Pochodna

W matematyce The pochodną o funkcji zmiennej rzeczywistej środków wielkość zmiany wartości (wartość wyjściowa) funkcji w stosunku do małych zmian w jej argumentu (wartości wejściowe). Obliczenia pochodnych są podstawowym narzędziem rachunku różniczkowego . Na przykład pochodną pozycji poruszającego się obiektu względem czasu jest (chwilowa) prędkość obiektu.

Pochodną z funkcją jest funkcja, która z każdej liczby, która przyznaje szereg pochodnych, kojarzy się tę liczbę pochodnej. Pochodna w punkcie funkcji kilku zmiennych rzeczywistych lub z wartościami wektorowymi jest częściej nazywana różniczką funkcji w tym punkcie i nie jest tutaj omawiana.

Pochodną funkcji w zwykle oznacza się lub .

Używamy też specjalnych notacji, w szczególności w fizyce , aby wyznaczyć pochodną względem czasu, która jest zapisywana z kropką przewyższającą literę ( ), druga pochodna jest następnie zapisywana dzięki umlaucie przewyższającemu literę. Notacja ta nazywana jest „notacją Newtona  ”. W tym samym duchu zapisy pierwsze i drugie służą do oznaczenia pochodnej względem przestrzeni.

W analizie The liczba pochodzi z „punkt” ( rzeczywistego ) ze funkcji o wartościach rzeczywistych i zmiennych jest pochylenie na stycznej do wykresu z punkcie . To ukierunkowanie współczynnik dostosowania afinicznej z EN  ; liczba ta jest zatem zdefiniowana tylko wtedy, gdy ta styczna - lub to przybliżenie - istnieje. Pojęcie pochodnej jest podstawowym pojęciem w analizie umożliwiającej badanie zmian funkcji, konstruowanie stycznych do krzywej oraz rozwiązywanie problemów optymalizacyjnych.

W nauce, gdy wielkość jest funkcją czasu , pochodna tej wielkości daje chwilową prędkość zmiany tej wielkości, a pochodna pochodnej daje przyspieszenie . Na przykład, chwilowa prędkość poruszającego się obiektu jest wartością w tej chwili pochodnej jego położenia względem czasu, a jego przyspieszenie jest wartością w tej chwili pochodnej względem czasu, jego prędkości.

Uogólniamy pojęcie pochodnej, rozszerzając je na ciało zespolone, a następnie mówimy o pochodnej zespolonej . Dla funkcji kilku zmiennych rzeczywistych mówimy o pochodnej cząstkowej względem jednej z jej zmiennych.

Istnieje również czysto algebraiczna definicja pochodnej. Przykład znajdujemy w artykule wielomian formalny .

Historia

Jej powstanie wiąże się z sporem pomiędzy dwoma matematykami  : Isaakiem Newtonem i Gottfriedem Wilhelmem Leibnizem . Niemniej jednak u starszych matematyków znajdujemy początki tego typu obliczeń, w szczególności Pierre'a de Fermata i Isaaca Barrowa . Historia rachunku różniczkowego sięga nawet starożytności wraz z Archimedesem .

Pojęcie ilości pochodnej urodzony w XVII e  wieku w pismach Leibnizem Newton i tych, które to nazwy Fluxion i które określa się, jak „ostatecznego iloraz dwóch zwiększa zanikającą”. To Lagrange (koniec XVIII th  wieku), który jest notacja f ( x ) , zwykły dzisiaj, aby wyznaczyć pochodną f w x . Jemu też zawdzięczamy nazwę „pochodna” na określenie tego pojęcia matematycznego.

Podejście ze zbocza stycznej

Aby zbliżyć się do tego pojęcia graficznie, zacznijmy dając sobie na krzywej przedstawiciela ciągłej funkcji w układzie współrzędnych kartezjańskich , to znaczy przypisać z jednej linii ołówka, i bardzo „wygładzić”; powiemy tam, że powiązana funkcja jest różniczkowalna .

Jakikolwiek punkt wybierzemy na krzywej, można wtedy narysować coś, co nazywamy styczną , czyli prostą, która lokalnie podąża za kierunkiem tej krzywej. Jeśli narysujemy krzywą i jej styczną i zbliżymy się do niej odpowiednio przybliżając, coraz trudniej będzie odróżnić krzywą od jej stycznej. Jeśli krzywa „wznosi się” (to znaczy, jeśli powiązana funkcja rośnie), styczna również będzie rosnąca; odwrotnie, jeśli funkcja maleje, styczna będzie maleć.

Jeśli podajemy sobie odciętą, dla której funkcja jest różniczkowalna, liczbę wyprowadzoną z en nazywamy współczynnikiem kierującym stycznej do krzywej w punkcie odciętej . Wartość rzeczywista daje cenną informację o lokalnym zachowaniu funkcji  : jest algebraiczną miarą szybkości, z jaką funkcja zmienia się, gdy zmienia się jej zmienna.

Tak więc, jeśli liczba wyprowadzona z funkcji jest dodatnia w danym przedziale, funkcja ta wzrośnie w tym samym przedziale. I odwrotnie, jeśli jest ujemna, zmniejszy się. Gdy pochodna liczba wynosi zero w punkcie, krzywa dopuszcza styczną poziomą w tym punkcie (aby uzyskać więcej informacji, zobacz Funkcja monotoniczna # Monotonia i znak pochodnej ).

Formalna definicja

Pozwolić prawdziwa funkcja z prawdziwymi wartościami określonymi w każdej unii nietrywialnych odstępach (czyli nie opróżnić i nie redukuje się do punktu), a należące do wnętrza zestawu definicji .

Dla wszystkich takich, które , nazywamy tempo wzrostu w i krokiem ilości:

Jest to współczynnik kierunkowy linii łączącej punkty współrzędnych i .

Jeśli dopuszcza skończoną granicę, która dąży do 0, mówimy, że jest różniczkowalna w , w którym to przypadku liczba wyprowadzona z in jest równa granicy tej stopy wzrostu. Następnie zauważamy:

lub równoważnie:

Funkcja, dla której tempo wzrostu w punkcie dopuszcza skończoną granicę (którą jest liczbą pochodną), mówi się, że jest w tym punkcie różniczkowalna .

Graficzne obliczenie granic sprowadza się do znalezienia nachylenia stycznej do krzywej w tym punkcie. Zatem liczba wyprowadzona z funkcji w punkcie, jeśli istnieje, jest równa nachyleniu stycznej do krzywej reprezentującej funkcję w tym punkcie:

Wyprowadzenie można również zdefiniować dla funkcji zmiennej rzeczywistej o wartościach w zestawach innych niż .

Na przykład funkcja zmiennej rzeczywistej o wartościach w , jest różniczkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej współrzędne są wyprowadzalne w  ; a jego pochodną jest funkcją, której współrzędne są pochodnymi współrzędnych . Jest to szczególny przypadek funkcji zmiennej wektorowej i wartości w znormalizowanej lub metrycznej przestrzeni wektorowej .

Wyprowadzalność i powiązanie z ciągłością

Zazwyczaj funkcja jest różniczkowalna, jeśli nie przedstawia „chropowatości”, załamania nachylenia lub „pionowej” części.

Nie da się tam rozróżnić funkcji, która nie jest ciągła w punkcie: ponieważ funkcja wykonuje skok, nie możemy zdefiniować stycznej, granica szybkości zmian jest nieskończona (nachylenie krzywej jest pionowe). Tak jest na przykład w przypadku funkcji znaku na 0:

tempo zmian dla szerokości wynosi zatem

i dąży do kiedy dąży do 0. Z drugiej strony możemy zdefiniować pochodną po lewej stronie - pochodna wszędzie zero (styczna pozioma) na - a pochodna po prawej - pochodna również zero na .

Jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie, to w tym punkcie jest ciągła, ale odwrotność jest fałszywa.

Na przykład: funkcja wartości bezwzględnej jest ciągła, ale nie jest różniczkowalna w 0:

Istnieje styczna lewa i styczna prawa inna, nachylenie przy 0 nie jest zdefiniowane; tempo zmian nie ma ustalonego limitu. Jest to ogólny przypadek krzywych z punktem kątowym.

To samo dotyczy funkcji pierwiastka sześciennego, która ma styczną pionową na  : tempo zmian ma nieskończoną granicę.

Funkcja pochodna

Derivability jest a priori lokalny Pojęcie (derivability w punkcie), ale jakiejkolwiek funkcji można przypisać jego różniczkowanie (wymawiana jako „  f pierwsza”), wydane przez

w którym jest domena z derivability z (podzbiorze składa się z punktów, w których jest różniczkowalną).

Funkcje pochodne są używane w szczególności w badaniu funkcji rzeczywistych i ich odmian .

Jedyną funkcją (do stałej multiplikatywnej) równą jej pochodnej, czyli rozwiązaniu równania różniczkowego, jest podstawowa funkcja wykładnicza . Niektóre prace Weźmy tę własność, z warunkiem , jako definicję wykładnika.

Notacje

Istnieją różne notacje wyrażające wartość pochodnej funkcji w punkcie . Wyróżniamy :

Te zapisy umożliwiają również pisanie iterowanych pochodnych , odbywa się to poprzez pomnożenie liczby pierwszej lub punktu w notacji (na przykład można zapisać drugą pochodną lub ).

Zwykłe pochodne i zasady wyprowadzania

często można obliczyć bezpośrednio z wyrażenia , gdy jest to funkcja „prosta”, przy użyciu zwykłej tabeli pochodnej . Dla funkcji, które są wyrażone jako kombinacja liniowa prostych funkcji, jako iloczyn, iloraz lub związek, używamy niewielkiej liczby reguł algebraicznych wyprowadzonych z definicji podanej powyżej. Najczęściej stosowane reguły to:

Nazwisko Reguła Zasady i Warunki
Liniowość Niezależnie od rzeczywistego a i wyprowadzonych funkcji i .
Produkt Bez względu na wyprowadzone funkcje i .
Odwrócić Niezależnie od funkcji pochodnej , która nie anuluje

(specjalny przypadek następnej linii)

Iloraz Bez względu na funkcję wyprowadzalną i funkcję wyprowadzalną, która się nie znosi
Opanowany Bez względu na wyprowadzalne (i komponowalne) funkcje i
Odwrotność Niezależnie od funkcji bijektywnej odwrotności , wyprowadzonej z pochodnej nie anulującej się w żadnym punkcie

W szczególności, oto wspólne zasady wyprowadzone z pochodnej związków:

Nazwisko Reguła Zasady i Warunki
Moc Cokolwiek , a nawet cokolwiek jeśli
Korzeń Niezależnie od ściśle dodatniej funkcji różniczkowej

(przypadek szczególny poprzedniej linii)

Wykładniczy Cokolwiek można wyprowadzić
Logarytm Niezależnie od ściśle dodatniej funkcji różniczkowej
Naturalny logarytm Niezależnie od ściśle dodatniej funkcji różniczkowej (przypadek poprzedniego wiersza)

Wyprowadzenie cyfrowe

W przypadku krzywej eksperymentalnej do jej opisu nie mamy funkcji analitycznej, ale szereg wartości ( x i  , y i ) . Dlatego uciekamy się do wyprowadzenia liczbowego, które polega po prostu na zbliżeniu wartości pochodnej w punkcie i o stopień zmienności między poprzednim a następnymi punktami:

Graficznie sprowadza się to do zastąpienia stycznej akordem. Można to uzasadnić twierdzeniem o skończonych przyrostach  : wiemy, że istnieje punkt przedziału [ x i –1 , x i +1 ], dla którego pochodną jest nachylenie cięciwy, a jeśli przedział jest mały, wtedy ten punkt jest blisko punktu środkowego x i  . Ta metoda może być zautomatyzowana na programowalnych kalkulatorach i komputerach.

Należy jednak zadać pytanie o dokładność wyników. „Naiwna” komputeryzacja metody obliczeniowej może w niektórych przypadkach prowadzić do wyników o niskiej dokładności.

W komputerze dokładność liczb jest ograniczona przez sposób reprezentacji. Jeśli stosowana jest podwójna precyzja zgodnie ze standardem IEEE 754 , liczby mają około 16 cyfr znaczących. Mamy zatem względną precyzję rzędu 10-16 ( dokładnie 2 -52 ). Oznacz tę wartość przez r . Kalkulatory kieszonkowe zazwyczaj dopuszczają 10 cyfr znaczących, tj. r = 10 -10 .

Załóżmy, że różnica y i + 1 - y i - 1 jest mniejsza niż r , wtedy kalkulator popełni poważny błąd w obliczeniach i wynik będzie słaby; nawet, jeśli różnica jest bardzo mała, nie „widzi” żadnej różnicy między tymi dwiema wartościami, a wynik będzie równy 0. Jeśli na przykład chcemy mieć pochodną wokół 2 funkcji f ( x ) = x 2 , biorąc różnicę 10-13 między punktami:

x 1 = 1,999 999 999 999 9; x 2 = 2; x 3 = 2 000 000 000 000 1 δ = y 3 - y 1 = x 3 2 - x 1 2 ≈ 8 × 10 −13

Widzimy, że różnica między liczbami, 8 × 10-13 , jest bliska r . W związku z tym wystąpi błąd zaokrąglania . W rzeczywistości kalkulacja daje nam na komputerze

f ' (2) ≈ 3,997

podczas gdy dokładny wynik to

f” (2) = 2 × 2 1 = 4

lub błąd 0,3%. Na kalkulatorze wynik to ...

Punktem krytycznym jest wybór różnicy h między wartościami x . W wielu przypadkach odpowiednia jest wartość rzędu r . Wciąż brakuje niektórych elementów do tego badania; problem jest omówiony w sekcji Dokładność pochodnej numerycznej poniżej.

W związku z tym :

Precyzja pochodnej liczbowej

Do funkcji możemy podejść za pomocą wielomianu zwanego rozwinięciem ograniczonym  :

Daje to przybliżenie pochodnej do rzędu 2:

.

Robiąc to, popełniamy błąd obcinania drugiego rzędu.

.

Ponadto komputer popełnia błąd zaokrąglania: dokładność względna wynosi r , dokładność bezwzględna f ( x ) wynosi | f ( x ) | r , a zatem błąd indukowany na pochodnej

.

Całkowity błąd wynosi zatem

.

Ta funkcja jest wypukła i dopuszcza minimum w

.

Zależy to zatem od relacji między wartością f a krzywizną f '' . Dla stref, w których funkcja f jest „umiarkowana” – to znaczy, że f / f '' jest rzędu jedności – możemy zachować

.

Błąd popełniony w pierwszym terminie („błąd metody”) jest w rzeczywistości znacznie mniejszy, ponieważ metoda z poprzedniego akapitu sprowadza się do aproksymacji f' ( x ) przez  ; ten sam ograniczony rozwój (tym razem zrobiony w kolejności 3) pokazuje, że popełniamy wtedy błąd rzęduf '' ' ( x )/6 h 2 . W rezultacie główną wadą tych metod aproksymacji numerycznej są błędy zaokrągleń.

Wyprowadzenie graficzne

Możliwe jest również wyprowadzenie graficzne bez użycia obliczeń. Do stycznych podchodzimy za struny jak dla metody numerycznej. Następnie rysujemy równoległe do tych linii przechodzących przez punkt zwany biegunem P. Rozważamy przecięcie tych linii z pionem przechodzącym przez O, przy czym odcinek [OP] jest poziomy. Wysokość v i tak wyznaczonych segmentów jest proporcjonalna do nachylenia a i  :

możemy zatem zgłosić tę wysokość na wykresie i uzyskać przybliżenie wyprowadzonej krzywej. Skala osi y jest zatem OP: 1.

Pochodna rzędu n

Druga pochodna, zauważono , jest pochodną pochodnej , gdy istnieje:

a trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej, gdy istnieje:

.

Ogólnie definiujemy pochodną rzędu n dla funkcji n razy różniczkowalnej przez indukcję  :

jest również zauważony .

Wzór Leibniza

Jeżeli f i g są funkcjami n razy różniczkowalnymi, to stosując regułę iloczynu  :

.

W szczególności dla n = 2 ,

Zwróć uwagę na analogię ze wzorem dwumianowym Newtona . Wynika to z dwuliniowości operatora wyprowadzającego produkt.

Własności funkcji wyprowadzalnych

Twierdzenie Rolle'a

Niech a i b będą dwiema liczbami rzeczywistymi takimi, że a < b . Jeśli f jest ciągła na [ a , b ] , różniczkowalna na ] a , b [ i jeśli f ( a ) = f ( b ) , to istnieje (przynajmniej) liczba rzeczywista c w ] a , b [ taka, że :

.

Twierdzenie o skończonych przyrostach

Stany Jeśli funkcja f jest ciągła na [ a , b ] , z a ≠ b , i wyprowadzona na ] a , b [ , to istnieje punkt c z ] a , b [ taki, że liczba wyprowadzona z f w tym punkcie jest tempo zmian między a i b .

W szczególności, jeśli f ( a ) = f ( b ) , znajdujemy twierdzenie Rolle'a, które służy również do udowodnienia bardziej ogólnego wyniku (patrz artykuł szczegółowy ), dlatego często spotykamy je pod nazwą lemat Rolle'a.

Ta właściwość jest używana w kinematyce do określenia aproksymacji wektora prędkości na podstawie odczytu punktowego .

Twierdzenie Darboux

Jeśli f jest różniczkowalna, jej funkcja pochodna f ' niekoniecznie jest ciągła. Jednak f ' ma właściwość wartości pośrednich. Stanowi to twierdzenie Darboux, które można sformułować na dwa równoważne sposoby:

jeśli różniczkowalna f jest określona na rzeczywistym przedziale I , to f ' ( I ) jest przedziałem; jeśli f ' ( a ) < f ' ( b ) to dla wszystkich t w [ f ' ( a ), f' ( b ) ] , istnieje c takie , że f ' ( c ) = t .

Pochodne powiązanych funkcji

Wiele problemów obejmuje kilka zmiennych, które są ze sobą powiązane i zmieniają się w czasie.

Odmiana jednej z tych zmiennych da odpowiednią odmianę pozostałych zmiennych.

Związek między tymi odmianami będzie zależeć od relacji, które istnieją między zmiennymi.

Przykład:

Mężczyzna odchodzi od wieży o wysokości 60  mz prędkością 8  km/h, czyli około 2,2  m/s .

Jak szybko oddalić się od szczytu wieży, gdy jest 80  m od podnóża wieży?

Z relacji pitagorejskiej wiemy, że odległość między pieszym a szczytem wynosi wtedy 100  m .

Z y i x , odległości pieszego do szczytu wieży i do jej podnóża są funkcjami czasu powiązanymi relacją pitagorejską:

zaangażowany

Wyprowadzając dwa człony tej równości, otrzymujemy:

obejmuje  :

prędkość względem szczytu wieży jest stosunkiem odległości na ziemi między pieszym a stopą wieży i odległością między pieszym a szczytem wieży pomnożonym przez prędkość pieszego.

Gdy pieszy znajduje się 80  m od podnóża wieży:

,

co sprowadza się do stwierdzenia, że ​​prędkość w stosunku do szczytu wieży jest warta .

Powyższe wyrażenie pozwala również wyrazić prędkość mierzoną na szczycie wieży w funkcji czasu: jeśli oznaczymy v ( t ) to i v stałą prędkość przemieszczenia poziomego wyrażoną w m / s, mamy więzy

.

Analiza funkcji pochodnej

Znajdując wartości x, dla których pochodna wynosi 0 lub nie istnieje, znajdujemy liczby krytyczne funkcji. Liczby krytyczne f umożliwiają niejawne znalezienie jego maksimów i minimów. Wykonując pierwszy test pochodnych , konstruujemy tablicę wariacji  ; jeśli znak funkcji pochodnej przechodzi od najmniej do najmniej przed liczbą krytyczną, mamy maksimum, a jeśli znak funkcji pochodnej przechodzi od najmniej do większej przed liczbą krytyczną, mamy minimum.

Co więcej, gdy znak pierwszej pochodnej jest dodatni, funkcja rośnie; jeśli jest ujemna, maleje. Nic nie jest wnioskowane, jeśli w punkcie krytycznym funkcja pochodnej nie zmienia znaku. Wyprowadzając pierwszą pochodną, ​​mamy drugą pochodną . Wykonując test drugiej pochodnej , znajdujemy krytyczne liczby pierwszej pochodnej, aby umieścić je w tej samej tablicy; kiedy obserwujemy zmianę znaku drugiej pochodnej przed tą lub tą liczbą krytyczną (s) , mówimy, że mamy jeden (lub więcej) punkt (y) przegięcia . Punkty przegięcia oznaczają zmianę wklęsłości funkcji. Znak dodatni drugiej pochodnej oznacza, że ​​funkcja jest wypukła, a znak ujemny drugiej pochodnej oznacza, że ​​funkcja jest wklęsła . Znając zmiany wklęsłości i ekstrema funkcji, możemy następnie narysować szkic jej graficznej reprezentacji.

Pochodna i optymalizacja

Metoda optymalizacji plonu za pomocą rachunku różniczkowego:

  1. Matematyzacja
    • Definicje i rysunek: definiujemy nieznane zmienne i przedstawiamy je na diagramie.
    • Wpisz dwa zmiennej funkcji celu i określić, czy szukasz maksimum lub minimum w danej sytuacji.
    • Znajdź związek między dwiema zmiennymi.
    • Zapisz funkcję celu do jednej zmiennej i określ dziedzinę funkcji.
  2. Analiza
    • Wyprowadź funkcję, aby uzyskać pierwszą pochodną.
    • Znajdź liczby krytyczne funkcji, w których pierwsza pochodna wynosi zero lub nie występuje w przedziałach dziedziny.
    • Wykonać pierwszy test różniczkowania lub drugi test różniczkowania, aby określić pożądane maksimum lub minimum dla sytuacji.
  3. Odpowiedź jest zwięzła w stosunku do pytania.

Pochodna algebraiczna

W algebraists dają nieco inne znaczenie terminu pochodnej . Stosują ją do struktury B zwanej A- algebrą unitarną i przemienną asocjacyjną . Odwzorowanie D od B do B nazywamy wyprowadzeniem, jeśli:

Przykład tak zdefiniowanego wyprowadzenia podano w artykule wielomian formalny .

Pochodna ułamkowa

Kolejne uogólnienie zaczyna się od pojęcia n- tej pochodnej do skonstruowania, używając transformacji Laplace'a , nowej funkcji, pochodnej t- eme , gdzie t jest dowolną liczbą rzeczywistą i która pokrywa się z pochodną iterowaną, jeśli t jest liczbą całkowitą i jeśli funkcja rozruchu jest wystarczająco regularna.

Wyprowadzenie jako aplikacja liniowa

Wyprowadzenie to liniowa mapa , z przestrzeni wektorowej funkcji różniczkowalnych nad non - pusty otwarty przedział I od ℝ i prawdziwych wartości, do żadnej funkcji I w ℝ. Jej jądro składa się z funkcji stałych i bardziej ogólnie, każda rzeczywista λ jest wartością własną , z podprzestrzenią własną powiązaną z linią wszystkich funkcji postaci z .

Wyprowadzenie jako endomorfizm przestrzeni nie dopuszcza pierwiastka kwadratowego , tj. jeśli oznaczymy operator wyprowadzenia, to nie ma takiego odwzorowania liniowego , że .

Uwagi i referencje

  1. (w) Florian Cajori , A History of Mathematical Notations [ wyd. detaliczne ], sekcja 575, podgląd w Książkach Google .
  2. Cajori , sekcja 567, podgląd w Książkach Google .
  3. (w) Michael Baudin, „  Scilab nie jest naiwny  ” na Scilab .org .
  4. Ta mapa nie jest suriektywna  : jej obraz (zbiór funkcji dopuszczających prymityw ) nie zawiera na przykład funkcji prezentujących nieciągłość pierwszego rodzaju , z powodu twierdzenia Darboux ( patrz wyżej ).
  5. Serge Francinou, Hervé Gianella i Serge Nicolas, Oraux X-ENS: Ćwiczenia matematyczne Algebra 1 , t.  1, Paryż, Cassini,2007, 372  s. ( ISBN  978-2-84225-132-1 ) , s.  311.
  6. Możliwe jest jednak, w szerokim sensie, zdefiniowanie pojęcia pochodnej ułamkowej  ; dla tej definicji wyprowadzenie rzędu 1/2 jest faktycznie pierwiastkiem kwadratowym zwykłego wyprowadzenia.
  7. Rzeczywiście, gdyby linia i płaszczyzna były wtedy stabilne przez T , mielibyśmy i , lub dwa równania i są niezgodne.

Zobacz również

Powiązane artykuły

Link zewnętrzny

(en) Eric W. Weisstein , „  Derivative  ” , o MathWorld

Bibliografia

Claude Wagschal, Derywacja, integracja. Z poprawionymi ćwiczeniami , Hermann , 2012