Analiza numeryczna



Informacje, które udało nam się zgromadzić na temat Analiza numeryczna, zostały starannie sprawdzone i uporządkowane, aby były jak najbardziej przydatne. Prawdopodobnie trafiłeś tutaj, aby dowiedzieć się więcej na temat Analiza numeryczna. W Internecie łatwo zgubić się w gąszczu stron, które mówią o Analiza numeryczna, a jednocześnie nie podają tego, co chcemy wiedzieć o Analiza numeryczna. Mamy nadzieję, że dasz nam znać w komentarzach, czy podoba Ci się to, co przeczytałeś o Analiza numeryczna poniżej. Jeśli informacje o Analiza numeryczna, które podajemy, nie są tym, czego szukałeś, daj nam znać, abyśmy mogli codziennie ulepszać tę stronę.

.

Analiza numeryczna to dyscyplina na styku matematyki i komputera . Interesuje si zarówno podstawami, jak i praktycznym zastosowaniem metod pozwalajcych rozwizywa za pomoc oblicze czysto numerycznych problemy analizy matematycznej .

Bardziej formalnie, analiza numeryczna to badanie algorytmów pozwalajcych na numeryczne rozwizywanie problemów matematyki cigej (w odrónieniu od matematyki dyskretnej ) poprzez dyskretyzacj . Oznacza to, e zajmuje si gównie odpowiadaniem numerycznym na rzeczywiste lub zoone pytania zmienne, takie jak numeryczna algebra liniowa na polach rzeczywistych lub zoonych, poszukiwanie numerycznych rozwiza równa róniczkowych i innych powizanych problemów wystpujcych w naukach fizycznych i inynierii . Jest to ga matematyki stosowanej , której rozwój jest cile powizany z rozwojem narzdzi komputerowych.

Jego praktyczna realizacja i obszary zastosowa zostay szerzej opisane w artykule obliczenia numeryczne .

Ogólne wprowadzenie

Niektóre problemy matematyczne mona rozwiza numerycznie (tj. Na komputerze) dokadnie za pomoc algorytmu w skoczonej liczbie operacji. Algorytmy te s czasami nazywane metodami bezporednimi lub skoczonymi . Przykadami s eliminacja Gaussa-Jordana w celu rozwizania ukadu równa liniowych oraz algorytm simplex w optymalizacji liniowej .

Nie jest jednak znana adna bezporednia metoda dla pewnych problemów (ponadto dla klasy tak zwanych problemów NP-zupenych nie jest znany aden bezporedni algorytm obliczeniowy w czasie wielomianowym). W takich przypadkach czasami mona uy metody iteracyjnej, aby spróbowa okreli przyblienie rozwizania. Taka metoda rozpoczyna si od wartoci odgadnitej lub z grubsza oszacowanej i znajduje kolejne przyblienia, które w okrelonych warunkach powinny zbiega si do rozwizania. Nawet jeli istnieje metoda bezporednia, preferowana moe by metoda iteracyjna, poniewa czsto jest bardziej wydajna, a czsto nawet bardziej stabilna (w szczególnoci pozwala ona najczciej korygowa drobne bdy w obliczeniach porednich)

Ponadto, pewne cige problemy mog by czasami zastpione dyskretnym problemem, którego rozwizanie jest znane jako zblione do cigego problemu; proces ten nazywa si dyskretyzacj . Na przykad rozwizanie równania róniczkowego jest funkcj. Ta funkcja moe by reprezentowana w przyblieniu przez skoczon ilo danych, na przykad przez ich warto w skoczonej liczbie punktów jej domeny definicji, nawet jeli dziedzina ta jest ciga.

Korzystanie z analizy cyfrowej jest znacznie uatwione dziki komputerom . Zwikszenie dostpnoci i moc komputerów od drugiej poowy XX th  century dozwolone stosowanie analizy numerycznej w wielu naukowych, technicznych i ekonomicznych, czsto o znacznych efektów.

Generowanie i propagacja bdów

Badanie bdów jest wan czci analizy numerycznej. Bdy wprowadzone w rozwizaniu problemu maj kilka przyczyn. Bdy zaokrgle pojawiaj si, poniewa w praktyce niemoliwe jest dokadne odwzorowanie wszystkich liczb rzeczywistych na skoczonej maszynie stanowej (któr ostatecznie s wszystkie komputery cyfrowe). Bdy obcicia s popeniane, na przykad, gdy koczy si metoda iteracyjna, a otrzymane przyblione rozwizanie róni si od dokadnego rozwizania. Podobnie dyskretyzacja problemu (zwana take kwantyzacj w praktycznych zastosowaniach obliczeniowych numerycznych) wywouje bd dyskretyzacji  (in) ( bd kwantyzacji w praktycznych zastosowaniach), poniewa rozwizanie problemu dyskretnego nie pokrywa si dokadnie z rozwizaniem trwajcego problemu.

Wygenerowany bd zwykle bdzie si rozprzestrzenia w trakcie oblicze. Prowadzi to do pojcia stabilnoci numerycznej  : algorytm jest numerycznie stabilny, jeli raz wygenerowany bd nie zwikszy si zbytnio podczas oblicze (w iteracyjnej metodzie oblicze zbyt duy bd moe w niektórych przypadkach spowodowa rozbieno algorytmu. który nie zbliy si do rozwizania). Jest to moliwe tylko wtedy, gdy problem jest dobrze uwarunkowany , co oznacza, e rozwizanie zmienia si tylko o niewielk warto, jeli dane problemu zostan zmienione o niewielk warto. Tak wic, jeli problem jest le uwarunkowany, to najmniejszy bd w danych spowoduje bardzo duy bd w znalezionym rozwizaniu.

Jednak algorytm rozwizujcy dobrze uwarunkowany problem moe by numerycznie stabilny lub nie. Caa sztuka analizy numerycznej polega na znalezieniu stabilnego algorytmu do rozwizania dobrze postawionego problemu matematycznego . Pokrewn sztuk jest znalezienie stabilnych algorytmów rozwizywania le postawionych problemów, co generalnie wymaga znalezienia dobrze postawionego problemu, którego rozwizanie jest zblione do tego le postawionego problemu, a nastpnie rozwizanie tego drugiego problemu.

Kierunki studiów

Dziedzina analizy numerycznej jest podzielona na róne dyscypliny w zalenoci od rodzaju problemu, który ma by rozwizany, a kada dyscyplina bada róne metody rozwizywania odpowiadajcych im problemów.

Wród przykadów liczbowych analizy metodami , s tu pewne stosowane do dyskretyzacji ukad równa: w metody elementów skoczonych , na metody rónic skoczonych , na podzielon rónica sposobu , w metody objtoci skoczonych ...

Obliczanie wartoci funkcji

Jednym z najprostszych problemów jest ocena funkcji w danym punkcie. Ale nawet ocena zbliajcego si wielomianu nie jest tak oczywista, jak si wydaje: metoda Hornera jest czsto bardziej skuteczna ni metoda elementarna oparta na wspóczynnikach opracowanego wielomianu i prostej sumie jego skadników. Ogólnie rzecz biorc, wane jest, aby wstpnie oszacowa i kontrolowa bdy zaokrglania, które wystpuj podczas korzystania z operacji arytmetycznych zmiennoprzecinkowych .

Interpolacja, ekstrapolacja i regresja

Do interpolacji próby rozwizania lub zblia si do rozwizania nastpujcego problemu: z uwagi na znan warto pewnej funkcji w kilku punktach dowolnej wartoci bierze to funkcja w kadym innym miejscu midzy dwoma punktami Bardzo prost metod jest zastosowanie interpolacji liniowej , która zakada, e nieznana funkcja rozwija si liniowo midzy kad par kolejnych znanych punktów. Metod t mona uogólni w interpolacji wielomianowej , która czasami jest bardziej precyzyjna (moemy oszacowa jej dokadno, jeli pochodne funkcji s znane do rzdu N dla interpolacji w N punktach) i wymaga mniejszych tablic znanych wartoci, ale cierpi na zjawisko Runge .

Inne metody interpolacji wykorzystuj zlokalizowane funkcje, takie jak splajny lub kompresja falek .

Ekstrapolacja jest bardzo podobna do interpolacji, ale tym razem chcemy okreli warto funkcji w punkcie poza zakresem znanych punktów. W niektórych przypadkach (np. W przypadku ekstrapolacji wartoci funkcji cyklicznych, logarytmicznych lub wykadniczych) mona sprowadzi problem ekstrapolacji w bardzo rozlegej lub wrcz nieskoczonej dziedzinie definicji do problemu interpolacji w -skoczona przestrze zawierajca znane punkty.

Regresja jest powizany pytanie, biorc pod uwag niedokadno danych. Bardzo czsto bd to pomiary eksperymentalne z nieuniknionymi bdami . Biorc pod uwag okrelone punkty i miar wartoci w tych punktach, chcemy okreli funkcj, która najlepiej pasuje do tych wartoci. Funkcji tej szukamy w klasie funkcji prostych, tak aby zminimalizowa popeniany bd. Metoda najmniejszych kwadratów jest powszechnym sposobem wykonywania tego.

Rozwizywanie równa i ukadów równa

Kolejnym fundamentalnym problemem jest obliczenie rozwiza zadanego równania . Zwykle rozrónia si dwa przypadki, w zalenoci od tego, czy równanie jest liniowe, czy nie.

Wiele prac powicono opracowaniu metod rozwizywania ukadów równa liniowych . Standardowe metody obejmuj eliminacj Gaussa-Jordana i dekompozycj LU . Metody iteracyjne, takie jak metoda gradientu sprzonego, s generalnie preferowane w stosunku do duych ukadów równa.

Te algorytmy znalezienie korzeni funkcji s uywane do rozwizywania równania nieliniowego (s tak nazwane poniewa pierwiastek funkcji jest argument do którego powraca zerowania). Jeli funkcja jest róniczkowalna i znana jest jej pochodna, to popularnym wyborem jest metoda Newtona . Linearyzacja jest inn technik rozwizywania równa nieliniowych.

Optymalizacja

W problemach optymalizacyjnych szukamy punktu zbioru, w którym funkcja zdefiniowana w tym zbiorze jest minimalna (lub maksymalna). Zbiór ten jest czsto definiowany jako cz przestrzeni wektorowej ograniczonej wizami , czyli równociami, nierównociami, czonkostwami, zdefiniowanymi za pomoc innych funkcji.

Optymalizacja jest podzielona na nakadajce si poddyscypliny, w zalenoci od postaci funkcji celu i ogranicze: optymalizacja w wymiarze skoczonym lub nieskoczonym (mówimy tutaj o wymiarze przestrzeni wektorowej zmiennych, które maj by optymalizowane) , cigy lub kombinatoryczna optymalizacji (zmienne maj by zoptymalizowane s dyskretne, w tym ostatnim przypadku), róniczkowaln lub nie-gadk optymalizacji (jedna kwalifikuje tutaj regularno funkcje okrelajce problem), optymalizacji liniowa (funkcje afiniczne) kwadratowa (kwadratowy celem i afiniczne), { póokrelona (optymalizowan zmienn jest macierz, której póokrelona dodatnia jest wymagana ), stokowa (uogólnienie poprzedniego problemu, w którym minimalizujemy funkcj liniow na przeciciu stoka i podprzestrze afiniczna), wypuka ( funkcje wypuke ), nieliniowa , optymalna kontrola , optymalizacja stochastyczna i odporna (obecno losowoci), optymalizacja wielokryterialna ( poszukuje si kompromisu midzy kilkoma sprzecznymi celami), optymalizacji algebraicznej (funkcje wielomianowe), optymalizacji dwupoziomowej , optymalizacji w warunkach ogranicze komplementarnoci , optymalizacji rozcznej (zbiór dopuszczalny jest sum zbiorów) itp . Ta bogactwo dyscyplin wynika z faktu, e praktycznie kada klasa modelowalnych problemów moe prowadzi do problemu optymalizacji, pod warunkiem, e wprowadzimy parametry do optymalizacji. Co wicej, warunki optymalnoci tych problemów optymalizacyjnych czasami dostarczaj oryginalnych wyrae matematycznych, które z kolei, poprzez poprzedni mechanizm, prowadz do nowych problemów optymalizacyjnych.

Analiza i numeryczne rozwizywanie problemów optymalizacji róniczkowej z ograniczeniami czsto wymaga zapisania warunków jej optymalnoci . Ujawniaj one ukryte zmienne ( mnoniki lub zmienne dualne ), których nie ma w sformuowaniu pierwotnego problemu, ale które dostarczaj cennych informacji na jego temat ( koszty kracowe ). Do mnoników Lagrange'a pojawiy si w XVIII -tego  wieku w leczeniu problemów optymalizacyjnych z ograniczeniami równoci. W przypadku problemów z ograniczeniami nierównoci te mnoniki zostay wyrónione w poowie XX -go  wieku przez wielu autorów, w tym Karush Kuhn i Tucker .

Poniewa problemy optymalizacyjne s bardzo zrónicowane ze wzgldu na swój charakter i struktur, istnieje wiele metod numerycznych rozwizywania tych problemów. Wiele problemów optymalizacyjnych jest NP-trudnych  ; ma to ju miejsce w przypadku niewypukego kwadratowego problemu optymalizacji.

Obliczanie caek

Cakowanie numeryczne, znane równie jako kwadratura numeryczna , znajduje warto caki oznaczonej. Popularne metody opieraj si na wzorach Newtona-Cotesa (np. Metod punktu rodkowego lub metody trapezów ) lub wykorzystuj metody kwadraturowe Gaussa . Jeli jednak obszar integracji stanie si duy, metody te równie staj si zaporowo drogie. W takiej sytuacji mona zastosowa metod Monte Carlo , metod quasi-Monte Carlo lub, w skromnie duych wymiarach, metod niepenej siatki  (in) .

Równania róniczkowe

Analiza numeryczna zajmuje si równie obliczaniem (w przyblieniu) rozwiza równa róniczkowych , zarówno zwykych równa róniczkowych, jak i czstkowych równa róniczkowych .

Równania róniczkowe czstkowe s rozwizywane poprzez dyskretyzacj równania, przenoszc je do skoczonej wymiarowej podprzestrzeni . Mona to osign za pomoc metody elementów skoczonych , na metody rónic skoczonych , lub, szczególnie w przemyle maszynowym, a metody objtoci skoczonych . Teoretyczne uzasadnienie tych metod czsto obejmuje twierdzenia analizy funkcjonalnej . Ogranicza to problem do rozwizania równania algebraicznego.

Zaczniki

Uwaga

  1. (w) NJ Higham , Accuracy and Stability of Numerical Algorithms , Filadelfia, SIAM Publications,, 2 II  wyd..

Powizane artykuy

Bibliografia

Linki zewntrzne

Mamy nadzieję, że informacje, które zgromadziliśmy na temat Analiza numeryczna, były dla Ciebie przydatne. Jeśli tak, nie zapomnij polecić nas swoim przyjaciołom i rodzinie oraz pamiętaj, że zawsze możesz się z nami skontaktować, jeśli będziesz nas potrzebować. Jeśli mimo naszych starań uznasz, że informacje podane na temat _title nie są całkowicie poprawne lub że powinniśmy coś dodać lub poprawić, będziemy wdzięczni za poinformowanie nas o tym. Dostarczanie najlepszych i najbardziej wyczerpujących informacji na temat Analiza numeryczna i każdego innego tematu jest istotą tej strony internetowej; kierujemy się tym samym duchem, który inspirował twórców Encyclopedia Project, i z tego powodu mamy nadzieję, że to, co znalazłeś o Analiza numeryczna na tej stronie pomogło Ci poszerzyć swoją wiedzę.

Opiniones de nuestros usuarios

Amit Marcinkowski

Dzięki za ten post na Analiza numeryczna, właśnie tego potrzebowałem

Gerard Stefański

Podane informacje o zmiennej Analiza numeryczna są prawdziwe i bardzo przydatne. Dobrze.

Borys Wojciechowski

Podoba mi się ta strona, a artykuł o Analiza numeryczna jest tym, którego szukałem.