równanie Keplera

W astronomii The równanie Keplera to preparat spoiwo w orbicie mimośrodowość E i mimośród anomalii e przez średnią anomalii M . Znaczenie tego równania polega na tym, że umożliwia przejście od parametrów dynamicznych ruchu gwiazdy (anomalie średniej) do parametrów geometrycznych (anomalie ekscentrycznej). Równanie to zostało ustalone przez Keplera w przypadku orbit eliptycznych , analizując odczyty pozycji planety Mars wykonane przez Tycho Brahe . Następnie uogólniono go na inne formy orbit ( paraboliczne , hiperboliczne , quasi-paraboliczne, prostoliniowe) wykorzystując zasady mechaniki Newtona .

Prezentacje równania Keplera

Równanie Keplera jako takie jest równaniem ustalonym przez Keplera dla orbit eliptycznych. Jednak można go odrzucić w kilku formach, aby objąć wszystkie przypadki orbit.

Przypadek orbity eliptycznej

Równanie Keplera na orbicie eliptycznej to:

ze średnią anomalią M zdefiniowaną przez:

z n ruchem średnim:

t czas, a t 0 oznacza moment przejścia do perycentrum . T jest okresem orbitalnym .

Demonstracja

Jego demonstracja jest prosta i obejmuje obliczenie powierzchni sektora elipsy, której wierzchołek jest zajęty przez jedno z dwóch ognisk, dwiema różnymi metodami, z których jedna wykorzystuje prawo obszarów, a druga obliczając powierzchnię tego eliptycznego sektora rzutowanego na główny okrąg elipsy.

Zgodnie z drugim prawem Keplera obszar skanowany przez segment SP na wykresie jest proporcjonalny do czasu. Więc obszarze sektora eliptycznej SZP jest równe k ( t - t 0 ) , gdzie t jest czasem i t 0 jest moment przejścia gwiazdy Z . Stałą proporcjonalności k można łatwo wyznaczyć: na końcu okresu orbitalnego T obszar omiatany będzie równy całkowitemu obszarowi elipsy π ab ( a i b są półosią wielką i półosią małą oś elipsy), albo:

Pozostaje wyznaczyć geometrycznie obszar sektora elipsy SzP, aby utworzyć związek między czasem, jaki upłynął od przejścia w z, a pozycją na orbicie.

Kepler użył do tego pomocniczego okręgu ograniczonego do elipsy (łatwy do poznania obszar wycinka kołowego).

Powierzchnia wycinka Szx jest równa różnicy wycinka kołowego czx i trójkąta cSx .

gdzie E jest wyrażone w radianach.

Wreszcie SzP = Szx × b / a  : jedno jest kompresją drugiego stosunku b / a (gdzie dokładniej powinowactwo stosunku b / a ) Równanie Keplera otrzymujemy po uproszczeniu wyjaśniając równość SzP = k ( t - t 0 ) , czyli:

Średni ruch można również wyrazić za pomocą:

lub

Równanie Keplera, związane z powiązaniem anomalii ekscentrycznej E z anomalią rzeczywistą v

umożliwia określenie położenia gwiazdy na orbicie w czasie.

Hiperboliczny przypadek orbity

W przypadku orbity hiperbolicznej ( e > 1 ) możemy analitycznie udowodnić zależność równoważną równaniu Keplera:

gdzie sinh oznacza sinus hiperboliczny .

M definiuje się tak samo jak w przypadku eliptycznym, wyrażając następujący ruch średni:

Argument H nie jest już kątem, jak w przypadku E w ruchu eliptycznym. W tym przypadku H jest powiązane z prawdziwą anomalią v przez:

Obudowa orbity parabolicznej

Równanie Keplera nie jest zdefiniowane w ramach ruchu parabolicznego ( e = 1 ). Zostało zastąpione równaniem Barkera.

z

i

To równanie sześcienne można rozwiązać analitycznie metodą Cardana .

Uniwersalne wyrażenie równania Keplera

Zmieniając zmienną, eliptyczne, paraboliczne i hiperboliczne równania Keplera można pogrupować w jedno „uniwersalne” równanie. Jednym z możliwych wyrażeń jest:

z perycentrum q = a (1- e ) i α = 1 / a . α jest dodatnia dla orbit eliptycznych, zero dla orbit parabolicznych i ujemna dla orbit hiperbolicznych. Nowa zmienna x jest zdefiniowana przez:

a funkcja c 3 ( t ) jest jedną z funkcji Stumpff , która jest napisana w ogólnym przypadku:

Demonstracja

Zaczynając od równania eliptycznego,

z

i zmieniając zmienną

otrzymujemy

Wraz z seryjnym rozwojem zatoki znajdujemy:

Równanie Keplera zamienia się w:

Usunięto nieciągłość na a dla orbit parabolicznych, a wyrażenie na a nie pojawia się już pod pierwiastkiem kwadratowym, co czyni to równanie użytecznym również dla orbit hiperbolicznych. Wzór uzyskany z hiperbolicznego równania Keplera byłby we wszystkich punktach równoważny temu przez pozowanie .

Wyznaczenie x zgodnie z uniwersalnym równaniem umożliwia wyznaczenie położenia ciała na jego orbicie ( X , Y ) poprzez:

Funkcje c 1 ( t ) i c 2 ( t ) są zdefiniowane w taki sam sposób jak c 3 ( t ) powyżej.

Orbity prostoliniowe

Prostoliniowe orbity przypadki graniczne pozostałych orbitach, przez co odległość do perycentrum q mają tendencję do zera przy zachowaniu wielkiej półosi do stałej: orbita następnie ma tendencję do segmentu lub pół-line. W przypadku orbit eliptycznych i hiperbolicznych zakłada się, że mimośród e będzie dążyć do 1, ponieważ półoś wielka a , mimośród e i perycentrum q są połączone przez q = a (1– e ) . Istnieją zatem trzy typy orbit prostoliniowych: eliptyczne, paraboliczne i hiperboliczne. W praktyce tylko część tych orbit jest opisywana przez gwiazdę, co skutkuje albo kolizją, albo ucieczką. Niektóre komety kamikaze wykryte przez kosmiczne obserwatoria słoneczne ( SoHO , SDO, itp.) lub odcinki orbit sond międzyplanetarnych znajdują się w pobliżu orbit prostoliniowych.

Dla eliptycznej orbity prostoliniowej równanie Keplera przyjmuje postać:

ze średnią anomalią M zdefiniowaną przez:

Prawdziwa anomalia, która nie ma już żadnego znaczenia dla orbity prostoliniowej, położenie gwiazdy określa odległość dzieląca ją od gwiazdy głównej r :

Dla hiperbolicznej orbity prostoliniowej równanie Keplera przyjmuje postać:

oraz pozycja gwiazdy:

jest negatywna dla hiperbolicznych orbitach

Wreszcie dla parabolicznej orbity prostoliniowej:

z

i

oraz pozycja gwiazdy:

Rozwiązywanie równania Keplera

równanie Keplera

umożliwia bezpośrednie obliczenie daty (powiązanej z M ) odpowiadającej danej pozycji (powiązanej z E ), na przykład w celu określenia daty równonocy. Z drugiej strony, odwrotny problem, wyznaczenie pozycji planety dla danej daty, wymaga wyznaczenia E , znając M i e . Tego problemu nie da się rozwiązać w prosty sposób.

Rozwiązanie równania Keplera polega na znalezieniu E ( e , M )  :

Szeregi Fouriera

Jest Lagrange , który znajduje wyraz, chociaż nazwa J n ( x ) jest związany z nazwą Bessela .

gdzie J n ( x ) jest funkcją Bessela z jednej ponownie  rodzaju rzędu n .

Demonstracja

E - M jest funkcją ciągłą, nieparzystą i okresową okresu  ; jest zatem rozwijalny w szeregach Fouriera, których współczynniki cosinusowe są zerowe.

z

Aby zmienić zmienną całkową całkujemy częściami, ustawiając u = sin ( E ) i d v = sin ( pM ) d M , otrzymujemy:

Przekształcając iloczyn cosinusów na sumę cosinusów otrzymujemy:

po zastąpieniu d M przez (1–- ty cos E ) d E (równość uzyskana przez wyprowadzenie równania Keplera).

Jednak funkcje Bessela pierwszego rodzaju wyraża się wzorem:

Skąd :

Ponadto funkcje Bessela weryfikują relację rekurencyjności:

stąd wreszcie:

Cała seria mimośrodowości

Nadal Lagrange znajduje rozwiązanie, które Laplace uzupełni, podając promień zbieżności. Prace te zainspirują Cauchy'ego , który do rozwiązania tego drażliwego problemu wymyśli teorię szeregów analitycznych; będzie to miało swój punkt kulminacyjny w pracy Puiseux .

Zastosowanie twierdzenia o inwersji szeregów Lagrange'a zapewnia:

z

Minimalny promień zbieżności szeregu, który zależy od M , jest osiągany dla M = π / 2 i jest równy e 0 = 0,6627434193, jak wskazał Laplace ( 1823 ) i wykazali Cauchy i Puiseux:

i x takie, że .

To sprawia, że ​​ten wzór nie ma zastosowania do określenia pozycji komet, których mimośród często jest bliski 1.

Pierwsze warunki to:

Uwaga: możliwe jest uzyskanie tego rozszerzenia szeregowo poprzez zastąpienie w poprzedniej serii Fouriera funkcji Bessela ich ograniczonym rozszerzeniem:

Ograniczone rozwinięcie uzyskujemy wtedy znacznie prościej niż metodą odwrócenia szeregu:

Zauważ, że chociaż szereg Fouriera jest zbieżny dla 0 < e < 1 , a rozwinięcia funkcji Bessela mają nieskończony promień zbieżności, wynik po reorganizacji wyrazów jest zbieżny tylko dla e < 0,662 ...

Przypadek komet: e > e 0

Pierwszym, który zmierzył się z problemem, jest Horrocks , a następnie zwłaszcza Halley , który wyliczył kometę ekscentryczną e =0,9673 .

Zaproponowano kilka rozwiązań przez nieznaczną modyfikację równania Barkera ( e = 1 ). Rozwiązanie zaproponowane przez Bessela ( 1805 ) obejmuje dziedzinę e > 0,997 . Gauss zilustrował się, podając ładne rozwiązanie dla 0,2 < e < 0,95 .

Uogólnienie równania Barkera to rozwinięcie szeregu, zbieżne tym szybciej, im ekscentryczność e jest bliska 1, co okazuje się dobrze dopasowane do przypadków komet (ten szereg dotyczy również nieco hiperbolicznych):

którego promień zbieżności wynosi:

gdzie S = tan ( v / 2)

v jest prawdziwą anomalią , k stałą grawitacyjną Gaussa , e i q są odpowiednio mimośrodem i perycentrum orbity, t czasem it 0 jest chwilą przejścia do periastronu.

Gdy e = 1 , szereg redukuje się do równania Barkera.

Demonstracja

Pierwsze prawo Keplera mówi, że orbity to odcinki stożkowe (elipsa, parabola lub hiperbola) ze słońcem jako punktem skupienia. Zatem odległość kometa - słońce r i prawdziwa anomalia v są powiązane równaniem przekroju stożkowego we współrzędnych biegunowych:

gdzie p i e są odpowiednio parametrem mimośrodowości stożka.

Drugie prawo Keplera (segment słońce-kometa omiata równe obszary w równych odstępach czasu) można wyrazić, biorąc pod uwagę nieskończenie mały przedział czasu d t :

gdzie h jest stałą, zwaną stałą powierzchni .

Łącząc te dwa równania, możemy sprawić, że r zniknie , aby uzyskać związek między czasem a prawdziwą anomalią, to znaczy formę równania Keplera mającego zastosowanie do dowolnego typu orbity.

albo przez całkowanie między t 0 i t  :

zmieniając zmienną całkową s = tan ( x /2) i ustawiając S = tan ( v /2) , przekształcamy tę całkę trygonometryczną na całkę funkcji wymiernej  :

Funkcja wymierna może być całkowana bezpośrednio, aby otrzymać wszystkie postacie równań Keplera widzianych powyżej, w zależności od znaku γ . Ale rozszerzając ułamek wymierny na szereg całkowity s , a następnie całkując ten szereg wyraz po wyrazie, otrzymujemy:

relacje między parametrem stożka a stałą powierzchni ,

pozwala odnaleźć wzór poszukiwane (zaniedbując masowe m 2 komety w stosunku do tej na słońcu).

Obliczenia numeryczne

Równanie Keplera można rozwiązać za pomocą algorytmu znajdowania zera funkcji . Typ metody coachingu sposób dwusiecznej , sposób fałszywe położenie wymaga początkowego ramki w którym główny jest obecny. Ze względu na okresowość i parzystość równania Keplera zawsze można skrócić przedział początkowy do [0, π] . Stanowi to punkt wyjścia dla tych metod, ale łatwo jest znaleźć bardziej wyrafinowane.

Metody typu punktu stałego wymagają wstępnego oszacowania pierwiastka, zarodka metody E 0 , aby rozpocząć obliczenia: jest ich wiele w literaturze, najprostszy sposób to E 0 = M .

Najprostsza metoda punktu stałego, stosowana przez Keplera, to:

zbieżność powoli, gdy e jest bliskie 1. Wtedy korzystne jest dodanie algorytmu przyspieszania zbieżności: na przykład Delta-2 Aitkena lub wariant Steffensena.

Równanie Keplera nadaje się szczególnie dobrze do algorytmów wymagających obliczania wysokich kolejnych pochodnych, ze względu na niski koszt wymaganych obliczeń maszynowych. W rzeczy samej :

Kolejne pochodne odejmowane są cyklicznie od poprzednich. Warianty wyższego rzędu metody Newtona i Halleya są więc w tym przypadku bardzo wydajne. Należy zauważyć, że te metody mogą w niektórych przypadkach mieć trudności z osiągnięciem zbieżności ( e blisko 1 i M blisko 0). W tych strefach najlepiej jest albo zaproponować mniej grubą wartość początkową (nasiona Mikkoli ( Seppo Mikkola ) lub Markleya ) albo ograniczyć metody iteracyjne, aby zmusić je do zbieżności (modyfikacja metody Hamminga metody Newtona) lub stosować metody iteracyjne o mniejszej zbieżności lokalnej ( metoda Laguerre'a ).

Przykład

Podczas ostatniej wizyty w 1986 roku kometę Halleya odwiedziła sonda Giotto . Dane niezbędne do określenia pozycji komety podczas tego spotkania to:

  • data przejścia do peryhelium t 0  :9 lutego 1986o 10:59:55 UTC
  • data spotkania t  :14 marca 1986 r.o 00:03:00 UTC, tj. t - t 0 = 32.54328 dni
  • mimośród orbity e  : 0,96727426
  • odległość od peryhelium q  : 0,58710224 lub półosi wielkiej a = q / (1– e ) = 17,940753 i średni ruch n = k / a 1,5 = 0,0002263836 rad / dzień .

Średnia anomalia jest warta M = n ( t - t 0 ) = 0,0073673887 rad

Równanie Keplera do rozwiązania to:

Zaczynając od E 0 = M i stosując metodę Newtona,

znajdujemy kolejno:

0,0073673887 0,2249486948 0.1929911041 0.1909186907 0.1909107985 0.1909107984

… (Poniższe wartości są identyczne) Wyprowadzamy kąt położenia komety na jej orbicie (prawdziwa anomalia) v = 1,2771772327 rad = 73,176865125 °

Odległość komety od Słońca oblicza się ze wzoru r = a (1 - e cos ( E )) = 0,902374257 AU (nieco mniej niż odległość między Ziemią a Słońcem)

Prędkość komety jest równa 43,780 8 km / s 

Iteracje nie zawsze idą tak dobrze w przypadku komet, jak pokazano na wykresie obok. W przypadku mimośrodów powyżej 0,97 zbieżność jest niepewna z iteracjami E 0 = M jako punktem początkowym . Inne, bardziej precyzyjne punkty startowe pozwalają uniknąć tej pułapki.

W przypadku komet rozwiązanie quasi-parabolicznego uogólnienia równania Barkera stwarza dwa problemy:

  • przybliżone obliczenie szeregu, które może wymagać dużej liczby terminów, a nawet być niemożliwe, jeśli jest rozbieżne. Okazuje się, że seria ta szczególnie dobrze nadaje się do wykorzystania algorytmów przyspieszania zbieżności, w szczególności Δ² Aitkena lub ε-algorytmu Petera Wynna, które nie tylko przyspieszają zbieżność, ale rozszerzają jej dziedzinę zbieżności. W praktyce trudności pojawiają się, gdy kometa znajduje się bardzo daleko od swojego perycentrum (była wtedy niewidoczna przez długi czas) lub jej ekscentryczność różni się wyraźnie od 1 (w tym przypadku bardziej rozsądne jest rozwiązanie eliptycznego lub hiperbolicznego Keplera). równanie ).
  • Samo rozwiązanie równania. Można to przeprowadzić metodami typu Newtona z:

zauważając, że pochodna jest wyrażona po prostu:

następujące pochodne są łatwo wydedukowane.

Jako wartość początkową iteracji S 0 możemy wybrać rozwiązanie równania sześciennego otrzymane przy zachowaniu pierwszych członów (nieco różne od równania Barkera) metodą Cardana

Obecne badania

Obliczenia za pomocą integratorów symplektycznych wymagają zawsze pozostawania na granicy liczby miejsc po przecinku, przy najniższym koszcie obliczeń. Dużo zależy od dubletu ( M , e ) , M pomiędzy 0 a π i e , zwłaszcza gdy ten ostatni parametr jest bliski 1.

Nijenhuisa (1991) przyjmuje sposób Mikkola (1987) , która to metoda Newtona o uporządkowaniu 4, wybierając „odpowiednio” zarodek E 0 według dublet ( M , E ) .

Jest oczywiste, że w obliczeniach numerycznych, ilość obliczeń jest niezbędna, tak samo jak liczba miejsc po przecinku, ze względu na niestabilność układu słonecznego oceniano przy współczynniku Liapunov z 10 (t / 5 Myr) . Natykamy się na wykładniczą ścianę: trudno jest przejść dalej niż 25 milionów, nawet przy 128-bitowym przetwarzaniu.

To właśnie te obliczenia (astronomiczne... ale skomputeryzowane) działają na maszynach IMCCE-Paryż. Obliczenie ziemskiego nasłonecznienia na szerokości geograficznej 65 ° północnej, I (65, t) jest obliczane i próbujemy wywnioskować korelację z minionym klimatem: wyprowadzana jest skala geologiczna aż do neogenu (25 mln lat) (geologiczna Gradstein skala 2004). Następny planowany krok: 65 milionów lat.

Historia nauki

Przed Keplerem równanie było już badane z innych powodów:

jest to problem redukcji lokalnych współrzędnych do współrzędnych geocentrycznych: należy zredukować poprawkę paralaksy. Habash al Hasib już się tym zajął.

Przed 1700 rokiem było już wiele prób: Kepler naturalnie, Curtz (1626), Niele, Boulliau (1645, 1657), Seth Ward (1653), Paganus (1657), Horrebow (1717), Cassini (1669), Newton (1665). ?), Wren (1658), Wallis (1659), Jeremiasz Horrocks (1638) ...

Uwagi

  1. (La) J. Kepler, Astronomia nova aitiologetos, seu physica coelestis, tradita commentariis de motibus stellae Martis, ex obserwacja GV Tychonis Brahe , The Warnock Library, 1609
  2. (w) T. Barker  (w) , Sprawozdanie o odkryciach dotyczących komet, ze sposobem znajdowania ich orbit oraz pewnymi ulepszeniami w Konstruowaniu i obliczaniu ich siedzeń , Londyn 1757
  3. (w) RH Battin, Wskazówki astronomiczne , McGraw-Hill, Nowy Jork, 1609, rozdz. 2
  4. (w) K. Stumpff  (de) , „O wdrażaniu spinorów do problemów mechaniki nieba” w notatkach technicznych NASA D-4447, New York, 1968, c. 2
  5. J.-L. Lagrange, „O problemie Keplera”, w Pamiętnikach Królewskiej Akademii Nauk w Berlinie , t. 25, 1771, s.  204-233
  6. (w) Peter Colwell, „  Funkcje Bessela i równanie Keplera  ” , Amer. Matematyka. Miesięcznie , obj.  99, n o  1,styczeń 1992, s.  45-48
  7. A. Cauchy, „Pamiętnik w różnych punktach analizy”, w Pamiętnikach Królewskiej Akademii Nauk (Paryż) , obj. 8, 1829, s.  97-129 .
  8. V. Puiseux, „O zbieżności szeregów występujących w teorii ruchu eliptycznego planet”, w Journal of Pure and Applied Matheats , tom. 14, 1849, s.  33-39
  9. (w) E. Halley, „Astronomiae cometicae streszczenie” w Philosphical Transactions of the Royal Society , t. 24, 1705, s.  1882-1899
  10. (La) CF Gauss, Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conisis solem ambientium , Hamburg, Perthes & Besser, 1809, s.  35-44 .
  11. Okólnik Minor Planet 10634 (24 kwietnia 1986)
  12. (w) "Prędkość orbitalna" w Wikipedii ,15 czerwca 2021( przeczytaj online )

Bibliografia

  • (en) Peter Colwell , Rozwiązywanie równania Keplera na przestrzeni trzech wieków , Richmond, Va, Willmann-Bell,1993, 202  pkt. ( ISBN  978-0-943-39640-8 , OCLC  28724376 )
  • (en) John Brinkley , Trans Roy Irish Ac , tom. 7, 1803, s.  321-356
  • (pl) Jean Meeus , Algorytmy astronomiczne , Richmond, Va, Willmann-Bell,1991, 429  s. ( ISBN  978-0-943-39635-4 , OCLC  24067389 )
  • (en) Albert Nijenhuis  (de) , „  Rozwiązywanie równania Keplera z wysoką wydajnością i dokładnością  ” , Celest. Mech. Dyn. Astronom. , tom.  51,1991, s.  319-330 ( czytaj online )
  • (en) Seppo Mikkola , „  Aproksymacja sześcienna równania Keplera  ” , Celest. Mech. Dyn. Astronom. , tom.  40,1987, s.  303-312 ( czytaj online )

Zobacz również

Powiązane artykuły

Linki zewnętrzne

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">