Analiza funkcjonalna (matematyka)
Informacje, które udało nam się zgromadzić na temat Analiza funkcjonalna (matematyka), zostały starannie sprawdzone i uporządkowane, aby były jak najbardziej przydatne. Prawdopodobnie trafiłeś tutaj, aby dowiedzieć się więcej na temat Analiza funkcjonalna (matematyka). W Internecie łatwo zgubić się w gąszczu stron, które mówią o Analiza funkcjonalna (matematyka), a jednocześnie nie podają tego, co chcemy wiedzieć o Analiza funkcjonalna (matematyka). Mamy nadzieję, że dasz nam znać w komentarzach, czy podoba Ci się to, co przeczytałeś o Analiza funkcjonalna (matematyka) poniżej. Jeśli informacje o Analiza funkcjonalna (matematyka), które podajemy, nie są tym, czego szukałeś, daj nam znać, abyśmy mogli codziennie ulepszać tę stronę.
.
Analiza funkcjonalna jest ga matematyki , a zwaszcza z analiz , które bada przestrzeni funkcyjnych . Ma swoje historyczne korzenie w badaniu transformacji, takich jak transformacja Fouriera, oraz w badaniu równa róniczkowych lub cakowo-róniczkowych .
Termin funkcjonalny bierze swój pocztek w kontekcie rachunku wariacyjnego , na oznaczenie funkcji, których argumentami s funkcje. Jego uycie zostao uogólnione na nowe dziedziny przez woskiego matematyka i fizyka Vito Volterr . Polski matematyk Stefan Banach jest czsto uwaany za twórc nowoczesnej analizy funkcjonalnej.
Przestrzenie analizy funkcjonalnej
Podstawowymi przestrzeniami analizy funkcjonalnej s w peni znormalizowane przestrzenie wektorowe nad ciaem liczb rzeczywistych lub liczb zespolonych . Takie przestrzenie nazywane s przestrzeniami Banacha . Przestrzenie Hilberta s wanym przypadkiem specjalnym, w którym norma jest wyprowadzana z iloczynu skalarnego . Te ostatnie odgrywaj na przykad wan rol w matematycznym sformuowaniu mechaniki kwantowej . Analiza funkcjonalna moe by równie przeprowadzona w bardziej ogólnych ramach , takich jak topologiczne przestrzenie wektorowe , takie jak przestrzenie Frécheta .
Wanymi przedmiotami bada w analizie funkcjonalnej s cige operatory liniowe zdefiniowane w przestrzeniach Banacha i Hilberta . To naturalnie prowadzi do definicji C * -algebr .
Przestrzenie Hilberta moe by cakowicie sklasyfikowane: istnieje unikalna przestrze Hilberta a do izomorfizmu dla kadego kardynaa na podstawie Hilberta . Skoczone wymiarowe przestrzenie Hilberta s w peni znane w algebrze liniowej , a rozdzielne przestrzenie Hilberta s izomorficzne z przestrzeni cigów 2 . Oddzielno jest wana dla zastosowa, analiza funkcjonalna przestrzeni Hilberta zajmuje si gównie t przestrzeni i jej morfizmami. Jednym z otwartych problemów analizy funkcjonalnej jest udowodnienie, e kady operator ograniczony do rozdzielnej przestrzeni Hilberta ma zamknit, nietrywialn stabiln podprzestrze. Ten problem niezmiennej podprzestrzeni (en) zosta ju rozwizany w wielu specjalnych przypadkach.
Przestrzenie Banacha s znacznie trudniejsze do zbadania ni przestrzenie Hilberta. Na przykad nie ma jednej definicji tego, co mogoby stanowi podstaw.
Dla dowolnej liczby rzeczywistej p 1, przykadem przestrzeni Banacha jest zbiór wszystkich mierzalnych funkcji w rozumieniu Lebesgue'a, którego potga p -ta wartoci bezwzgldnej ma cak skoczon (patrz przestrzenie L p ).
W przestrzeniach Banacha wikszo bada dotyczy dualnoci topologicznej : przestrzeni wszystkich cigych form liniowych . Podobnie jak w algebrze liniowej, bidual (podwójny do dualnoci) nie zawsze jest izomorficzny z pierwotn przestrzeni, ale zawsze wystpuje naturalny iniekcyjny morfizm przestrzeni w jej byku.
Pojcie pochodnej zostaje rozszerzone na dowolne funkcje midzy przestrzeniami Banacha poprzez pojcie róniczki ; Róniczka Frécheta funkcji w pewnym punkcie jest, jeli istnieje, pewn cig map liniow.
Kilka wanych wyników analizy funkcjonalnej
- Zasada jednolitego zwizane jest to wynik na zestawach ograniczonych operatorów.
- Twierdzenie spektralne daje integraln formu dla normalnych operatorów na przestrzeni Hilberta. Ma kluczowe znaczenie w matematycznym sformuowaniu mechaniki kwantowej .
- Twierdzenie Hahna-Banacha pozwala na rozcignicie form liniowych zdefiniowanych w podprzestrzeni na ca przestrze, przy zachowaniu normy.
Jednym z triumfów analizy funkcjonalnej byo wykazanie, e atom wodoru jest stabilny.
Zobacz te
Bibliografia
- Michel Willem, Elementary Functional Analysis , Cassini, 2003
- Haïm Brézis, Analiza funkcjonalna - teoria i zastosowania , Dunod, 2005.
- Daniel Li, Kurs analizy funkcjonalnej z 200 poprawionymi wiczeniami , elipsy, 2013.
Powizane artykuy
Mamy nadzieję, że informacje, które zgromadziliśmy na temat Analiza funkcjonalna (matematyka), były dla Ciebie przydatne. Jeśli tak, nie zapomnij polecić nas swoim przyjaciołom i rodzinie oraz pamiętaj, że zawsze możesz się z nami skontaktować, jeśli będziesz nas potrzebować. Jeśli mimo naszych starań uznasz, że informacje podane na temat _title nie są całkowicie poprawne lub że powinniśmy coś dodać lub poprawić, będziemy wdzięczni za poinformowanie nas o tym. Dostarczanie najlepszych i najbardziej wyczerpujących informacji na temat Analiza funkcjonalna (matematyka) i każdego innego tematu jest istotą tej strony internetowej; kierujemy się tym samym duchem, który inspirował twórców Encyclopedia Project, i z tego powodu mamy nadzieję, że to, co znalazłeś o Analiza funkcjonalna (matematyka) na tej stronie pomogło Ci poszerzyć swoją wiedzę.