Prawa Ficka

Prawa Ficka opisujące rozkład materii w środowisku binarnym. Zostały założone przez Adolfa Ficka w 1855 roku.

Odnosząc przepływ materii do gradientu stężenia, pierwsze prawo Ficka jest analogiczne do prawa Fouriera dla ciepła, a drugie (które zostało wyprowadzone z pierwszego) do równania ciepła wprowadzonego przez Josepha Fouriera w 1822 r. Ten typ prawa, zwany prawem dyfuzji w matematyce pojawia się w układach opisujących transport (masę, energię itp.), ilekroć możemy oddzielić mikroskopijne skale zjawiska opisanego równaniem kinetycznym, takim jak równanie Boltzmanna i skale makroskopowego ośrodka ciągłego .

Pierwsze prawo, początkowo empiryczne, zostało uzasadnione i uogólnione w przypadku ośrodka wieloskładnikowego pod nazwą równania Stefana-Maxwella po pracy Maxwella dla gazów w 1866 roku i Josefa Stefana dla cieczy w 1871 roku.

Pierwsze prawo Ficka

Forma ogólna

Prawo wyraża liniową zależność między przepływem materii a gradientem stężenia tej ostatniej:

{\ displaystyle \ mathbf {J} _ {j} = - \ rho {\ mathcal {D}} _ {ij} \ nabla c_ {j}}

${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {j}}$	masowe natężenie przepływu ( kg · m −2 s −1 ),
$\ rho$	gęstość ( kg m -3 ),
${\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {ij}}$	binarny współczynnik dyfuzji ( m 2 s −1 ),
$c_ {j}$	ułamek masowy (bez jednostek).

własność

Wielkości zawarte w równaniu są takie jak (symetria interakcji między cząstkami i i j) oraz (z definicji ułamka masowego). ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {ji} = {\ mathcal {D}} _ {ij}}$ ${\ displaystyle c_ {i} + c_ {j} = 1}$

Wychodzimy z tego, że dyfuzja nie przenosi globalnie masy, tylko inaczej ją rozprowadza:

{\ displaystyle \ mathbf {J} _ {i} + \ mathbf {J} _ {j} = 0}

Właściwość ta wynika w istocie z definicji prędkości płynu jako całkowitej prędkości (prędkość barycentryczna , ogólnie nazywana „prędkością”, bez kwalifikatora) globalnie transportującej masę oraz z szybkości dyfuzji transportującej jej składnik. Ci z szacunek dla barycenter.

Na solute

Możemy wyrazić to prawo w innej postaci dla ośrodka nieściśliwego, gdzie dzieląc przez masę molową ( kg mol −1 ) substancji rozpuszczonej: ${\ displaystyle \ nabla \ rho = 0}$ ${\ displaystyle M_ {j}}$

{\ displaystyle \ mathbf {j} _ {j} = - {\ mathcal {D}} _ {ij} \ nabla C_ {j}}

${\ displaystyle \ mathbf {j} _ {j} = {\ frac {\ mathbf {J} _ {j}} {M_ {j}}}}$ :	strumień molowy ( mol m −2 s −1 ),
${\ displaystyle C_ {j} = {\ frac {\ rho c_ {j}} {M_ {j}}}}$ :	stężenie molowe ( mol m -3 ).

Zwracamy na to uwagę ${\ displaystyle \ mathbf {j} _ {i} + \ mathbf {j} _ {j} \ neq 0}$

Drugie prawo Ficka

Możemy zdefiniować prawo zachowania dla rozległej zmiennej napędzanej z dużą prędkością i obejmującej okres produkcji masowej poprzez: $\ phi$ ${\ displaystyle \ mathbf {V}}$ $S$

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ phi} {\ częściowe t}} + \ nabla \ cdot (\ phi \ mathbf {V}) = S}

W naszym przypadku bierzemy , a , co daje w ogólnym przypadku: ${\ displaystyle \ phi = \ rho c_ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {V} = {\ Frac {\ mathbf {J} _ {i}} {\ rho c_ {i}}}}$ ${\ Displaystyle S = 0}$

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe t}} (\ rho c_ {i}) + \ nabla \ cdot \ mathbf {J} _ {i} = 0}

W przypadku cieczy lub bardziej ogólnie płynu nieściśliwego, przez podzielenie przez : $M$

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe C_ {i}} {\ częściowe t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {j} _ {i} = 0}

To prawo zachowania nazywa się równaniem dyfuzji lub drugim prawem Ficka . Jest to pod każdym względem analogiczne do równania ciepła . Mamy zatem do analizy całego teoretycznego i numerycznego arsenału związanego z tym.

Bibliografia

(de) Adolf Fick , „ Über Diffusion ” , Annalen der Physik und Chemie , vol. 94,1855, s. 59–86 ( czytaj online )
Joseph Fourier , Analityczna teoria ciepła ,1822[ szczegóły wydań ].
(w :) James Clerk Maxwell , „O dynamicznej teorii gazów”, The Scientific Papers of JC Maxwell , 1965, tom 2, str. 26–78 [1]
(De) Josef Stefan , „Über das Gleichgewicht und Bewegung, insbesondere die Diffusion von Gemischen”, Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften Wien , 2te Abteilung a, 1871, 63 , 63–124.

Powiązane artykuły