Analiza czynnikowa mieszanych danych

Termin mieszany odnosi si do jednoczesnej obecnoci, jako aktywnych elementów, zmiennych ilociowych i jakociowych. W uproszczeniu moemy powiedzie, e AFDM dziaa jak analiza gównych skadowych (PCA) dla zmiennych ilociowych i jak analiza wielokrotnej korespondencji (MCA) dla zmiennych jakociowych.

Domena aplikacji

Gdy oba typy zmiennych s dostpne, ale aktywne zmienne s jednorodne, stosuje si PCA lub MCA.

Rzeczywicie, atwo jest wprowadzi dodatkowe zmienne ilociowe w ACM; w tym celu oblicza si wspóczynniki korelacji midzy zmiennymi a czynnikami na osobnikach (czynnik na osobach jest wektorem wspórzdnych osobników na osi silni); uzyskana reprezentacja jest koem korelacji (jak w PCA).

Podobnie atwo jest wprowadzi dodatkowe zmienne jakociowe w PCA. W tym celu reprezentujemy kad modalno za pomoc rodka cikoci osób, które j posiadaj (jak w ACM).

Obecno dodatkowych zmiennych innego typu ni zmienne aktywne nie stwarza adnego szczególnego problemu.

Gdy zmienne aktywne s mieszane, doskonaa praktyka polega na dyskretyzacji zmiennych ilociowych (tradycyjnie w badaniach wiek przeksztaca si w przynaleno do grupy wiekowej). Dostpne s wówczas jednorodne dane, które mog by przetwarzane przez ACM.

Ta praktyka osiga swoje granice:

• gdy jest niewiele osób (mniej ni sto do uregulowania pomysów), w którym to przypadku MCA jest niestabilna;
• gdy jest niewiele zmiennych jakociowych w porównaniu ze zmiennymi ilociowymi (mona waha si przed dyskretyzacj dwudziestu zmiennych ilociowych, aby móc uwzgldni jedn zmienn jakociow).

Kryterium

Dane obejmuj zmienne ilociowe i jakociowe . ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ {k = 1, K \}}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle \ {q = 1, Q \}}$

Niech bdzie zmienn ilociow . Zauwaamy : ${\ displaystyle z}$

• ${\ displaystyle r (z, k)}$wspóczynnik korelacji midzy zmiennymi a  ;${\ displaystyle k}$${\ displaystyle z}$
• ${\ Displaystyle \ eta ^ {2} (z, q)}$kwadrat wspóczynnika korelacji midzy zmiennymi a .${\ displaystyle z}$${\ displaystyle q}$

W PCA programu szukamy funkcji on (funkcja on przypisuje warto kadej osobie; tak jest w przypadku zmiennych pocztkowych i gównych skadowych) najbardziej skorelowanej ze zbiorem zmiennych w nastpujcym kierunku:${\ displaystyle K}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle K}$

${\displaystyle \sum _{k}r^{2}(z,k)}$  maximum.

W ACM programu szukamy funkcji najbardziej zwizanej ze zbiorem zmiennych w nastpujcym sensie:${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle Q}$

${\displaystyle \sum _{q}\eta ^{2}(z,q)}$ maximum.

W AFDM programu szukamy funkcji najbardziej zwizanej ze zbiorem zmiennych w nastpujcym sensie:${\ displaystyle \ {K, Q \}}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle K + Q}$

${\displaystyle \sum _{k}r^{2}(z,k)+\sum _{q}\eta ^{2}(z,q)}$ maximum.

Ta funkcja sprawia, e oba typy zmiennych odgrywaj t sam rol. Udzia kadej zmiennej w tym kryterium jest ograniczony przez 1.

Reprezentacje graficzne

Reprezentacja osób odbywa si bezporednio na podstawie czynników . ${\ displaystyle I}$

Reprezentacja zmiennych ilociowych jest konstruowana jak w PCA (koo korelacji).

Reprezentacja modalnoci zmiennych jakociowych jest przeprowadzana tak, jak w ACM: modalno znajduje si w rodku barycenter osób, które j posiadaj. Zauwa, e bierzemy dokadny rodek cikoci, a nie, jak zwykle w ACM, rodek cikoci do wspóczynnika w pobliu osi po osi (ten wspóczynnik, równy w ACM odwrotnoci pierwiastka kwadratowego z wartoci wasnej, nie byby odpowiedni w AFDM) .

Reprezentacja zmiennych jakociowych to   kwadrat powiza  : wspórzdna zmiennej na osi rangi jest równa kwadratowi stosunku korelacji midzy zmienn a wspóczynnikiem rangi . Cao uzupenia przedstawienie zmiennych ilociowych poprzez kwadrat ich wspóczynnika korelacji z czynnikami. ${\ displaystyle j}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle s}$

Pomoce w tumaczeniu

Wskaniki powiza midzy zmiennymi pocztkowymi zebrane s w macierzy zwanej   macierz powiza  , która zawiera na przeciciu wiersza i kolumny  : ${\ displaystyle l}$${\ displaystyle c}$

• jeli i s ilociowe, kwadrat wspóczynnika korelacji midzy a  ;${\ displaystyle l}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle c}$
• jeli jest ilociowy i ilociowy, kwadrat wspóczynnika korelacji midzy a  ;${\ displaystyle l}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle c}$
• jeli i s jakociowe, wskanik wprowadza i .${\ displaystyle l}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle \ phi ^ {2}}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle c}$

Przykad testowy

Niewielki zbiór danych (tabela 1) pokazuje dziaanie i wyjcia AFDM. Sze osób jest opisanych za pomoc trzech zmiennych ilociowych i trzech zmiennych jakociowych. Dane przeanalizowano za pomoc funkcji FAMD pakietu R FactoMineR.

Tabela 1. Dane (przykad testowy). ${\ displaystyle k_ {1}}$ ${\ displaystyle k_ {2}}$ ${\ displaystyle k_ {3}}$ ${\ displaystyle q_ {1}}$ ${\ displaystyle q_ {2}}$ ${\ displaystyle q_ {3}}$ ${\ displaystyle i_ {1}}$ 2 4.5 4 ${\ displaystyle q_ {1}}$-W ${\ displaystyle q_ {2}}$-B ${\ displaystyle q_ {3}}$-VS ${\ displaystyle i_ {2}}$ 5 4.5 4 ${\ displaystyle q_ {1}}$-VS ${\ displaystyle q_ {2}}$-B ${\ displaystyle q_ {3}}$-VS ${\ displaystyle i_ {3}}$ 3 1 2 ${\ displaystyle q_ {1}}$-B ${\ displaystyle q_ {2}}$-B ${\ displaystyle q_ {3}}$-B ${\ displaystyle i_ {4}}$ 4 1 2 ${\ displaystyle q_ {1}}$-B ${\ displaystyle q_ {2}}$-B ${\ displaystyle q_ {3}}$-B ${\ displaystyle i_ {5}}$ 1 1 1 ${\ displaystyle q_ {1}}$-W ${\ displaystyle q_ {2}}$-W ${\ displaystyle q_ {3}}$-W ${\ displaystyle i_ {6}}$ 6 1 2 ${\ displaystyle q_ {1}}$-VS ${\ displaystyle q_ {2}}$-W ${\ displaystyle q_ {3}}$-W

Tabela 2. Przykad testu. Macierz pocze. ${\ displaystyle k_ {1}}$ ${\ displaystyle k_ {2}}$ ${\ displaystyle k_ {3}}$ ${\ displaystyle q_ {1}}$ ${\ displaystyle q_ {2}}$ ${\ displaystyle q_ {3}}$ ${\ displaystyle k_ {1}}$ 1 0,00 0,05 0.91 0,00 0,00 ${\ displaystyle k_ {2}}$ 0,00 1 0,90 0,25 0,25 1,00 ${\ displaystyle k_ {3}}$ 0,05 0,90 1 0.13 0,40 0.93 ${\ displaystyle q_ {1}}$ 0.91 0,25 0.13 2 0,25 1,00 ${\ displaystyle q_ {2}}$ 0,00 0,25 0,40 0,25 1 1,00 ${\ displaystyle q_ {3}}$ 0,00 1,00 0.93 1,00 1,00 2

Wskanik jest równy (zmienne ilociowe), (zmienne jakociowe) lub (jedna zmienna kadego typu). ${\ displaystyle R ^ {2}}$${\ displaystyle \ phi ^ {2}}$${\ displaystyle \ eta ^ {2}}$

Macierz powiza wskazuje na spltanie powiza midzy zmiennymi obu typów. Reprezentacja jednostek (rysunek 1) wyranie pokazuje trzy grupy osób. Pierwsza o przeciwstawia osoby 1 i 2 wszystkim pozostaym. Druga o przeciwstawia osobniki 3 i 4 osobnikom 5 i 6.

Ryc.1. AFDM. Przykadowy test. Reprezentacja osób.	Rysunek 2. AFDM. Przykadowy test. Plac pocze.
Rysunek 3. AFDM. Przykadowy test. Koo korelacji.	Rysunek 4. AFDM. Przykadowy test. Reprezentacja modalnoci zmiennych jakociowych.

Przedstawienie zmiennych (kwadrat linków, rysunek 2) pokazuje, e pierwsza o ( ) jest cile zwizana ze zmiennymi , i . Okrg korelacji (rysunek 3) okrela kierunek poczenia midzy , a  ; przedstawienie modalnoci (rysunek 4) okrela charakter powizania midzy a . Wreszcie, jednostki 1 i 2, indywidualne przez pierwsz o, charakteryzuj si silnym wartoci , jak równie przez modalnoci z . Ten przykad ilustruje, jak AFDM jednoczenie analizuje zmienne ilociowe. W zwizku z tym w tym przykadzie podkrela pierwszy wymiar oparty na dwóch typach zmiennych. ${\ displaystyle F1}$${\ displaystyle k_ {2}}$${\ displaystyle k_ {3}}$${\ displaystyle q_ {3}}$${\ displaystyle F1}$${\ displaystyle k_ {2}}$${\ displaystyle k_ {3}}$${\ displaystyle F1}$${\ displaystyle q_ {3}}$${\ displaystyle k_ {2}}$${\ displaystyle k_ {3}}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle q_ {3}}$

Historyczny

AFDM wywodzi si z prac Brigitte Escofier (1979) i Gilberta Saporty (1990). Ta praca zostaa podjta przez Jérôme Pagès w 2002 r., A nastpnie w 2013 r.

Uwagi i odniesienia

1. Husson, Lê & Pagès 2009 , s.  143
2. Escofier i Pagès 2008 , s.  27 i nastpne.
3. Strony 2002
4. Escofier i Pagès 2008 , s.  104 i nastpne.
5. Peny przykad omówiono w Pagès 2013 , s.  70 i nastpne.
6. Escofier 1979
7. Saporta 1990
8. Strony 2002
9. Strony 2013

Bibliografia

• Brigitte Escofier ,   Jednoczesne przetwarzanie zmiennych ilociowych i jakociowych w analizie czynnikowej  , Les cahiers de analysis des data , vol.  4, N ^O  21979, s.  137146 ( czytaj online [PDF] )

• Brigitte Escofier i Jérôme Pagès, Proste i wieloczynnikowe analizy: cele, metody i interpretacja , Pary, Dunod, Pary,2008, 318  str. ( ISBN  978-2-10-051932-3 )

• François Husson, Sébastien Lê i Jérôme Pagès, Data analysis with R , Presses Universitaires de Rennes ,2009, 224  s. ( ISBN  978-2-7535-0938-2 )

• Jérôme Pagès,   Factorial analysis of mixed data  , Revue de statistique zastosowana , t.  52, n ^o  4,2002, s.  93-111 ( czytaj online [PDF] )

• Jérôme Pagès, Multiple factorial analysis with R , Les Ulis, EDP sciences, Pary,2013, 253  pkt. ( ISBN  978-2-7598-0963-9 )

• Gilbert Saporta ,   Jednoczesna analiza danych jakociowych i ilociowych  , Atti della XXXV riunione scientifica; Societa Italiana di statystyka ,1990, s.  63-72 ( czytaj online [PDF] )

Link zewntrzny

• FactoMineR, biblioteka funkcji jzyka R do analizy danych