Amortyzacja fizyczna

W fizyce tumienie z systemu jest jego tumienie ruchów przez rozpraszanie energii, która je generuje. Mona to powiza na róne sposoby, aby przyspieszy.

Tarcie pomidzy dwoma staych odpowiada rozpraszania w postaci ciepa. Jest ona regulowana przez prawo Coulomba , zgodnie z któr sia tarcia nie zaley od prdkoci.

Gdy interfejs jest smarowany, energia mechaniczna jest nadal zamieniana na ciepo, ale sia tarcia staje si proporcjonalna do prdkoci zgodnie z prawem lepkoci . Mówimy wtedy o tumieniu lepkim, chocia ten liniowy efekt pojawia si równie w mniej lub bardziej odlegych zjawiskach. To jest wanie aspekt pytania, który zosta omówiony gównie w tym artykule.

Ciao stae, które oscyluje w pynie, jest poddawane takiemu tumieniu, gdy jego prdko jest wystarczajco maa, aby przepyw by laminarny . Przy wyszych prdkociach pojawia si wir lub burzliwy lad, który rozprasza energi w czysto mechaniczny sposób. Prowadzi to do siy oporu w przyblieniu proporcjonalnej do kwadratu prdkoci.

Wyjanienie

W kadym rzeczywistym ukadzie cz cakowitej energii jest rozpraszana, najczciej w postaci ciepa, które wytwarza si tumic.

W mechanice, to zaley od szybkoci z organizmu . W wielu przypadkach mona zaoy, e ukad jest liniowy, a tumienie jest wówczas proporcjonalne do prdkoci (patrz Ukad oscylacyjny z jednym stopniem swobody ).

W elektrycznoci tumienie odnosi si do efektu rezystancyjnego obwodu RLC.

Wspóczynnik tumienia c definiujemy przez:

{\ displaystyle \ mathbf {F} = -c \ mathbf {v}}

.

Przykad: Mass-Spring-Damper

Przeanalizujmy idealny ukad masa-spryna-amortyzator, ze sta mas m (w tym sensie, e nadwozie zachowuje t sam mas przez cae badanie), sta sztywnoci k i wspóczynnikiem tumienia c :

{\ Displaystyle \ mathbf {F_ {r}} = -k \ mathbf {x}}

{\ Displaystyle \ mathbf {F_ {a}} = -c {\ Frac {d \ mathbf {x}} {dt}}}

.

Msza jest wolnym ciaem. Zakadamy inercyjne odniesienie, dlatego pierwszy wektor jest równolegy do spryny i amortyzatora. Od zachowania pdu :

{\ Displaystyle \ mathbf {F_ {r}} + \ mathbf {F_ {a}} = m {\ Frac {d ^ {2} \ mathbf {x}} {dt ^ {2}}}}

{\ Displaystyle -kx-c {\ Frac {dx} {dt}} = m {\ Frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}}}

.

Równanie róniczkowe zwyczajne

Jest to zwyke równanie róniczkowe drugiego rzdu. Jest liniowa, jednorodna i ma stae wspóczynniki:

{\ Displaystyle m {\ Frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + c {\ Frac {dx} {dt}} + kx = 0}

.

Aby uproci równanie, definiujemy dwa parametry:

czstotliwo drga systemu ; ${\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ sqrt {\ frac {k} {m.}}}}$

i stawki amortyzacyjne : .

{\ displaystyle \ zeta = {\ frac {c} {2 {\ sqrt {km}}}}}

Zatem równanie róniczkowe staje si:

{\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + 2 \ zeta \ omega _ {0} {\ Frac {dx} {dt}} + \ omega _ {0} ^ {2} x = 0}

.

Rozwizujemy charakterystyczny wielomian : std: ${\ Displaystyle \ omega ^ {2} + 2 \ zeta \ omega _ {0} \ omega + \ omega _ {0} ^ {2} = 0}$

{\ Displaystyle \ omega = \ omega _ {0} (- \ zeta \ pm {\ sqrt {\ zeta ^ {2} -1}})}

.

Reim przejciowy systemu

Zachowanie systemu zaley od naturalnej pulsacji i wspóczynnika tumienia. W szczególnoci zaley to w duym stopniu od charakteru . ${\ displaystyle \ omega}$

Dieta pseudokresowa

Bo korzenie s zoone i sprzone. Rozwizaniem jest suma dwóch zespolonych wykadników: ${\ Displaystyle \ zeta <1}$ ${\ displaystyle \ omega}$

{\ Displaystyle x (t) = Ae ^ {\ omega _ {1} t} + Be ^ {\ omega _ {2} t}}

{\ Displaystyle x (t) = Ae ^ {- \ omega _ {0} (\ zeta -j {\ sqrt {1- \ zeta ^ {2}}}) t} + Be ^ {- \ omega _ {0 } (\ zeta + j {\ sqrt {1- \ zeta ^ {2}}}) t}}

.

Zadajc dostaje: . ${\ Displaystyle \ omega _ {d} = \ omega _ {0} {\ sqrt {1- \ zeta ^ {2}}}}$ ${\ Displaystyle x (t) = e ^ {- \ omega _ {0} \ zeta t} (Ae ^ {j \ omega _ {d} t} + Be ^ {- j \ omega _ {d} t}) }$

Moemy przepisa rozwizanie w postaci trygonometrycznej:

${\ Displaystyle x (t) = e ^ {- \ omega _ {0} \ zeta t} (A (cos (\ omega _ {d} t) + jsin (\ omega _ {d} t)) + B ( cos (\ omega _ {d} t) -jsin (\ omega _ {d} t)))}$

${\ Displaystyle x (t) = e ^ {- \ omega _ {0} \ zeta t} ((A + B) cos (\ omega _ {d} t) + j (AB) sin (\ omega _ {d } t))}$

${\ Displaystyle x (t) = e ^ {- \ omega _ {0} \ zeta t} (Ccos (\ omega _ {d} t) + Dsin (\ omega _ {d} t))}$

Wreszcie,

${\ Displaystyle x (t) = e ^ {- {\ Frac {t} {\ tau}}} [C \ cos (\ omega _ {d} t) + D \ sin (\ omega _ {d} t) ]}$ ,

gdzie jest sta czasow systemu i jest wasn pseudo-pulsacj systemu. ${\ displaystyle \ tau = {\ frac {2m} {c}}}$ ${\ Displaystyle \ omega _ {d} = \ omega _ {0} {\ sqrt {1- \ zeta ^ {2}}}}$

Zauwaamy, e jest zawsze cile nisza ni pulsacja naturalna.

W wikszoci przypadków stae A i B wyznacza si dziki warunkom pocztkowym oraz : ${\ displaystyle x_ {0}}$ ${\ displaystyle {\ kropka {x_ {0}}}}$

{\ Displaystyle {\ Frac {dx} {dt}} = e ^ {- {\ Frac {t} {\ tau}}} \ lewo (\ lewo [\ omega _ {d} D - {\ Frac {C} {\ tau}} \ right] \ cos (\ omega _ {d} t) - \ left [\ omega _ {d} C + {\ frac {D} {\ tau}} \ right] \ sin (\ omega _ {d} t) \ right)}

.

Rozwizujemy ukad równa liniowych:

{\ displaystyle {\ begin {przypadki} C = x_ {0} \\ D = {\ Frac {1} {\ omega _ {d}}} ({\ kropka {x_ {0}}} + {\ frac { x_ {0}} {\ tau}}) \ end {sprawy}}}

.

Otrzymujemy ogólne jednorodne rozwizanie:

{\ Displaystyle x (t) = e ^ {- {\ Frac {t} {\ tau}}} [x_ {0} \ cos (\ omega _ {d} t) + D \ sin (\ omega _ {d } t)]}

Krytyczna dieta aperiodyczna

W szczególnym przypadku , gdy pierwiastek jest rzeczywisty i podwójny. Rozwizanie jest iloczynem wielomianu rzdu 1 i rzeczywistego wykadnika: ${\ Displaystyle \ zeta = 1}$ ${\ displaystyle \ omega}$

{\ Displaystyle x (t) = (A + Bt) e ^ {- \ omega _ {0} t}}

.

W rzeczywistoci nie tumaczy ju pulsacji, ale sta czasow, wic zauwaamy ${\ displaystyle \ omega _ {0}}$ ${\ Displaystyle \ tau = {\ Frac {1} {\ omega _ {0}}} = {\ sqrt {\ Frac {m} {k}}}}$

{\ Displaystyle x (t) = (A + Bt) e ^ {- {\ Frac {t} {\ tau}}}}

.

W wikszoci przypadków stae A i B wyznacza si dziki warunkom pocztkowym oraz : ${\ displaystyle x_ {0}}$ ${\ displaystyle {\ kropka {x_ {0}}}}$

{\ Displaystyle {\ Frac {dx} {dt}} = \ lewo (B - {\ Frac {A} {\ tau}} - B {\ Frac {t} {\ tau}} \ prawej) e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}}}

.

Rozwizujemy ukad równa liniowych:

{\ displaystyle {\ begin {przypadki} A = x_ {0} \\ B = {\ kropka {x_ {0}}} + {\ frac {x_ {0}} {\ tau}} \ end {przypadki}} }

.

Otrzymujemy ogólne jednorodne rozwizanie:

{\ Displaystyle x (t) = (x_ {0} + Bt) e ^ {- {\ Frac {t} {\ tau}}}}

.

Krytyczna dieta jest czsto bardzo trudna do osignicia.

Dieta okresowa

W takim przypadku korzenie s prawdziwe i wyrane. Rozwizaniem jest suma dwóch rzeczywistych wykadników: ${\ displaystyle \ zeta> 1}$ ${\ displaystyle \ omega}$

{\ Displaystyle x (t) = Ae ^ {\ omega _ {1} t} + Be ^ {\ omega _ {2} t}}

.

Poniewa i s rzeczywiste, nie tumacz ju pulsacji, ale sta czasow, wic zauwaamy ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {2}}$

{\ Displaystyle \ tau _ {1} = {\ Frac {1} {\ omega _ {1}}} = {\ Frac {1} {\ omega _ {0} (\ zeta - {\ sqrt {\ zeta ^ {2} -1}})}}}

i

{\ Displaystyle \ tau _ {2} = {\ Frac {1} {\ omega _ {2}}} = {\ Frac {1} {\ omega _ {0} (\ zeta + {\ sqrt {\ zeta ^ {2} -1}})}}}

.

{\ Displaystyle x (t) = Ae ^ {- {\ Frac {t} {\ tau _ {1}}}} + Be ^ {- {\ Frac {t} {\ tau _ {2}}}}}

.

W wikszoci przypadków stae A i B wyznacza si dziki warunkom pocztkowym oraz : ${\ displaystyle x_ {0}}$ ${\ displaystyle {\ kropka {x_ {0}}}}$

{\ Displaystyle {\ Frac {dx} {dt}} = - {\ Frac {A} {\ tau _ {1}}} e ^ {- {\ Frac {t} {\ tau _ {1}}}} - {\ frac {B} {\ tau _ {2}}} e ^ {- {\ frac {t} {\ tau _ {2}}}}}

.

Rozwizujemy ukad równa liniowych:

{\ Displaystyle {\ begin {przypadki} A = {\ Frac {\ tau _ {1} \ tau _ {2}} {\ tau _ {1} - \ tau _ {2}}} ({\ kropka {x_ {0}}} + {\ frac {x_ {0}} {\ tau _ {2}}}) \\ B = {\ frac {\ tau _ {1} \ tau _ {2}} {\ tau _ {2} - \ tau _ {1}}} ({\ dot {x_ {0}}} + {\ frac {x_ {0}} {\ tau _ {1}}}) \ end {sprawy}}}

.

Leksykon

Gówny artyku: Stawka amortyzacji .

Wspóczynnik tumienia lub wspóczynnik strat , , materiau lepkosprystego ( liczba bezwymiarowa ). Zaley to od temperatury i czstotliwoci ekscytujcych wibracji. Mona go zmierzy za pomoc dynamicznej analizy mechanicznej (AMD lub DM (T) A).

Wspóczynnik tumienia: wyraony w kilogramach na sekund . Obserwujemy, e istnieje zestaw si zewntrznych wzgldem ciaa, które s proporcjonalne do prdkoci ciaa. Wspóczynnik tumienia suy do wyznaczenia zalenoci midzy tymi siami a prdkoci.

Staa sztywnoci: wyraona w niutonach na metr . Obserwujemy, e istnieje zestaw si zewntrznych wzgldem ciaa, które s proporcjonalne do przemieszczenia ciaa. Sta sztywnoci wskazuje si na zaleno midzy tymi siami a przemieszczeniem.

Staa czasowa: wyraenie w sekundach. Ogólnie rzecz biorc, zauwaamy moc ujemnego wykadnika obejmujcego tylko czas jako stosunek midzy nim a wspóczynnikiem, równie jednorodnym do czasu, który przyjmuje nazw staej czasowej. Przekada skal czasow na równowag modelowanego zjawiska.

Wasna pseudo-pulsacja: wyraona w radianach na sekund. Jest to pulsacja reimu pseudo-okresowego, zwizana z czstotliwoci zjawiska tumionego.

Zobacz te

Powizane artykuy

Tumione oscylacje

Obwód RLC

Oscylacja

Oscylator harmoniczny

Rezonans

Amortyzacja fizyczna

streszczenie

Wyjanienie

Przykad: Mass-Spring-Damper

Równanie róniczkowe zwyczajne

Reim przejciowy systemu

Dieta pseudokresowa

Krytyczna dieta aperiodyczna

Dieta okresowa

Leksykon

Zobacz te

Powizane artykuy

Opiniones de nuestros usuarios

Lucas Dudek

Przemyslaw Komorowski

Kamil Przybylski

Janina Grzyb

Enciclo

Wikious

Sapientia

Scientia

Boobota