ {i = 1} ^ {ja} \ sum _ {j = 1} ^ {n_ {i}} {y_ {ij}} \ sim {\ mathcal {N}} \ left (\ mu, {\ frac {\ sigma ^ {2}} {N}} \ right) \ qquad {\ text {with}} ~ N = \ sum _ {i = 1} ^ {I} n_ {i} ~ {\ text {and}} ~ \ mu = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {i = 1} ^ {I} (n_ {i} \ mu _ {i})}

Dekompozycja wariancji

Model jest napisany:

{\ Displaystyle y_ {ij} = \ alfa _ {i} + \ epsilon _ {ij} ~}

W tych warunkach pokazujemy, e sum kwadratów odchyle (a tym samym wariancji ) mona obliczy po prostu za pomoc wzoru:

{\ Displaystyle SCE _ {\ tekst {suma}} = SCE _ {\ tekst {wspóczynnik}} + SCE _ {\ tekst {pozostao}} ~}

Cz cakowitej wariancji, któr mona wyjani za pomoc modelu ( zwana równie zmiennoci midzyklasow , SSB lub suma kwadratów midzy klas ) oraz cz cakowitej wariancji , której model nie moe wyjani ( zwana równie zmiennoci losow , zmienno wewntrzklasowa , szum , SSW lub suma kwadratów w klasie ) s okrelone wzorami: ${\ displaystyle SCE _ {\ text {cznie}}}$ ${\ Displaystyle SCE _ {\ tekst {wspóczynnik}}}$ ${\ displaystyle SCE _ {\ text {cznie}}}$ ${\ displaystyle SCE _ {\ text {pozostaoci}}}$

{\ Displaystyle SCE _ {\ tekst {wspóczynnik}} = \ suma _ {i = 1} ^ {p} n_ {i} ({\ overline {y_ {i}}} - {\ overline {y}}) ^ {2}}

{\ Displaystyle SCE _ {\ tekst {pozostaoci}} = \ suma _ {i = 1} ^ {p} \ suma _ {j = 1} ^ {n_ {i}} (y_ {ij} - {\ overline { y_ {i}}}) ^ {2}}

Demonstracja

{\ Displaystyle SCE_ {suma} = \ suma _ {i = 1} ^ {p} \ suma _ {j = 1} ^ {n_ {i}} (y_ {ij} - {\ overline {y}}) ^ {2}}

.

Rozbijajc ,

{\ Displaystyle ~ y_ {ij} - {\ overline {y}} = (y_ {ij} - {\ overline {y_ {i}}}) + ({\ overline {y_ {i}}} - {\ overline {y}})}

moemy pisa

{\ displaystyle ~ SCE_ {total} = \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ sum _ {j = 1} ^ {n_ {i}} ((y_ {ij} - {\ overline {y_ {i }}}) + ({\ overline {y_ {i}}} - {\ overline {y}})) ^ {2}}

{\ displaystyle = \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ sum _ {j = 1} ^ {n_ {i}} (y_ {ij} - {\ overline {y_ {i}}}) ^ { 2} + \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ sum _ {j = 1} ^ {n_ {i}} ({\ overline {y_ {i}}} - {\ overline {y}}) ^ {2} + \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ sum _ {j = 1} ^ {n_ {i}} 2 (y_ {ij} - {\ overline {y_ {i}}}) . ({\ overline {y_ {i}}} - {\ overline {y}})}

.

Zauwaajc to ,

{\ Displaystyle ~ \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ sum _ {j = 1} ^ {n_ {i}} (y_ {ij} - {\ overline {y_ {i}}}). ( {\ overline {y_ {i}}} - {\ overline {y}}) = \ sum _ {i = 1} ^ {p} ({\ overline {y_ {i}}} \ sum _ {j = 1 } ^ {n_ {i}} (y_ {ij} - {\ overline {y_ {i}}}) - {\ overline {y}} \ sum _ {j = 1} ^ {n_ {i}} (y_ {ij} - {\ overline {y_ {i}}})) = 0}

moemy pisa

{\ displaystyle ~ SCE_ {total} = \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ sum _ {j = 1} ^ {n_ {i}} (y_ {ij} - {\ overline {y_ {i} }}) ^ {2} + \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ sum _ {j = 1} ^ {n_ {i}} ({\ overline {y_ {i}}} - {\ overline {y}}) ^ {2}}

{\ displaystyle = \ sum _ {i = 1} ^ {p} \ sum _ {j = 1} ^ {n_ {i}} (y_ {ij} - {\ overline {y_ {i}}}) ^ { 2} + \ sum _ {i = 1} ^ {p} n_ {i} ({\ overline {y_ {i}}} - {\ overline {y}}) ^ {2}}

{\ Displaystyle = SCE _ {\ tekst {pozostaoci}} + SCE _ {\ tekst {wspóczynnik}} ~}

.

Analiza pozostaoci

Gówny artyku: Testy normalnoci .

Zawsze jest moliwe, e model nie jest poprawny i istnieje nieznany czynnik zmiennoci (lub przypuszczalny a priori bezuyteczny), który nie jest zintegrowany z modelem. Moliwe jest przeanalizowanie normalnoci rozkadu reszt w celu wyszukania tego typu uprzedze. Reszty w modelu musz mie rozkad normalny ( ). Kade znaczce odchylenie od tego normalnego prawa mona przetestowa lub zwizualizowa graficznie: ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (0, \ sigma ^ {2}) ~}$

Test Fishera

Stopnie swobody i wariancje: Z zaoenia obserwowana zmienna ma rozkad normalny . Prawo du², w którym stopnie swobody s zdefiniowane jako suma kwadratów zmiennych normalnych , sumy kwadratów odchyle s zgodne z nastpujcymi prawami ² , z liczb poziomów wspóczynnika zmiennoci i cakowit liczb osobników: ${\ displaystyle y_ {i}}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle SCE}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle N}$

{\ Displaystyle SCE _ {\ tekst {czynnik}} = \ suma _ {i = 1} ^ {p} n_ {i} ({\ overline {y_ {i}}} - {\ overline {y}}) ^ {2} \ sim \ chi ^ {2} (DDL _ {\ text {czynnik}}) \ qquad {\ text {with}} ~ DDL _ {\ text {factor}} = \ sum _ {i = 1} ^ {p 1} 1 = p 1}

{\ Displaystyle SCE _ {\ tekst {pozostaoci}} = \ suma _ {i = 1} ^ {p} \ sum _ {j = 1} ^ {n_ {i}} (y_ {ij} - {\ overline { y_ {i}}}) ^ {2} \ sim \ chi ^ {2} (DDL _ {\ text {pozostao}}) \ quad {\ text {with}} ~ DDL _ {\ text {pozostaoci}} = \ sum _ {i = 1} ^ {p} (n_ {i} -1) = (n_ {1} -1) + (n_ {2} -1) + \ cdots + (n_ {p} -1) = Np}

Te rozbienoci s uzyskane poprzez stosunek sumy kwadratów odchyle ponad liczb stopni swobody :

{\ Displaystyle S _ {\ tekst {wspóczynnik}} ^ {2} = {\ Frac {SCE _ {\ tekst {wspóczynnik}}} {p-1}} = {\ frac {1} {p-1}} \ sum _ {i = 1} ^ {p} n_ {i} ({\ overline {y_ {i}}} - {\ overline {y}}) ^ {2}}

{\ Displaystyle S _ {\ tekst {pozostaoci}} ^ {2} = {\ Frac {SCE _ {\ tekst {pozostao}}} {Np}} = {\ Frac {1} {Np}} \ suma _ { i = 1} ^ {p} \ sum _ {j = 1} ^ {n_ {i}} (y_ {i} ^ {j} - {\ overline {y_ {i}}}) ^ {2}}

Ustawa Fishera jest zdefiniowana jako stosunek dwóch praw ² , a zatem raport jest zgodny z Ustaw Fishera : ${\ Displaystyle {\ Frac {S _ {\ tekst {czynnik}} ^ {2}} {S _ {\ tekst {pozostao}} ^ {2}}}}$

{\ Displaystyle F = {\ Frac {S _ {\ tekst {wspóczynnik}} ^ {2}} {S _ {\ tekst {pozostao}} ^ {2}}} = {\ Frac {\ dfrac {SCE _ { \ text {czynnik}}} {p-1}} {\ dfrac {SCE _ {\ text {pozostao}}} {Np}}} \ sim F (p-1, Np)}

Uwaga Rozkad stopni swobody odpowiada rozkadowi przestrzeni wektorowej o wymiarze nm na dodatkowe i ortogonalne podprzestrzenie o odpowiednich wymiarach i ${\ displaystyle m-1}$ ${\ Displaystyle m (n-1)}$

Test zgodnoci z prawem Fishera : ${\ Displaystyle F = {\ Frac {\ Frac {SCE _ {\ tekst {wspóczynnik}}} {DDL _ {\ tekst {wspóczynnik}}}} {\ Frac {SCE _ {\ tekst {cznie}}} {DDL _ {\ text {total}}}}}}$

Okazuje si (jak wida w rozkadzie matematycznym), e oba te wyraenia s oszacowaniem rezydualnej zmiennoci, jeli czynnik A nie ma wpywu. Co wicej, kady z tych dwóch terminów jest zgodny z prawem ² , a zatem ich stosunek jest zgodny z prawem F (zobacz dalej stopnie swobody tych praw). Podsumujmy:

Jeli czynnik A nie ma wpywu, stosunek i jest zgodny z prawem F i mona sprawdzi, czy warto wspóczynnika jest zaskakujca dla prawa F ${\ displaystyle S_ {a}}$ ${\ displaystyle S_ {r}}$

Jeli czynnik A ma wpyw, termin nie jest ju oszacowaniem zmiennoci rezydualnej, a stosunek nie jest ju zgodny z prawem F.Moemy porówna warto wspóczynnika z wartoci oczekiwan dla prawa F i zobaczy, znowu, jak niesamowity jest rezultat.

{\ displaystyle S_ {a}}

{\ displaystyle {\ frac {S_ {a}} {S_ {r}}}}

Podsumowanie rzeczy w ten sposób pomaga wyjani ide, ale odwraca podejcie: w praktyce uzyskujemy warto stosunku , który porównujemy z prawem F, dajc sobie ryzyko (patrz artyku o testach i zwizanych z nimi ryzykach ). Jeli uzyskana warto jest zbyt dua, wnioskujemy, e stosunek prawdopodobnie nie jest zgodny z prawem F i e czynnik A ma wpyw. Dlatego dochodzimy do wniosku, e istnieje rónica w rodkach. ${\ displaystyle {\ frac {S_ {a}} {S_ {r}}}}$

${\ displaystyle CM_ {B}}$ jest estymatorem przedstawionym w poprzednim akapicie (pierwsze podejcie techniczne) i estymatorem . Wyprowadzamy F Fishera, którego rozkad jest znany i zestawiony w tabeli przy nastpujcych zaoeniach: ${\ displaystyle S_ {A}}$ ${\ displaystyle CM_ {W}}$ ${\ displaystyle S_ {B}}$

Pozostaoci s rozmieszczone normalnie ${\ displaystyle \ epsilon}$

Bez nadziei

Z wariancj niezalen od kategorii i

{\ displaystyle \ sigma ^ {2}}

Z zerow kowariancj dwa do dwóch (niezaleno)

Zgodno z tymi zaoeniami zapewnia trafno analizy testu wariancji . S one sprawdzane a posteriori rónymi metodami (testy normalnoci, wizualne badanie histogramu pozostaoci, badanie wykresu pozostaoci jako funkcji szacunków), patrz warunki stosowania poniej.

Tabela ANOVA

Tabela ANOVA podsumowuje niezbdne obliczenia:

ródo wariancji	Suma kwadratów odchyle	Stopnie swobody	Zmienno	fa	warto p
Midzyklasowy	${\ Displaystyle SCE _ {\ tekst {wspóczynnik}}}$	${\ Displaystyle DDL _ {\ tekst {wspóczynnik}}}$	${\ Displaystyle S _ {\ tekst {wspóczynnik}} ^ {2} = {\ Frac {SCE _ {\ tekst {wspóczynnik}}} {DDL _ {\ tekst {wspóczynnik}}}}}$	${\ Displaystyle F = {\ Frac {S _ {\ tekst {wspóczynnik}} ^ {2}} {S _ {\ tekst {pozostao}} ^ {2}}}}$	${\ displaystyle P_ {H_ {0}} (F> F_ {obs})}$
Wewntrzklasowe	${\ displaystyle SCE _ {\ text {pozostaoci}}}$	${\ Displaystyle DDL _ {\ text {pozostaoci}}}$	${\ Displaystyle S _ {\ text {pozostao}} ^ {2} = {\ Frac {SCE _ {\ text {pozostao}}} {DDL _ {\ text {pozostao}}}}}$
Cakowity	${\ displaystyle SCE _ {\ text {cznie}}}$	${\ displaystyle DDL _ {\ text {cznie}}}$

Obrazowy przykad

Wemy przykad, aby zilustrowa t metod. Wyobra sobie hodowc, który chce kupi nowe krowy do produkcji mleka. Ma trzy róne rasy krów, wic pojawia si pytanie, czy rasa jest wana przy jego wyborze. Ma jako informacj ras kadego ze swoich zwierzt (jest to dyskretna zmienna objaniajca lub czynnik zmiennoci , który moe przyj 3 róne wartoci) i ich dzienn produkcj mleka (jest to zmienna ciga do wyjanienia, która odpowiada objtoci mleko w litrach).

W naszym przykadzie hipoteza zerowa sprowadza si do uznania, e wszystkie krowy produkuj tak sam dzienn ilo mleka (z wyjtkiem czynnika losowego) niezalenie od rasy. Hipoteza alternatywna sprowadza si do uznania, e jedna z ras produkuje znacznie wicej lub mniej mleka ni inne.

Zaómy, e produkcje to:

Dla wycigu A: 20,1; 19,8; 21.3 i 20.7
Dla wycigu B: 22,6; 24,1; 23,8; 22,5; 23,4; 24,5 i 22,9
Wycig C: 31,2; 31,6; 31,0; 32.1 i 31.4

Wycigi	Skaleczenie	redni	Zmienno
W	4	20,475	0,443
b	7	23.4	0,59333
VS	5	31.46	0,178
Cakowity	16	25,1875	20.90117

Tabela ANOVA :

ródo wariancji	Suma kwadratów odchyle	Stopnie swobody	Zmienno	fa	warto p
Midzyklasowy	307,918	2	153,959	357,44	4,338 e-12
Wewntrzklasowe	5.6	13	0,431
Cakowity	313,518	15

Dwukierunkowa analiza wariancji

Nazywana równie dwukierunkow ANOVA , dwukierunkowa analiza wariancji ma zastosowanie, gdy chce si wzi pod uwag dwa czynniki zmiennoci .

Dekompozycja wariancji

Oznacza to, e pierwszy czynnik zmiennoci, który moe przyjmowa poziomy , drugi czynnik zmiennoci, który moe przyjmowa poziomy , liczba osobników na poziomie pierwszego czynnika i poziom drugiego czynnika, cakowita liczba osobników oraz liczb osób w kadej podgrupie (dla danego poziomu i i j). Zmienna do wyjanienia jest zapisywana za pomoc , i . ${\ Displaystyle i = 1..p}$ ${\ displaystyle j = 1..q}$ ${\ displaystyle n_ {ij}}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle j}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle y_ {ijk}}$ ${\ Displaystyle i = 1..p}$ ${\ displaystyle j = 1..n_ {i}}$ ${\ Displaystyle k = 1..m_ {j}}$

Zmienn do wyjanienia mona modelowa za pomoc zalenoci:

{\ Displaystyle Y_ {ijk} = \ alpha _ {i} + \ beta _ {j} + \ gamma _ {ij} + \ epsilon _ {ijk} ~}

z efektem poziomu pierwszego czynnika, wpywem poziomu drugiego czynnika, efektem interakcji midzy dwoma czynnikami i bdem losowym (który nastpnie jest zgodny z rozkadem normalnym ). ${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle \ beta _ {j}}$ ${\ displaystyle j}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {ij}}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {ijk}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (0, \ sigma ^ {2}) ~}$

Obliczenie przedstawione w przypadku jednoczynnikowym mona przeoy na przypadek dwuskadnikowy:

{\ Displaystyle SCE _ {\ tekst {cznie}} = SCE _ {\ tekst {czynnik 1}} + SCE _ {\ tekst {wspóczynnik 2}} + SCE _ {\ tekst {interakcja}} + SCE _ {\ tekst {pozostaoci}} ~}

Udzia cakowitej wariancji wyjanionej pierwszym czynnikiem ( ), udzia cakowitej wariancji wyjanionej przez drugi czynnik ( ), interakcja midzy dwoma czynnikami ( ) i udzia cakowitej wariancji , której model nie moe wyjani ( zwane równie zmiennoci losow lub szumem ) s okrelone wzorami: ${\ Displaystyle SCE _ {\ tekst {wspóczynnik 1}}}$ ${\ displaystyle SCE _ {\ text {wspóczynnik 2}}}$ ${\ displaystyle SCE _ {\ text {interakcja}}}$ ${\ displaystyle SCE _ {\ text {pozostaoci}}}$

${\ Displaystyle SCE _ {\ tekst {wspóczynnik 1}} = rq \ suma _ {i = 1} ^ {p} ({\ overline {y_ {i}}} - {\ overline {y}}) ^ {2 }}$	${\ Displaystyle SCE _ {\ tekst {wspóczynnik 2}} = RP \ suma _ {j = 1} ^ {q} ({\ overline {y_ {j}}} - {\ overline {y}}) ^ {2 }}$
${\ Displaystyle SCE _ {\ tekst {interakcja}} = r \ suma _ {i = 1} ^ {p} \ sum _ {j = 1} ^ {q} ({\ overline {y_ {ij}}} - {\ overline {y_ {i}}} - {\ overline {y_ {j}}} + {\ overline {y}}) ^ {2}}$	${\ Displaystyle SCE _ {\ tekst {pozostaoci}} = \ suma _ {i = 1} ^ {p} \ sum _ {j = 1} ^ {q} \ sum _ {k = 1} ^ {n_ {ij }} (y_ {ijk} - {\ overline {y_ {ij}}}) ^ {2}}$

Analiza interakcji midzy czynnikami jest stosunkowo zoona. W przypadku, gdy czynniki s niezalene, interesowa mona tylko ich gówne skutki. Formua staje si wtedy:

{\ Displaystyle SCE _ {\ tekst {suma}} = SCE _ {\ tekst {wspóczynnik 1}} + SCE _ {\ tekst {wspóczynnik 2}} + SCE _ {\ tekst {pozostao}} ~}

Obrazowy przykad

Nasz hodowca byda mlecznego chce ulepszy swoj analiz poprzez zwikszenie zakresu swoich bada. Aby to zrobi, zawiera dane z innej farmy. Przedstawione mu liczby s nastpujce:

Dla wycigu A: 22,8; 21,7; 23,3; 23,1; 24,1; 22.3 i 22.7
Wycig B: 23,1; 22,9; 21,9; 23,4 i 23,0
Dla wycigu C: 31,7; 33,1; 32,5; 35,1; 32.2 i 32.6

Analiza wariancji
	Dof	Suma kwadratów	Zmienno	fa	P (X> F)
wycigi	2	696,48	348,24	559,6811	<2,2e-16
rodek	1	8.46	8.46	13.6012	0,0009636
rasa: centrum	2	12.23	6.11	9.8267	0,0005847
Resztki	28	17.42	0.62

Wieloczynnikowa analiza wariancji

Dekompozycja wariancji

Moemy dalej rozoy wariancj , dodajc termin dla kadego czynnika i termin dla kadej moliwej interakcji:

{\ Displaystyle Y_ {i} = \ mu + \ sum _ {j} \ alpha _ {j} + \ sum _ {j, k} \ gamma _ {jk} + \ epsilon _ {i}}

z efektem j- ^tego czynnika i interakcji midzy j- ^tym i k- ^tym czynnikiem. ${\ displaystyle \ alpha _ {j}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {jk}}$

Analiza wariancji w przypadku kilku czynników zmiennoci jest stosunkowo zoona: konieczne jest zdefiniowanie poprawnego modelu teoretycznego, zbadanie interakcji midzy czynnikami, analiza kowariancji .

Ograniczenia stosowania analizy wariancji

Normalno rozkadów

Dekompozycja wariancji jest zawsze poprawna, bez wzgldu na rozkad badanych zmiennych. Jednak wykonujc test Fishera zakadamy normalno tych rozkadów. Jeli rozkady nieznacznie odbiegaj od normalnoci, analiza wariancji jest wystarczajco solidna, aby mona j byo zastosowa. W przypadku, gdy rozkady odbiegaj znacznie od normalnoci, mona dokona zmiany zmiennych (na przykad biorc zmienne lub ) lub uy nieparametrycznego odpowiednika analizy wariancji. ${\ displaystyle y '_ {i} = \ log (y_ {i}) ~}$ ${\ displaystyle y '' _ {i} = y_ {i} ^ {2}}$

Gówny artyku: Testy normalnoci .

Homoskedastyczno

W przeciwiestwie do tego ANOVA przyjmuje inne bardzo mocne i mniej oczywiste zaoenie. W rzeczywistoci konieczne jest, aby wariancja w rónych grupach bya taka sama. Taka jest hipoteza homoskedastycznoci . ANOVA jest na to bardzo wraliwa. Dlatego konieczne jest przetestowanie go przed kadym uyciem.

Wbrew temu, co sugeruje nazwa tej metody, nie pozwala ona na analiz wariancji wyjanianej zmiennej, ale na porównanie rednich rozkadów wyjanianej zmiennej w funkcji zmiennych objaniajcych.

Podejcia nieparametryczne

Kiedy nie s przestrzegane wstpne zaoenia ANOVA ( na przykad homoskedastyczno ), czsto syszymy, e rozsdniej jest zastosowa nieparametryczny odpowiednik ANOVA: test Kruskala-Wallisa dla przypadku jednoczynnikowego lub przypadek dwuskadnikowy bez powtórze, test Friedmana. Jednak te testy nie wygldaj tak samo. Jak stwierdzono powyej, ANOVA umoliwia porównanie pomiaru jednowymiarowego midzy próbkami z dwóch lub wicej populacji statystycznych. Test Kruskala-Wallisa ma dla hipotezy zerowej jednorodno stochastyczn, tj. Kada populacja statystyczna jest równa stochastycznie (dla uproszczenia mona powiedzie losowo) kombinacji innych populacji. Ten test jest zatem zainteresowany rozkadem w przeciwiestwie do ANOVA i dlatego nie moe by uwaany za równowany w cisym tego sowa znaczeniu.

Zobacz te

Test statystyczny
Analiza kowariancji ( ANCOVA ) dla modeli regresji z jakociowymi zmiennymi objaniajcymi.
Analiza wielu wariancji ( MANOVA ) dla modeli wielowymiarowych w celu wyjanienia.
Dostpnych jest kilka filmów przedstawiajcych analiz wariancji (jeden czynnik, dwa czynniki bez interakcji, przypadek ogólny) .

róda

G. Saporta, Prawdopodobiestwo, analiza danych i statystyki, s. 351-358 (1990)
B. Scherrer, Porównanie rednich z kilku niezalenych próbek , zaczerpnitych z Biostatistics , Gaëtan Morin Éditeur. p. 422-463 (1984)

GD Ruxton, G. Beauchamp, Niektóre sugestie dotyczce waciwego stosowania testu Kruskala-Wallisa , Animal Behaviour 76 , 1083-1087 (2008) DOI : 10.1016 / j.anbehav.2008.04.011

GA Ferguson i Y. Takane, Analiza statystyczna w psychologii i edukacji, McGraw-Hill Book, (1989)

GV Glass i JC Stanley, Metody statystyczne w edukacji i psychologii, Prentice Hall, USA (1970)

Uwagi i odniesienia

Éric Yergeau i Martine Poirier, Analysis of variance , na http://spss.espaceweb.usherbrooke.ca/ ,2013(dostp 6 maja 2020 )
(w) " Korelacja midzy krewnymi na domniemaniu dziedziczenia mendlowskiego "
O Prawdopodobnym bdzie wspóczynnika korelacji wyprowadzonego z maej próbki. Ronald A. Fisher. Metron, 1: 3-32 (1921)
Zobacz na przykad kurs prowadzony przez Toulouse III: univ-tlse1.fr ^{( Archiwum Wikiwix Archive.is Google Co robi )} (Konsultowano 5 listopada 2013 r. ) Strony 8 i 9. Moemy równie odwoaj si do klasycznej ksiki Scheffégo (1959)
Patrz na przykad: Kurs statystyki Lyon 1 i TD, gdzie przedstawiono przykad analizy interakcji w modelu dwuczynnikowym.

[1] Éric Yergeau i Martine Poirier, Analysis of variance , na http://spss.espaceweb.usherbrooke.ca/ ,2013(dostp 6 maja 2020 )

[2] (w) " Korelacja midzy krewnymi na domniemaniu dziedziczenia mendlowskiego "

[3] O Prawdopodobnym bdzie wspóczynnika korelacji wyprowadzonego z maej próbki. Ronald A. Fisher. Metron, 1: 3-32 (1921)

[4] Zobacz na przykad kurs prowadzony przez Toulouse III: univ-tlse1.fr ^{( Archiwum Wikiwix Archive.is Google Co robi )} (Konsultowano 5 listopada 2013 r. ) Strony 8 i 9. Moemy równie odwoaj si do klasycznej ksiki Scheffégo (1959)

[lyon1-5] Patrz na przykad: Kurs statystyki Lyon 1 i TD, gdzie przedstawiono przykad analizy interakcji w modelu dwuczynnikowym.

Analiza wariancji

streszczenie

Historia

Zasada

Model

Wyjaniajce zmienne

Podstawowe zaoenia

Hipotezy do sprawdzenia

Dekompozycja wariancji

Test Fishera

Testy post-hoc

Jednokierunkowa analiza wariancji

Dekompozycja wariancji

Analiza pozostaoci

Test Fishera

Tabela ANOVA

Obrazowy przykad

Dwukierunkowa analiza wariancji

Dekompozycja wariancji

Obrazowy przykad

Wieloczynnikowa analiza wariancji

Dekompozycja wariancji

Ograniczenia stosowania analizy wariancji

Normalno rozkadów

Homoskedastyczno

Podejcia nieparametryczne

Zobacz te

róda

Uwagi i odniesienia

Opiniones de nuestros usuarios

Richard Maciejewski

Bohdan Strzelecki

Dawid Wilk

Marina Stankiewicz

Enciclo

Sapientia

Scientia

Boobota