Analiza niestandardowa



Informacje, które udało nam się zgromadzić na temat Analiza niestandardowa, zostały starannie sprawdzone i uporządkowane, aby były jak najbardziej przydatne. Prawdopodobnie trafiłeś tutaj, aby dowiedzieć się więcej na temat Analiza niestandardowa. W Internecie łatwo zgubić się w gąszczu stron, które mówią o Analiza niestandardowa, a jednocześnie nie podają tego, co chcemy wiedzieć o Analiza niestandardowa. Mamy nadzieję, że dasz nam znać w komentarzach, czy podoba Ci się to, co przeczytałeś o Analiza niestandardowa poniżej. Jeśli informacje o Analiza niestandardowa, które podajemy, nie są tym, czego szukałeś, daj nam znać, abyśmy mogli codziennie ulepszać tę stronę.

.

W matematyce , a dokadniej w analizie , analiza niestandardowa jest zestawem narzdzi rozwijanych od 1960 roku w celu rygorystycznego traktowania pojcia nieskoczenie maego . W tym celu wprowadza si nowe pojcie standardowego obiektu (w przeciwiestwie do niestandardowego obiektu) lub bardziej ogólnie standardowego modelu lub niestandardowego modelu . W ten sposób przedstawia gówne wyniki analizy w bardziej intuicyjny sposób ni tradycyjnie odsonitej od XIX -tego  wieku .

Historyczny

Narodziny rachunku i nieskoczenie w XVII -tego  wieku doprowadzia do wprowadzenia i stosowania wielkoci nieskoczenie maych . wietnie z tego korzystali Leibniz , Euler i Cauchy . Jednak nie mogli w peni wyjani samej natury tych nieskoczenie maych. Ich stosowanie znikn w XIX th  wieku wraz z rozwojem dyscypliny w analizie przez Weierstrassa i DEDEKIND .

Dopiero druga poowa XX XX  wieku zaproponowano rygorystycznego wprowadzenia nieskoczenie mae. Po podejciu Abrahama Robinsona w 1961, wynikajcym z prac logiki matematycznej i wykorzystaniu pojcia modelu , Wilhelmus Luxemburg  (en) spopularyzowa w 1962 konstrukcj (odkryt ju przez Edwina Hewitta w 1948) nieskoczenie maego (i innych). hiperrzeczywista ) przez ultra-power of , dajc tym samym pocztek nowej teorii, niestandardowym analizy . W 1977 Edward Nelson przedstawi kolejn prezentacj analizy niestandardowej zwanej IST ( Internal Set Theory ) opart na aksjomatyce Zermelo-Frankela, do której dodano nowy predykat: predykat standardowy. Zachowanie tego nowego predykatu opiera si na trzech nowych aksjomatach:

  1. aksjomat idealizacji;
  2. aksjomat normalizacji;
  3. aksjomat przeniesienia.

Znaczenie kwalifikatora standardowego podanego przez te aksjomaty oznacza obiekt nalecy do horyzontu postrzegalnego, niestandardowy jako znajdujcy si poza horyzontem postrzegalnym. Zestaw moe wic by standardowy lub niestandardowy (mówimy te zaczarowany), nie moe by jednym i drugim. Zwyke przedmioty matematyki klasycznej bd standardowe (1, 2, ). Wprowadzone nieskoczenie mae lub nieskoczenie due bd niestandardowe.

Zainteresowanie niestandardow analiz

Istniej dwa rodzaje aplikacji:

  • ustalono, e twierdzenie klasyczne, posiadajce dowód w ramach analizy niestandardowej, jest prawdziwe w ramach matematyki klasycznej. Sytuacja jest do porównywalna z sytuacj matematyków sprzed 1800 r., którzy pozwalali sobie na uywanie liczb urojonych, pod warunkiem, e wynik kocowy jest rzeczywicie rzeczywisty. Analiza niestandardowa umoliwia zatem podanie nowych (czsto prostszych) dowodów twierdze klasycznych;
  • analiza niestandardowa umoliwia take manipulowanie nowymi koncepcjami nieskoczenie maych lub nieskoczenie duych liczb, które sprawiay matematykom tak wiele problemów i które zostay wykluczone z analizy. Jest zatem bardziej ogólna ni analiza klasyczna, tak jak analiza zoona jest bardziej ogólna ni analiza rzeczywista;
  • jednak niestandardowa analiza miaa do tej pory niewielki wpyw. Niewiele nowych twierdze zostao opracowanych przy jego uyciu, a obecnie jest to zasadniczo przepisanie caej analizy z nowymi koncepcjami. Naley zauway, e w analizie elementarnej nie mona oczekiwa nowych wyników; ciekawe zastosowania wykraczaj zatem poza poziom tego artykuu i naley ich szuka np. w badaniu wolno-szybkich ukadów rónicowych i ich kaczek.

Aksjomaty

  • Znajduje si w kontekcie teorii mnogoci Zermelo-Fraenkla.
  • Przedmioty lub zbiory zdefiniowane przez t teori bd kwalifikowane jako wewntrzne lub klasyczne. Tak jest w przypadku wszystkich zwykych obiektów i zestawów, które znamy: ...
  • Wprowadzamy nowy predykat, obcy teorii Zermelo-Fraenkla, a odnoszcy si do poprzednich zbiorów i obiektów wewntrznych. Taki zespó lub obiekt moe zosta zakwalifikowany jako standardowy lub niestandardowy. Na przykad moemy mówi o standardowej liczbie cakowitej i niestandardowej liczbie cakowitej. Sowo standard nie jest zdefiniowane, podobnie jak sowa zespó lub czonkostwo. S to tak zwane pojcia prymitywne. Wyjaniamy jedynie, jak moemy uy tego nowego pojcia, za pomoc nastpujcych aksjomatów.

Aksjomat idealizacji

Niech R(x,y) bdzie relacj klasyczn. Przez klasyczn relacj rozumiemy relacj, która nie zawiera  w swoim wypowiedzeniu nowego standardowego predykatu  . Jest to zatem zwyky stosunek naszej codziennej matematyki.

Aksjomat idealizacji stwierdza, e nastpujce dwa zdania s równowane:

  1. Dla kadego skoczonego zbioru norm F istnieje x (oznaczone poniej ) takie, e R(x,y) dla wszystkich y nalecych do F;
  2. Istnieje x takie, e R (x, y) dla dowolnego standardu y .

Aksjomat oznacza, e aby znale x, który spenia wasno wzgldem wszystkich standardowych y, wystarczy, e mona znale takie x wzgldem elementów y dowolnego skoczonego zbioru norm .

Przykad 1: Istnieje liczba cakowita wiksza ni wszystkie standardowe liczby cakowite

Chcemy pokaza, e: istnieje x liczba cakowita, taka, e dla dowolnej liczby cakowitej standard y, x>y. Niech wic R (x, y) okrelone wzorem: x jest liczb cakowit, y jest liczb cakowit, a x>y. Twierdzenie 1 aksjomatu idealizacji jest dobrze zweryfikowane: jeli F jest skoczone, to rzeczywicie istnieje liczba cakowita x wiksza od liczb cakowitych y elementów F. W konsekwencji aksjomat idealizacji stwierdza, e twierdzenie 2 równie jest zweryfikowane i to odpowiada naszemu stwierdzeniu.

Wic istnieje liczba cakowita x wiksza ni wszystkie standardowe liczby cakowite. Ta liczba cakowita bdzie zatem niestandardowa, w przeciwnym razie byaby wiksza od siebie. Dlatego wanie pokazalimy, e istnieje co najmniej jedna niestandardowa liczba cakowita.

Liczby wiksze ni x s a fortiori niestandardowe, w przeciwnym razie x byoby od nich wiksze. Z tego powodu w zbiorze liczb cakowitych niestandardowe liczby cakowite s równie nazywane niedostpnymi, nieograniczonymi lub nieskoczenie duymi. Termin nieograniczony jest nieodpowiedni, dlatego preferujemy termin niedostpny lub nieskoczenie duy. Niestandardowe liczby cakowite s równie nazywane hipernaturalnymi.

Przykad 2: Kady nieskoczony zestaw ma niestandardowy element

Rozwa relacj x rón od y w nieskoczonym zbiorze E. Dla kadej standardowej czci skoczonej F istnieje zaznaczony element x nalecy do E taki, e x jest róne od y dla wszystkich y nalecych do F, poniewa E jest nieskoczone.

Aksjomat idealizacji zapewnia zatem istnienie elementu x nalecego do E i rónego od wszystkich standardowych elementów y nalecych do E; x jest oczywicie niestandardowe.

Wyprowadzamy nastpujc waciwo:

W kadym nieskoczonym zbiorze jest co najmniej jeden niestandardowy element.

i przez kontrapozycji  :

Jeli wszystkie elementy zbioru s standardowe, to zbiór E jest skoczony.

Przykad 3: twierdzenie Nelsona

Twierdzenie to mówi, e jeli E jest zbiorem, to istnieje skoczony podzbiór X z E zawierajcy wszystkie standardowe elementy E. Nie mona jednak wywnioskowa, e standardowe elementy dowolnego zbioru maj skoczon moc, poniewa standardowe elementy nie stanowi zestaw. W tym celu definiujemy nastpujc relacj R (X, y): X naley do E, X jest skoczone i jeli y jest elementem E, to y jest elementem X.

Twierdzenie 1 aksjomatu idealizacji jest weryfikowane dla dowolnego skoczonego podzbioru F (co wicej, standardowego lub nie), przyjmujc dla X przecicie F i E. W konsekwencji, twierdzenie 2 aksjomatu idealizacji potwierdza twierdzenie Nelsona.

Cz X podana przez aksjomat jest czci wewntrzn lub klasyczn. Niekoniecznie ogranicza si do jedynych elementów standardowych E, poniewa a priori zbiór elementów standardowych, okrelonych z nieklasycznej relacji by standardowym jest obiektem zewntrznym, to znaczy obcym dla zwykej matematyki . Rzeczywicie, relacja by standardowym nie jest czci relacji, do których odnosz si aksjomaty ZFC, co oznacza, e nie istnieje zbiór zawierajcy tylko standardowe liczby cakowite. Zatem w liczbach cakowitych zbiór X zawierajcy wszystkie standardowe liczby cakowite ma posta {0, 1, 2,, n } z n niestandardowymi, a ten zbiór zawiera równie niestandardowe liczby cakowite.

Aksjomat przeniesienia

Gdy tylko wszystkie parametry klasycznej formuy F maj wartoci standardowe:

Dla wszystkich standardowych x, F (x,, , ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich x, F (x,, , )

Innymi sowy, aby sprawdzi, czy zwyka formua zalena od standardowych parametrów jest prawdziwa dla wszystkich x, wystarczy zweryfikowa j dla wszystkich standardowych x. Intuicyjnie mamy dostp tylko do elementów standardowych i to one pozwol nam zweryfikowa klasyczn formu. Ten aksjomat mona równie wyrazi (przez negacj):

Istnieje standard x, F (x,, ..., ) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje x, F (x,, ..., )

Jeli klasyczna waciwo jest prawdziwa dla x, to jest prawdziwa dla standardowego x. Oto kilka konsekwencji. Najwaniejszy jest fakt, e jeli obiekt matematyczny jest klasycznie jednoznacznie zdefiniowany ze standardowych obiektów, to z koniecznoci jest on standardowy. Jest wic tak w przypadku na standardowym n . Podobnie, jeli E i F s standardowymi zbiorami, to jest to samo dla ich przecicia, ich sumy, ich iloczynu, zbioru odwzorowa od E do F oraz zbioru czci E. Jeli a i b s dwiema standardowymi liczbami, podobnie jak ab , a + b , a - b , a / b , itd. Jeli n jest standardem, to n +1 lub I n = {1, ..., n }. Jeli A jest standardow czci ograniczonej, Sup A i Inf A s standardowe. Jeli f jest funkcj standardow (tj. zdefiniowan na standardowych i standardowych zestawach wykresów), to obraz standardowego elementu jest standardowy.

Wreszcie, ten aksjomat umoliwia wykazanie, e aby zobaczy, e dwa zestawy norm s równe, wystarczy zweryfikowa, e maj one te same elementy standardowe. Tak wic jedyn standardow czci zawierajc wszystkie standardowe liczby cakowite jest ona sama. Z drugiej strony istniej niestandardowe czci zawierajce wszystkie standardowe liczby cakowite, a mianowicie czci {0, 1, 2, ..., n } z n niestandardowymi.

Aksjomat standaryzacji

Niech E bdzie zbiorem standardowym, a P dowoln waciwoci, niezalenie od tego, czy zawiera postulat   standardowy  . Nastpnie :

Istnieje standardowy zbiór A taki, e dla dowolnego standardu x, x naley do A wtedy i tylko wtedy, gdy x naley do E i spenia P (x)

Ten aksjomat jest interesujcy tylko wtedy, gdy wasno P jest nieklasyczna (wykorzystuje standardowy   postulat  ). Zbiór A jest po prostu standardowym zbiorem, którego standardowe elementy s standardowymi elementami E sprawdzajcymi waciwo P. Moliwe, e A ma inne elementy, ale bd one niestandardowe. Co wicej, poniewa zbiór standardów jest jednoznacznie okrelony przez jego elementy standardowe, wynika z tego, e A jest unikalny. Nazywa si to znormalizowanym zbiorem { x element E | P( x )}, który a priori nie jest zbiorem w sensie ZFC. Intuicyjna interpretacja, jak mona nada temu aksjomatowi, jest nastpujca: zbiór { x element E | P ( x )} nie jest dla nas bezporednio dostpny. Moemy jedynie zaprojektowa jego ustandaryzowany dwik. Nalegamy na fakt, e jeli waciwo P uywa postulatu   standardowego  , to wasno ta jest obca aksjomatyce Zermelo-Fraenkla (poniewa sowo   standard   nie jest czci tej aksjomatyki), a zatem zbiór { x element E | P( x )} nie jest zbiorem w sensie Zermelo-Fraenkla, dlatego kwalifikujemy go jako zbiór (bardziej technicznie, wasno P niekoniecznie jest kolektywizujca, a notacja { x element E | P ( x ) } jest formalnie tak samo nielegalne, jak na przykad { x | x = x } do oznaczenia zbioru wszystkich zbiorów).

Rozwamy na przykad E = i P ( x ) waciwo x jest standardowa. Zbiór { x element E | P ( x )} to zbiór elementów standardowych. Jego ustandaryzowany jest standardowy zestaw zawierajcy wszystkie standardowe elementy . Widzielimy ju, e chodzio o niego samego.

Rozwamy teraz E = i P ( x ) waciwo x jest niestandardowa. Zbiór { x element E | P ( x )} to zbiór niestandardowych elementów. Jego standaryzowany jest zestaw pusty.

Liczby w niestandardowej analizie

Liczby cakowite

Przypomnijmy, e za wewntrzne lub klasyczne uznajemy waciwoci lub zbiory nie uywajce sowa   standard  . Tym sowem nazywamy waciwoci zewntrzne lub nieklasyczne. Wszystkie znane klasyczne waciwoci pozostaj wane w analizie niestandardowej. Spenia zatem aksjomat indukcji, pod warunkiem, e aksjomat ten stosuje si do wasnoci klasycznej.

Z drugiej strony, poniewa predykat standardowy jest nieklasyczny, aksjomat rekurencji nie ma do niego zastosowania. Tak wic 0 jest standardem; jeli n jest standardem, n + 1 te. Istniej jednak niestandardowe liczby cakowite wiksze ni wszystkie standardowe liczby cakowite. Takie niestandardowe liczby cakowite nazywane s nieskoczenie duymi.

Kada standardowa liczba cakowita jest mniejsza ni niestandardowa liczba cakowita. Jeli n jest niestandardowe, to samo dotyczy elementów wikszych ni n i n - 1. Moemy zobaczy, co nastpuje:

0 1 2 3. . . . . . . . . n -1 n n +1. . .
standardowe liczby cakowite, po których nastpuj niestandardowe liczby cakowite

Nie moemy mówi o najmniejszej niestandardowej liczbie cakowitej ani o najwikszej standardowej liczbie cakowitej, poniewa wasnoci te nie s klasyczne, nie definiuj nawet zbiorów, które w zwizku z tym nie maj i nie bez powodu zwykych cech podzbiory .

Jeli jednak P jest jakkolwiek waciwoci, pokazujemy, e spenia nastpujca zasada indukcji ograniczonej:

jeli P (0) jest prawdziwe, a jeli dla wszystkich n standardów, P ( n ) implikuje P ( n +1), to dla wszystkich n standardów zachodzi P ( n ).

Prawdziwi

Pokazujemy, e moemy podzieli zbiór liczb rzeczywistych na:

  • nieskoczenie mae lub nieskoczenie mae, gorsze w wartoci bezwzgldnej od jakiejkolwiek cile dodatniej standardowej rzeczywistoci rzeczywistej. Inne ni 0 s niestandardowe. x - y nieskoczenie jest oznaczona x y . Mówimy, e x i y s nieskoczenie bliskie.
  • nieograniczony, wyszy w wartoci bezwzgldnej w stosunku do dowolnego standardu rzeczywistego (lub liczb cakowitych). S niestandardowe. Ich odwrotnoci s nieskoczenie mae.
  • te znaczce.

Dostrzegalne i nieskoczenie mae stanowi ograniczone rzeczywistoci.

Na przykad: 0.000 ... 01 jest nieskoczenie mae, jeli liczba 0 jest nieskoczenie du liczb cakowit. Ta liczba jest wtedy nieskoczenie bliska 0.

Jeli n jest nieskoczenie du liczb cakowit, to 1 / n jest nieskoczenie mae.

Pokazujemy równie, e dla kadej ograniczonej rzeczywistej x istnieje unikalna standardowa rzeczywista ° x taka, e rónica x - ° x jest nieskoczenie maa . ° x nazywana jest standardow czci (lub cieniem) x , której x jest równe .

Na przykad 0.3333 ..... 333 (gdzie liczba 3 jest nieskoczenie du liczb cakowit) to ograniczona liczba rzeczywista, a nawet niestandardowa liczba dziesitna , której standardowa cz to 1/3.

Kada ograniczona rzeczywisto jest jednoznacznie rozkadana na standardow + nieskoczenie ma form.

Rzeczywistoci nieskoczenie bliskie danej rzeczywistoci stanowi aureol tej rzeczywistoci.

Apartamenty w niestandardowych analizach

Podamy nieklasyczne waciwoci apartamentów, które w przypadku standardowych apartamentów bd pokrywa si ze zwykymi waciwociami.

Zbieno cigu

W przypadku standardowego pakietu równowane s:

  1. sekwencja zbiega si do l
  2. l jest standardem i dla kadego nieskoczenie duego n , l

Rzeczywicie, jeli jest standardowe i zbiega si do l , jego granica jest standardowa (przez przeniesienie) i spenia:

dla wszystkich > 0 istnieje N takie, e dla wszystkich n > N, | - l | <

Przelewem mamy wtedy:

dla wszystkich standardów > 0 istnieje standard N taki, e dla wszystkich n > N, | - l | <

Jeli wemiemy n nieskoczenie due, to n jest wiksze od N, wic | - l | <, a ta nierówno jest weryfikowana dla dowolnego standardu , mamy l

Odwrotnie, jeli dla dowolnego nieskoczenie duego n , l ze standardem l , wtedy:

dla wszystkich standardowych > 0 istnieje N takie, e dla wszystkich n > N, | - l | <

W rzeczywistoci wystarczy przyj N nieskoczenie due.

oraz przelewem:

dla wszystkich > 0 istnieje N takie, e dla wszystkich n > N, | - l | <

co jest definicj konwergencji.

Przypomina si, e podana równowano jest wana tylko dla sekwencji standardowych. Jeli rzeczywicie zdefiniujemy z nieskoczenie mae, to 0 dla wszystkich n, a jednak cig nie jest zbieny (wystarczy przyj = ). W rzeczywistoci aksjomat przeniesienia nie ma zastosowania, poniewa formua dla wszystkich n > N, | - l | < obejmuje elementy, które nie s standardowe.

Zbieno podcigu

W przypadku standardowego pakietu równowane s:

  1. istnieje podcig, którego zbiega si do l  ;
  2. l jest standardem i istnieje nieograniczona liczba n taka, e l .

Rzeczywicie, jeli l jest granic podcigu , to l jest standardem przez przeniesienie, i dla wszystkich > 0 istnieje nieskoczono n taka, e | - l | <. Ta wasno jest zatem prawdziwa dla nieskoczenie maych, a poniewa jest weryfikowana przez nieskoczono n i istnieje tylko skoczona liczba standardowych liczb cakowitych, istnieje zatem n nieskoczenie due takie, e | - l | <. Ale poniewa jest nieskoczenie mae, oznacza to, e l .

I odwrotnie, jeli istnieje nieskoczone n takie, e l , to:

dla dowolnego standardu > 0, dla dowolnego standardu N istnieje n> N, | - l | <

oraz przelewem:

dla wszystkich > 0, dla wszystkich N istnieje n> N, | - l | <

co wyraa, e l jest wartoci przylegania cigu iw tym przypadku istnieje podcig, który jest zbieny.

Wyprowadzamy z tego twierdzenie Bolzano-Weierstrassa , które wyraa, e z dowolnego ograniczonego cigu rzeczywistego moemy wyodrbni zbieny podcig. Przez przeniesienie wystarczy pokaza to twierdzenie na standardowych cigach. Niech zatem bdzie ograniczony cigiem standardowym. Wszystkie jej terminy s ograniczone, poniewa poprzez przeniesienie moemy przyj wyszy i niszy standard. Nastpnie przyjmuje n nieograniczon l = ° standardow cz . Nastpnie stosujemy pokazan wczeniej równowano, przy czym waciwo 2 jest weryfikowana.

Apartament Cauchy

W przypadku standardowego pakietu równowane s:

  1. jest kontynuacj Cauchy
  2. dla wszystkich nieograniczonych n i p ,

Demonstracja jest zgodna z podejciem porównywalnym do tych z poprzednich paragrafów.

Pokamy, e w , kada sekwencja Cauchy'ego jest zbiena. Transferem wystarczy pokaza t nieruchomo w standardowych apartamentach. Albo taka sekwencja. Jest ograniczona: w rzeczywistoci istnieje tylko skoczona liczba standardowych liczb cakowitych, a wszystkie z nieograniczonym n znajduj si w tej samej aureoli jednej z nich. W przypadku transferu terminal mona wybra jako standard. Wszystkie ponisze warunki s zatem ograniczone. Nastpnie wykonuje si z = ° standardow czci z p nieograniczona. Wtedy, dla dowolnego nieograniczonego n , l , wic cig jest zbieny do l .

Funkcje w analizie niestandardowej

Cigo

Cigo funkcji definiuje si prociej za pomoc niestandardowej analizy. W przypadku funkcji standardowej istnieje równowano midzy

  1. jest cigy
  2. dla wszystkich nieskoczenie maych i dla wszystkich standardowych, jest nieskoczenie blisko .

Twierdzenie o wartoci poredniej jest pokazane w nastpujcy sposób. Niech f bdzie cige na odcinku [ a , b ] z f ( a ) < 0 i f ( b ) > 0. Wtedy istnieje c midzy a i b takie, e f ( c ) = 0. Rzeczywicie, przez przeniesienie wystarczy pokaza to twierdzenie dla standardowych f , a i b . Niech N bdzie nieograniczon liczb cakowit i dla k pomidzy 0 a N. Jeli K jest pierwszym k, dla którego przyjmiemy dla c cz standardow . W rzeczywistoci mamy c nieskoczenie blisko i do , tak e f ( c ) bdzie nieskoczenie blisko dodatniej lub zerowej rzeczywistej i nieskoczenie blisko ujemnej rzeczywistej . Bdc standardowym, f ( c ) wynosi zero.

W podobny sposób pokazujemy, e f dopuszcza maksimum i minimum.

Jednolita cigo

W przypadku funkcji standardowej istnieje równowano midzy

  1. jest jednostajnie ciga
  2. za wszystko nieskoczenie maym i do wszystkiego , jest nieskoczenie blisko .

Na przykad funkcja, która czy x z x 2 jest ciga, poniewa jeli x jest standardowe, a y nieskoczenie mae, mamy:

( x + y ) 2 = x 2 + 2 xy + y 2 x 2 poniewa x jest ograniczone, xy jest nieskoczenie mae, podobnie jak y 2

Z drugiej strony ta funkcja nie jest jednostajnie ciga, poniewa jeli x jest nieskoczenie due i jeli y = 1 / x , to ( x + y ) 2 = x 2 + 2 + y 2, co nie jest nieskoczenie bliskie x 2 .

Na odcinku [ a , b ] kada funkcja ciga f jest jednostajnie ciga. Poprzez przeniesienie wystarczy pokaza t waciwo dla standardu f , a i b . Wszystkie elementy segmentu s wtedy ograniczone, dlatego wszystkie dopuszczaj cz znormalizowan. Jeli x jest elementem [ a , b ], ° x jego czci standardow, a y nieskoczenie maym, to mamy:

f ( x + y ) = f (° x + z ) z z = y + x - ° x nieskoczenie mae
zatem f ( x + y ) fx ) f ( x ) przez cigo f w ° x

Pochodzenie

Dla standardowej funkcji zdefiniowanej na standardowym przedziale , a dla standardu x 0 istnieje równowano midzy:

  1. f jest róniczkowalna w x 0 od pochodnej l
  2. dla wszystkich x nieskoczenie blisko x 0 , l , ze standardem l .

Integracja

Dla standardowej funkcji f na [ a , b ] = I standard, istnieje równowano midzy

  1. f cakowalna w sensie Riemanna
  2. dla kadego podpodziau [ a , b ] a = x 0 < x 1 <... < x n = b z x i x i +1 , istniej dwie funkcje schodów i odnoszce si do podpodziau tak, e , dla wszystkie x z I, ( x ) f ( x ) ( x ) i 0. Nastpnie ustalamy cz standardow lub .

Róne pojcia

Poniej podajemy przykady odpowiedników w niestandardowej analizie poj analizy klasycznej, gdy s one stosowane do standardowych obiektów. Maj one na celu pokazanie zakresu obszarów do zbadania.

  • Prosta zbieno do f cigu ( f n ) funkcji: dla dowolnego nieskoczenie duego n i dowolnego standardowego x , f n ( x ) f ( x ).
  • Jednostajna zbieno w kierunku f cigu ( f n ) funkcji: dla wszystkich n nieskoczenie duych i wszystkich x , f n ( x ) f ( x ).
  • Zwarto przestrzeni K: dowolny punkt K jest prawie standardowy (punkt jest prawie standardowy, jeli jest nieskoczenie blisko punktu standardowego)
  • Kompletno przestrzeni E: dowolny punkt quasi-standardowy jest prawie standardowy (punkt x jest quasi-standardowy, jeli dla dowolnego standardowego r, x znajduje si w odlegoci mniejszej ni r od punktu standardowego)

Uwagi i referencje

Uwagi

  1. Zobacz artyku André Pétry Spacer w niestandardowej analizie ladami A. Robinsona [PDF] .
  2. Ta metoda wykorzystuje aksjomat ultrafiltra , sab wersj aksjomatu wyboru
  3. Który jest czsto oceniany jako wygodniejszy do wykorzystania w nauczaniu: jest to na przykad punkt widzenia przyjty przez F. Dienera i G. Reeba w cytowanej pracy.
  4. Zobacz na ten temat ostatni rozdzia ksiki F. Dienera i G. Reeba cytowany w odnoniku, a take artyku Francine Diener, Ducks , podajcy przykad zastosowania analizy niestandardowej do badania Równania róniczkowe.

Odniesienie

F. Diener, G. Reeb , Analiza niestandardowa , Hermann, 1989 ( ISBN  9782705661090 )

Zobacz równie

Powizane artykuy

Bibliografia

Linki zewntrzne

Mamy nadzieję, że informacje, które zgromadziliśmy na temat Analiza niestandardowa, były dla Ciebie przydatne. Jeśli tak, nie zapomnij polecić nas swoim przyjaciołom i rodzinie oraz pamiętaj, że zawsze możesz się z nami skontaktować, jeśli będziesz nas potrzebować. Jeśli mimo naszych starań uznasz, że informacje podane na temat _title nie są całkowicie poprawne lub że powinniśmy coś dodać lub poprawić, będziemy wdzięczni za poinformowanie nas o tym. Dostarczanie najlepszych i najbardziej wyczerpujących informacji na temat Analiza niestandardowa i każdego innego tematu jest istotą tej strony internetowej; kierujemy się tym samym duchem, który inspirował twórców Encyclopedia Project, i z tego powodu mamy nadzieję, że to, co znalazłeś o Analiza niestandardowa na tej stronie pomogło Ci poszerzyć swoją wiedzę.

Opiniones de nuestros usuarios

Lukas Cieślak

Wspaniałe odkrycie tego artykułu na Analiza niestandardowa i całej stronie. Przechodzi prosto do ulubionych.

Martyna Baranowski

Ładny artykuł z _zmienna.

Mark Lewandowski

Artykuł o Analiza niestandardowa jest kompletny i dobrze wyjaśniony. Nie dodawałbym ani nie usuwał przecinka.

Katarzyna Bartczak

Wreszcie artykuł o Analiza niestandardowa, który jest łatwy do przeczytania.

Gabriel Kopeć

Mój tata rzucił mi wyzwanie, abym odrobił pracę domową bez używania czegokolwiek z Wikipedii. Powiedziałem mu, że mogę to zrobić, przeszukując wiele innych witryn. Na szczęście znalazłem tę witrynę, a ten artykuł o zmiennej Analiza niestandardowa pomógł mi odrobić pracę domową. wpadłem w pokusę pójścia na Wikipedię, bo nie mogłem znaleźć nic o zmiennej _, ale na szczęście znalazłem ją tutaj, bo wtedy mój tata sprawdził historię przeglądania, żeby zobaczyć, gdzie był. przejdź do Wikipedii? Mam szczęście, że znalazłem tę stronę i artykuł o Analiza niestandardowa tutaj. Dlatego daję ci moje pięć gwiazdek.