Analiza niestandardowa

Zainteresowanie niestandardow analiz

Istniej dwa rodzaje aplikacji:

• ustalono, e twierdzenie klasyczne, posiadajce dowód w ramach analizy niestandardowej, jest prawdziwe w ramach matematyki klasycznej. Sytuacja jest do porównywalna z sytuacj matematyków sprzed 1800 r., którzy pozwalali sobie na uywanie liczb urojonych, pod warunkiem, e wynik kocowy jest rzeczywicie rzeczywisty. Analiza niestandardowa umoliwia zatem podanie nowych (czsto prostszych) dowodów twierdze klasycznych;
• analiza niestandardowa umoliwia take manipulowanie nowymi koncepcjami nieskoczenie maych lub nieskoczenie duych liczb, które sprawiay matematykom tak wiele problemów i które zostay wykluczone z analizy. Jest zatem bardziej ogólna ni analiza klasyczna, tak jak analiza zoona jest bardziej ogólna ni analiza rzeczywista;
• jednak niestandardowa analiza miaa do tej pory niewielki wpyw. Niewiele nowych twierdze zostao opracowanych przy jego uyciu, a obecnie jest to zasadniczo przepisanie caej analizy z nowymi koncepcjami. Naley zauway, e w analizie elementarnej nie mona oczekiwa nowych wyników; ciekawe zastosowania wykraczaj zatem poza poziom tego artykuu i naley ich szuka np. w badaniu wolno-szybkich ukadów rónicowych i ich kaczek.

Aksjomaty

• Znajduje si w kontekcie teorii mnogoci Zermelo-Fraenkla.
• Przedmioty lub zbiory zdefiniowane przez t teori bd kwalifikowane jako wewntrzne lub klasyczne. Tak jest w przypadku wszystkich zwykych obiektów i zestawów, które znamy: ...${\ displaystyle \ pi, e, 2, \ mathbb {N}, \ mathbb {R}, \ mathbb {C}}$
• Wprowadzamy nowy predykat, obcy teorii Zermelo-Fraenkla, a odnoszcy si do poprzednich zbiorów i obiektów wewntrznych. Taki zespó lub obiekt moe zosta zakwalifikowany jako standardowy lub niestandardowy. Na przykad moemy mówi o standardowej liczbie cakowitej i niestandardowej liczbie cakowitej. Sowo standard nie jest zdefiniowane, podobnie jak sowa zespó lub czonkostwo. S to tak zwane pojcia prymitywne. Wyjaniamy jedynie, jak moemy uy tego nowego pojcia, za pomoc nastpujcych aksjomatów.

Aksjomat idealizacji

Gówny artyku: Zasada idealizacji .

Niech R(x,y) bdzie relacj klasyczn. Przez klasyczn relacj rozumiemy relacj, która nie zawiera  w swoim wypowiedzeniu nowego standardowego predykatu  . Jest to zatem zwyky stosunek naszej codziennej matematyki.

Aksjomat idealizacji stwierdza, e nastpujce dwa zdania s równowane:

1. Dla kadego skoczonego zbioru norm F istnieje x (oznaczone poniej ) takie, e R(x,y) dla wszystkich y nalecych do F;${\ styl wywietlania x_ {F}}$
2. Istnieje x takie, e R (x, y) dla dowolnego standardu y .

Aksjomat oznacza, e aby znale x, który spenia wasno wzgldem wszystkich standardowych y, wystarczy, e mona znale takie x wzgldem elementów y dowolnego skoczonego zbioru norm .

Przykad 1: Istnieje liczba cakowita wiksza ni wszystkie standardowe liczby cakowite

Chcemy pokaza, e: istnieje x liczba cakowita, taka, e dla dowolnej liczby cakowitej standard y, x>y. Niech wic R (x, y) okrelone wzorem: x jest liczb cakowit, y jest liczb cakowit, a x>y. Twierdzenie 1 aksjomatu idealizacji jest dobrze zweryfikowane: jeli F jest skoczone, to rzeczywicie istnieje liczba cakowita x wiksza od liczb cakowitych y elementów F. W konsekwencji aksjomat idealizacji stwierdza, e twierdzenie 2 równie jest zweryfikowane i to odpowiada naszemu stwierdzeniu.

Wic istnieje liczba cakowita x wiksza ni wszystkie standardowe liczby cakowite. Ta liczba cakowita bdzie zatem niestandardowa, w przeciwnym razie byaby wiksza od siebie. Dlatego wanie pokazalimy, e istnieje co najmniej jedna niestandardowa liczba cakowita.

Liczby wiksze ni x s a fortiori niestandardowe, w przeciwnym razie x byoby od nich wiksze. Z tego powodu w zbiorze liczb cakowitych niestandardowe liczby cakowite s równie nazywane niedostpnymi, nieograniczonymi lub nieskoczenie duymi. Termin nieograniczony jest nieodpowiedni, dlatego preferujemy termin niedostpny lub nieskoczenie duy. Niestandardowe liczby cakowite s równie nazywane hipernaturalnymi. ${\ styl wywietlania \ mathbb {N}}$

Przykad 2: Kady nieskoczony zestaw ma niestandardowy element

Rozwa relacj x rón od y w nieskoczonym zbiorze E. Dla kadej standardowej czci skoczonej F istnieje zaznaczony element x nalecy do E taki, e x jest róne od y dla wszystkich y nalecych do F, poniewa E jest nieskoczone. ${\ styl wywietlania x_ {F}}$

Aksjomat idealizacji zapewnia zatem istnienie elementu x nalecego do E i rónego od wszystkich standardowych elementów y nalecych do E; x jest oczywicie niestandardowe.

Wyprowadzamy nastpujc waciwo:

W kadym nieskoczonym zbiorze jest co najmniej jeden niestandardowy element.

i przez kontrapozycji  :

Jeli wszystkie elementy zbioru s standardowe, to zbiór E jest skoczony.

Przykad 3: twierdzenie Nelsona

Twierdzenie to mówi, e jeli E jest zbiorem, to istnieje skoczony podzbiór X z E zawierajcy wszystkie standardowe elementy E. Nie mona jednak wywnioskowa, e standardowe elementy dowolnego zbioru maj skoczon moc, poniewa standardowe elementy nie stanowi zestaw. W tym celu definiujemy nastpujc relacj R (X, y): X naley do E, X jest skoczone i jeli y jest elementem E, to y jest elementem X.

Twierdzenie 1 aksjomatu idealizacji jest weryfikowane dla dowolnego skoczonego podzbioru F (co wicej, standardowego lub nie), przyjmujc dla X przecicie F i E. W konsekwencji, twierdzenie 2 aksjomatu idealizacji potwierdza twierdzenie Nelsona.

Cz X podana przez aksjomat jest czci wewntrzn lub klasyczn. Niekoniecznie ogranicza si do jedynych elementów standardowych E, poniewa a priori zbiór elementów standardowych, okrelonych z nieklasycznej relacji by standardowym jest obiektem zewntrznym, to znaczy obcym dla zwykej matematyki . Rzeczywicie, relacja by standardowym nie jest czci relacji, do których odnosz si aksjomaty ZFC, co oznacza, e nie istnieje zbiór zawierajcy tylko standardowe liczby cakowite. Zatem w liczbach cakowitych zbiór X zawierajcy wszystkie standardowe liczby cakowite ma posta {0, 1, 2,, n } z n niestandardowymi, a ten zbiór zawiera równie niestandardowe liczby cakowite.

Aksjomat przeniesienia

Gdy tylko wszystkie parametry klasycznej formuy F maj wartoci standardowe: ${\ styl wywietlania E_ {i}}$

Dla wszystkich standardowych x, F (x,, , ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich x, F (x,, , )${\ styl wywietlania E_ {1}}$${\ styl wywietlania E_ {n}}$${\ styl wywietlania E_ {1}}$${\ styl wywietlania E_ {n}}$

Innymi sowy, aby sprawdzi, czy zwyka formua zalena od standardowych parametrów jest prawdziwa dla wszystkich x, wystarczy zweryfikowa j dla wszystkich standardowych x. Intuicyjnie mamy dostp tylko do elementów standardowych i to one pozwol nam zweryfikowa klasyczn formu. Ten aksjomat mona równie wyrazi (przez negacj):

Istnieje standard x, F (x,, ..., ) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje x, F (x,, ..., )${\ styl wywietlania E_ {1}}$${\ styl wywietlania E_ {n}}$${\ styl wywietlania E_ {1}}$${\ styl wywietlania E_ {n}}$

Jeli klasyczna waciwo jest prawdziwa dla x, to jest prawdziwa dla standardowego x. Oto kilka konsekwencji. Najwaniejszy jest fakt, e jeli obiekt matematyczny jest klasycznie jednoznacznie zdefiniowany ze standardowych obiektów, to z koniecznoci jest on standardowy. Jest wic tak w przypadku na standardowym n . Podobnie, jeli E i F s standardowymi zbiorami, to jest to samo dla ich przecicia, ich sumy, ich iloczynu, zbioru odwzorowa od E do F oraz zbioru czci E. Jeli a i b s dwiema standardowymi liczbami, podobnie jak ab , a + b , a - b , a / b , itd. Jeli n jest standardem, to n +1 lub I _n = {1, ..., n }. Jeli A jest standardow czci ograniczonej, Sup A i Inf A s standardowe. Jeli f jest funkcj standardow (tj. zdefiniowan na standardowych i standardowych zestawach wykresów), to obraz standardowego elementu jest standardowy. ${\ displaystyle \ varnothing, 0,1,2, \ pi, e, i, \ mathbb {N}, \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ styl wywietlania \ mathbb {R}}$

Wreszcie, ten aksjomat umoliwia wykazanie, e aby zobaczy, e dwa zestawy norm s równe, wystarczy zweryfikowa, e maj one te same elementy standardowe. Tak wic jedyn standardow czci zawierajc wszystkie standardowe liczby cakowite jest ona sama. Z drugiej strony istniej niestandardowe czci zawierajce wszystkie standardowe liczby cakowite, a mianowicie czci {0, 1, 2, ..., n } z n niestandardowymi. ${\ styl wywietlania \ mathbb {N}}$${\ styl wywietlania \ mathbb {N}}$

Aksjomat standaryzacji

Gówny artyku: Zasada normalizacji .

Niech E bdzie zbiorem standardowym, a P dowoln waciwoci, niezalenie od tego, czy zawiera postulat   standardowy  . Nastpnie :

Istnieje standardowy zbiór A taki, e dla dowolnego standardu x, x naley do A wtedy i tylko wtedy, gdy x naley do E i spenia P (x)

Ten aksjomat jest interesujcy tylko wtedy, gdy wasno P jest nieklasyczna (wykorzystuje standardowy   postulat  ). Zbiór A jest po prostu standardowym zbiorem, którego standardowe elementy s standardowymi elementami E sprawdzajcymi waciwo P. Moliwe, e A ma inne elementy, ale bd one niestandardowe. Co wicej, poniewa zbiór standardów jest jednoznacznie okrelony przez jego elementy standardowe, wynika z tego, e A jest unikalny. Nazywa si to znormalizowanym zbiorem { x element E | P( x )}, który a priori nie jest zbiorem w sensie ZFC. Intuicyjna interpretacja, jak mona nada temu aksjomatowi, jest nastpujca: zbiór { x element E | P ( x )} nie jest dla nas bezporednio dostpny. Moemy jedynie zaprojektowa jego ustandaryzowany dwik. Nalegamy na fakt, e jeli waciwo P uywa postulatu   standardowego  , to wasno ta jest obca aksjomatyce Zermelo-Fraenkla (poniewa sowo   standard   nie jest czci tej aksjomatyki), a zatem zbiór { x element E | P( x )} nie jest zbiorem w sensie Zermelo-Fraenkla, dlatego kwalifikujemy go jako zbiór (bardziej technicznie, wasno P niekoniecznie jest kolektywizujca, a notacja { x element E | P ( x ) } jest formalnie tak samo nielegalne, jak na przykad { x | x = x } do oznaczenia zbioru wszystkich zbiorów).

Rozwamy na przykad E = i P ( x ) waciwo x jest standardowa. Zbiór { x element E | P ( x )} to zbiór elementów standardowych. Jego ustandaryzowany jest standardowy zestaw zawierajcy wszystkie standardowe elementy . Widzielimy ju, e chodzio o niego samego. ${\ styl wywietlania \ mathbb {N}}$${\ styl wywietlania \ mathbb {N}}$${\ styl wywietlania \ mathbb {N}}$

Rozwamy teraz E = i P ( x ) waciwo x jest niestandardowa. Zbiór { x element E | P ( x )} to zbiór niestandardowych elementów. Jego standaryzowany jest zestaw pusty. ${\ styl wywietlania \ mathbb {N}}$

Liczby w niestandardowej analizie

Liczby cakowite

Powizany artyku: Niestandardowy model arytmetyki .

Przypomnijmy, e za wewntrzne lub klasyczne uznajemy waciwoci lub zbiory nie uywajce sowa   standard  . Tym sowem nazywamy waciwoci zewntrzne lub nieklasyczne. Wszystkie znane klasyczne waciwoci pozostaj wane w analizie niestandardowej. Spenia zatem aksjomat indukcji, pod warunkiem, e aksjomat ten stosuje si do wasnoci klasycznej. ${\ styl wywietlania \ mathbb {N}}$

Z drugiej strony, poniewa predykat standardowy jest nieklasyczny, aksjomat rekurencji nie ma do niego zastosowania. Tak wic 0 jest standardem; jeli n jest standardem, n + 1 te. Istniej jednak niestandardowe liczby cakowite wiksze ni wszystkie standardowe liczby cakowite. Takie niestandardowe liczby cakowite nazywane s nieskoczenie duymi.

Kada standardowa liczba cakowita jest mniejsza ni niestandardowa liczba cakowita. Jeli n jest niestandardowe, to samo dotyczy elementów wikszych ni n i n - 1. Moemy zobaczy, co nastpuje: ${\ styl wywietlania \ mathbb {N}}$

0 1 2 3. . . . . . . . . n -1 n n +1. . .

standardowe liczby cakowite, po których nastpuj niestandardowe liczby cakowite

Nie moemy mówi o najmniejszej niestandardowej liczbie cakowitej ani o najwikszej standardowej liczbie cakowitej, poniewa wasnoci te nie s klasyczne, nie definiuj nawet zbiorów, które w zwizku z tym nie maj i nie bez powodu zwykych cech podzbiory . ${\ styl wywietlania \ mathbb {N}}$

Jeli jednak P jest jakkolwiek waciwoci, pokazujemy, e spenia nastpujca zasada indukcji ograniczonej: ${\ styl wywietlania \ mathbb {N}}$

jeli P (0) jest prawdziwe, a jeli dla wszystkich n standardów, P ( n ) implikuje P ( n +1), to dla wszystkich n standardów zachodzi P ( n ).

Prawdziwi

Pokazujemy, e moemy podzieli zbiór liczb rzeczywistych na: ${\ styl wywietlania \ mathbb {R}}$

• nieskoczenie mae lub nieskoczenie mae, gorsze w wartoci bezwzgldnej od jakiejkolwiek cile dodatniej standardowej rzeczywistoci rzeczywistej. Inne ni 0 s niestandardowe. x - y nieskoczenie jest oznaczona x y . Mówimy, e x i y s nieskoczenie bliskie.
• nieograniczony, wyszy w wartoci bezwzgldnej w stosunku do dowolnego standardu rzeczywistego (lub liczb cakowitych). S niestandardowe. Ich odwrotnoci s nieskoczenie mae.
• te znaczce.

Dostrzegalne i nieskoczenie mae stanowi ograniczone rzeczywistoci.

Na przykad: 0.000 ... 01 jest nieskoczenie mae, jeli liczba 0 jest nieskoczenie du liczb cakowit. Ta liczba jest wtedy nieskoczenie bliska 0.

Jeli n jest nieskoczenie du liczb cakowit, to 1 / n jest nieskoczenie mae.

Pokazujemy równie, e dla kadej ograniczonej rzeczywistej x istnieje unikalna standardowa rzeczywista ° x taka, e rónica x - ° x jest nieskoczenie maa . ° x nazywana jest standardow czci (lub cieniem) x , której x jest równe .

Na przykad 0.3333 ..... 333 (gdzie liczba 3 jest nieskoczenie du liczb cakowit) to ograniczona liczba rzeczywista, a nawet niestandardowa liczba dziesitna , której standardowa cz to 1/3.

Kada ograniczona rzeczywisto jest jednoznacznie rozkadana na standardow + nieskoczenie ma form.

Rzeczywistoci nieskoczenie bliskie danej rzeczywistoci stanowi aureol tej rzeczywistoci.

Apartamenty w niestandardowych analizach

Podamy nieklasyczne waciwoci apartamentów, które w przypadku standardowych apartamentów bd pokrywa si ze zwykymi waciwociami.

Zbieno cigu

W przypadku standardowego pakietu równowane s: ${\ styl wywietlania (a_ {n})}$

1. sekwencja zbiega si do l${\ styl wywietlania (a_ {n})}$
2. l jest standardem i dla kadego nieskoczenie duego n , l${\ styl wywietlania a_ {n}}$

Rzeczywicie, jeli jest standardowe i zbiega si do l , jego granica jest standardowa (przez przeniesienie) i spenia: ${\ styl wywietlania (a_ {n})}$

dla wszystkich > 0 istnieje N takie, e dla wszystkich n > N, | - l | <${\ styl wywietlania a_ {n}}$

Przelewem mamy wtedy:

dla wszystkich standardów > 0 istnieje standard N taki, e dla wszystkich n > N, | - l | <${\ styl wywietlania a_ {n}}$

Jeli wemiemy n nieskoczenie due, to n jest wiksze od N, wic | - l | <, a ta nierówno jest weryfikowana dla dowolnego standardu , mamy l${\ styl wywietlania a_ {n}}$${\ styl wywietlania a_ {n}}$

Odwrotnie, jeli dla dowolnego nieskoczenie duego n , l ze standardem l , wtedy: ${\ styl wywietlania a_ {n}}$

dla wszystkich standardowych > 0 istnieje N takie, e dla wszystkich n > N, | - l | <${\ styl wywietlania a_ {n}}$

W rzeczywistoci wystarczy przyj N nieskoczenie due.

oraz przelewem:

dla wszystkich > 0 istnieje N takie, e dla wszystkich n > N, | - l | <${\ styl wywietlania a_ {n}}$

co jest definicj konwergencji.

Przypomina si, e podana równowano jest wana tylko dla sekwencji standardowych. Jeli rzeczywicie zdefiniujemy z nieskoczenie mae, to 0 dla wszystkich n, a jednak cig nie jest zbieny (wystarczy przyj = ). W rzeczywistoci aksjomat przeniesienia nie ma zastosowania, poniewa formua dla wszystkich n > N, | - l | < obejmuje elementy, które nie s standardowe. ${\ displaystyle a_ {n} = (- 1) ^ {n} \ alfa}$${\ styl wywietlania a_ {n}}$${\ styl wywietlania (a_ {n})}$${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {1} {2}} \ alfa}$${\ styl wywietlania a_ {n}}$

Zbieno podcigu

W przypadku standardowego pakietu równowane s: ${\ styl wywietlania (a_ {n})}$

1. istnieje podcig, którego zbiega si do l  ;${\ styl wywietlania (a_ {n})}$
2. l jest standardem i istnieje nieograniczona liczba n taka, e l .${\ styl wywietlania a_ {n}}$

Rzeczywicie, jeli l jest granic podcigu , to l jest standardem przez przeniesienie, i dla wszystkich > 0 istnieje nieskoczono n taka, e | - l | <. Ta wasno jest zatem prawdziwa dla nieskoczenie maych, a poniewa jest weryfikowana przez nieskoczono n i istnieje tylko skoczona liczba standardowych liczb cakowitych, istnieje zatem n nieskoczenie due takie, e | - l | <. Ale poniewa jest nieskoczenie mae, oznacza to, e l . ${\ styl wywietlania (a_ {n})}$${\ styl wywietlania a_ {n}}$${\ styl wywietlania a_ {n}}$${\ styl wywietlania a_ {n}}$

I odwrotnie, jeli istnieje nieskoczone n takie, e l , to: ${\ styl wywietlania a_ {n}}$

dla dowolnego standardu > 0, dla dowolnego standardu N istnieje n> N, | - l | <${\ styl wywietlania a_ {n}}$

oraz przelewem:

dla wszystkich > 0, dla wszystkich N istnieje n> N, | - l | <${\ styl wywietlania a_ {n}}$

co wyraa, e l jest wartoci przylegania cigu iw tym przypadku istnieje podcig, który jest zbieny. ${\ styl wywietlania (a_ {n})}$${\ styl wywietlania (a_ {n})}$

Wyprowadzamy z tego twierdzenie Bolzano-Weierstrassa , które wyraa, e z dowolnego ograniczonego cigu rzeczywistego moemy wyodrbni zbieny podcig. Przez przeniesienie wystarczy pokaza to twierdzenie na standardowych cigach. Niech zatem bdzie ograniczony cigiem standardowym. Wszystkie jej terminy s ograniczone, poniewa poprzez przeniesienie moemy przyj wyszy i niszy standard. Nastpnie przyjmuje n nieograniczon l = ° standardow cz . Nastpnie stosujemy pokazan wczeniej równowano, przy czym waciwo 2 jest weryfikowana. ${\ styl wywietlania (a_ {n})}$${\ styl wywietlania (a_ {n})}$${\ styl wywietlania a_ {n}}$${\ styl wywietlania a_ {n}}$

Apartament Cauchy

W przypadku standardowego pakietu równowane s: ${\ styl wywietlania (a_ {n})}$

1. ${\ styl wywietlania (a_ {n})}$jest kontynuacj Cauchy
2. dla wszystkich nieograniczonych n i p , ${\ styl wywietlania a_ {n}}$${\ styl wywietlania a_ {p}}$

Demonstracja jest zgodna z podejciem porównywalnym do tych z poprzednich paragrafów.

Pokamy, e w , kada sekwencja Cauchy'ego jest zbiena. Transferem wystarczy pokaza t nieruchomo w standardowych apartamentach. Albo taka sekwencja. Jest ograniczona: w rzeczywistoci istnieje tylko skoczona liczba standardowych liczb cakowitych, a wszystkie z nieograniczonym n znajduj si w tej samej aureoli jednej z nich. W przypadku transferu terminal mona wybra jako standard. Wszystkie ponisze warunki s zatem ograniczone. Nastpnie wykonuje si z = ° standardow czci z p nieograniczona. Wtedy, dla dowolnego nieograniczonego n , l , wic cig jest zbieny do l . ${\ styl wywietlania \ mathbb {R}}$${\ styl wywietlania (a_ {n})}$${\ styl wywietlania a_ {n}}$${\ styl wywietlania a_ {p}}$${\ styl wywietlania a_ {p}}$${\ styl wywietlania a_ {n}}$${\ styl wywietlania a_ {p}}$

Funkcje w analizie niestandardowej

Cigo

Cigo funkcji definiuje si prociej za pomoc niestandardowej analizy. W przypadku funkcji standardowej istnieje równowano midzy ${\ styl wywietlania \ mathbb {R}}$

1. ${\ styl wywietlania f}$ jest cigy
2. dla wszystkich nieskoczenie maych i dla wszystkich standardowych, jest nieskoczenie blisko .${\ styl wywietlania y}$${\ styl wywietlania x}$${\ styl wywietlania f (x + y)}$${\ styl wywietlania f (x)}$

Twierdzenie o wartoci poredniej jest pokazane w nastpujcy sposób. Niech f bdzie cige na odcinku [ a , b ] z f ( a ) < 0 i f ( b ) > 0. Wtedy istnieje c midzy a i b takie, e f ( c ) = 0. Rzeczywicie, przez przeniesienie wystarczy pokaza to twierdzenie dla standardowych f , a i b . Niech N bdzie nieograniczon liczb cakowit i dla k pomidzy 0 a N. Jeli K jest pierwszym k, dla którego przyjmiemy dla c cz standardow . W rzeczywistoci mamy c nieskoczenie blisko i do , tak e f ( c ) bdzie nieskoczenie blisko dodatniej lub zerowej rzeczywistej i nieskoczenie blisko ujemnej rzeczywistej . Bdc standardowym, f ( c ) wynosi zero. ${\ displaystyle x_ {k} = a + k {ba \ ponad N}}$${\ displaystyle f (x_ {k}) \ geq 0}$${\ styl wywietlania x_ {K}}$${\ styl wywietlania x_ {K}}$${\ styl wywietlania x_ {K-1}}$${\ styl wywietlania f (x_ {K})}$${\ styl wywietlania f (x_ {K-1})}$

W podobny sposób pokazujemy, e f dopuszcza maksimum i minimum.

Jednolita cigo

W przypadku funkcji standardowej istnieje równowano midzy

1. ${\ styl wywietlania f}$ jest jednostajnie ciga
2. za wszystko nieskoczenie maym i do wszystkiego , jest nieskoczenie blisko .${\ styl wywietlania y}$${\ styl wywietlania x}$${\ styl wywietlania f (x + y)}$${\ styl wywietlania f (x)}$

Na przykad funkcja, która czy x z x ² jest ciga, poniewa jeli x jest standardowe, a y nieskoczenie mae, mamy:

( x + y ) ² = x ² + 2 xy + y ² x ² poniewa x jest ograniczone, xy jest nieskoczenie mae, podobnie jak y ²

Z drugiej strony ta funkcja nie jest jednostajnie ciga, poniewa jeli x jest nieskoczenie due i jeli y = 1 / x , to ( x + y ) ² = x ² + 2 + y ^2, co nie jest nieskoczenie bliskie x ² .

Na odcinku [ a , b ] kada funkcja ciga f jest jednostajnie ciga. Poprzez przeniesienie wystarczy pokaza t waciwo dla standardu f , a i b . Wszystkie elementy segmentu s wtedy ograniczone, dlatego wszystkie dopuszczaj cz znormalizowan. Jeli x jest elementem [ a , b ], ° x jego czci standardow, a y nieskoczenie maym, to mamy:

f ( x + y ) = f (° x + z ) z z = y + x - ° x nieskoczenie mae

zatem f ( x + y ) f (° x ) f ( x ) przez cigo f w ° x

Pochodzenie

Dla standardowej funkcji zdefiniowanej na standardowym przedziale , a dla standardu x ₀ istnieje równowano midzy: ${\ styl wywietlania \ mathbb {R}}$

1. f jest róniczkowalna w x ₀ od pochodnej l
2. dla wszystkich x nieskoczenie blisko x ₀ , l , ze standardem l .${\ displaystyle {{f (x) -f (x_ {0})} \ ponad x-x_ {0}}}$

Integracja

Dla standardowej funkcji f na [ a , b ] = I standard, istnieje równowano midzy

1. f cakowalna w sensie Riemanna
2. dla kadego podpodziau [ a , b ] a = x ₀ < x ₁ <... < x _n = b z x _i x _{i +1} , istniej dwie funkcje schodów i odnoszce si do podpodziau tak, e , dla wszystkie x z I, ( x ) f ( x ) ( x ) i 0. Nastpnie ustalamy cz standardow lub .${\ styl wywietlania \ int _ {a} ^ {b} \ psi - \ phi}$${\ styl wywietlania \ int _ {a} ^ {b} f}$${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \ phi}$${\ styl wywietlania \ int _ {a} ^ {b} \ psi}$

Róne pojcia

Poniej podajemy przykady odpowiedników w niestandardowej analizie poj analizy klasycznej, gdy s one stosowane do standardowych obiektów. Maj one na celu pokazanie zakresu obszarów do zbadania.

• Prosta zbieno do f cigu ( f _n ) funkcji: dla dowolnego nieskoczenie duego n i dowolnego standardowego x , f _n ( x ) f ( x ).
• Jednostajna zbieno w kierunku f cigu ( f _n ) funkcji: dla wszystkich n nieskoczenie duych i wszystkich x , f _n ( x ) f ( x ).
• Zwarto przestrzeni K: dowolny punkt K jest prawie standardowy (punkt jest prawie standardowy, jeli jest nieskoczenie blisko punktu standardowego)
• Kompletno przestrzeni E: dowolny punkt quasi-standardowy jest prawie standardowy (punkt x jest quasi-standardowy, jeli dla dowolnego standardowego r, x znajduje si w odlegoci mniejszej ni r od punktu standardowego)

Uwagi i referencje

Uwagi

1. Zobacz artyku André Pétry Spacer w niestandardowej analizie ladami A. Robinsona [PDF] .
2. Ta metoda wykorzystuje aksjomat ultrafiltra , sab wersj aksjomatu wyboru
3. Który jest czsto oceniany jako wygodniejszy do wykorzystania w nauczaniu: jest to na przykad punkt widzenia przyjty przez F. Dienera i G. Reeba w cytowanej pracy.
4. Zobacz na ten temat ostatni rozdzia ksiki F. Dienera i G. Reeba cytowany w odnoniku, a take artyku Francine Diener, Ducks , podajcy przykad zastosowania analizy niestandardowej do badania Równania róniczkowe.

Odniesienie

F. Diener, G. Reeb , Analiza niestandardowa , Hermann, 1989 ( ISBN  9782705661090 )

Zobacz równie

Powizane artykuy

• Niestandardowy model arytmetyki
• Krytyka niestandardowej analizy  (en)
• Liczba hiperrzeczywista
• Teoria modeli

Bibliografia

• J. Bair, V. Henry, Analiza nieskoczenie mae: le calculus ponownie odkryte , Academia Bruylant, Louvain-la-Neuve, 2008 ( ISBN  978-2-87209919-1 )
• André Deledicq , Marc Diener, Lekcje rachunku nieskoczenie maych , Armand Colin, 1989 ( ISBN  9782705661090 )
• (en) E. Nelson ,   Wewntrzna teoria mnogoci, nowe podejcie do NSA   , Bull. Gorzki. Matematyka. Soc. , tom.  83, n ^o  6,Listopad 1977, s.  1165-1198 ( czytaj online )
• (w) E. Nelson, radykalnie elementarna teoria prawdopodobiestwa , PUP 1987 ( ISBN  9780691084749 ) , tumaczenie T. Delbecque: radykalnie elementarna teoria prawdopodobiestwa
• Alain Robert, Analiza niestandardowa , PPUR , 1985 ( ISBN  9782880740726 )
• (en) EE Rosinger, Krótkie wprowadzenie do analizy niestandardowej.   Matematyka/0407178v1   , swobodnie dostpny tekst, na arXiv .
• Jean-Michel Salanskis , Le constructivisme non standard , presses universitaire du septentrion, 1999, 349 stron. ( ISBN  2-85939-604-7 )

Linki zewntrzne

• Fermat , Metoda poszukiwania minimum i maksimum , skomentowana wstpem do analizy niestandardowej, na stronie Bibnum
• (en) H. Jerome Keisler , Rachunek elementarny: podejcie nieskoczonoci  (en)  : Wprowadzenie do niestandardowego rachunku róniczkowego i cakowego, dostpne online
• (pl) Terence Tao , Tania wersja niestandardowej analizy